April 22, 1980

What precisely does it mean to do philosophy? Starting from a very simple notion: to do philosophy is to create concepts, just as doing painting is to create lines and colors. Doing philosophy is creating concepts because concepts are not something that pre-exists, not something that is given ready-made. In this sense, we must define philosophy through an activity of creation: creation of concepts. This definition seemed perfectly suitable for Leibniz who, precisely, in an apparently fundamentally rationalist philosophy, is engaged in a kind of exuberant creation of unusual concepts of which there are few such strange examples in the history of philosophy.

Seminar Introduction

5 seminars (11 hours): During academic year 1979-80, Deleuze undertakes a thirteen-session study of Apparatuses of State and War Machines (6 Nov 1979 – 25 March 1980). Then, at the start of the 26 February 1980 seminar, Deleuze explains, “some of you asked me to do something that would be a kind of presentation on a very great philosopher, one that is very difficult, named Leibniz. … So, it could be very useful again to take up certain notions that we have worked on over several years. So anything is possible; it’s up to you, but as of now, or in a coming meeting, I will do something on Leibniz… a special request.”

As we know, Deleuze will return to Leibniz again in his final seminar, in 1986-87, as a means to examine the specific concept of the fold. It is also helpful to recall what texts Deleuze was developing at the time of the 1980 lectures: besides reworking the 1970 Spinoza. Textes choisis (Paris: PUF, 1970) as Spinoza. Philosophie pratique (Paris: Minuit, 1981), Deleuze most certainly had begun work on Francis Bacon. The Logic of Sensation, also published the following year (La Roche-sur-Yon: Éditions de la différence, 1981). Several notions important to Deleuze in this short work ostensibly on painting will emerge forcefully (notably, “the cry”) as he lays the groundwork for concepts from Leibniz to which he will return later in the decade.

Please note that the transcriptions and translations below are entirely new versions, differing significantly from those that have hitherto been available at the WebDeleuze site. They now correspond as faithfully as possible, without omissions, to the recordings available from the BNF and YouTube (linked here on each transcript page).

English Translation

Jorge Luis Borges, author of “The Garden of the Forking Paths,” in Ficciones.


The general heading for this session is “Substance, World, and Compossibility.” After an opening review of the concepts outlined in the first session, Deleuze states that under the session’s general heading, he will consider the concepts of inclusion and compossibility (although he will leave compossibility of session 3). With the definition of inclusion in place – if a proposition is true, the predicate must be included in the notion of the subject –, Deleuze supports Leibniz in affirming that if a single thing is contained in the notion of the subject, then the totality of the world is contained in this individual notion. While demonstrating inclusion for truths of essence (e.g. twelve divisible by twelve) for finite, determinate operations, Leibniz must distinguish these from truths of existence (Adam sinned; Caesar crossed the Rubicon) and demonstrate inclusion for these propositions, for which the analysis extends to infinity, created in the understanding of God. As Deleuze established in the first session, the principle of compossibility allows for a possible world with Adam non-sinner but not compossible with ours due to God’s choice of the world in which Adam sinned as the best possible world by virtue, for Leibniz, of a theory of games. Recounting a dream that Leibniz relates in the Theodicy and then linking this to Jorge Luis Borges as a Leibnizian writer (cf. “The Garden of Forking Paths”), that Deleuze summarizes the story as placing all the incompossible series in the same world, in contrast to Leibniz’s distinct yet possible worlds.

Returning to infinite analysis, Deleuze reminds us that to judge a Leibniz text, one must know to whom Leibniz addressed it to assess its level of clarity or obscurity and argues that as regards truths of existence, Leibniz’s analysis is infinite, a passage of infinitely small elements one to another, or rather infinitely small relations between elements, a distinction that links to Leibniz’s invention of differential calculus. Regarding truths of existence, Leibniz is interested in the passage from one predicate to another, and another, from the point of view of an infinite analysis, that is, from the maximum of continuity, e.g., for worlds, whereas incompossible worlds are separated by discontinuity such that the “best” of worlds is the most continuous world. As the terms continuity and compossibility relate to differential calculus, Deleuze provides a lengthy explanation (with notations on the blackboard) of this calculus that finds its level of application when one is faced with incomparables, or quantities raised to different powers. After providing a detailed explanation of differential relations between two triangles based on Leibniz’s Mathematical Writings, Deleuze argues that differential calculus provides a means to approach God’s understanding of maximum continuity, the predicate included in the subject. Leibniz considers that God created the world by calculating, and he explains games, first, through the example of tiling (figures and forms filling the maximum of space-time while leaving the least emptiness). Then, through the chess example, Leibniz argues that “God plays”, determinate pieces with determinate values occupying the maximum space, or in the world, the maximum of continuity which is the means to obtain the maximum of reality.



Gilles Deleuze

Seminar on Leibniz: Philosophy and the Creation of Concepts

Lecture 02, 22 April 1980

Original transcription and augmented version, based on the YouTube,[1] Charles J. Stivale[2]

Part 1

The last time, as we agreed, we had begun a series of studies on Leibniz that should be conceived as an introduction to a reading — yours, eventually yours — of Leibniz. So, to introduce a numerical clarification, I relied on numbering the paragraphs so that everything did not get mixed up. The last time, we created our very simple first paragraph which was a kind of presentation of concepts or of a certain number of Leibniz’s principal concepts. Yes, as background to all this, there was a corresponding problem for Leibniz, but obviously much more general: namely, I remind you, what precisely does it mean to do philosophy. Starting from a very simple notion: to do philosophy is to create concepts, just as doing painting is to create lines and colors. Doing philosophy is creating concepts because concepts are not something that pre-exists, not something that is given ready made. In this sense, we must define philosophy through an activity of creation: creation of concepts. And this definition seemed to us perfectly suitable for Leibniz who, in fact, in an apparently fundamentally rationalist philosophy, is engaged in a kind of exuberant creation of unusual concepts of which there are few such examples in the history of philosophy, very few examples.

And in all this first part, in which I tried to cause a certain number of concepts signed Leibniz to emerge, in fact, if once again concepts are the object of a creation, then one must say that these concepts are signed. There is a signature, not that the signature establishes a link between the concept and the individual that creates it, the philosopher who creates it, it’s much more: the concepts themselves are signatures. Fine, so, the entire first paragraph caused a certain number of properly Leibnizian concepts to emerge. The two principal ones that we discerned in the course of the previous meeting, and here, I’ll won’t be taking them up again because you will understand yourself, those who weren’t here, these were inclusion and compossibility. There are all kinds of things that are included in certain things or enveloped in certain things. Inclusion, envelopment.[3] Then, the completely different, very bizarre concept of compossibility: there are things which are possible in themselves, but that are not compossible with another. There we are, we discerned all these concepts.

Today, I would like to give a title to this second paragraph, this second inquiry on Leibniz; I would like to give the title, “Substance, World, and Continuity” [Deleuze repeats this]. If we manage to state what all that is, we’ll then see for the rest. The purpose of this second paragraph, its intention, is to analyze more precisely these two major concepts of Leibniz: Inclusion and Compossibility, what does that mean?

In fact, it’s at the point where we ended the last time, we found ourselves faced with two problems, we found ourselves facing two Leibnizian problems. The first is that of inclusion. In what sense? We saw that if a proposition were true, it was necessary in one way or another – but I already insist on this “in one way or another” – in one way or another the predicate or attribute had to be contained or included not – although we could state it like this in a quick way — not in the subject, but in the notion of the subject. [Pause] If a proposition is true, the predicate must be included in the notion of the subject. Let’s allow ourselves the freedom to accept that and, as Leibniz says, and if I say at that point Adam sinned, the sin, the sinner, had to be contained or included in the individual notion of Adam. Everything that happens, everything that can be attributed, everything that is predicated – this is a philosophy of predication – everything that is predicated about a subject must be contained in the notion of the subject. Faced with such a strange proposition — about which I tried the last time to indicate certain reasons why Leibniz supports and proposes this, we’ll come back to this later, so for those who weren’t here the last time, this is isn’t terribly important; you know, we’ll come back to them in some ways – here, if one accepts this kind of Leibnizian gamble, one finds oneself immediately faced with problems.

Specifically if any given event that concerns a specific individual notion, for example, Adam, or Caesar — Caesar crossed the Rubicon, it is necessary that crossing the Rubicon be encompassed, contained, included in the individual notion of Caesar – fine, great, O.K., I suppose, we are quite ready to yes, to support Leibniz. But if we say that, fine, once again, I indeed wish to insist that we cannot stop: if a single thing is contained in the individual notion of Caesar, like “crossing the Rubicon,” then it is quite necessary that, from effect to cause and from cause to effect, the totality of the world be included in this individual notion since, in fact, “crossing the Rubicon” itself has a cause that must also be contained in the individual notion, etc. etc., etc., to infinity, both ascending and descending. At that point, the entire Roman empire which, generally speaking, results from the crossing of the Rubicon, the rise of the Roman Empire, as well as all the consequences of the Roman Empire — in one way or another, all of this must be included in the individual notion of Caesar such that every individual notion will be inflated by the totality of the world that it expresses. It expresses the totality of the world. There we see the proposition becoming stranger and stranger.

And for us, there are always delicious moments in the history of philosophy, and one of the most delicious of these came at the far extreme of reason — that is, when reason or rationalism, pushed all the way to the end of its consequences, engendered and coincided with a kind of delirium that was a delirium of madness. At that moment, we witness this parade, this kind of procession, a parade, these betrothals, in which the same thing that is the most rational, in which the most rational is pushed to the far end of reason is also delirium, but delirium of the purest madness. Thus, each individual notion – you, me, Caesar, no matter, none… here, at this level, there is no… it’s not because this is an historical personage, not us, that’s not it – this is valid for every individual notion. If it is true that the predicate is in the notion of the subject, included in the notion of the subject, each individual notion must express the totality of the world, and the totality of the world must be included in each notion. We saw that this led Leibniz to an extraordinary theory that is the first great theory in philosophy, the first great theory of perspective or point of view since each individual notion will be said to express and contain the world; yes, but from a certain point of view which is deeper, notably it is subjectivity that refers to the notion of point of view and not the notion of point of view that refers to subjectivity. This is going to have many consequences on philosophy, starting with the echo that this would have for Nietzsche in the creation of a so-called perspectivist philosophy.

So, so, so, look, so then, the first problem is this: this first problem that I am now seeking, fine, in saying that the predicate is contained in the subject, as we saw the last time, we assume that this brought up all sorts of difficulties, specifically: can relations be reduced to predicates, can events be considered as predicates, etc., etc.? But let us accept that anyway. Whether the predicate is contained in the subject, I understand this at the extreme, that is even quickly understood, independently of the question of knowing if it’s true or false. But once again, this question is entirely devoid of meaning since truth or falsity has no relation to a system of concepts. So, one first has to understand Leibniz’s concepts, and once we’ve understood them, I believe that there’s not chance of going wrong. These are simply a strange set of concepts. We can find Leibniz to be wrong only starting from a different set of conceptual coordinates from Leibniz’s own concepts, that goes without saying.

So, so, do you understand? To say that a true proposition is one for which the attribute is contained in the subject, we see quite well what that can mean, on what level? We indeed see what that might mean on the level of truths that we are going to call precisely truths of essences. Truths of essences, of the kind, for example, whether they’re metaphysical truths, what Leibniz calls metaphysical truths, concerning God, for example, or else to speak about things that will appeal to you more, mathematical truths. If I say 2+2=4, I can imagine — there is quite a bit to discuss about that — but I immediately understand what Leibniz meant, always independently of the question of whether he is right or wrong; we already have enough trouble knowing what someone is saying that if, on top of that, we wonder if he is wrong or if he is right, you understand, then there is no end to it, that makes no sense.

So, each of us understand well what the means. 2 + 2 = 4 is an analytical proposition. I remind you that an analytical proposition is a proposition for which the predicate is contained in the subject or in the notion of the subject, specifically it is an identical proposition or is reducible to the identical. Identity of the predicate with the subject. In fact, I can demonstrate, Leibniz tells us, I can demonstrate through a series of finite procedures, a finite number of procedures or operations, I can demonstrate that [Pause] 4, by virtue of its definition, and 2 + 2, by virtue of their definition, are identical. [Pause] Fine. Can I really demonstrate it, and in what way? Leibniz, the great mathematician, tells us that he can prove this. Fine. I do not pose the problem of how, etc. Once again, what interests me is that, generally we understand what that means: the predicate is encompassed in the subject, that means that, as a result of a finite set of operations, I can demonstrate the identity of one and the other.

Leibniz selects an example in a text, a little text called “On Freedom.” He proceeds to demonstrate that every number divisible by twelve is by this fact divisible by six. Every duodecimal number, as he says, every duodecimal number is sextuple. Notice that in the logistics of the nineteenth and twentieth centuries, you will again find proofs of this type that, notably, made Russell famous. Leibniz’s proof is very convincing: he first demonstrates that every number divisible by twelve, that divisible by twelve – and there, he proves this very well – that divisible by twelve equals, is identical to those divisible by two, multiplied by two, multiplied by three. It’s not difficult. Every number divisible by twelve equals divisible by two [multiplied by] three. On the other hand, he proves that the number divisible by six is identical to that divisible by two multiplied by three. It’s not easy to prove all that; that takes a lot of time, that takes… [Deleuze does not finish this]

In that way, what did he reveal? He revealed an inclusion since two multiplied by three is contained in two multiplied by two multiplied by three. You’ll tell me, this is nothing. Fine, this is still an example that helps us understand on the level of mathematical truths that we can say that the corresponding proposition is analytical or identical, that is, the predicate is contained in the subject, namely, I can make – understand what that means; that literally means that I can make into an aggregate, into a series of determinate operations – here, I insist on this, a finite series of determinate operations – [Pause] I can demonstrate the identity of the predicate with the subject, or I can – which in the end comes down to the same thing — cause an inclusion of the predicate in the subject to emerge. And that boils down to the same thing. I can display this inclusion, I can show it. Either I can demonstrate identity, or I can show inclusion.

He showed the inclusion when he showed, for example, which is not an identity — a pure identity, that would be: any number divisible by twelve is divisible by twelve, but you see there, we are in another case of truth of essence: any number divisible by twelve is divisible by six — this time he does not limit himself at proving an identity, he shows an inclusion resulting from a series of procedures, of limited, finite, well determined operations, one and then another, in this case, there are three. There we are, that’s what truths of essence are. I can say that the analysis, the inclusion of the predicate in the subject is proven by analysis and that this analysis responds to the condition of being finite, that is, it only includes a limited number of operations, of well determined operations. Right? You’ll tell me… I don’t know what you’ll tell me, but finally, this is necessary, believe me; trust me on this, saying that it’s necessary for me to insist on all that.

But when I say that Adam sinned, or that Caesar crossed the Rubicon, what is that? That no longer refers to a truth of essence, it’s specifically dated, Caesar crossed the Rubicon here and now, with reference to existence, since Caesar crossed the Rubicon only if he existed. [Pause] Then, this occurs here and now, 2 + 2 = 4, or each thing divisible by twelve is divisible by six, that occurs here and now, in all time and in all places. Thus, there are grounds entirely to distinguish truths of that we’ll call of existence, to distinguish them from truths of essence.

The truth of the proposition “Caesar crossed the Rubicon” or “Adam sinned” is not the same type as 2 + 2 = 4. And yet, by virtue of the principles we saw the last time, and we saw that there were strong reasons that pushed Leibniz to say that, no less for truths of existence than for truths of essence, the predicate must be in the subject and included in the notion of the subject; included therefore for all eternity in the notion of the subject, including for all eternity that Adam will sin in a particular place at a particular time. This is a truth of existence. I am saying, no less than for truths of essence, for truths of existence, the predicate must be contained in the subject. Granted, but no less, that does not mean in the same way. And in fact, as we’ve seen, and this is our problem, here we have the difficulty that we’ve wanted to isolate, it’s what difference, what great initial difference is there between truth of essence and truth of existence? Well, we sense it immediately; we are already capable finally of understanding it, of understanding a first great difference. Namely, for the truths of existence, Leibniz tells us, you know, that even there, the predicate is contained in the subject. The “sinner” must be contained in the individual notion of Adam, just look: as if the sinner is contained in the individual notion of Adam, it’s the entire world that is contained in the individual notion of Adam; if we follow the causes back and if we track down the effects, as it’s the entire world, you understand that the proposition “Adam sinned” must be an analytical proposition, namely, the predicate “sinner” is contained in the subject, only in that case, the analysis is infinite. The analysis extends to infinity.

So, we ask ourselves, is Leibniz in the process of trying to pull something on us? We can’t exclude anything. Analysis extends to infinity, what could that even mean? In other words, that seems to mean this: in order to demonstrate the identity of “sinner” and “Adam,” or the identity of “who crossed the Rubicon”, “crossing the Rubicon,” and “Caesar,” this time an infinite series of operations is required. It goes without saying that we aren’t capable of that, or it appears that we aren’t. Are we capable of making an infinite analysis? Here already we have Leibniz’s answer: yes, any proposition is analytical, only the propositions of existence refer to an infinite analysis. Is this that kind of word? Is a way to get oneself out of this? Really, is that a way of trying to pull something on us? In real life, then, infinite analysis, I’ll never manage that, I can’t. But Leibniz is quite formal: [no], you, us, men, are not able to do so. Thus, in order to situate ourselves in the domain of truths of existence, we have to wait for the experience. Fine, one must wait for the experience, but then why does he present this whole story that he just said about analytical truths, about analytical propositions? So, he adds: yes, but infinite analysis, on the other hand, not only is possible, but created in the understanding of God.

Does it suit us knowing that God, he who is without limits, he who is infinite, can undertake infinite analysis? We’re happy, we’re happy for him, but at first glance, we’ve reached the point where we ask ourselves, what is he in the process of talking about? I emphasize only that here we have our initial difficulty is: what is infinite analysis? [Pause] Any proposition is analytical, only there is an entire domain of our propositions that refers to an infinite analysis. So, what is an infinite analysis? So, we are hopeful: if Leibniz is one of the great creators of differential calculus or of infinitesimal analysis, undoubtedly this is in mathematics, and he always distinguished philosophical truths and mathematical truths, and so it’s not a question for us of mixing up everything. But it’s impossible to think that, when he discovers a certain idea of infinite analysis in metaphysics, that there aren’t certain echoes in relation to a certain type of calculus that he himself invented, notably the calculus of infinitesimal analysis.

So, there is my initial difficulty: when analysis extends to infinity, what is it that… what type or what is the mode of inclusion of the predicate in the subject? In what way is “sinner” contained in the notion of Adam, once it is stated that the identity of sinner and Adam can appear only in an infinite analysis? So, what does infinite analysis mean, then, when it seems that there is analysis only under conditions of a well-determined finitude? How can analysis extend to infinity? [Pause] So, there we are. That’s a tough problem.

Second problem, second problem: notice that already I just distinguished a first difference between truths of essence and truths of existence. I’ll sum this up: In truths of essence, the analysis is finite; in truths of existence, the analysis is infinite. That is not the only one, for there is a second difference. The second difference is between a truth of essence and a truth of existence according to Leibniz, it’s that a truth of essence is such that its contradictory is impossible, that is, it is impossible for 2 and 2 not to make 4. Why? For the simple reason that I can prove the identity of 4 and of 2 + 2 through a series of finite procedures. Thus 2 + 2 = 5 can be proven to be contradictory and impossible whereas Adam non sinner, Adam who might not have sinned, I therefore seize the contradictory of sinner, non-sinner. Adam non-sinner, this is possible. The proof is that, following the great criterion of classical logic — and from this perspective Leibniz remains entirely within classical logic — I can think nothing when I say 2 + 2 = 5, I cannot think the impossible, no more than I think whatever it might be according to this logic when I say squared circle. I cannot think 2 + 2 = 5, but I can very well think of an Adam who might not have sinned.

Truths of existence are called contingent truths. Caesar could have not crossed the Rubicon. We saw at the last meeting that this was the answer, in this regard, a splendid on from Leibniz, that registers this second difference between truths of existence and truths of essence, and his answer will be, yes, certainly, Adam could have not sinned, Caesar could have not crossed the Rubicon, etc., etc. Adam non-sinner was possible. [Pause] Only here it is: this was not compossible with the existing world. An Adam non sinner enveloped another world. This world was possible in itself, it would have been possible, this world was possible, a world in which Adam – understand what Adam means: it means the first man – a world in which the first man might not have sinned is a logically possible world, only it is not compossible with our world. That is, God chose – here we are going to see a very unusual notion by Leibniz, that will be choice – in a Leibnizian perspective, God chose a world such that Adam sinned. In other words, Adam non-sinner implied another world; this world was possible, but it was not compossible with ours.

So, why did God choose this world in which Adam sins and that is the source of all our unhappiness? Well, then, Leibniz goes on to explain it. But what I mean is that, so understand that at this level, the notion of compossibility becomes very strange: what is this relation, what is this relation of compossibility? What is going to make me say that two things are compossible and that two other things are incompossible? For example, if Adam hadn’t sinned, that Adam non-sinner belongs to another world than ours, but suddenly Caesar might not have crossed the Rubicon either. You’ll tell me, that makes no difference. That would have been another possible world. Both are not compossible. What is this very unusual relation of compossibility?

Understand that perhaps this is the same question as what is infinite analysis, but it does not have the same outline [aspect]. And here we can derive a dream from this, we can derive a dream from this, so we can have this dream, we can have it on several levels. Imagine this: you dream, and a kind of wizard is there who makes you enter a palace; are you following me? This palace… – so, I am insisting because, otherwise, you won’t listen to me: I am only in the process of relating a famous text by Leibniz for which I’ll provide the reference later, a very beautiful text which is the dream of Apollodorus; he invents a dream at random —  here we have Apollodorus going to see a goddess, and this goddess leads him into the palace, and looking more closely, this palace is composed of several palaces. Leibniz loved that, boxes containing boxes. In a really beautiful text what we are going to read, he explained, we’ll see, he explained that in the water, there are many fish and that in the fish, there is water, and in the water of these fish, there are little fish of fish. It’s always infinite analysis. The image of the labyrinth hounds him. He never stops talking about the labyrinth of continuity, the labyrinth of continuity.

Fine, so there we are, he is led toward a palace, and I realize that this palace is composed of palaces, and it has the form of a pyramid, the point up above, and it is endless. And I notice that each section of the pyramid constitutes a palace. Then, I look closer and, there inside, it’s exactly like aquariums piled on each other; I come closer, and in these aquariums, there are thousands of little fish. And I look closer, and this is strange, [Pause] in the highest section of my pyramid, closest to the point, I see a character who is doing something. Right underneath, I see the same character who is doing something else in another location. Even underneath him, notice, as if all sorts of theatrical productions were playing, and yet completely different ones were playing simultaneously, in each of the palaces, with characters that have common segments. Where does that come from, these common segments? This is a famous text, a huge book by Leibniz called Theodicy, namely, God’s justice, divine justice.

And there we are, at each level, you understand, what he means is that at each level, this is a possible world. God chose to bring into existence the extreme world closest to the point of the pyramid. How was he guided in making that choice? We shall see, we must not hurry since this will be a tough problem, what the criteria are for God’s choice. But once we’ve said that he chose a particular world, this world implicated Adam sinner; in another world, either one can imagine Adam sinning, all that is simultaneous; in this version of the dream, everything is simultaneous: there is Adam sinning, but sinning in an entirely different way. [One can] imagine a variant, these are variants, so there, these are very interesting variants, or else one can conceive of not sinning at all. Each time there is a world; all these worlds are unfolding simultaneously. something else. Each of them is possible. They are incompossible with one another, only one can pass into existence.

And all of them attempt with all their strength to pass into existence. The vision that Leibniz proposes of the creation of the world by God becomes very stimulating. There are all these worlds that are in God’s understanding, and each of which on its own presses forward pretending to pass from the possible into the existent. They have a weight of reality, as a function of their essences. As a function of the essences they contain, they tend to pass into existence. And this is not possible. Why? Because all these worlds are possible, each for itself, but they are not compossible with each other. Hence, existence is like a barricade (barrage). A single combination will pass through. Which one? You already sense Leibniz’s splendid response: it will be the best one! What does “the best one” mean? Perhaps not the best one by virtue of a moral theory, but by virtue of a theory of games. And it’s not by chance that here as well, Leibniz is one of the founders of statistics and of the calculus of games. Fine, so then, all that will get more complicated.

So then, what can we derive from this? What is this relation of compossibility? I just want to point out that a famous author today is Leibnizian. As concerns the question, what is this about then? As I was saying the last time, what does it mean for someone, for example, in 1980 to be able to say, “I am Leibnizian”, or if he doesn’t say it, it’s all the same since we all know it. So, what can that mean? What can it mean for someone today to say, “I am Hegelian” or “I’m Spinozist”? I think that always means two things, one not very interesting and one very, very interesting. If I return to what I was saying the last time rather quickly about the relation of the philosophical concept with the scream, I said that, to some extent, the concept is precisely in a special relationship with the scream.

So, then, I am saying, there is an uninteresting way to be Leibnizian or to be Spinozist today, almost by job necessity; fine, there are people working on an author, but in fact, that settles nothing. I don’t mean that this is bad because working on an author assumes that there are reasons, why this author rather than another, why does this particular one, why does this particular commentator feel at ease commenting about one philosopher rather than another? But there is another way of being or of making use of a philosopher. Fine, these are guys… This time, it’s almost non-professional. And what I find amazing for philosophy is when a non-philosopher discovers a kind of familiarity that I can no longer call conceptual, but immediately seizes upon a kind of familiarity between his very own screams and the concepts of the philosopher. He doesn’t need to be a philosopher for that. He could be, though; he could be a philosopher. For example, I am thinking of a letter late in Nietzsche’s life, Nietzsche who, nonetheless, had read Spinoza early on and who says, in this letter, he says, “I just re-read Spinoza, I can’t get over it! I can’t get over it! I’ve finally understood, I’ve understood. This is my guy. I have never had a relation with a philosopher like the one I have had with Spinoza.”

And that interests me all the more when it’s from non-philosophers. When a novelist like the British novelist [D.H.] Lawrence expresses in a few words the way Spinoza overwhelmed him completely, there we have something interesting because he doesn’t become a philosopher over that, thank God. What did he grasp? What does that mean? When Kleist discovers himself, he stumbles across Kant, he literally can’t get over it. What is happening here? What is that kind of communication? I mean that this kind of communication, if it can occur between a great poet or a great literary writer and a philosopher, it can occur as well, it seems to be, between someone without much cultural background (inculte) and a philosopher. I believe that Spinoza shook up many readers, for example, with limited cultural background. It’s very odd.

So, I am saying, let’s consider… since we are talking about Leibniz, what could all this mean? There’s an author who is well known today, an Argentinean, named Borges – how is that pronounced in … [French]? [A student answers him] Borges? … between the two, it’s not pronounced either one way or the other — anyway, you see that this author is, after all, an extremely learned author who read widely. But having read widely, you see his outlines, there we have him always talking about two things: the book that does not exist [end of the tape: that should be treated as a book that exists, that is going to be written and told as an existing book, and the labyrinth. He has no trouble showing that they are the same thing, that the non-existent book that exists and the labyrinth are the same. And, I am saying something obvious here: throughout his entire works, Borges is fundamentally and deeply Leibnizian. It’s true in all his writing, but yet again, I take an example that I refer to you because this gives Borges a [modern] aspect, a kind of police tale.] He loved police stories, Borges, but so did Leibniz. In a book by Borges titled Ficciones, you find there is a short story called, a lovely title, “The Garden of Forking Paths,” a beautiful text. So, I’ll quickly read a few passages; I’ll summarize the story: we have a Chinese spy… You’ll see, you can, you recall, keep in mind the dream from earlier, the dream from the Theodicy, the famous dream from the Theodicy.[4]

Well, there you go, this time, it’s a Chinese spy working for the Germans. [Pause]… — No, I’m wrong. It’s not that one. [Laughter]… Is that the one? Ah, no, no, I don’t know anymore … Yes, yes, yes, yes, it’s this one. Yes — So a Chinese spy who works for the Germans. He is pursued by an Irishman who wants to do him in. – You’re following me, right? – He knows he’s done for. Why does he know this? You know, we are interested in this because it was foreordained, it was foreordained. Fine. It’s inscribed in his individual notion that the Irishman will do him in. He tells himself, “oh well, I can save maybe ten minutes, fifteen minutes, two hours, a day, but that’s it.” He runs away, and he arrives at a house. Someone opens the door for him and says, “Well, what a coincidence, I’m a Sinologist.” So, he comes in, and the Chinese spy says to him, “But, you know, my great ancestor, you must know him, my great Chinese ancestor is the one who is famous both for building a maze that has never been found and for having written an infinite book that’s never been found”. You see, this is Borges’s perpetual theme, the infinite book and the labyrinth, and I’m adding, the infinite book and the labyrinth of continuity. There we are.

So, they talk, they talk, and the Sinologist explains to him, saying, “I’ve understood what your ancestor wanted to do. No one has found the labyrinth; no one has seen the book, but I’ve understood this quite well. ” [Deleuze quotes Borges and reads] “I thought of a maze of mazes, of a sinuous, ever growing labyrinth, which would take in both past and future and would somehow involve the stars” (Ficciones p. 94). Fine, we can see, there is no need really to try too hard. This is the same signature; it’s signed Borges, but it’s signed Leibniz as well; but I can find sentences exactly like that in the Theodicy. It is “The Garden of the Forking Paths”.

So, what is “The Garden of Forking Paths”? Well, [Pause; Deleuze prepares to read again]: “The book is a shapeless mass of contradictory rough drafts. I examined it once upon a time. The hero dies in the third chapter, while in the fourth he is alive” (Ficciones, p. 96) [Pause] “I received a letter fragment” — the Sinologist is still speaking; according to this fragment, [which] was written by the old philosopher — “’I leave to various futures, but not to all, my garden of forking paths.’ I had no sooner read this than I understood. understood almost immediately. ‘The Garden of Forking Paths’ was the chaotic novel itself [of the old Chinese man]. The phrase ‘to various futures’” – “’I leave to various futures, [but not to all], my garden of forking paths’” — “the phrase ‘to various futures, [but not to all]’ suggested the idea of ​​the bifurcating in time, not in space. Rereading the whole work confirmed this theory. In all fiction” — this is the essential passage — “In all fiction, when a man is faced with alternatives, he chooses one at the expense of others.” — For example, if someone dies, well, he dies; we adopt, we choose this hypothesis. — “In [the fiction of] the almost unfathomable Ts’ui Pên” — he is the Chinese ancestor — “he chooses – simultaneously – all of them” — he adopts them all simultaneously — “He thus creates various futures, various times which start others that will also in their turn branch out and bifurcate … This is the cause of the contradictions in the novel. Fang, let us say,” [Deleuze repeats to himself] “Fang, let us say, has a secret. A stranger knocks at his door. Fang makes up his mind to kill him” – in parentheses, this is the same situation as the one the story is in the process of the process of telling — “Fang makes up his mind to kill him. Naturally, there are various possible outcomes: [Deleuze says “colon”] Fang can kill the intruder; the intruder can kill Fang; both can be saved; both can die, and so on, and so on. In [the great] Ts’ui Pên’s work, all the possible solutions occur; each one being the point of departure for other bifurcations” (Ficciones, p. 98).

Fine. This is absolutely Leibniz’s world; the is the world of compossibilities. But is this really so astonishing, after all? The idea of the Chinese philosopher being involved with the labyrinth is an idea of Leibniz’s contemporaries, appearing in mid-17th century. There is a famous text by a philosopher contemporary with Leibniz, namely Malebranche that is a discussion with the Chinese philosopher, with some very odd things in it.[5] Leibniz also quotes Confucius quite often, he quoted him a lot; he’s fascinated by the Orient. Whereas Borges imitates all that, he really made a kind of copy that conformed to Leibniz’s thought with an essential difference; notice the difference between Borges and Leibniz, and there’s only one: for Leibniz – but I’m afraid that it might be Borges who is right – for Leibniz, all the different worlds, all the different worlds in which sometimes Adam is sinning in one way, sometimes sinning in another way, sometimes not sinning at all, etc., this entire infinity of worlds exclude… [Interruption of the recording] [46:26] [The following text is from the Web Deleuze recording] each other, they are incompossible with each other, such that they conserve a very classical principle of disjunction: it’s either this world or some other one. Whereas Borges places all these incompossible series in the same world, allowing a multiplication of effects. Leibniz would never have allowed incompossibles to belong to a single world.

Part 2

Why? I am just stating – end of Web Deleuze text] our two difficulties: the first one is: “what is an infinite analysis?”, and the second is how do our two labyrinths, the labyrinth of infinite analysis and the labyrinth of compossibility, “what is this relationship of incompossibility?” since, once again, most of the commentators on Leibniz, to my knowledge in any case, in the long run attempt, in a more or less complicated way, to link compossibility in a simple principle of contradiction. They conclude finally that there would be a contradiction between Adam non sinner and our world. But Leibniz’s evidence (la lettre) already appears to us, the evidence of what he is writing, such that this would not be possible. It’s not possible since, once again, Adam non sinner is not contradictory, is not contradictory in itself and the relation of compossibility is absolutely irreducible to the simple relation of logical possibility. So, trying to discover a simple logical contradiction would be once again to situate truths of existence within truths of essence. Here, I don’t think one can… Henceforth it’s going to be very difficult to define compossibility.

So, we are still remaining within this paragraph on substance, the world, and continuity, I would like to ask the question, what is infinite analysis? I ask you here, today I am asking you to remain extremely patient. All this will then become clearer because I am returning to a topic I mentioned at the last meeting, namely: one has to be extremely wary of Leibniz’s texts because these texts are always adapted to correspondents, to a given audience, and if I again take up his dream, I must change it, and a variant of the dream, even within the same world, would result in levels of clarity or obscurity such that the world might be presented from one point of view or another. As a result, for Leibniz’s texts, we have to know, once again, to whom he addresses them in order to be able to judge them.

Here is a first kind of text by Leibniz in which he tells us that, in any proposition, the predicate is contained in the subject. Only it is contained either in act — actually — or virtually. The predicate is always contained in the notion of the subject, but this inherence, this inclusion, this inherence is either actual or virtual. Notice that we would like to say that all this works fine. Let us agree that in a proposition of existence of the type Adam sinned, Caesar crossed the Rubicon, the inclusion is only virtual, specifically sinner is contained in the notion of Adam, but is only virtually contained. Fine.

Second kind of text: the infinite analysis in which sinner is contained in the notion of Adam is an indefinite analysis, [Pause] it’s indefinite, that is, I can move back from sinner to another term, then to another term, etc., exactly as if I then have “Adam sinned” would be of the type 1 = 1/2 + 1/4 + 1/8, etc., etc., etc., etc., to infinity. This would result in a certain status: I would say that infinite analysis is virtual analysis, an analysis that goes toward the indefinite. There are texts by Leibniz saying that, notably in the Discourse on Metaphysics, but in the Discourse on Metaphysics, Leibniz presents and proposes the totality of his system for use by people with little philosophical background.

I choose another text that thus seems to contradict the first. In a text reserved for a more use, the text, “On Freedom,” Leibniz uses the word “virtual,” but quite strangely; it’s not regarding – and here I am committed to this text because it allows us at least to denounce false interpretations – for he uses the word “virtual”, but he does not use this word regarding truths of existence; he uses it regarding truths of essence. This text is already sufficient for me to say that it is not possible for the distinction truths of essence-truths of existence to be reduced to saying that in truths of existence, inclusion would only be virtual, since virtual inclusion is one case of truths of essence. In fact, you recall that truths of essence refer to two cases, there are two cases of truths of essence: the pure and simple identity in which we demonstrate the identity of the predicate and the subject, and the discovery of an inclusion of the type – I’ve given an example — every number divisible by 12 is divisible by 6; I demonstrate or show the inclusion of 2 multiplied by 2 multiplied by 3… no, 2 multiplied by 2 within 2 multiplied by 2 multiplied by 3, I demonstrate the inclusion in the wake of an operation, a series of finite operation. And it is for the latter case that Leibniz says: I have discovered a virtual identity. Thus, it is not enough to say that infinite analysis is virtual.

Can we say that this is an indefinite analysis? No, because an indefinite analysis would be the same as saying that it’s an analysis that is infinite only through my lack of knowledge, that is, I cannot reach the end of it. Henceforth, God himself then, God with his understanding, the understanding of God, God would reach the end. Is that it, that it does not have a limited consciousness, isn’t subordinate to limited conditions of consciousness? Is that what Leibniz meant? The answer is formal: here again, no, it’s not possible for Leibniz to mean that because the indefinite never existed in his thinking. I believe that here, there are notions that are incompatible, anachronistic. Indefinite is not one of Leibniz’s gimmicks [trucs]. Nothing in Leibniz’s texts can be interpreted starting from the notion of the indefinite. [Pause]

What is the indefinite, rigorously defined? What differences are there between indefinite and infinite? The indefinite is the fact – I am providing a very weighty definition, it seems to me, but that attempts to be rigorous – it’s the fact that I must always pass from one term to another term, always, without stopping, but without the following term at which I arrive pre-existing. It is my own procedure that consists in causing creation. If I say 1 = 1/4 + 1/8, etc. .., we must not believe that this “etc.” pre-exists, it’s my procedure that makes it appear each time, that is, the indefinite exists in a procedure through which I never stop pushing back the limit that I confront. Nothing pre-exists. It’s what Kant will express later; to my knowledge, Kant will be the first philosopher to give a status to the indefinite, and this status will be precisely that the indefinite refers to an aggregate that is not separable from the successive synthesis that runs through it, it’s not separable from the successive synthesis that runs through it, that is, the terms of the indefinite series do not pre-exist the synthesis that goes from one term to another. Fine.

Leibniz is not familiar with that, and moreover, to him, the indefinite seems purely conventional or symbolic – why? Because if there is something… If we try to say, what creates the family resemblance of 17th century philosophers, there is an author who stated this quite well when he devoted himself… He didn’t spend much time on it, but it was [Maurice] Merleau-Ponty. Merleau-Ponty has a beautiful expression; He wrote a small text on 17th century classical philosophies, so-called classical philosophies,[6] and he tried to characterize them in a lively way, and said that what is so incredible in these philosophers, and about which this was kept entirely, completely secret, is an innocent way of thinking starting from and as a function of the infinite. That’s what the classical century is, an innocent way of thinking starting from the infinite. I would ask, why does this phrase by Merleau-Ponty seem very, very intelligent? Because this is much more intelligent than to tell us that it’s an era in which philosophy is still confused with theology, because it’s stupid to say that. One must say that if philosophy is still confused with theology in the 17th century, it’s precisely because philosophy is not separable at that time from an innocent way of thinking as a function of infinity.

And what is the infinite? What differences are there between the infinite and the indefinite? It’s this: the indefinite is virtual; in fact, the following term does not exist prior to my procedure having constituted it. It’s of the virtual. What does that mean? The infinite is actual, there is no infinite except in act. So, there can be all sorts of infinites. Think of Pascal. [Deleuze makes a brief, indistinct comment aside] It’s a century that, precisely due to having an innocent way of thinking as a function of the infinite, will not stop distinguishing orders of infinities, and the thought of orders of infinity is fundamental throughout the 17th century. And they’ll have to wait a long time; It will fall back on our heads, this thought, it will fall back onto us at the end of the 19th and 20th centuries precisely with the theory of so-called infinite aggregates. With infinite sets, we rediscover something that worked, but from the bottom – we discover it on other bases, fine – but something is discovered that works in the depths of at the basis of classical philosophy, notably the distinction of orders of infinities.

And who are the great names in this research on orders of infinites? These are some great names in Classical philosophy, this obviously includes Pascal, it’s obviously Pascal. It’s Spinoza with a fundamental text that is the famous letter on infinity in which he distinguished all sorts of orders of infinity,[7] and it’s Leibniz who would subordinate an entire mathematical apparatus to the analysis of the infinite and orders of infinities. Specifically, in what sense can we say that an order of infinities is greater than another? What does that mean, an infinite that is greater than another infinite, etc., etc.? An innocent way of thinking starting from the infinite, but not at all in a confused way since all sorts of distinctions are introduced.

And I am saying, Leibniz’s analysis, in the case of truths of existence, it’s obviously infinite. It is not indefinite. Thus, when he uses the words virtual, when he uses more of them, there is a formal text, there is a formal text that supports this interpretation that I am trying to sketch, it’s a text taken from “On Freedom” in which Leibniz says exactly this: “When it is a matter of analyzing the inclusion of the predicate sinner in the individual notion Adam, [Pause] God certainly” – here, I’m quoting by heart, almost by heart, from Leibniz – “God certainly sees, not the end of the resolution, but the end that does not take place.” Thus, in other words, even for God there is no end to this analysis.

So, you will tell me that it’s indefinite even for God? No, it’s not indefinite since all the terms of the analysis are given. If it were indefinite, all the terms would not be given, they would be given little by little, they would be given in a way that I pass from a to b, from b to c, etc. They would not be given in a pre-existing manner. In other words, in an infinite analysis, we reach what result? You have a passage of infinitely small elements one to another, you pass from an infinitely small element to another infinitely small element, the infinity of infinitely small elements being given. Of such an infinity, we will say that it is actual, not virtual, since the totality of infinitely small elements is given. You will say to me, well then, we can then reach the end! No, by its nature, you cannot reach the end since it’s an infinite aggregate. The totality of elements is given, and you pass from one element to another, and thus you have an infinite aggregate of infinitely small elements. You pass from one element to another: you perform an infinite analysis, that is, an analysis without end, neither for you nor for God.

So, in what way does this analysis… and what do you see if you perform this analysis if you are God? Let us assume that there is only God that can do it, you make yourself the indefinite because your understanding is limited, but as for God, he makes infinity. He does not see the end of the analysis since there is no end of the analysis, but he performs the analysis. Furthermore, all the elements of the analysis are given to him in an actual infinity. You see? So that means that sinner is connected to Adam. Notice how simple this becomes. Sinner is an element; I am calling sinner an element. It is connected to the individual notion of Adam by an infinity of other elements actually given. Fine, agreed, it’s precisely the entire existing world, specifically all this whole compossible world that has passed into existence. So, we are reaching something here; have just a bit more patience, and everything will become quite clear.

So, follow me: what does that mean, “I’m performing the analysis”? I pass from what to what? I pass from Adam sinner to Eve temptress – this is another element — from Eve temptress to the evil serpent, to the apple, fine, all these are my elements. Well, well, well, good. It’s an infinite analysis, and it’s this infinite analysis that shows the inclusion of sinner in the individual notion Adam. It appears we’re not moving forward. What does that mean, the infinitely small element? Why is sin an infinitely small element? Why is the apple an infinitely small element? Why is crossing the Rubicon an infinitely small element? You understand? What does that mean, an infinitely small element? There are no infinitely small elements. So, what does that mean, an infinitely small element? An infinitely small element means obviously — we don’t need to say it, we’ve understood everything — it means an infinitely small relation between two elements. It is a question of relations, not a question of elements.

In other words, an infinitely small relation between elements, what can that be? What have we achieved in saying that it is not a question of infinitely small elements, but of infinitely small relations between two elements? And you understand that if I speak to someone who has no idea, for example, of differential calculus, you can tell him it’s infinitely small elements. Leibniz was right. If it’s someone who has a very vague knowledge, I can tell him, oh well, no, you understand, right? Notice, I’m creating simultaneity here as well. Ah, no for you, you have to, you must not understand an infinitely small element; you have to understand infinitely small relations between elements, between finite elements. If it’s someone who is very knowledgeable in differential calculus, I can perhaps tell him something else.

So, where have we reached? Infinite analysis that goes on to demonstrate the inclusion of the predicate in the subject at the level of truths of existence, does not proceed by the demonstration of an identity. It does not proceed by… so here, we have reached something: it does not proceed by the demonstration of an identity, even a virtual one. That’s not it. Leibniz expresses himself in this way so that he can get away when someone doesn’t understand what he means. But, then, in another drawer, he has another expression to give you: so, what is it? Identity governs truths of essence, but does not govern truths of existence; all the time he says the opposite, but that has no importance. Ask yourself to whom he says it. So then, what is it? What interests him at the level of truths of existence is not identity of the predicate and the subject, it’s rather that one passes from one predicate to another, from one to another, and again on from one to another, etc…. from the point of view of an infinite analysis, that is, from the maximum of continuity.
In other words, it’s identity that governs truths of essence, but it’s continuity that governs truths of existence.

And what is the world, a world? A world is defined by its continuity. What separates two incompossible worlds? It’s the fact that there is discontinuity between the two worlds. What defines a compossible world? It’s the continuity of which it is capable. What defines the best of worlds? It’s the most continuous world, and God chooses. The criterion of God’s choice will be continuity, namely, of all the worlds incompossible with each other and possible in themselves, God will cause to pass into existence the one that realizes the maximum of continuity. Fine. Why is Adam’s sin included in the world that has the maximum of continuity? We have to believe that Adam’s sin is a formidable connection, that it’s a connection that assures continuities of series. Why, for example, is there a direct connection between Adam’s sin and the Incarnation and the Redemption by Christ? So, here, there are something like series that are going to begin to fit into each other across the differences of time and space; there are series that are going to interlock very, very strangely.

In other words, in the case of truths of essence, I demonstrated an identity in which I revealed an inclusion; in the case of truths of existence, I am going to witness a continuity assured by the infinitely small relations between two elements. Two elements will be in continuity when I will be able to assign an infinitely small relation between these two elements. You will ask me, how are you going to do that, assign an infinitely small relation between two elements? What does that mean then, an infinitely small relation? One has to… I have passed from the idea of an infinitely small element to the infinitely small relation between two elements, [but] that’s not adequate, an infinitely small relation. We must not abandon Leibniz. What does that mean, an infinitely small relation between two elements? It doesn’t mean anything. A greater effort is required.

That means, let’s assume, that means a difference; since there are two elements, there is a difference between the two elements: between Adam’s sin and Eve’s temptation, there is a difference, granted, there is a difference. Only, there we are, what is the formula of the continuity? What is continuity? Continuity would be, and we could define it as the act of a difference in so far as it tends to disappear. Continuity is an evanescent difference (différence évanouissante). Notice, this is a new concept from Leibniz, the evanescent difference.

What does it mean that there is continuity between the seduction by Eve and Adam’s sin? It means that the difference between the two is an evanescent difference, a difference that tends to disappear. So, you’ll tell me, that’s not working out so well; we’re reconnected with what? Here, there is a new concept, evanescent difference. So I would say that, for the moment, before the final effort that we have to furnish today, that truths of essence are governed by the principle of identity, truths of existence are governed by the law of continuity, or evanescent differences, and that comes down to the same. Thus between sinner and Adam, you will never be able to demonstrate a logical identity, but you will be able to demonstrate — and the word demonstration will change meaning –, you will be able to demonstrate a continuity, that is, one or several evanescent differences. [Pause] If we succeed in understanding this just a small bit, we succeed in everything. We have succeeded in approaching the first problem, what infinite analysis is. An infinite analysis is an analysis of the continuity (continu) operating through evanescent differences. [Pause]

Having considered this, retain all of it in a corner of your mind, and what remains is: what does this mean, continuity, evanescent differences? All of you sense that, in fact, this refers to a certain symbolic, a symbolic of differential calculus or of infinitesimal analysis. But it’s at the same time – here, this is precisely the case of a creation taking place twice, simultaneously – it’s at the same time that Newton and Leibniz bring forth differential calculus. And the interpretation of differential calculus by the categories of evanescent differences is Leibniz’s very own. In Newton’s works, the interpretation of calculus, whereas both of them, truly here, invent it at the same time, the logical and theoretical armature is very different in Leibniz’s works from Newton’s, and the theme of the infinitely tiny difference conceived as… or at least, the differential conceived as evanescent difference, this is properly belonging to Leibniz, and Leibniz is enormously committed to this, and there is a great polemic between Newtonians and Leibniz.

So, our question here becomes narrower: what is this tale of evanescent difference? — Does anyone have any chalk? I feel an urgent need for chalk, a little nub of chalk [Inaudible replies] There is some there? Ah good, good, good. I was hoping at the same time that you’d say there wasn’t any! [Laughter]… And does anyone have an eraser? [Various noises] If there’s no eraser, I cannot… Ah good, we have everything. — So, listen up. You see this small symbol – I am speaking here really for those people who… You don’t need to know anything, at all, at all, at all. So here is this little symbol that you have encountered in the dictionary. [Pause; Deleuze speaks to someone nearby him] Well, no, I’m in favor; I’m in favor; if you’ve all had enough and are leaving, I’d prefer that you do so all at once, in a group… [A student: How about a break? Five minutes?] You are tired, before… So, I am staying up here like this… [Laughter]

A minute more before we rest; I am simply saying, what does differential calculus mean, this calculus that pretends to handle the infinitely small? You will say to me: today, today, today, what’s going on? Differential equations today are fundamental. There is no physics without differential equations. Even physics as a science, it existed to some extent in the seventeenth century, and from the Middle Ages, because there were antecedents of differential calculus; there was a kind of equivalent, there was calculations through exhaustion. But scientific physics only came to exist through calculation through exhaustion and through differential calculus. Today, there are so many problems because – oh, there aren’t any more, I really don’t know –Mathematically, today, differential calculus has purged itself of any consideration of the infinite, quite simple, but this occurred quite late, this occurred at the end of the 19th century, the kind of axiomatic status of differential calculus in which it is absolutely no longer a question of the infinite. But that occurred at the same time, and that’s not so useful for me because, since mathematics discovers the problem of the infinite in set theory, one cannot say that this is entirely resolved.

But if I place myself at the time of Leibniz, what’s that like? How is differential calculus useful? To understand this well, there are some things that one must at all costs know, because even if you know nothing in mathematics, put yourself in the place of a mathematician – it’s very difficult for him — what is he going to do when he finds himself faced with the magnitude and quantities of different powers, and equations whose variables are to different powers, I mean an equation of the ax2 + y type? Ax2 + y, [Deleuze draws with the chalk] you have a quantity to the second power and a quantity to the first power. How does one compare them? It’s rather hard. All of you know the story of commensurables and non-commensurable quantities. Then, in the 17th century, the quantities of different powers received a neighboring term, incomparable quantities. How does one compare a quantity at the second power with a quantity at the first power? There’s no way to do it. The whole theory of equations collides in the 17th century with this problem that is a most fundamental one, even in the simplest algebra: what is differential calculus good for? Why did he invent it? What were they doing, these inventors, Newton, Leibniz?

Differential calculus allows you to proceed directly to compare quantities raised to different powers. Moreover, it is used only for that. There is no differential calculus applies to quantities at the same power. Differential calculus – there is no need to understand anything of this in order to recall this and even to intuit this — differential calculus finds its level of application when you are faced with incomparables, that is, faced with quantities raised to different powers. Why? You have… I come back to my example, ax2+y; let us assume that by various means, you extract delta x and delta y, dx and dy. dx is the differential of x, dy is the differential of y. You see? What is that? We will define it verbally, conventionally; we will say that dx or dy is the infinitely small quantity assumed to be added or subtracted from x or from y. Now there is an invention! The infinitely small quantity, that is, it’s the smallest variation of the quantity considered. And whatever you say, if you say, ah good, so it’s the ten millionth, it’s still even smaller. As we say, it is unassignable; one must not try to assign it, it’s unassignable. By convention, it’s unassignable. You’ll ask me, so what is that, dx = what? Well, dx = 0; dy = what? dx = 0 in x, in relation to x; it’s the smallest quantity, right, from which x might vary, and that equals 0. dy = 0 in relation to y. Understand?

The notion of evanescent difference is beginning to take shape. It’s a variation or a difference, dx or dy; it is smaller than any given or attributable [donnable] quantity. It’s the evanescent difference, smaller than any attributable quantity. There we are, it’s a mathematical symbol; fine, they have other symbols. In a sense, it’s crazy, in a sense it’s operational. It’s operational for what since it’s equal to 0? Here is what is formidable in the symbolism of differential calculus: dx=0 in relation to x, the smallest difference, the smallest increase of which the quantity x or the unassignable quantity y might be capable, inferior to any given quantity; it’s infinitely small.

Fine, agreed, dx = 0 in relation to an x, dy = 0 in relation to a y; only, miracle! dy over dx is not equal to zero, and furthermore: dy over dx has a perfectly expressible finite quantity. These are relative, uniquely relative. dx is nothing in relation to y, dy is nothing in relation to y, but then dy/dx is something. A stupefying, admirable, and great mathematical discovery. Good, why is that? How is this something? It’s surely something because you recall the example that we started from, ax2 + y, ax2 + by, let’s say, ax2 + by + c, for example, you have two powers from which you have two incomparable quantities: y2 and x. If you consider the differential relation, this is why the differential has no sense; there are only differential relations. The differential, by its nature, is dx or dy, it’s 0, completely unassignable. But the relation dy over dx is not 0; it is determined, it is determinable. [Pause]

So, the relation dy over dx gives you the means to compare two incomparable quantities that were raised to different powers since it operates a depotentialization, as is said, a depotentialization of quantities. [Pause] So, it gives you a direct means to confront incomparable quantities raised to different powers. From that moment on, all mathematics, all algebra, all physics will be inscribed in the symbolism of differential calculus.[8] There are no equations in physics that are not a differential equation. It’s with differential calculus, it’s odd, it’s with differential calculus, which is the most artificial symbolism that exists, because it consists in putting zeros into relation, it consists in putting absolute zeros into relation in such a way that the relation of these absolute zeros is undetermined and is distinguished from zero.

Well then, well then, when you have access to such a marvel, it’s very odd because a completely artificial symbol, dx or dy, is precisely made possible, this kind of co-penetration of physical reality and mathematical calculus. That is, we cannot get out of this simply by saying that it’s a simple convention. For it’s in the conditions of this convention that the physical reality and mathematical calculus, each of them, become adequate to the point that phenomena of heat, phenomena of heat when they are discovered in the 19th century, can only be so within a set of differential equations.

There we are, so we reach the final point, the simplest: we have to show how this works. Fortunately, there is a small text by Leibniz – not difficult for us, so we can understand everything – called, taken from Leibniz’s Mathematical Writings – so I have preferred choosing a text which was not philosophical – it’s three pages, a small three-page note called “Justification of the calculus of infinitesimals” – that is, differential calculus — “Justification of the calculus of infinitesimals through the calculus of ordinary algebra.” So here, I have to explain [this] to you because you will understand everything. It’s not that this is the basis of differential calculus; it’s indeed the case that Leibniz would like to show that differential calculus, well then, in a certain way, it inevitably already had functioned before being discovered, and that it couldn’t occur otherwise, that couldn’t occur otherwise even at the level of the most ordinary algebra.

So how will he show this? — You want a bit of a break before this effort, or else…? A little break?… [Someone asks a reference question] What? oh, là, là, Mathematical Writings, vol. IV, p. 104, Gerhardt edition, the grand Leibniz edition; it’s obviously created by a German. It encompasses a great number of volume, and it’s the Gerhardt edition [Deleuze spells out the name] … So, it’s Mathematical Writings, vol. IV, p. 104 … [Noises from the students], 104. Fine, let’s take a small break. [Interruption of the recording] [1:24:51] [9]

And so, and so,… [Sound of chairs and students] [Deleuze’s voice is heard at a distance from his chair, situated in front of the blackboard; hence, there is a pause, several indistinct comments between Deleuze and some students] So, you see, you see, you understand… Here is a straight line [Laughter] which is perpendicular to the ground; I name it – I have to maintain the same letters he uses; this is his drawing – I name it X, ok? A-X. I assign two points that I name large A and large X. This isn’t very complicated… [Some indistinct comments by Deleuze] There we are, I have two points, I’ve assigned two points. I consider another straight line… [Pause] that I call – what does he say? – well yes, it’s E=Y; I assign two points E and Y, [Some indistinct comments by Deleuze] [Pause] From the E-Y line, I draw starting from a point that I name precisely [indistinct word] a perpendicular line, to A-X; the same thing, [Pause] I draw the perpendicular line, to A-X; you see? [Pause] Understood? [Some indistinct comments by Deleuze] I call E-A [Pause], I call E-A, yes, I call the point of encounter of two straight lines, I call it large C, I call it C, the segment A-C.

I call … [Some indistinct comments by Deleuze] I call X, the segment A-X. There we have all I have, I am writing C-E. I am quite aware that the two triangles – a rectangle, [indistinct word], a perpendicular, a right angle – that these two triangles are the similar. So, I can write C-E = [indistinct word] [Laughter]… small y. So, [Deleuze talks to himself while adding letters to the drawing] So, C-X, this is X minus C… I mean, X minus C over y [Deleuze repeats this formula], X minus C over y = C over [indistinct word] by virtue of the similarity of the two triangles.

So, it’s quite simple. Assume now that E-Y is displaced while remaining parallel to itself [Deleuze repeats this phrase] [Pause] What’s going to occur? It’s easy: I can say as well that large E and large C tend to coincide in A, or that small e and small c tend to diminish more and more. [Pause] There we are. At the extreme, at the extreme, I no longer have anything but that figure: E has fallen into A… E, X, Y… e and c have diminished to infinity; large E and large C coincide in A. At that point, what happens? What happens is that c has diminished to infinity to the point that C coincides with A; in other words, X minus C = X, in this case. [Pause] When E and C coincide with A, I can write X minus C = X… [Interruption of the recording] [1:32:54]

Part 3

… [Deleuze talks to himself at the board, indistinctly] [Pause] C = 0, E = 0. So, I can write 0 over 0 = X over Y. [Pause] And nonetheless, these are not absolute zeros, as he says. Why? Because if they were absolute zeros, then x would be equal to y, and x is not equal to y, neither in one case, nor in the other, since it would be contrary to the very givens of the construction of the problem. You have the point in the rectangle, x is not equal to y. To the extent that, for this case, you can write x over y = c over e, c and e are zeros. Like he says in his language, these are nothings, but they are not absolute nothings; they are nothings respectively; specifically, these are nothings, but that conserve the relational difference. Thus, c does not become equal to e since it remains proportional to x over y, and x is not equal to y. Fine, it’s quite simple. It’s what is called a justification, if you will, conforming to the title, it’s a justification of the old differential calculus, and the interest of this very simple text is that it’s a justification through the easiest or most ordinary algebra, that is, this justification puts nothing into question about the specificity of differential calculus.

So, the text is quite beautiful; I’ll read it slowly since you have already understood: [As Deleuze reads, he comments on nearly each of the opening sentences]: “Thus, in the present case,” – so in the present case, that is, if the line, if the oblique tends toward A in its displacement – “So in the present case, there will be x minus c = x.” – So, it coincides in A, and you have x minus c = x since c has cancelled itself – “You have x minus c = x; let us assume that this case” — where there is a single triangle — “is included under the general rule” — where there were two triangles, you see? This is a pure supposition; that’s how it was, a conventional hypothesis — “let us assume that this case is included under the general rule, and nonetheless c and e” – small c and small e – “will not at all be absolute nothings [Deleuze repeats these words] since together they maintain the reason of [large] Cx to [large] Xy” – that is, the reason of Cx, that is x [indistinct word] to y – “or that which is between the entire sine or radius and between the tangent that corresponds to the angle in c” – this is more difficult [here, Deleuze reads quite rapidly] “We have assumed this angle always to remain the same. For if [small] c and [small] e were absolutely nothings in this calculus reduced to the case of coincidence of points [large] C, [large] E and [large] A, as one nothing has the same value as the other, then c and e would be equal” – if small c and small e, listen closely, as a function of the figure, if small c and small e were absolutely nothings in this reduced calculation for the case of coincidence of the points [large] C, [large] E and [large] A – “once it’s stated that one nothing equals the other” – one nothing equals another nothing – “small e would equal, and the equation or analogy x over y = C over E would make x over y = 0 over 0 = 1, that is, we would have x = y which would be totally absurd since we have” – on this point, some water has fallen on my page, so I no longer know what we have, so I can’t read – “So, so, small c and small e…” – again, there’s a cut; that’s how manuscripts are, what can you do?  [Deleuze makes several noises to himself while looking to find a spot to continue reading]

Here we are: “So we find in algebraic calculus the traces of the transcendent calculus of differences (i.e. differential calculus), and its same singularities that some scholars have fretted about, and even algebraic calculus could not do without it if it must conserve its advantages of which one of the most considerable is the generality that it must maintain so that it can encompass all cases.” – And the text goes on. In the end, it’s not going to furnish many explanations. — “It’s exactly in this way that I can consider that rest [repos] is an infinitely small movement” – rest is an infinitely small movement – “or that the circle is the limit of an infinite series of polygons the sides of which increase to infinity.”

What is there to compare in all these examples? We have to consider the case in which there is a single triangle as the extreme case of – so here, this becomes very, very important – as the extreme case of two similar triangles opposed at the vertex. So, in this regard, the text is crystal clear. What Leibniz demonstrated in this text – he does not say it formally, but this seems obvious to me – what he demonstrated in this text is how and in what circumstances a triangle can be considered as the extreme case of two similar triangles opposed at the vertex. Perhaps you sense that here, we are perhaps in the process of giving to “virtual” the sense that we were looking for in order to arrange the aggregate of Leibniz’s texts. I could say that in the case of my second figure in which there is only one triangle, the other triangle is there, but it is only there virtually. It’s there virtually since a contains virtually e and c distinct from a. Why do e and c remain distinct from a when they no longer exist? e and c remain distinct from a for a very simple reason: it’s that they intervene in a relation with it, continue to exist when the terms have vanished. [Pause] It’s in this same way that rest will be considered as a special case of a movement, specifically an infinitely small movement. In my second figure, xy, I would say, the triangle… I would say – I am both choosing terms that exist there from Leibniz, but borrowing from another text – I would say that it’s not at all the triangle large C, large E, large A; it’s not at all the case that the triangle has disappeared in the common sense of the word, but we have to say both that it has become unassignable, — this is odd, this notion of unassignable — and however that it is perfectly determined since in this case, c=0, e=0, but c/e is not equal to zero. c/e is a perfectly determined relation equal to x/y. Thus, it is determinable and determined, but it is unassignable. Likewise, rest is a perfectly determined movement, but it’s an unassignable movement. Likewise, the circle is an unassignable polygon, yet perfectly determined.

You see what virtual means, once again. I would say, virtual no longer means at all the indefinite, and in this, all Leibniz’s texts can be revived [récupérés]. He undertook a diabolical operation: he took the word virtual, without saying anything — it’s his right – without saying anything, he gave it a new meaning, completely rigorous, only he will not say it, he wouldn’t say it in his texts. That no longer meant going toward the indefinite; rather, it meant unassignable, yet also determined. And that seems to me a conception of the virtual that is both quite new and very rigorous. Yet the technique and concepts were required so that this rather mysterious expression might acquire a meaning at the beginning: unassignable yet determined. And once again, it’s unassignable since c became equal to zero, and since e became equal to zero. So, it’s unassignable. And yet it’s completely determined since c over e, specifically 0 over 0 is not equal to zero, nor to 1, it’s equal to x over y. You see? Here I find moreover that he really had a professor-like genius, because in fact, proof that he won his bet, he was able, for example, to succeed in explaining to someone who never did anything but elementary algebra what differential calculus is. He assumed no a priori notion of differential calculus, and differential calculus, let me emphasize, would be something quite different, something quite different to manipulate.

And what do I draw from this for myself? All that we needed, we didn’t need much more, was that the idea that there is a continuity in the world, that nonetheless takes on a starkly more concrete sense. It is no longer a matter of simply saying — and here, it seems that there are too many commentators on Leibniz who make more theological pronouncements than Leibniz requires: they are content to say, well yes, infinite analysis is in God’s understanding. — And it is true, it is true according to the letter of his texts, this is within God’s understanding. But it happens we have the artifice, with differential calculus, it happens that we have the artifice not to make ourselves equal to God’s understanding — that’s impossible of course — but differential calculus gives us an artifice so that we can operate a well-founded approximation of what happens in God’s understanding. What happens in God’s understanding so that we can approach it thanks to this symbolism of differential calculus, since after all, God also operates by the symbolic, not the same way, but it operates through symbols? certainly. Well, this approximation of continuity is what? It’s so the maximum of continuity is assured when a case is given, the extreme case or [Pause]… the extreme case or the contrary can be considered from a certain point of view as included in the case first defined.

You define the movement, it matters little, you define the polygon, it matters little, you consider the extreme case or the contrary: rest, the circle that is stripped of any angle. Continuity is the institution of the path according to which, or following which the extrinsic case — rest contrary to movement, the circle contrary to the polygon, whatever you want – the extrinsic case can be – so here, everything should become clear for you as if in a bolt of lightning – I would say, literally, there is continuity when the extrinsic case can be considered as included in the notion of the intrinsic case. He simply just showed how and why. You find exactly the expression of predication: the predicate is included in the subject.

The extrinsic case, once again, understand well. I call “general, intrinsic case” the concept of movement that encompasses all movements. In relation to this first case, I call “extrinsic case” rest or the circle in relation to all the polygons, or the unique triangle in relation to all the triangles combined. I undertake to construct a differential concept that implies precisely all the differential symbolism, I undertake to construct a concept that both corresponds to the general intrinsic case and which still includes the extrinsic case. I would say here, if I succeed in that, I can say that in all truth, rest is an infinitely small movement, just as I say that my unique triangle is the opposition of two similar triangles opposed at the vertex, simply, by which one of the two triangles has become unassignable. At that moment, there is continuity from the circle to the polygon and from the polygon to the circle, there is continuity from rest to movement, there is continuity from two similar triangles opposed at the vertex to a single triangle.

A parenthesis: all geometry, and here, believe me, especially since, as regards the State, I don’t know if you recall, I referred to this, I didn’t spend much time on it, I should have done so because it would be… When during the 19th century, in the mid-19th century, a very great mathematician named [Jean-Victor] Poncelet will produce, will preside over projective geometry in its most modern sense, he is directly Leibnizian.[10] Projective geometry is entirely based precisely on what is called, what Poncelet and his contemporaries called an axiom of continuity according to which, quite simply, if you take, for example, an arc of a circle cut at two points by a right angle, if you cause the right angle to recede, there is a moment at which it no longer touches the arc of the circle except at one point, it’s the tangent, and a moment at which it leaves the circle, no longer touching it at any point. Poncelet’s axiom of continuity claims the possibility, once again, of treating the case of the tangent as an extreme case, specifically it’s not that one of the points has disappeared; it’s that both points are still there, but virtual, and when they all leave, it’s not that the two points have disappeared, they are still there, but both are virtual. This is the axiom of continuity that precisely allows any system of projection, any so-called projective system. Fine, here, mathematics will emerge from this, they will maintain that integrally — it’s a very formidable kind of technique.

Here, they have acquired the means — but you see therefore the point at which we can almost complete our difficult problem; it’s funny anyhow. Well, I don’t know if you are going to be able to sense this, but there is something desperately comical in all that, but that will not bother Leibniz at all, not at all. It seems to me, there again, that commentators, they get blocked by… but it’s wrong for me to say this, in any case, I really don’t know, it’s very odd, very, very odd. – For from the start, we sink into a domain in which it’s a question of showing that the truths of existence are not the same thing as truths of essence or mathematical truths. And to show it, either it’s with very general propositions full of genius in Leibniz’s works, but that leave us like that, God’s understanding, infinite analysis, and then what does that amount to? And finally, when it’s a question of showing in what way truths of existence are irreducible to mathematical truths, when it’s a question of showing it concretely, all that is convincing in what Leibniz says is mathematical. It’s funny, no?  [Silence, suppressed laughter]

So, what does he have? But you understand, if you understand this, you will have understood how, what he would reply. There we are, a professional objector would say to Leibniz – everything had been said to him besides; what Leibniz had to endure! – an objector would arrive and say to him, oh, but Leibniz, are you losing it? (ça ne va pas, la tête?) You announce to us, you talk to us of the irreducibility of truths of existence, and you can define this irreducibility concretely only by using purely mathematical notions. So, here’s what would Leibniz answer. He would reply – this would depend on his mood – [Laughter] he would reply, understand well, because this is normal because it’s quite difficult: here we have Leibniz saying often, in all sorts of texts, people have always had me saying that differential calculus designated a reality. He states, I never said that; differential calculus is a convention; simply, as he says, it’s a well-established convention. It’s a notion that’s already not convenient. So, Leibniz is enormously committed – and here, all Leibniz’s texts have been quite precise on this — differential calculus being only a symbolic system, and not describing a reality, but describing a way of treating reality.

What does that mean, a well-established convention? It’s not in relation to reality that it’s a convention, but in relation to mathematics. I mean, that’s the misinterpretation not to make. First of all, convention. Differential calculus is a convention, it’s symbolism, but in relation to what? It’s symbolism in relation to mathematical reality, not at all in relation to real reality. It’s in relation to mathematical truth that the differential system, that differential calculus is a fiction. He also used the expression “well-established fiction.” It’s a well-established fiction in relation to the mathematical reality. In other words, differential calculus mobilizes concepts that cannot be justified from the point of view of classical algebra, that’s obvious, or from the point of view of arithmetic, that’s obvious. Quantities that are not nothing and that equal zero, it’s arithmetical nonsense. So, it has neither arithmetic reality, nor algebraic reality. It’s a fiction.

So, in my opinion, it does not mean at all that differential calculus does not designate anything real; he would have said so. It means that differential calculus is irreducible to mathematical reality. It’s therefore a fiction in this sense, but precisely in so far as it’s a fiction, it can cause us to think of what exists [l’existant], insofar as it’s a fiction in relation to mathematical reality. It can cause us to think of what is irreducible to mathematical reality, namely what exists [l’existant] in its reality. In other words, differential calculus is a kind of union of mathematics and what exists [l’existant], specifically it’s the symbolic of what exists [l’existant], and it’s because it’s a well-established fiction in relation to mathematical truth that it is henceforth a basic and real means of exploration of the reality of existence. [Pause] Henceforth, you see what the word “evanescent” means, since it was my point of [departure].  “Evanescent difference” is when the relation continues whereas the terms of the relation have disappeared. The relation c over e whereas large C and large E have disappeared, that is, coincide with A. You have therefore constructed a continuity through differential calculus.

And here, Leibniz becomes much stronger in order to tell us: there we are, understand that in God’s understanding – here then, he can really recreate theology with [indistinct word] – he can tell us, understand, in God’s understanding, between the predicate sinner and the notion of Adam, well, there is a continuity. There is a continuity by evanescent difference to the point that when it created the world, God was only doing calculus [ne fait que calculer]. And what a calculus! Obviously not an arithmetical calculus, [Leibniz] has no need to say this. So, on this point, he will oscillate as well; he will oscillate between two explanations.

In short, God created the world by calculating. There is a famous expression by Leibniz, in Latin; in Latin it’s prettier; it’s much prettier, but in French, you prefer it in French, it’s not so bad: God calculates, the world is created; God calculates, the world is created. There we are, admire the necessity, I believe, of mixing up everything in philosophy if you sufficiently like philosophy. The idea as God as player – and this is painful in the texts sometimes because there are too many mixtures (mélanges) — the idea of God as player [joueur] can be found everywhere. If you say, “God created the world by playing/gambling”, everyone says that. It’s not very interesting, fine; one can always say it, but that’s been said constantly. And it doesn’t even mean the same thing. When someone tells you, “The world is only one of God’s games”, “God created the world by playing/gambling”, you must not let him/her go, someone offering to you such an important secret. You must not let him/her go; you have to ask, “But which game?” Games do not resemble one another.

There is a famous text by Heraclitus; so here, we can still discuss this because when it’s small segments of sentences, then it is a question of the child player who really constitutes the world. He plays, at what? What do the Greeks and Greek children play? What do they play? So, there are editions that say, “backgammon” (au tric-trac); there are other editions of Heraclitus that say “at palace”, “palace”, it’s another game, fine. They can say that, but Leibniz would not say that. What is he saying when he says “God…” – What time is it? [A student answers] One o’clock? Oh, là, là! You must be beat! Well, I’m almost done – Leibniz wouldn’t say that.

When he gives his explanation of games, he chooses two explanations. – You are going to see why this concludes our work today – He proposes… He had found lots of stuff (trucs) in an area, a small, yet completely complicated area of mathematics. The area of mathematics is the problems of paving, sitting astride mathematics and architecture. The problems of paving are not insignificant, these problems; this ought to be of interest to everyone, the problems of paving. A surface being given, with what shape is one to fill it completely? Moreover, then, there’s a more complicated problem: if you take a rectangular surface and you want to tile it with circles, you do not fill it completely. With squares, do you fill it completely? That depends on the measurement. With rectangles? With equal or unequal rectangles? The problem gets more complicated: if you suppose two shapes, which of them combine to fill a space completely? If you want to pave with circles, with which other shape will you fill in the empty spaces? That’s very interesting; one can plan these things ahead, there are formulae, there are lots and lots of things. Or you agree not to fill everything; you see that it’s quite connected to the problem of continuity. But, if you decide not to fill it all, in what cases and with which shapes and which combination of different shapes will you succeed in filling the maximum possible? That puts incommensurables into play and puts incomparables into play, all that. That’s [Leibniz’s] passion, the problems of paving.[11]

When Leibniz says that God causes to exist and chooses the best of possible worlds, we have seen what he was in the process of… There, we will see that later because it’s so complicated, but already we have, we’re getting ahead; we understand Leibniz before he has spoken now because what is he in the process of saying, the best of possible worlds? That was the crisis of Leibnizianism, that was the reversal, the generalized anti-Leibnizianism of the 18th century. They could not stand the tale of the best of possible worlds. Voltaire and all of them were correct, Voltaire was right. That is, they had arrived with a philosophical requirement that obviously was not fulfilled by Leibniz, notably from the political point of view. So, they could not forgive Leibniz.

But Leibniz, if one launches oneself into a pious approach, what did Leibniz mean by the world that exists is the best of possible worlds? He meant something very simple: as there are several worlds possible, they are simply not compossible with each other; God chooses the best, and the best is what? It’s not the one in which suffering is the least. Rationalist optimism is at the same time an infinite cruelty, it’s not at all a world in which no one suffers; it’s the world that realizes the maximum of continuities. It’s obvious, it’s obvious that the circle, if I dare use a non-human metaphor, it’s obvious that the circle suffers when it is no more than an affection of the polygon. This is even a word from mathematicians, an “affection”. When rest is no more than an affection of movement, imagine the suffering of rest. Simply it’s the best of worlds because it the one that realizes the maximum of continuity. Other worlds were possible, but they would have realized less continuity. This world is the most beautiful, the best, the most beautiful, the best, yes, the best and the most beautiful, the most harmonious, etc., uniquely under the weight of this pitiless phrase: because it realizes the most continuity possible. So, if that occurs at the price of your flesh and blood, it matters little.

And what complicates everything is that, as God is not only just, that is, pursuing the maximum of continuity, but as he is at the same time quite capricious [d’une coquetterie], he wants to vary the world. So, in reality, it’s the world that realizes the maximum of continuity, but God hides this, it hides this continuity. It shelters it [the continuity]. He shoves a segment that should be in continuity with that other one, well, the segment should be in continuity, that he places elsewhere. Why? To hide his tracks. We run no risk of making sense of this, ourselves, but this occurs at our expense (sur notre dos), this best of worlds. You see? Obviously, the 18th century does not receive Leibniz’s story very favorably at all. But, in fact, it’s the world of continuity. So, you see, the problems of paving express quite well this choice of the best world:  the best of worlds will be the one in which shapes and forms will fill the maximum of space-time while leaving the least emptiness.

Second explanation by Leibniz, and there he is even stronger still: the chess game. Such that between Heraclitus’s phrase that alludes to a Greek game and Leibniz’s allusion to chess, there is all the difference that there is between the two games at the same moment in which the common formula “God plays” could make us believe that it’s a kind of beatitude. For how does Leibniz conceive of chess? Very simple: the chess board is a space, the pieces are notions. What is the best move in chess, or the best combination of moves? You know, in all chess problems, you have bifurcations, as the other [Borges] would say, “The Garden of Forking Paths.” Well, the best move or combination of moves is the one that results in a determinate number of pieces with determinate values holding or occupying the maximum space, the total space being contained on the chess board. One has to place the bishop, the knight, the… Queen, one’s pawns in such a way that they command the maximum space, so that the other is… [Deleuze does not finish this thought]

And in the end, what doesn’t work in all that? Why are these only metaphors? Here as well there is a kind of principle of continuity: the maximum of continuity. What does not work well in these two metaphors, as much in the metaphor of paving as in the metaphor of chess? In both cases, you have reference to a receptacle. The two things are presented as if the possible worlds were competing to be embodied in a determinate receptacle. In the case of paving, it’s the surface to be paved; in the case of chess, it’s the chess board. But in the conditions of the creation of the world, there is no a priori receptacle.

We have to say, therefore, that the world that passes into existence is the one that realizes in itself the maximum of continuity, that is, which contains the greatest quantity of reality or of essence. I cannot speak of existence since there will come into existence the world that contains not the greatest quantity of existence, but the greatest quantity of essence from the point of view of continuity. And, in fact, continuity is precisely the means of obtaining the maximum quantity of reality. Do you understand?

So, there you have a very, very beautiful vision, as philosophy. In this second paragraph, I believe that I have answered the first question, namely, what is infinite analysis? I have not yet answered the question: what is compossibility. There we are. [End of the session] [2:08:04]


[1] Cf. https://www.youtube.com/watch?v=MLZKmW2t2uo

[2] We have to indicate that this translation is based on a transcript that we have completely transformed from the text that has been available for some twenty years on Web Deleuze, since we have scrupulously followed here, without edits or unforeseen omissions, the audio recording available on several platforms (YouTube, Web Deleuze, Paris 8, and here on The Deleuze Seminars). We have therefore expanded the text of this second session on Leibniz by approximately forty minutes, that is, in addition to the approximate equivalent of about eighty minutes contained on the earlier transcript. We have benefitted, however, from Web Deleuze’s alternate transcription in order to fill in two specific gaps that occurred when the recording was interrupted for cassette changes, at the end of parts 1 and 2.

[3] Part II of The Fold. Leibniz and the Baroque (Le Pli) is entitled, “Inclusions”, composed of chapters 4, “Sufficient Reason,” 5 “Incompossibility, Individuality, Liberty,” and 6 “What Is an Event?”

[4] In the session on Leibniz that takes place on 27 January 1987, Deleuze provides a detailed elaboration both of the example taken from the Theodicy, and the one taken from Ficciones by Borges.

[5] See session 5, 6 January 1987, in the second Leibniz seminar for a brief development of Malebranche’s conversation.

[6] It is not entirely clear to which text by Merleau-Ponty Deleuze is referring here, perhaps one of the essays collected under the title Eloge de la philosophie, Leçon inaugurale faite au Collège de France le jeudi 15 janvier 1953 (Paris: Éditions Gallimard, 1953).

[7] Concerning this letter, see the session on Spinoza, 20 January 1981, as well as the 10 February 1981 session, and also, by Deleuze, see also Spinoza: Practical Philosophy, pp. 78-79

[8] In the Web Deleuze transcript, one finds here the following notation: “Explanation by Deleuze on differential calculus, about 45 seconds”.

[9] In the Web Deleuze transcript, one finds here the notation: “Explanation by Deleuze who draws on the board, with chalk: construction of triangles. 85:30 to 93:30”. This text, disconnected as some parts are, is reproduced here.

[10] See also the discussion of projective geometry and of Poncelet during the preceding seminar 9, 26 February 1980.

[11] Deleuze returns to this same subject, of paving, during the eighth session on Leibniz in the second seminar, 27 January 1987.

French Transcript


La deuxième séance parmi les cinq consacrées à la philosophie de Leibniz, sous la rubrique générale “Substance, Monde, et Compossibilité”.

Gilles Deleuze

Leibniz : La Philosophie et la Création des Concepts, 1980-2

2ième séance, 22 avril 1980

Transcription originale et augmentée, à partir du vidéo YouTube,[1] par Charles J. Stivale[2]

Partie 1

La dernière fois, comme convenu, nous avons commencé une série d’études sur Leibniz qu’il fallait concevoir comme introduction à une lecture – la vôtre, éventuelle, la vôtre – de Leibniz. Donc, pour introduire une clarté numérique, je tenais à numéroter les paragraphes pour que tout ne se mélange pas. La dernière fois, on a fait un premier paragraphe très simple qui était une espèce de présentation des concepts ou d’un certain nombre des concepts principaux de Leibniz. Ouais, à l’arrière fond de ceci, il y avait un problème correspondant à Leibniz, [1 :00] mais évidemment beaucoup plus général, à savoir, je vous le rappelle très vite : qu’est-ce que c’est au juste que de faire de la philosophie, et, à partir d’une définition très simple: faire de la philosophie, c’est créer des concepts, comme faire de la peinture c’est créer des lignes et des couleurs. Faire de la philosophie, c’est créer des concepts parce que les concepts, ce n’est pas quelque chose qui préexiste. Ce n’est pas quelque chose qui soit donné tout fait, et en ce sens, il faut définir la philosophie par une activité de création: création des concepts ou création de concepts. Or cette définition nous semblait convenir parfaitement à Leibniz qui se livre, en effet, dans une philosophie dont l’apparence est fondamentalement rationaliste, se livre à une espèce de création exubérante de concepts insolites dont il y a peu d’exemples d’autant de concepts bizarres, [2 :00] peu d’exemples.

Et dans tout ce premièrement, où j’avais essayé de faire surgir un certain nombre de ces concepts signés Leibniz, en effet, si encore une fois les concepts sont objets d’une création, alors il faut dire que ces concepts sont signés. Il y a une signature, non pas que la signature établisse un lien entre le concept et l’individu qui le crée, le philosophe qui le crée, c’est beaucoup plus, les concepts eux-mêmes qui sont des signatures. Bon, donc tout ce premier paragraphe avait fait surgir un certain nombre de concepts proprement leibniziens. Les deux principaux qu’on avait dégagés au courant de la dernière fois, et là, je ne vais plus les reprendre parce que vous comprendrez vous-mêmes, ceux qui n’étaient pas là, c’était inclusion et compossibilité. Il y a toutes sortes de choses [3 :00] qui sont incluses dans certaines choses, ou bien enveloppées dans certaines choses, inclusion, enveloppement.[3] Puis un tout autre concept, très bizarre, celui de compossibilité: il y a des choses qui sont possibles en elles-mêmes mais qui ne sont pas compossibles avec une autre. Voilà, on avait dégagé tous ces concepts.

Aujourd’hui, je voudrais donner comme titre au second paragraphe, à cette seconde recherche sur Leibniz, je voudrais donner comme titre, «Substance, Monde et Continuité» [Deleuze le répète]. Si on arrive à dire ce que c’est tout ça, on verra ce qui restera. [4 :00] Ce second paragraphe a pour but ou se propose d’analyser plus précisément ces deux concepts majeurs de Leibniz: Inclusion et Compossibilité, qu’est-ce que ça veut dire ?

C’est qu’en effet, au point où on en était resté la dernière fois, on se trouve devant deux problèmes, on se trouve devant deux problèmes leibniziens. Le premier problème, c’est bien celui de l’inclusion. En quel sens? On a vu que si une proposition était vraie, il fallait que d’une manière ou d’une autre – mais j’insiste déjà sur ce « d’une manière ou d’une autre » — il fallait que d’une manière ou d’une autre que le prédicat ou l’attribut soit contenu, soit inclus non pas — bien qu’on puisse s’exprimer ainsi d’une manière rapide – non pas dans le sujet, [5 :00] mais dans la notion du sujet. [Pause] Si une proposition est vraie, il faut que le prédicat soit inclus dans la notion du sujet. Laissons-nous aller et on se confie à ça, comme le dit Leibniz, et si je dis à ce moment-là Adam a péché, il faut que péché, pécheur, soit contenu, soit inclus dans la notion individuelle de Adam. Il faut que tout ce qui arrive, que tout ce qui peut s’attribuer, tout ce qui se prédique – c’est une philosophie de la prédication – tout ce qui se prédique d’un sujet soit contenu dans la notion du sujet. Devant une proposition aussi étrange, dont j’ai essayé la dernière fois d’indiquer certaines raisons pour lesquelles Leibniz la soutient et la lance, [6 :00] on les retrouvera ensuite, donc, pour ceux qui n’étaient pas là la dernière fois ; cela n’a pas tellement d’importance ; vous savez, on les retrouvera d’une certaine manière – là, si on accepte cette espèce de pari de Leibniz, on se trouve tout de suite devant des problèmes.

A savoir que si un événement quelconque, si un événement quelconque qui concerne telle notion individuelle, à savoir Adam, ou César – César a franchi le Rubicon, il faut que franchir le Rubicon soit compris, contenu, inclus dans la notion individuelle de César –bon, très bien, d’accord, je suppose, on est tout prêt à dire « oui » à l’avis de Leibniz. Mais si on dit ça, encore une fois, je veux bien marquer qu’on ne peut pas s’arrêter: si une seule chose est incluse dans la notion individuelle de César, comme «franchir le Rubicon», il faut bien que d’effet en cause et de cause en effet, il faut bien que la totalité du monde soit incluse dans cette notion [7 :00] individuelle puisque, en effet, « franchir le Rubicon » a lui-même une cause qui doit à son tour être contenue dans la notion individuelle, etc., etc., etc., à l’infini, en remontant et en descendant. A ce moment-là, il faut que l’empire romain qui, en gros, découle du franchissement du Rubicon, l’instauration de l’empire romain et toutes les suites de l’empire romain, soient d’une manière ou d’une autre inclues dans la notion individuelle de César. Si bien que chaque notion individuelle sera gonflée de la totalité du monde qu’elle exprime. Elle exprime la totalité du monde. Voilà que la proposition devient de plus en plus étrange.

Or pour nous, il y a toujours des moments délicieux dans la philosophie et un des moments les plus délicieux, c’est lorsque l’extrême bout de la raison, c’est-à-dire la raison ou le rationalisme poussé jusqu’au bout de ses conséquences engendre et coïncide avec une [8 :00] espèce de délire qui est un délire de la folie. A ce moment-là, on assiste à ce défilé, à cette espèce de cortège, à ces épousailles, où c’est la même chose qui est le plus rationnel, où c’est le rationnel poussé jusqu’au bout de la raison, et qui est le délire, mais le délire de la folie la plus pure. Donc chaque notion individuelle — vous, moi, César, peu importe, aucune… là, à ce niveau, il n’y a pas de… ce n’est pas parce que c’est un personnage historique, et pas nous, ce n’est pas ça – ça vaut pour toute notion individuelle. S’il est vrai que le prédicat est dans la notion du sujet, inclus dans la notion du sujet, il faut bien que chaque notion individuelle exprime la totalité du monde, et que la totalité du monde soit inclue dans chaque notion. On a vu que ça conduisait Leibniz à une théorie extraordinaire qui est la première grande théorie en philosophie, la première grande théorie de la perspective, ou du point de vue, puisque chaque notion individuelle sera dite exprimer [9 :00] et contenir le monde, oui, mais d’un certain point de vue qui est plus profond, à savoir c’est la subjectivité qui renvoie à la notion de point de vue et pas la notion de point de vue qui renvoie à la subjectivité. Ça va avoir beaucoup de conséquences sur la philosophie, à commencer par l’écho que ça allait avoir sur Nietzsche dans la création d’une philosophie dite perspectiviste.

Bon, bon, bon, voyez, mais alors, le premier problème, c’est ceci: ce premier problème, à la recherche duquel je suis, bon, quand on dit que le prédicat est contenu dans le sujet, on a vu la dernière fois, ça supposait que ça soulevait toutes sortes de difficultés, à savoir est-ce que les relations peuvent être ramenées à des prédicats, est-ce que les événements peuvent être considérés comme des prédicats, etc., etc. Mais acceptons ça quand même. Que le prédicat soit contenu dans le sujet, je le comprends à la rigueur, même ça se comprend assez vite, [10 :00] indépendamment de la question de savoir si c’est vrai ou c’est faux. Mais encore une fois, cette question est tout à fait dénuée de sens puisque vérité et fausseté, ça n’a pas un rapport à un système de concepts. Donc il faut d’abord comprendre les concepts de Leibniz, et une fois qu’on les a compris, moi, je crois qu’il n’y a pas de chance qu’il se trompe. Simplement, c’est des drôle de concepts. On ne peut donner tort à Leibniz qu’à partir d’un ensemble de coordonnées conceptuelles différent de celles de Leibniz, ça va de soi.

Alors, alors, vous comprenez ? Dire qu’une proposition vraie est telle que l’attribut est contenu dans le sujet, on voit bien ce que ça peut vouloir dire à quel niveau ? On voit bien ce que ça peut vouloir dire au niveau des vérités qu’on va appeler précisément des vérités d’essences. Les vérités d’essences, du type, par exemple, soit les vérités métaphysiques, ce que Leibniz appelle vérités métaphysiques, concernant Dieu, par exemple, [11 :00] ou bien alors pour parler des choses qui vous diront plus, vérités mathématiques. Si je dis 2 + 2 = 4, je peux concevoir — il y aurait beaucoup à discuter là-dessus — mais je comprends immédiatement ce que veut dire Leibniz, toujours indépendamment de la question est-ce qu’il a raison ou tort, on a tellement de peine déjà à savoir ce que quelqu’un est en train de dire que si, en plus, on se demande s’il a tort ou s’il a raison, vous comprenez, on n’a pas fini, ça n’a pas de sens.

Donc, on comprend bien chacun ce que ça veut dire. 2 + 2 = 4 est une proposition analytique. Je rappelle qu’une proposition analytique, c’est une proposition telle que le prédicat est contenu, compris dans la notion du sujet, à savoir c’est une proposition identique ou réductible à l’identique, [12 :00] identité du prédicat avec le sujet. En effet, je peux démontrer, nous dit Leibniz, je peux démontrer, à l’issue d’une série de démarches finies, d’un nombre fini de démarches ou d’opérations, je peux démontrer que [Pause] 4, en vertu de sa définition, et 2 + 2, en vertu de leur définition, sont identiques. [Pause] Bon. Est-ce que je peux vraiment le démontrer, et de quelle manière? Leibniz, le grand mathématicien, nous dit qu’il peut le démontrer. Bon. [13 :00] Je ne pose pas ce problème de, comment, etc.? Encore une fois, ce qui m’intéresse, c’est que, en gros on comprend ce que ça veut dire: le prédicat est compris dans le sujet, ça veut dire que, à l’issue d’un ensemble fini d’opérations, je peux démontrer l’identité de l’un et de l’autre.

Leibniz prend un exemple dans un texte, un petit texte qui s’intitule «De la liberté». Il va démontrer que tout nombre divisible par douze est par là même divisible par six. Tout nombre, comme il dit, tout nombre duodénaire est sexaire. Tout nombre divisible par douze est divisible par six. Remarquez que dans la logistique du XIXe et du XXe siècle, [14 :00] vous retrouverez des démonstrations de ce type qui ont fait notamment la gloire de [Bertrand] Russell. La démonstration de Leibniz est très, très convaincante: il démontre d’abord que tout nombre divisible par douze, que divisible par douze – et là, il le démontre très bien – que divisible par douze égale, est identique à divisible par deux, multiplié par deux, multiplié par trois. Ce n’est pas difficile. Tout nombre divisible par douze égale divisible par deux [multiplié par] trois. Il démontre, d’autre part, que divisible par six est identique à divisible par deux-trois, multiplié par trois. Pas facile à démontrer tout ça ; ça prend beaucoup de temps, ça prend…

Par là même qu’est-ce qu’il a fait voir? Il a fait voir [15 :00] une inclusion puisque deux multiplié par trois est contenu dans deux multiplié par deux multiplié par trois. Vous me direz, ce n’est rien. Bon, c’est quand même un exemple, ça nous fait comprendre : au niveau des vérités mathématiques, on peut dire que la proposition correspondante est analytique ou identique, c’est-à-dire que le prédicat est contenu dans le sujet, à savoir, je peux faire, comprenez ce que ce que ça veut dire, ça veut dire à la lettre, que je peux faire en un ensemble, en une série finie d’opérations déterminées – ça, j’insiste là-dessus, une série finie d’opérations déterminées [Pause] –, je peux démontrer l’identité du prédicat avec le sujet, ou je peux – ce qui finalement revient au même — faire surgir une inclusion [16 :00] du prédicat dans le sujet. Je peux manifester cette inclusion, je peux la montrer. Ou bien je démontre l’identité ou bien je montre l’inclusion.

Il a montré l’inclusion lorsqu’il a montré, par exemple — ce qui n’est pas une identité, une identité pure ça aurait été: tout nombre divisible par douze est divisible par douze, mais vous voyez là, on en est à un autre cas de vérité d’essence: tout nombre divisible par douze est divisible par six — cette fois-ci, il ne se contente pas de démontrer une identité, il montre une inclusion à l’issue d’une série de démarches, d’opérations limitées, finies, bien déterminées, une et puis une, dans ce cas, il y en a trois. Voilà, ça c’est les vérités d’essence. Je peux dire que l’analyse, que l’inclusion du prédicat dans le sujet [17 :00] est démontrée par analyse et que cette analyse répond à la condition d’être finie, c’est-à-dire qu’elle ne comporte qu’un nombre limité d’opérations, d’opérations bien déterminées. Eh ? Vous me direz que… Je ne sais pas ce que vous me direz, mais enfin, c’est nécessaire, croyez-moi ; faites-moi confiance. Dire que c’est nécessaire que j’insiste sur tout ça.

Mais quand je dis qu’Adam a péché, ou que César a franchi le Rubicon, c’est quoi ça? Ça renvoie non plus à une vérité d’essence, c’est très daté, César a franchi le Rubicon ici et maintenant, ça a référence à l’existence, César ne franchit le Rubicon que s’il existe. [Pause] Puis, ça se fait ici et maintenant, 2 + 2 égale 4, [18 :00] ou tout ce qui est divisible par douze est divisible par six, ça se fait ici et maintenant, en tout temps et en tout lieu. Donc, il y a tout lieu de distinguer des vérités qu’on appellera d’existence, les distinguer des vérités d’essence.

La vérité de la proposition «César a franchi le Rubicon» ou « Adam a péché », ce n’est pas du même type que 2 + 2 = 4. Et pourtant, en vertu des principes qu’on a vu la dernière fois, et on a vu qu’il y a de fortes raisons qui poussaient Leibniz à dire cela, pour les vérités d’existence non moins que pour les vérités d’essence, il faut bien que le prédicat soit dans le sujet et compris dans la notion du sujet; compris donc de toute éternité dans la notion du sujet, il est inclus de toute éternité que Adam péchera à tel endroit et à tel moment. C’est une vérité d’existence. Je dis non moins que pour les vérités d’essence, [19 :00] les vérités d’existence, le prédicat doit être contenu dans le sujet, soit, mais non moins, ça ne veut pas dire de la même façon. Et en effet, on a vu, et c’est ça notre problème, c’est ça la difficulté que je voulais arriver à isoler, c’est que quelle différence, quelle première grande différence il y a entre la vérité d’essence et la vérité d’existence? Eh ben, on le sent tout de suite ; on est en mesure enfin déjà de la comprendre, de comprendre une première grande différence. À savoir, pour les vérités d’existence, Leibniz nous dit, vous savez, que même là, le prédicat est contenu dans le sujet. Il faut bien que «pécheur» soit contenu dans la notion individuelle d’Adam, seulement voilà: comme si « pécheur » est contenu dans le notion d’individuelle d’Adam, c’est le monde entier qui est contenu dans la notion individuelle d’Adam, si l’on remonte les causes et si l’on descend les effets, comme c’est le monde entier, vous comprenez [20 :00] que la proposition «Adam a péché» doit être une proposition analytique, à savoir, le prédicat « pécheur » est contenu dans le sujet, seulement dans ce cas-là, l’analyse est infinie. L’analyse va à l’infini.

Alors, on se dit, est-ce qu’il en train de se moquer de nous, Leibniz ? Il ne faut rien exclure. L’analyse va à l’infini, qu’est-ce que ça peut bien vouloir dire? En d’autres termes, ça semble vouloir dire ceci: pour démontrer l’identité de «pécheur» et de «Adam», ou l’identité de «qui franchit le Rubicon», « franchissant le Rubicon », et «César», il faut une série cette fois-ci infinie d’opérations. Il va sans dire que nous n’en sommes pas capables, [21 :00] ou qu’il semble que nous n’en soyons pas capables. Sommes-nous capables d’une analyse infinie? Voilà la réponse déjà de Leibniz : oui, toute proposition est analytique, seulement les propositions d’existence renvoient à une analyse infinie. Est-ce que c’est un mot comme ça ? Est-ce que c’est une manière de s’en tirer ? Est-ce que c’est une manière de, vraiment, de se moquer de nous ? L’analyse infinie, alors en vivant, je n’y arriverais pas, je ne peux pas. Mais Leibniz est très formel: non, vous ne pourrez pas, nous, hommes, nous ne pouvons pas. Alors, pour nous repérer dans le domaine des vérités d’existence, il faut attendre l’expérience. Bien, il faut attendre l’expérience, mais alors pourquoi toute cette histoire qu’il vient de dire sur les vérités analytiques, sur les propositions analytiques? Alors il ajoute: oui, mais en revanche, l’analyse infinie est non seulement possible mais faite dans l’entendement de Dieu.

Est-ce que ça nous arrange de savoir que Dieu, lui qui n’a pas de limites, qui est infini, [22 :00] il peut faire l’analyse infinie? On est content, on est content pour lui, mais à première vue, on en est au point où on se dit, mais qu’est-ce qu’il est en train de nous raconter ? Je retiens juste que, voilà ma première difficulté: qu’est-ce que c’est que l’analyse infinie? [Pause] Toute proposition est analytique, seulement il y a tout un domaine de nos propositions qui renvoie à une analyse infinie. Alors qu’est-ce que c’est qu’une analyse infinie ? Alors, on a un espoir: si Leibniz est un des grands créateurs du calcul différentiel ou de l’analyse infinitésimale, sans doute c’est en mathématique, et il a toujours distingué les vérités philosophiques et les vérités mathématiques et donc il n’est pas question pour nous de mélanger tout; [23 :00] mais c’est impossible de penser que, lorsqu’il découvre en métaphysique une certaine idée de l’analyse infinie, qu’il n’y ait pas certains échos par rapport à un certain type de calcul qu’il a lui-même inventé, à savoir le calcul de l’analyse infinitésimale.

Donc, voilà ma première difficulté: lorsque l’analyse va à l’infini, qu’est-ce que c’est que… de quel type ou quel est le mode de l’inclusion du prédicat dans le sujet? De quelle manière «pécheur» est-il contenu dans la notion d’Adam, une fois dit que l’identité de pécheur et d’Adam ne peut apparaître que dans une analyse infinie? Alors, qu’est-ce que veut dire analyse infinie alors qu’il semble qu’il n’y ait d’analyse [24 :00] que sous les conditions d’une finitude bien déterminée? Comment une analyse peut-elle être infinie ? [Pause] Bon, voilà. C’est un rude problème.

Deuxième problème, deuxième problème : voyez que je viens de dégager déjà une première différence entre vérités d’essence et vérités d’existence. Je la résume : dans les vérités d’essence, l’analyse est finie ; dans les vérités d’existence l’analyse est infinie. Ce n’est pas la seule ; il y a une seconde différence. La seconde différence entre une vérité d’essence et une vérité d’existence selon Leibniz, c’est qu’une vérité d’essence est telle que le contradictoire en est impossible, à savoir qu’il est impossible que 2 et 2 ne fassent pas 4. [25 :00] Pourquoi? Pour la simple raison que je peux démontrer l’identité de 4 et de 2 + 2 à l’issue d’une série de démarches finies. Donc 2 + 2 = 5, on peut démontrer que c’est contradictoire et que c’est impossible tandis qu’Adam non-pécheur, Adam qui n’aurait pas péché, je prends donc le contradictoire de pécheur, non-pécheur. Adam non-pécheur, c’est possible. La preuve c’est que, suivant le grand critère de la logique classique – et à cet égard Leibniz reste tout à fait dans la logique classique –, je ne peux rien penser lorsque je dis 2 + 2 = 5; je ne peux pas penser l’impossible, pas plus que je ne pense quoi que ce soit selon cette logique que quand je dis cercle carré. Je ne peux pas penser 2 + 2 = 5 [26 :00], mais je peux très bien penser un Adam qui n’aurait pas péché.

Les vérités d’existence sont dites des vérités contingentes. César aurait pu ne pas franchir le Rubicon. On a vu la dernière fois qu’elle était la réponse, à cet égard, splendide de Leibniz, enregistre cette seconde différence des vérités d’existence et des vérités d’essence, et sa réponse va être, oui, bien sûr, Adam aurait pu ne pas pécher, César aurait pu ne pas franchir le Rubicon, etc., etc. Un Adam non-pécheur était possible. [Pause] Seulement voilà, ce n’était pas compossible avec le monde existant. Un Adam non-pécheur enveloppait un autre monde. Ce monde était possible en lui-même, il aurait été possible [27 :00], ce monde était possible, un monde où Adam – comprenez ce que ça veut dire, Adam ; ça veut dire le premier homme – un monde où le premier homme n’aurait pas péché est un monde logiquement possible, seulement il n’est pas compossible avec notre monde. C’est-à-dire, Dieu a choisi – là, il va y avoir une notion très insolite de Leibniz, ça va être le choix – dans une perspective leibnizienne, Dieu a choisi un monde tel que Adam pèche. En d’autres termes, Adam-non pécheur impliquait un autre monde: ce monde était possible mais il n’était pas compossible avec le nôtre.<

Alors, pourquoi est-ce que Dieu a choisi ce monde où Adam pèche et ce qui a fait tout notre malheur? Eh bien, Leibniz va l’expliquer. Mais ce que je veux dire, c’est que, comprenez donc, [28 :00] à ce niveau, la notion de compossibilité devient très étrange ; qu’est-ce que c’est que cette relation, qu’est-ce que c’est que cette relation de compossibilité ? Qu’est-ce qui va me faire dire que deux choses sont compossibles et que deux autres sont incompossibles? Par exemple, si Adam n’avait pas péché, ça appartient à un autre monde que le nôtre, cet Adam non-pécheur, mais du coup, César n’aurait pas franchi le Rubicon non plus. Vous me direz, tant mieux, ça ne fait rien. Ça aurait été un autre monde possible. Les deux ne sont pas compossibles. Qu’est-ce que c’est cette relation de compossibilité très insolite?

Comprenez que c’est peut-être la même question que, qu’est-ce que c’est que l’analyse infinie? Mais elle n’a pas le même aspect. Et voilà qu’on peut en tirer un rêve, on peut en tirer un rêve, [29 :00] alors on peut faire ce rêve, on peut le faire à bien des niveaux. Imaginez ceci : vous rêvez, et une espèce de sorcier est là qui vous fait entrer dans un palais; vous me suivez ? Ce palais… — alors, je précise parce que, sinon, vous n’allez pas m’écouter : je ne fais que raconter un texte célèbre de Leibniz dont je donnerai la référence tout à l’heure, très beau texte, qui est le rêve d’Apollodore ; il invente un rêve comme ça – voilà qu’Apollodore va voir une déesse, et la déesse l’amène à un palais, et en regardant mieux, ce palais est composé de plusieurs palais. Leibniz adore ça, des boîtes qui contiennent des boîtes. Dans un très beau texte qu’on aura à voir, il explique, [30 :00] à voir, il explique que dans l’eau, il y a plein de poissons et que dans les poissons il y a de l’eau et dans l’eau de ces poissons il y a des petits poissons de poissons: c’est toujours l’analyse infinie. L’image du labyrinthe le poursuit. Il ne cesse de parler du labyrinthe du continu, le labyrinthe du continu.

Bon, alors voilà, on l’amène devant un palais, et je m’aperçois que ce palais est composé de palais, et il a une forme de pyramide, la pointe vers le haut, et il n’a pas de fin. Et je m’aperçois que chaque section de la pyramide constitue un palais. Puis, je regarde de plus près et, puis là-dedans, c’est exactement comme les aquariums qui sont empilés ; je m’approche, et dans ces aquariums, il y a mille petits poissons, quoi. Et je regarde mieux, et c’est bizarre, [Pause] [31 :00] à la section de ma pyramide la plus haute, plus près de la pointe, je vois un personnage qui fait ceci, il fait telle chose. Juste en dessous, je vois le même personnage qui fait tout autre chose en un autre lieu. En dessous encore, voyez, comme si toutes sortes de pièces de théâtre se jouaient, alors complétement différentes, se jouaient simultanément, dans chacun des palais, avec des personnages qui ont des segments communs. D’où ça vient, ces segments communs ? C’est un texte célèbre, un gros livre de Leibniz qui s’intitule La Théodicée, à savoir la justice de Dieu, la justice divine. [32 :00]

Or, voilà, à chaque niveau, vous comprenez, ce qu’il veut dire, c’est que à chaque niveau, c’est un monde possible. Dieu a choisi de faire passer à l’existence le monde extrême le plus proche de la pointe de la pyramide. Sur quoi s’est-il guidé pour choisir ça? On verra, il ne faut pas précipiter car ce sera un rude problème, quels sont les critères du choix de Dieu. Mais, une fois dit qu’il a choisi tel monde, ce monde impliquait Adam pécheur; dans un autre monde, ou bien on peut concevoir Adam péchant, tout ça simultanément ; dans cette version du rêve, tout est simultané : il y a Adam péchant, mais péchant d’une toute autre manière. [On peut] concevoir, une variante, c’est des variantes ; alors, ça, c’est des variantes très intéressantes, ou bien on peut concevoir Adam péchant [33 :00] pas du tout. Il y a chaque fois un monde ; c’est déroulé, tous ces mondes, simultanément. Chacun d’eux est possible. Ils sont incompossibles les uns avec les autres, un seul peut passer à l’existence.

Or tous tendent de toutes leurs forces à passer à l’existence. La vision que Leibniz nous propose de la création du monde par Dieu devient très stimulante. Il y a tous ces mondes qui sont dans l’entendement de Dieu, et qui chacun pour son compte presse à une prétention à passer du possible à l’existant. Ils ont un poids de réalité, en fonction de leurs essences, en fonction des essences qu’ils contiennent ; ils tendent à passer à l’existence. Et ce n’est pas possible. Pourquoi ? Parce que tous ces mondes sont possibles, chacun pour soi, mais ils ne sont pas compossibles les uns avec [34 :00] les autres. D’où l’existence est comme un barrage. Une seule combinaison passera. Laquelle? Vous sentez déjà la réponse splendide de Leibniz: ce sera la meilleure! Qu’est-ce que veut dire « la meilleure » ? Peut-être pas en vertu d’une théorie morale, mais en vertu d’une théorie des jeux. Et ce n’est pas par hasard que là aussi, Leibniz est un des fondateurs de la statistique et du calcul des jeux. Bon, enfin, ça va se compliquer, tout ça.

Alors, voilà, qu’est-ce qu’il y a à en tirer ? Qu’est-ce que c’est que cette relation de compossibilité? Je remarque juste qu’un auteur célèbre aujourd’hui est leibnizien. Quant à la question, qu’est-ce que c’est alors ? Je disais déjà la dernière fois, qu’est-ce que ça veut dire quelqu’un, par exemple, en 1980 peut dire « je suis leibnizien? », ou s’il ne le dit pas, c’est pareil parce qu’on sait. Alors qu’est-ce que ça peut vouloir dire ? Qu’est-ce que ça peut vouloir dire quelqu’un qui dit aujourd’hui que [35 :00] « je suis hégelien » ou « je suis spinoziste » ? Moi, je crois que ça veut toujours dire deux choses, une pas très intéressante et une très, très intéressante. Si j’en reviens à ce que je disais rapidement la dernière fois sur le rapport du concept philosophique avec le cri, c’est que, d’une certaine manière, le concept, c’est précisément, est dans un rapport spécial avec le cri.

Eh bien, je dis, il y a une manière pas intéressante d’être leibnizien ou d’être spinoziste aujourd’hui, c’est presque par nécessité de métier ; bon, il y a des types qui travaillent sur un auteur, voilà bon, ça ne règle rien. Je ne veux pas dire que ce soit mal parce que travailler sur un auteur, ça suppose qu’il y ait des raisons, pourquoi cet auteur plutôt qu’un autre, pourquoi est-ce qu’un tel, pourquoi est-ce qu’un tel commentateur s’est senti bien à commenter un philosophe plutôt qu’un autre ? Mais il y a une autre manière d’être ou de se réclamer d’un philosophe. Bon, c’est des types… Cette fois-ci, [36 :00] c’est presque non professionnel. Et ce que je trouve de formidable pour la philosophie, c’est lorsqu’un non-philosophe se découvre une espèce de familiarité que je ne peux plus nommer conceptuelle, mais saisit immédiatement une espèce de familiarité entre ses propres cris à lui et les concepts du philosophe. Il n’a pas besoin d’être philosophe pour ça. Il peut l’être ; il peut être philosophe. Par exemple, je pense à une lettre tardive de Nietzsche qui, pourtant, avait lu Spinoza très tôt, et qui dit, « je viens de relire Spinoza, je n’en reviens pas! Je n’en reviens pas! J’ai compris enfin, j’ai compris, c’est mon type. Je n’ai jamais eu une relation avec un philosophe comme celle que j’ai eue avec Spinoza. »

Et ça m’intéresse encore plus quand c’est des non philosophes. Quand un romancier comme le romancier anglais, [D.H.] Lawrence dit en quelques lignes le bouleversement que lui donne Spinoza, là il y a quelque chose [37 :00] d’intéressant parce qu’il ne devient pas philosophe pour ça, Dieu merci. Il saisit quoi? Qu’est-ce que ça veut dire? Lorsque Kleist se découvre, il tombe sur Kant, à la lettre, il n’en revient pas. Qu’est-ce qui se passe ? Qu’est-ce que c’est que cette communication-là? Je veux dire que cette communication-là, s’il peut se faire entre un grand poète ou un grand littérateur et un philosophe, elle peut se faire aussi entre, il me semble, entre quelqu’un d’inculte et un philosophe. Je crois que Spinoza a secoué beaucoup d’incultes, par exemple. C’est très curieux, ça.

Alors je dis, prenons, puisqu’on en est à Leibniz, qu’est-ce que cela peut vouloir dire ? Il y a un auteur bien connu [38 :00] aujourd’hui, un Argentin, qui s’appelle Borges – comment est-ce que ça se prononce en… [français] ? [Un étudiant lui répond], Borges ?… entre les deux, ça doit se prononcer ni l’un, ni l’autre – enfin, vous voyez cet auteur qui est un auteur, en effet, après tout extrêmement savant, quoi, et lui, il a beaucoup lu. Mais, ayant beaucoup lu, vous voyez ses schémas, c’est, voilà, il est sur deux trucs toujours: le livre qui n’existe pas, qui va être traité comme un livre existant, qui va être écrit et raconté comme un livre existant, et le labyrinthe. Il n’a pas de peine à montrer que c’est la même chose, que le livre qui n’existe pas et le labyrinthe, c’est pareil. Or, je dis que parce que, c’est une évidence, à travers toute son œuvre, Borges est fondamentalement et [39 :00] profondément leibnizien. C’est vrai de toute son œuvre, mais encore une fois, je prends un exemple, et je vous [y] renvoie parce que cela lui donne un côté moderne, une espèce de conte policier. Il aime bien les histoires policières, Borges, mais Leibniz aussi. Dans un livre de Borges intitulé Fictions, vous trouvez une nouvelle qui s’appelle, qui a un joli titre, «Le jardin aux sentiers qui bifurquent», très beau texte. Alors, je lis très rapidement quelques passages ; je résume l’histoire : c’est un espion chinois… Vous allez voir ; vous pouvez, vous vous rappelez, vous gardez dans votre tête le rêve de tout à l’heure, le rêve de la Théodicée, le fameux rêve de la Théodicée.[4]

Eh ben, voilà, cette fois, c’est un espion chinois qui travaille pour les Allemands. [Pause] … — Non, je me trompe. [40 :00] Ce n’est pas celui-là. [Rires] … Est-ce que c’est celui-là ? Ah, non, non, je ne sais plus… Si, si, si, si, c’est celui-là. Oui – Donc, un espion chinois qui travaille pour les Allemands. Il est poursuivi par un Irlandais qui veut sa peau. – Vous me suivez, eh ? – Il sait qu’il va y passer. Pourquoi il le sait ? Tiens, ça nous intéresse parce que c’est écrit de tout temps, c’est écrit de tout temps. Bon. C’est écrit dans sa notion individuelle à lui, que l’Irlandais aura sa peau. Il se dit, « oh ben, je peux gagner peut-être dix minutes, un quart d’heure, deux heures, un jour, mais c’est tout. » Il s’enfuit, et il arrive dans une maison. Quelqu’un lui ouvre la porte et lui dit, « Eh ben, ça tombe bien, je suis sinologue ». [41 :00] Alors, il entre, et l’espion chinois lui dit, « Mais, vous savez, mon grand ancêtre, vous devez le connaître, mon grand ancêtre chinois est celui qui est célèbre à la fois pour avoir construit un labyrinthe qu’on n’a jamais retrouvé et pour avoir écrit un livre infini qu’on n’a jamais retrouvé. » Vous voyez, c’est le thème perpétuel de Borges, le livre infini et le labyrinthe, j’ajoute, le livre infini et le labyrinthe du continu. Voilà.

Alors, ils parlent, ils parlent, et le sinologue lui explique, il dit, « Moi, j’ai compris ce que voulait faire votre ancêtre. Personne n’a retrouvé le labyrinthe ; personne n’a vu le livre, mais moi, j’ai très bien compris ». [Deleuze cite Borges et lit] « Je pensais à un labyrinthe de labyrinthes, à un sinueux [42 :00] labyrinthe grandissant qui embrassait le passé et l’avenir et qui comprendrait les astres en quelque sorte ». Bon, on le voit, il n’y a pas à se forcer vraiment. C’est la même signature ; c’est signé Borges, mais c’est signé aussi bien Leibniz ; mais je peux trouver dans la Théodicée des phrases exactement semblables à ça. C’est «Le jardin aux sentiers qui bifurquent».

Alors, qu’est-ce que c’est «Le jardin aux sentiers qui bifurquent» ? Eh bien, [Pause ; Deleuze se prépare à lire de nouveau] : « Le livre est un vague amas de brouillons contradictoires. Je les examinai naguère. Au troisième chapitre, le héros meurt. Au quatrième chapitre, il est vivant. » [Pause] [43 :00] « J’ai reçu une note » — c’est toujours le sinologue qui parle ; d’après cette note, [qui] était écrit par le vieux philosophe – « ‘je laisse aux nombreux avenirs, non à tous, mon jardin aux sentiers qui bifurquent.’ Je compris presque sur-le-champ. ‘Le jardin aux sentiers qui bifurquent’ était le roman chaotique du vieux Chinois. La phrase ‘nombreux avenirs’ » — « je laisse aux nombreux avenir mon jardin aux sentiers qui bifurquent » — « la phrase ‘nombreux avenirs’ me suggéra l’idée de la bifurcation dans le temps, non pas dans l’espace. Une nouvelle lecture générale de l’ouvrage confirma cette théorie.[5] Dans toutes les fictions » — c’est le passage essentiel – « Dans toutes les fictions, chaque fois que diverses solutions se présentent, l’homme en adopte une et élimine les autre. » [44 :00] — Par exemple, si quelqu’un meurt, bon ben, il meurt ; on adopte, on prend cette hypothèse-là. – « Dans la fiction du presque inexplicable Ts’ui Pen » — c’est l’ancêtre chinois – « il les adopte toutes simultanément » — il les adopte toutes simultanément – « Il crée ainsi divers avenirs, divers temps qui prolifèrent aussi et qui bifurquent, de là, les contradictions du roman. Fang, par exemple, » [Deleuze se répète] « Fang, par exemple, détient un secret. Un inconnu frappe à sa porte. Fang décide de le tuer » — entre parenthèses, c’est la même situation que celle que la nouvelle est en train dr raconter – « Fang décide de le tuer. Naturellement, il y a plusieurs dénouements possibles : [Deleuze dit « Deux points »] Fang peut tuer l’intrus ; l’intrus peut tuer Fang ; tous les deux peuvent réchapper ; tous deux peuvent mourir, etc. Dans l’ouvrage du grand Ts’ui Pen, [45 :00] tous les dénouements se produisent ; chacun est le point de départ de d’autres bifurcations ».

Bon. C’est absolument le monde de Leibniz ; c’est le monde des compossibilités. Mais, est-ce que c’est tellement étonnant, d’ailleurs ? L’idée du philosophe chinois comme ayant à faire avec le labyrinthe, c’est une idée de contemporains [de Leibniz]. Ça apparaît en plein XVIIe siècle. Il y a un texte célèbre d’un philosophe contemporain de Leibniz, à savoir qui s’appelle Malebranche qui est l’entretien avec le philosophe chinois, où il y a des choses très curieuses.[6] Leibniz aussi, il cite très souvent Confucius, il le citait beaucoup, ou l’Orient, ça le fascine. Alors que Borges imite tout ça, il a vraiment fait une espèce de copie conforme de Leibniz avec une différence essentielle ; voyez bien la différence entre Borges et Leibniz, et il n’y en a qu’une : [46 :00] c’est que, pour Leibniz, — mais j’ai peur là que ce ne soit Borges qui ait raison – pour Leibniz, tous les mondes différents, tous ces différents mondes où tantôt Adam pèche de telle manière, Adam pèche de telle autre manière, Adam ne pèche pas du tout, etc., toute cette infinité de mondes, ils s’excluent… [Fin de la cassette] [46 :26] [Le texte suivant est suppléé grâce à l’enregistrement de Web Deleuze : les uns des autres, ils sont incompossibles les uns avec les autres, si bien qu’ils conservent un principe de disjonction très classique: c’est ou bien ce monde-çi, ou bien un autre. Tandis que Borges met toutes ces séries incompossibles dans le même monde. Ça permet une multiplication des effets. Leibniz n’aurait jamais admis que les incompossibles fassent partie d’un même monde.

Partie 2

Pourquoi? J’énonce juste – [Fin du texte suppléé] nos deux difficultés: la première difficulté, c’est « qu’est-ce que c’est qu’une analyse infinie? », et deuxièmement, c’est comme nos deux labyrinthes, labyrinthe de l’analyse infinie et labyrinthe de la compossibilité, « qu’est-ce que c’est que cette relation d’incompossibilité? » puisque, encore une fois, la plupart des commentateurs de Leibniz, à ma connaissance en tout cas, tentent finalement, d’une manière plus ou moins compliquée, de ramener la compossibilité [47 :00] au simple principe de contradiction. Finalement il y aurait une contradiction entre Adam non-pécheur et notre monde. Mais là, la lettre de Leibniz nous paraît déjà d’une telle nature, la lettre de ce qu’il écrit, que ce n’est pas possible. Ce n’est pas possible puisque, encore une fois, Adam non-pécheur n’est pas contradictoire, n’est pas contradictoire en soi et que la relation de compossibilité est absolument irréductible à la simple relation de possibilité logique. Donc essayer de découvrir une contradiction logique, ce serait encore une fois ramener les vérités d’existence aux vérités d’essence. Là, je ne crois pas qu’on puisse… Dès lors, ça va être très difficile d’essayer de définir la compossibilité.

Donc, toujours dans ce paragraphe sur la substance, le monde et la continuité, je voudrais poser la question de qu’est-ce que c’est qu’une analyse infinie? Et là, je vous demande [48 :00], aujourd’hui je vous demande beaucoup de patience. Ensuite, ça s’éclaircira parce que je reprends un thème que j’ai dit la dernière fois, à savoir que : les textes de Leibniz, il faut s’en méfier beaucoup puisque c’est des textes toujours adaptés à des correspondants, un public donné, et que si je reprends son rêve, il faudrait le varier, et une variante du rêve serait que, même à l’intérieur du même monde, il y a des niveaux de clarté ou d’obscurité tels que le monde pourrait être présenté de tel ou tel ou tel point de vue. Si bien que les textes de Leibniz il faut savoir, encore une fois, à qui il les adresse pour les juger.

Voilà une première sorte de texte de Leibniz où il nous dit que dans toute proposition le prédicat est contenu dans le sujet. Seulement il est contenu soit en acte – actuellement – soit virtuellement. Le prédicat est toujours contenu dans la notion du sujet, mais cette inhérence, [49 :00] cette inclusion, est ou bien actuelle ou bien virtuelle. Voyez, on aurait envie de dire que ça va très bien. Convenons que dans une proposition d’existence du type Adam a péché, César a franchi le Rubicon, l’inclusion n’est que virtuelle, à savoir pécheur est contenu dans la notion d’Adam, mais il n’est que virtuellement contenu, bien.

Deuxième sorte de texte: l’analyse infinie sous laquelle pécheur est contenu dans la notion d’Adam, c’est une analyse indéfinie, [Pause] est indéfinie, [50 :00] c’est-à-dire que je remonterais de pécheur à un autre terme, à un autre terme, à un autre terme, etc., exactement comme j’ai alors, « Adam a péché » serait du type 1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 +, etc., etc., etc., etc., à l’infini. Bon, voyez, ce serait donner un certain statut: je dirais que l’analyse infinie, c’est une analyse virtuelle, c’est une analyse qui va à l’indéfini. Il y a des textes de Leibniz qui disent ça, notamment dans le Discours de métaphysique, mais dans le Discours de métaphysique, Leibniz propose et présente la totalité de son système à usage de gens peu philosophes.

Je prends un autre texte [51 :00] qui paraît alors contredire le premier. Dans un texte réservé à un usage plus savant, le texte « De la liberté », Leibniz emploie le mot «virtuel», mais très bizarrement, ce n’est pas à propos — et là j’y tiens beaucoup à ce texte parce qu’il permet au moins de dénoncer de fausses interprétations — car il emploie le mot virtuel, mais pas à propos des vérités d’existence, il l’emploie à propos des vérités d’essence. Ce texte me suffit déjà pour dire qu’il n’est pas possible que la distinction vérités d’essence/vérités d’existence se ramène à ce que dans les vérités d’existence, l’inclusion soit seulement virtuelle, puisque l’inclusion virtuelle, c’est un cas des vérités d’essence. En effet, vous vous rappelez que les vérités d’essence renvoient à deux cas ; il y a deux cas de vérités d’essence: [52 :00] la pure et simple identité où l’on démontre l’identité du prédicat et du sujet, et le dégagement d’une inclusion du type, j’ai donné un exemple, tout nombre divisible par 12 est divisible par 6 ; or tout nombre divisible par 12 est divisible par 6, je démontre ou je montre l’inclusion de 2 multiplié par 2 multiplié par 3, non, de 2 multiplié par 3 dans 2 multiplié par 2 multiplié par 3, je démontre l’inclusion à la suite d’une opération, d’une séries d’opérations finies. Or, c’est pour ce cas-là que Leibniz dit: j’ai dégagé une identité virtuelle. Donc il ne suffit pas de dire que l’analyse infinie est virtuelle.

Est-ce qu’on peut dire que c’est une analyse indéfinie? Non, parce qu’une analyse indéfinie ça reviendrait à dire que c’est une analyse [53 :00] qui n’est infinie que par défaut de ma connaissance, c’est-à-dire que je n’arrive pas jusqu’au bout. Dès lors Dieu lui-même alors, Dieu avec son entendement, l’entendement de Dieu, Dieu arriverait jusqu’au bout. Est-ce que c’est ça, que lui, il n’a pas une connaissance limitée, n’est pas subordonné à des conditions limitées de la connaissance? Est-ce que c’est ça que veut dire Leibniz ? Réponse formelle : Là encore, non, ce n’est pas possible que Leibniz veuille dire ça. Ce n’est pas possible qu’il veuille dire ça parce que l’indéfini, ça n’a jamais existé chez Leibniz. Je crois que là, il y a des notions qui sont incompatibles, qui sont des anachronismes, quoi. Indéfini, ce n’est pas un truc de Leibniz. On ne peut rien interpréter dans les textes de Leibniz à partir de la notion de l’indéfini. [Pause]

Qu’est-ce que c’est l’indéfini en toute rigueur? Quelles différences y a-t-il entre l’infini et l’indéfini ? L’indéfini, [54 :00] c’est le fait – je donne une définition très lourde, il me semble, mais qui essaie d’être rigoureuse – c’est le fait que je puisse toujours ou que je doive toujours passer d’un terme à un autre terme, toujours, sans arrêt, mais sans que le terme suivant auquel j’arrive ne préexiste. C’est ma propre démarche qui consiste à faire exister. Si je dis 1 = ½ + 1/4 + 1/8, etc., etc., il ne faut pas croire que le «etc.» préexiste ; c’est ma démarche qui chaque fois le fait surgir, c’est-à-dire que l’indéfini existe dans une démarche par laquelle je ne cesse de repousser la limite que je m’oppose. Rien ne préexiste. [55 :00] C’est ce que Kant plus tard exprimera ; Kant, à ma connaissance, sera le premier philosophe à donner un statut à l’indéfini, et ce statut, ce sera précisément que l’indéfini renvoie à un ensemble qui n’est pas séparable de la synthèse successive qui le parcourt, ce n’est pas séparable de la synthèse successive qui le parcourt, c’est-à-dire les termes de la série indéfinie ne préexistent pas à la synthèse qui va d’un terme à un autre. Bien.

Leibniz ne connaît pas ça, et en plus, ça lui paraît, l’indéfini, ça lui paraît purement conventionnel ou symbolique – pourquoi? Parce que s’il y a quelque chose… Si on essaie de dire, qu’est-ce qui fait l’air de famille des philosophies du XVIIe siècle, il y a un auteur qui l’a très bien dit quand il s’en est… il ne s’en est pas beaucoup occupé mais, c’est Merleau-Ponty. Merleau-Ponty a une très belle formule ; il a fait un petit texte sur les philosophies classiques [56 :00] du XVIIe, des philosophies dites classiques,[7] et il essaie de les caractériser d’une manière vivante, et il disait que ce qu’il y a d’incroyable dans ces philosophies, et ce dont on a fait complètement, complètement le secret, c’est une manière innocente de penser à partir de l’infini et en fonction de l’infini. C’est ça, le siècle classique, une manière innocente de penser à partir de l’infini. Je dirais, pourquoi cette phrase de Merleau-Ponty me semble-t-elle très, très intelligent ? Parce que c’est beaucoup plus intelligent que de nous dire que c’est une époque où encore la philosophie est mêlée à la théologie, parce que c’est bête de dire ça. Il faut dire que si la philosophie est encore mêlée à la théologie au XVIIe siècle, c’est précisément parce que la philosophie n’est pas séparable à ce moment-là d’une manière innocente de penser en fonction de l’infini.

Or, l’infini, c’est quoi ? Quelles différences y a-t-il entre l’infini [57 :00] et l’indéfini? C’est que l’indéfini, c’est du virtuel: en effet, le terme suivant ne préexiste pas avant que ma démarche ne l’ait constitué. C’est du virtuel. L’infini, c’est de l’actuel, il n’y a d’infini qu’en acte. Alors il peut y avoir toutes sortes d’infinis. Pensez à Pascal. [Une petite remarque indistincte] C’est un siècle qui, à force précisément d’avoir une manière innocente de penser en fonction de l’infini, ne cessera de distinguer des ordres d’infinis, et la pensée des ordres d’infinis est fondamentale dans tout le XVIIe siècle. Et il faudra attendre pendant très longtemps, elle nous retombera dessus, cette pensée, elle nous retombera dessus à la fin du XIXe et au XXe siècle précisément avec la théorie des ensembles dits infinis. Avec les ensembles infinis, on retrouve quelque chose qui travaillait mais du fond – on le retrouve sur d’autres bases, d’accord – mais on retrouve [58 :00] quelque chose qui travaillait le fond de la philosophie classique, à savoir la distinction des ordres d’infinis.

Or qui sont les grands noms dans cette recherche sur les ordres d’infinis ? C’est des grands noms de la philosophie classique, c’est évidemment Pascal, c’est évidemment Pascal. C’est Spinoza avec un texte fondamental qui est la fameuse lettre sur l’infini où il distingue toutes sortes d’ordres de l’infini,[8] et c’est Leibniz qui va subordonner tout un appareil mathématique à l’analyse de l’infini et les ordres d’infinis. A savoir, dans quel sens peut-on dire qu’un ordre d’infinis est plus grand qu’un autre? Qu’est-ce que ça veut dire, un infini qui est plus grand qu’un autre infini? etc., etc., manière innocente de penser à partir de l’infini, mais pas du tout confusément puisqu’on introduit toutes sortes de distinctions.

Or je dis, l’analyse de Leibniz, dans le cas des vérités d’existence, elle est évidemment infinie. [59 :00] Elle n’est pas indéfinie. Donc, quand il emploie les mots de virtuel, quand il emploie bien plus, il y a un texte formel, il y a un texte formel qui donne raison à cette interprétation que j’essaie d’esquisser, c’est un texte tiré de « De la liberté » où Leibniz dit exactement ceci: « quand il s’agit d’analyser l’inclusion du prédicat pécheur dans la notion individuelle Adam, [Pause] Dieu certes » — là de Leibniz, je cite par cœur, presque par cœur – « Dieu certes voit, non pas la fin de la résolution, fin qui n’a pas lieu». En d’autres termes, même pour Dieu, il n’y a pas de fin à cette analyse.

Alors, [60 :00] vous me direz que c’est de l’indéfini, même pour Dieu? Non, ce n’est pas de l’indéfini puisque tous les termes de l’analyse sont donnés. Si c’était de l’indéfini, tous les termes ne seraient pas donnés, ils seraient donnés au fur et à mesure, ils seraient donnés à manière que je passe de a à b, de b à c, etc. Ils ne seraient pas donnés d’une manière préexistante. En d’autres termes, dans une analyse infinie on arrive à quel résultat ? Vous avez passage d’éléments infiniment petits les uns aux autres, vous passez d’un élément infiniment petit à un autre élément infiniment petit, l’infinité des éléments infiniment petits étant donnée. On dira d’un tel infini qu’il est actuel, et non virtuel, puisque la totalité des éléments infiniment petits est donnée. Vous me direz, mais alors, on peut arriver à la fin! Non, par nature, vous ne pouvez pas arriver à la fin puisque c’est un ensemble infini. La totalité des éléments est [61 :00] donnée, et vous passez d’un élément à un autre, et vous avez donc un ensemble infini d’éléments infiniment petits. Vous passez d’un élément à un autre: vous faites une analyse infinie, c’est-à-dire, une analyse qui n’a pas de fin, ni pour vous ni pour Dieu.

Alors, en quoi cette analyse, et qu’est-ce que vous voyez si vous faites cette analyse si vous êtes Dieu? Supposons qu’il n’y ait que Dieu qui puisse la faire. Vous vous êtes ramené à l’indéfini, vous faites de l’indéfini parce que votre entendement est limité, mais Dieu, lui, il fait de l’infini. Il ne voit pas la fin de l’analyse puisqu’il n’y a pas de fin de l’analyse, mais il fait l’analyse. Bien plus, tous les éléments de l’analyse lui sont donnés dans un infini actuel. Vous voyez ? Cela veut dire donc que pécheur est relié à Adam. Voyez, ça devient tout simple. Pécheur est un élément ; j’appelle pécheur un élément. Il est relié à la notion individuelle d’Adam par une infinité d’autres éléments actuellement donnés. [62 :00] Bon, d’accord, c’est précisément tout le monde existant, à savoir tout ce monde compossible qui est passé à l’existence. Alors, on touche là quelque chose ; juste un peu de patience et tout va devenir très clair.

Car, suivez-moi : qu’est-ce que ça veut dire, « je fais l’analyse » ? Je passe de quoi à quoi? Je passe d’Adam pécheur à Ève tentatrice – c’est un autre élément — d’Ève tentatrice à serpent méchant, à pomme, bon, tout ça, tous mes éléments. Tiens, tiens, tiens, bon. C’est une analyse infinie ; c’est cette analyse infinie [63 :00] qui montre l’inclusion de pécheur dans la notion individuelle Adam. Ça semble qu’on n’avance pas. Qu’est-ce que ça veut dire: élément infiniment petit? Pourquoi est-ce que le péché est un élément infiniment petit? Pourquoi la pomme est-ce un élément infiniment petit? Pourquoi franchir le Rubicon est un élément infiniment petit? Vous comprenez ? Qu’est-ce que ça veut dire, un élément infiniment petit? Il n’y a pas d’élément infiniment petit. Alors qu’est-ce que ça veut dire, un élément infiniment petit ? Un élément infiniment petit ça veut dire évidemment — on n’a pas besoin de le dire, on a tous compris — ça veut dire un rapport infiniment petit entre deux éléments. Il s’agit de rapports, il ne s’agit pas d’éléments.

En d’autres termes, un rapport infiniment petit entre deux éléments, qu’est-ce que ça peut être? Qu’est-ce qu’on a gagné en disant qu’il ne s’agit pas d’éléments infiniment petits, il s’agit de rapports infiniment petits entre deux éléments? Et vous comprenez que si je parle à quelqu’un qui n’a aucune idée, par exemple, du calcul différentiel, vous pouvez lui dire que c’est des éléments [64 :00] infiniment petits. Leibniz a raison. Si c’est quelqu’un qui en a une très vague connaissance, je peux lui dire, oh ben non, tu comprends bien, toi ! Voyez, je fais de la simultanéité aussi là. Ah, non, pour toi, il faudra que toi, tu ne dois pas comprendre un élément infiniment petit ; il faut que tu comprennes rapports infiniment petits entre éléments, entre éléments finis. Si c’est quelqu’un qui est très savant en calcul différentiel, je pourrais peut-être lui dire autre chose.

Alors, on en est à quoi ? L’analyse infinie qui va démontrer l’inclusion du prédicat dans le sujet au niveau des vérités d’existence, elle ne procède pas par démonstration d’une identité. Elle ne procède pas par… alors, là, on tient quelque chose : elle ne procède pas par démonstration d’une identité, même virtuelle. Ce n’est pas ça. Leibniz, [65 :00] il s’exprime comme ça pour qu’on le lâche quand on ne comprend pas ce qu’il veut dire. Mais, alors, dans un autre tiroir, il a une autre formule à vous donner: alors, c’est quoi ? L’identité, ça régit les vérités d’essence, ça ne régit pas les vérités d’existence – tout le temps il dit le contraire, mais ça n’a aucune importance, demandez-vous à qui il le dit. Mais alors, c’est quoi? Ce qui l’intéresse au niveau des vérités d’existence, ce n’est pas l’identité du prédicat et du sujet, c’est que l’on passe d’un prédicat à un autre, d’un autre à un autre, et encore d’un autre à un autre, etc., du point de vue d’une analyse infinie, c’est-à-dire du maximum de continuité. En d’autres termes, c’est l’identité qui régit les vérités d’essence, mais c’est la continuité qui régit les vérités d’existence. [Pause] [66 :00]

Et qu’est-ce que c’est que le monde, un monde? Un monde est défini par sa continuité. Qu’est-ce qui sépare deux mondes incompossibles? C’est le fait qu’il y ait discontinuité entre les deux mondes. Qu’est-ce qui définit un monde compossible? C’est la continuité dont il est capable. Qu’est-ce qui définit le meilleur des mondes? C’est le monde le plus continu, et Dieu choisit, le critère du choix de Dieu, ce sera la continuité, à savoir, de tous les mondes incompossibles les uns avec les autres et possibles en eux-mêmes, Dieu fera passer à l’existence celui qui réalise le maximum de continuité. Bon, pourquoi le péché d’Adam est-il compris dans le monde qui a le maximum de continuité? Il faut croire que le péché d’Adam est une formidable connexion, que c’est une connexion qui assure des continuités de séries. Pourquoi, par exemple, qu’il y a une connexion de continuité directe [67 :00] entre le péché d’Adam et l’incarnation et la Rédemption par le Christ ? Alors, là, il y a comme des séries qui vont se mettre à s’emboîter par de là les différences de temps et d’espace ; il y a des séries qui vont se mettre à s’emboîter très, très bizarrement.

En d’autres termes, dans le cas des vérités d’essence, je démontrais une identité où je faisais voir une inclusion; dans le cas des vérités d’existence, je vais témoigner d’une continuité assurée par les rapports infiniment petits entre deux éléments. Deux éléments seront en continuité lorsque je pourrais assigner un rapport infiniment petit entre ces deux éléments. Vous me direz, mais comment tu vas faire ça, assigner un rapport infiniment petit entre deux éléments ? Qu’est-ce que ça veut dire, un rapport infiniment petit, alors ? Il faut… Je suis passé de l’idée d’élément infiniment petit à un rapport infiniment petit entre deux éléments, ça ne suffit pas, rapport infiniment petit. Il ne faut pas lâcher Leibniz. Qu’est-ce que ça veut dire, [68 :00] un rapport infiniment petit entre deux éléments ? Ça ne veut rien dire. [Il faut] un effort de plus.

Ça veut dire, supposons, ça veut dire une différence, puisqu’il y a deux éléments, il y a une différence entre les deux éléments, oui. Entre le péché d’Adam et la tentation d’Ève, il y a une différence; d’accord, il y a une différence. Seulement, voilà, quelle est la formule de la continuité? La continuité, c’est quoi ? La continuité, ça serait, et l’on pourrait la définir comme l’acte d’une différence en tant qu’elle tend à s’évanouir. La continuité, c’est une différence évanouissante. Tiens, un nouveau concept de Leibniz, la différence évanouissante.

Qu’est-ce que ça veut dire qu’il y a continuité entre la séduction d’Ève et le péché d’Adam? [69 :00] C’est que la différence entre les deux est une différence évanouissante, c’est une différence qui tend à s’évanouir. Bon, ça ne s’arrange pas, vous me direz ; on est renvoyé à quoi ? Là, il y a un nouveau concept, différence évanouissante. Je dirais donc que, pour le moment, avant le dernier effort que nous avons à fournir aujourd’hui, je dirais que les vérités d’essence sont régies par le principe d’identité, les vérités d’existence sont régies par la loi de continuité, ou – cela revient au même – des différences évanouissantes. Donc entre pécheur et Adam, vous ne pourrez jamais démontrer une identité logique, mais vous pourrez démontrer – et le mot démonstration changera de sens –, [70 :00] vous pourrez démontrer une continuité, c’est-à-dire une ou des différences évanouissantes. [Pause] Si on arrive à comprendre un tout petit peu ça, alors on a tout acquis. On aura acquis le premier problème, qu’est-ce qu’une analyse infinie. Une analyse infinie, c’est une analyse du continu opérant par différences évanouissantes. [Pause]

Là-dessus, vous retenez ça dans un coin de votre tête, et il reste juste à dire, bon, mais ça veut dire quoi, continuité, différences évanouissantes ? Tout le monde sent, en effet, que ça renvoie à une certaine symbolique, symbolique du calcul différentiel ou de l’analyse infinitésimale. [71 :00] Mais c’est en même temps – là, c’est précisément le cas de création qui se fait deux fois, simultanément – c’est en même temps que Newton et que Leibniz montent le calcul différentiel. Or, l’interprétation du calcul différentiel par les catégories de différences évanouissantes, c’est le propre de Leibniz. Chez Newton, interprétation du calcul, alors que tous les deux, là vraiment, l’inventent en même temps, l’armature logique et théorique est très différente chez Leibniz et chez Newton, et le thème de la différence infiniment petite conçue comme… ou du moins, la différentielle conçue comme différence évanouissante, c’est proprement du Leibniz, et Leibniz y tient énormément, et il y a une grande polémique entre les newtoniens et Leibniz. [72 :00]

Donc, notre question-là se rétrécit, devient : qu’est-ce que c’est que cette histoire de différence évanouissante? — Est-ce que quelqu’un a de la craie ? J’ai un besoin urgent de la craie, un petit bout de craie [Réponses inaudibles] Il y en a là ? Ah bon, ah bon, ah bon. J’espérais en même temps que vous diriez, il n’y en a pas [Rires] … Est-ce que quelqu’un a un torchon ? [Bruits divers] Si on n’a pas de torchon, je ne peux pas… Ah bon, il y a tout. — Alors, écoutez-moi. Voyez ce symbole – je parle vraiment pour ceux… qui… Vous n’avez besoin de rien savoir, de rien, rien, rien. … Voyez ce petit symbole, que vous l’avez rencontré dans le dictionnaire. – [Pause ; Deleuze s’adresse à quelqu’un tout près] Non, mais, je suis pour, je suis pour ; si vous en avez tous assez et [73 :00] que vous partiez, je préférerais que vous le fassiez en masse… [Un étudiant : On fait une pause ? Cinq minutes ? ] Vous êtes fatigués avant… Alors, moi je reste comme ça… [Rires]

Encore une minute avant qu’on se repose ; je dis juste, calcul différentiel, ça veut dire quoi, ce calcul qui prétend manier l’infiniment petit ? Vous me direz aujourd’hui, aujourd’hui, aujourd’hui, qu’est-ce qui se passe ? Les équations différentielles, c’est fondamental. Il n’y a pas de physique sans équations différentielles. Même la physique comme science, elle a existé en partie au dix-septième siècle, et du Moyen Age, parce qu’il y avait des antécédents du calcul différentiel ; il y avait une espèce d’équivalent, il y avait des calculs d’exhaustion. Mais la physique scientifique n’a existé que par le calcul d’exhaustion et par le calcul différentiel. Aujourd’hui, il n’y a pas tellement de problèmes parce que… — oh, il n’y en a plus, je ne sais pas – [74 :00] Mathématiquement, le calcul différentiel a aujourd’hui, s’est purgé de toute considération de l’infini, tout simple, mais ça s’est fait très tardivement, ça s’est fait à la fin du XIXe siècle, l’espèce de statut axiomatique du calcul différentiel où il n’est absolument plus question d’infini. Mais ça s’est fait en même temps, ça ne me sert pas tellement parce que comme la mathématique retrouve le problème de l’infini dans la théorie des ensembles, on ne peut pas dire que c’est gagné.

Mais, si je me place au moment de Leibniz, qu’est-ce que c’est ? À quoi ça sert, le calcul différentiel ? Pour bien comprendre, il y a des choses qu’il faut savoir à tout prix, parce que même si vous ne savez rien en mathématiques, mettez-vous à la place d’un mathématicien – c’est très difficile pour lui — qu’est-ce qu’il va faire lorsqu’il se trouve devant des grandeurs ou des quantités à puissances différentes, et des équations dont les variables sont à des différentes puissances, je veux dire, une équation [75 :00] du type ax2 + y? Ax2 + y, [Deleuze fait un dessin à la craie] vous avez une quantité à la puissance 2 et une quantité à la puissance 1. Comment comparer? C’est aussi dur. Vous savez tous l’histoire des commensurables et des quantités non commensurables. Là, au XVIIe siècle, les quantités de puissances différentes ont reçu un mot voisin: c’est les quantités incomparables. Comment comparer une quantité à la puissance 2 à une quantité à la puissance 1 ? [Il n’y a] pas de moyen. Toute la théorie des équations, au XVIIe siècle, se heurte à ce problème qui est un problème le plus fondamental, même dans l’algèbre la plus simple: à quoi ça sert le calcul différentiel? Pourquoi il est inventé ? Qu’est-ce qu’ils font, ceux qui l’inventent, Newton, Leibniz ? [76 :00]

Le calcul différentiel vous permet de procéder à une comparaison directe des quantités de puissances différentes. Bien plus, il ne sert que là. Il n’y a pas de calcul différentiel appliqué à des quantités du même puissance. Le calcul différentiel — il n’y a pas besoin de comprendre quoi que ce soit pour retenir ça et pour même pressentir ça — le calcul différentiel trouve son niveau d’application quand vous vous trouvez devant des incomparables, c’est-à-dire devant des quantités à puissances différentes. Pourquoi? Vous avez, je reprends mon exemple, ax2 + y, supposons que par des moyens quelconques, vous extrayez delta x et delta y, dx et dy. dx, c’est la différentielle de x, dy c’est la différentielle de y. Voyez ? [77 :00] Qu’est-ce que c’est? On le définira verbalement, par convention : on dira que dx ou dy, c’est la quantité infiniment petite supposée être ajoutée ou soustraite de x et de y. En voilà une invention! La quantité infiniment petite, c’est-à-dire que c’est la plus petite variation de la quantité considérée. Et quoi que vous disiez, si vous dites, ah bon, alors c’est un dix millionième, c’est encore plus petit. Elle est, comme on dit, inassignable ; il ne faut pas essayer de l’assigner, elle est inassignable. Elle est par convention inassignable. Vous me direz, alors quoi, dx = quoi ? Eh ben, dx = 0 ; dy = quoi ? [78 :00] dx = 0 en x, par rapport à x ; c’est la plus petite quantité, n’est-ce pas, dont puisse varier x, et ça égale zéro. dy = 0 par rapport à y. Comprenez ?

Commence à prendre corps la notion de différence évanouissante. C’est une variation ou une différence, dx ou dy: elle est plus petite que toute quantité donnée ou donnable. C’est la différence évanouissante, plus petite que toute quantité donnable. Voilà, c’est un symbole mathématique ; bon, ils ont d’autres symboles. En un sens, c’est fou ; en un sens c’est opératoire. C’est opératoire de quoi, puisque c’est égal à 0 ? Voilà ce qui est formidable dans le symbolisme du calcul différentiel: dx = 0 par rapport à x, la plus [79 :00] petite différence, le plus petit accroissement dont soit capable la quantité x ou la quantité y inassignable, inférieur à toute quantité donnée ; c’est de l’infiniment petit.

Bon, d’accord, dx = 0 par rapport à x, dy = 0 par rapport à y ; seulement, miracle ! dy sur dx n’est pas égal à zéro, et bien plus: dy sur dx a une quantité finie parfaitement exprimable. C’est des relatifs uniquement relatifs. dx n’est rien par rapport à y, dy n’est rien par rapport à x, mais voilà que dy sur dx c’est quelque chose. Stupéfiant, admirable, grande découverte mathématique. Bon, pourquoi ça ? [80 :00] Comment ça c’est quelque chose ? C’est surement quelque chose parce que, vous vous rappelez l’exemple dont je suis parti, ax2 + y, ax2 + by, mettons, ax2 + by + c, par exemple vous avez deux puissances dont vous avez des quantités incomparables: y2 et x. Si vous considérez le rapport différentiel, c’est pour ça que la différentielle n’a pas de sens ; il n’y a que des rapports différentiels. La différentielle, par nature, c’est dx ou dy, c’est 0, complètement inassignable. Mais le rapport, dy sur dx, n’est pas 0 ; lui, il est déterminé, il est déterminable. [Pause] [81 :00]

Alors, le rapport dy sur dx vous donne le moyen de comparer les deux quantités incomparables qui étaient à des puissances différentes car il opère une dépotentialisation, comme on dit, une dépotentialisation des quantités. [Pause] Donc il vous donne un moyen direct de confronter les quantités incomparables à puissances différentes. Dès ce moment-là, toutes les mathématiques, tout l’algèbre, toute la physique s’inscriront dans le symbolisme du calcul différentiel.[9] Il n’y a pas d’équations en physique qui ne soient une équation différentielle. C’est avec le calcul différentiel, c’est très curieux, c’est avec le calcul différentiel, qui est le symbolisme le plus artificiel qui soit, parce qu’il consiste à mettre en rapport des zéros, [82 :00] il consiste à mettre en rapport des zéros absolus de telle manière que le rapport de ces zéros absolus soit indéterminé et se distingue de zéro.

Eh bien, eh bien, quand vous disposez d’une telle merveille, c’est très curieux parce qu’un symbole complètement artificiel, dx ou dy, est précisément rendu possible, cette espèce de compénétration de la réalité physique et du calcul mathématique. C’est-à-dire on ne peut pas s’en tirer simplement en disant que c’est une simple convention. Car c’est sous les conditions de cette convention que la réalité physique et le calcul mathématique deviennent adéquats l’un et l’autre au point, par exemple, où les phénomènes de la chaleur, les phénomènes de la chaleur quand ils sont découverts au XIXe siècle, ne pourront l’être que dans un ensemble d’équations différentielles.

Voilà, alors [83 :00] on arrive au dernier point, le plus simple : il faudrait montrer comment ça marche. Heureusement, [il y a] un texte minuscule de Leibniz — pas difficile pour nous, donc on pourra tout comprendre — qui s’intitule, qui est tiré des Écrits mathématiques de Leibniz – alors j’ai préféré choisir un texte qui n’était pas philosophique – c’est trois pages, une petite note de trois pages qui s’appelle «Justification du calcul des infinitésimales » — c’est-à-dire les calculs différentiels – « Justification du calcul des infinitésimales par celui de l’algèbre ordinaire». Alors ça, c’est qu’il faut que je vous explique parce que vous comprendrez tout. Ce n’est pas que ce soit la base du calcul différentiel ; c’est bien un cas où Leibniz veut montrer que le calcul différentiel, eh ben, d’une certaine manière, il a forcément déjà fonctionné avant d’être découvert, et qu’on ne pouvait pas faire autrement, qu’on ne pouvait pas faire autrement même au niveau [84 :00] de l’algèbre la plus ordinaire.

Alors comment il va montrer ça ? — Vous voulez un peu de repos avant cet effort, ou bien… ? Un tout petit peu ? … [On lui pose une question de référence] Quoi ? oh, là, là, les Écrits mathématiques, tome IV, page 104, l’édition de Gerhardt, la grande édition de Leibniz ; c’est faite évidemment par un Allemand. Elle comprend un grand nombre de volumes, et c’est l’édition Gerhardt [Deleuze épèle le nom]… Donc, c’est les Écrits mathématiques, tome IV, page 104 … [Bruits des étudiants] 104. Bien, reposez-vous un petit peu… [Interruption de l’enregistrement] [1 :24 :51] [10]

Alors, alors… [Bruit des chaises et des étudiants] [85 :00] [On entend la voix de Deleuze qui s’est éloigné de sa chaise et s’est placé devant le tableau ; donc, pause, plusieurs commentaires entre Deleuze et quelques étudiants] Alors, vous voyez, vous voyez, vous comprenez… Voici une ligne droite [Rires] qui est perpendiculaire au sol ; je la nomme – il faut que je garde les mêmes lettres que lui ; c’est son dessein à lui – [86 :00] je la nomme A-X, d’accord ? A-X. J’assigne deux points que je nomme grand A et grand X. Ce n’est pas trop compliqué…. [Quelques commentaires indistincts de Deleuze] … Voilà, j’ai les deux points, j’ai assigné deux points. Je considère une autre droite… [Pause] que j’appelle – qu’est-ce qu’il dit, lui ? – mais oui, c’est E-Y ; j’assigne deux points E et Y, [87 :00] [Quelques commentaires indistincts de Deleuze] [Pause] De la ligne E-Y, je tire à partir d’un point que je nomme précisément [mot indistinct] une droite perpendiculaire, à A-X ; même chose [Pause] je tire la perpendiculaire, à A-X ; vous voyez ? [Pause] Compris ? [Quelques commentaires indistincts de Deleuze] J’appelle E-A [Pause] [88 :00] J’appelle E-A, j’appelle, oui, le point de rencontre des deux droites, je l’appelle grand C, je l’appelle C, le segment A-C.

J’appelle… [Quelques commentaires indistincts de Deleuze] j’appelle X, le segment A-X. Voilà tout ce que j’ai, j’écris C-E. Il ne m’échappe pas que les deux triangles – [89 :00] un rectangle, [mot indistinct], un perpendiculaire, l’angle droit – que ces deux triangles sont semblables. Je peux donc écrire C-E = [mot indistinct] [Rires] … petit y. Alors, [Deleuze se parle en ajoutant des lettres au dessein] Donc C-X, c’est X moins C [90 :00] … je veux dire, X moins C sur y [Deleuze répète cette formule], X moins C sur y = C sur [mot indistinct] en vertu de la similitude des deux triangles.

Alors, c’est très simple. Supposez maintenant que E-Y se déplace en restant parallèle à soi-même [Deleuze répète cette phrase] [Pause] Qu’est-ce qui va se passer ? [91 :00] C’est facile : je peux dire aussi bien que grand E et grand C tendent à coïncider en A, ou que petit e et petit c tendent à diminuer de plus en plus [Pause]. Voilà. A la limite, à la limite, je n’ai plus que cette figure-là : E est tombé en A… E, X, Y… [92 :00] e et c ont diminué à l’infini ; grand E et grand C coïncident en A. Qu’est-ce qui se passe à ce moment-là ? Ce qui se passe, c’est que c a diminué à l’infini au point que C coïncide avec A ; en d’autres termes, X moins C = X, dans ce cas. [Pause] Quand E et C coïncident avec A, je peux écrire X moins C = X… [Fin de la cassette] [1 :32 :54]

Partie 3

… [Deleuze se parle au tableau, mots indistincts] [93 :00] [Pause] C = 0, E = 0. Je peux donc écrire 0 sur 0 = X sur Y. [Pause] Et pourtant, ce ne sont pas, comme il dit, des zéros absolus. Pourquoi ? Parce que si c’étaient des zéros absolus, x serait égal à y, et x n’est pas égal à y, ni dans un cas ni dans l’autre puisque ce serait contraire aux données mêmes de la construction du problème. Vous avez le point en rectangle, x n’est pas égal à y. Dans la mesure où [94 :00] vous pouvez écrire pour ce cas x sur y égale c sur e, c et e sont des zéros. Ce sont, comme il dit dans son langage, ce sont des riens, mais ce ne sont pas des riens absolument, ce sont des riens respectivement. A savoir ce sont des riens mais qui conservent la différence du rapport. Donc c ne devient pas égal à e puisqu’il reste proportionnel à x sur y et que x n’est pas égal à y. Bon, c’est très simple. C’est ce qu’on appelle, c’est une justification, si vous voulez, conformément au titre, c’est une justification du vieux calcul différentiel, et l’intérêt de ce texte très simple, c’est que c’est une justification par l’algèbre la plus facile, par l’algèbre ordinaire, c’est-à-dire que cette justification ne met rien en cause de la spécificité du calcul différentiel. [95 :00]

Alors, le texte est très beau ; je le lis lentement puisque vous avez déjà compris : [Deleuze lit en commentant presque chaque phrase] «Donc, dans le cas présent, » — donc, dans le cas présent, c’est-à-dire si la droite, si l’oblique tend vers A dans son déplacement – « Or dans le cas présent, il y aura x moins c = x. » — Alors ça coïncide en A, et vous avez x moins c = x puisque c s’est annulé – « Vous avez x moins c = x ; supposons que ce cas est compris sous la règle générale » — c’est déjà une phrase très importante – « Supposons que ce cas » — où il n’y a plus qu’un seul triangle — « est compris sous la règle générale » — où il y avait deux triangles, vous voyez ? [96 :00] C’est une pure supposition ; c’était comme ça, une hypothèse conventionnelle – « Supposons que ce cas est compris sous la règle générale et néanmoins c et e » — petit c et petit e – « ne seront point des riens absolument [Deleuze répète ces mots] puisqu’elles gardent ensemble la raison de [grand] Cx à [grand] Xy, » — c’est-à-dire la raison de grand Cx, c’est-à-dire x [mot indistinct] à y – « ou celle qui est entre le sinus entier ou rayon et entre la tangente qui convient à l’angle en c, » — c’est plus difficile [ici, Deleuze lit assez rapidement] « lequel angle, nous avons supposé, est toujours demeuré le même. Car si [petit] c et [petit] e étaient des riens absolument dans ce calcul réduit au cas de la coïncidence des points [grand] C, [grand] E et [grand] A, comme un rien vaut l’autre, [97 :00] alors c et e seraient égales, » — si petit c et petit e, écoutez bien en fonction de la figure, si petit c et petit e étaient des riens absolument dans ce calcul réduit au cas de la coïncidence des points [grand] C, [grand] E et [grand] A – « comme une fois dit que un rien vaut l’autre, » — un rien vaut un autre rien – « petit e serait égal, et de l’équation ou analogie x sur y = C sur E serait fait x sur y = 0 sur 0 = 1, c’est-à-dire qu’on aurait x = y ce qui est une absurdité puisque nous avons… » — là-dessus il y a de l’eau qui est tombé sur ma page, alors je ne sais plus ce qu’on, ce que nous avons, donc je ne peux pas lire – « Donc, donc petit c et petit e … » — à nouveau, il y a une coupure ; c’est comme ça les manuscrits, qu’est-ce que vous voulez ? [98 :00] [Deleuze faits quelques bruits tout en cherchant où continuer sa lecture]

Voilà, « Ainsi l’on trouve dans le calcul de l’algèbre les traces du calcul transcendant des différences » — c’est-à-dire du calcul différentiel — « et ses mêmes singularités dont quelques savants se font des scrupules, et même le calcul d’algèbre ne saurait s’en passer si il doit conserver ses avantages dont un des plus considérables est la généralité qui lui est due afin qu’il puisse comprendre tous les cas.» — Or le texte va se continuer. Finalement, il ne va pas donner beaucoup d’explications. – « C’est exactement de cette manière que je peux considérer que le repos est un mouvement infiniment petit, » — le repos est un mouvement infiniment petit – « ou que le cercle est la limite d’une série infinie de polygones dont les côtés [99 :00] augmentent à l’infini. »

Qu’est-ce qu’il y a de comparable dans tous ces exemples? Il faut considérer le cas où il y a un seul triangle comme le cas extrême de – alors, là, ça devient très, très important – comme le cas extrême de deux triangles semblables opposés par le sommet. Alors, à cet égard, le texte est limpide. Ce qu’il a démontré dans ce texte – il ne le dit pas formellement, mais ça me paraît évident – ce qu’il a montré dans ce texte, c’est comment et dans quelles circonstances un triangle peut être considéré comme le cas extrême de deux triangles semblables opposés par le sommet. Peut-être vous sentez que là, [100 :00] on est peut-être en train de donner à «virtuel» le sens que l’on cherchait pour arranger l’ensemble des textes de Leibniz. Je pourrais dire que dans le cas de ma seconde figure où il n’y a qu’un triangle, l’autre triangle est là mais virtuellement. Il est là virtuellement puisque a contient virtuellement e et c distincts de a. Pourquoi est-ce que e et c restent-ils distincts de a lorsqu’ils n’existent plus ? e et c restent distincts de a pour une raison très simple : c’est qu’ils interviennent dans un rapport qui lui, continue à exister lorsque les termes se sont évanouis. [Pause] C’est de cette même manière que le repos sera considéré comme le cas particulier d’un mouvement, à savoir [101 :00] un mouvement infiniment petit. Dans ma seconde figure, xy, je dirais, le triangle… je dirais — à la fois je prends des termes qui sont là de Leibniz, mais empruntés à un autre texte – je dirais que ce n’est pas du tout que le triangle grand E, grand A, grand C, plutôt grand C-grand E-grand A, ce n’est pas du tout que le triangle ait disparu au sens commun du mot, mais il faut dire à la fois qu’il est devenu inassignable, — c’est curieux, cette notion d’inassignable — et pourtant il est parfaitement déterminé puisque dans ce cas c = 0, e = 0, mais c sur e n’est pas égal à zéro. c sur e est un rapport parfaitement déterminé égal à x sur y. Donc il est déterminable [102 :00] et déterminé, mais il est inassignable. De même le repos est un mouvement parfaitement déterminé, mais c’est un mouvement inassignable; de même le cercle est un polygone inassignable et pourtant parfaitement déterminé.

Vous voyez ce que veut dire virtuel, encore une fois. Je dirais, le virtuel ne veut plus du tout dire l’indéfini – et là tous les textes de Leibniz peuvent être récupérés. Il faisait une opération diabolique: il prenait le mot virtuel, sans rien dire – c’est son droit –, sans rien dire ; il lui donnait une nouvelle acceptation tout à fait rigoureuse et tout à fait nouvelle, seulement il ne le dira pas, il le dirait dans les textes. Ça ne voulait plus dire qui va à l’indéfini, ça voulait dire inassignable et pourtant déterminé. Et ça me semble une conception du virtuel à la fois très, très nouvelle et très [103 :00] rigoureuse. Encore fallait-il avoir la technique et les concepts pour que prenne un sens cette expression un peu mystérieuse au début: inassignable et pourtant déterminé. Or encore une fois, c’est inassignable puisque c’est devenu égal à zéro, et puisque e est devenu égal à zéro. C’est donc inassignable. Et pourtant c’est complètement déterminé puisque c sur e, à savoir 0 sur 0, n’est pas égal à zéro ni à 1, c’est égal à x sur y. Voyez ? Là, je trouve, il a vraiment un génie de prof en plus, parce que, en effet, preuve qu’il réussit son coup, il savait, par exemple, comment expliquer à quelqu’un qui n’a jamais fait que de l’algèbre élémentaire ce que c’est que le calcul différentiel. [104 :00] Il ne présuppose aucune notion du calcul différentiel, et le calcul différentiel, je précise, ça serait bien autre chose, ça serait bien autre chose à manier.

Or qu’est-ce que j’en tire pour mon compte ? Tout ce qu’il nous fallait, il ne nous fallait pas tellement plus, c’est que l’idée qu’il y a continuité dans le monde, ça prend quand même un sens rudement plus concret. Il ne s’agit plus de dire simplement — et là, il me semble aussi qu’il y a trop de commentateurs de Leibniz qui font de la théologie plus que Leibniz n’en demande: ils se contentent de dire que, eh ben, oui, l’analyse infinie, c’est dans l’entendement de Dieu. — Et c’est vrai, c’est vrai, d’après la lettre des textes, c’est dans l’entendement de Dieu. Mais, nous, il se trouve qu’on a l’artifice, avec le calcul différentiel, on a l’artifice non pas de nous égaler à l’entendement de Dieu – chose évidemment impossible — mais le calcul différentiel nous donne un artifice tel que nous pouvons opérer une approximation bien fondée de ce qui se passe dans l’entendement de Dieu. [105 :00] Qu’est-ce qui se passe dans l’entendement de Dieu tel qu’on peut l’approcher grâce à ce symbolisme du calcul différentiel, puisque après tout, Dieu aussi opère par symbolique, pas la même, mais il opère par les symboles ? Eh ben, cette approximation de la continuité, c’est quoi ? C’est que le maximum de continuité est assuré lorsqu’un cas étant donné, le cas extrême ou [Pause]… le cas extrême ou contraire [Pause] peut être d’un certain point de vue considéré comme inclus [Pause] [106 :00] dans le cas d’abord défini.

Vous définissez le mouvement, peu importe ; vous définissez le polygone, peu importe ; vous considérez le cas extrême ou contraire, à savoir le repos, le cercle qui est dénué d’angle. [Pause] La continuité, et c’est par là qu’il y a le labyrinthe, c’est l’instauration du chemin selon lequel, ou suivant lequel le cas extrinsèque, le repos contraire du mouvement, le cercle contraire du polygone, tout ce que vous voulez, le cas extrinsèque peut être – alors là, tout doit s’éclairer comme dans un coup de foudre pour vous – je dirais, à la lettre, il y a continuité lorsque le cas extrinsèque peut être considéré [107 :00] comme inclus dans la notion du cas intrinsèque. Simplement il vient de montrer comment et pourquoi. Vous retrouvez exactement la formule de la prédication: le prédicat est inclus dans le sujet.

Le cas extrinsèque, encore une fois, comprenez bien : j’appelle «cas général intrinsèque» le concept de mouvement qui recouvre tous les mouvements. J’appelle «cas extrinsèque», par rapport à ce premier cas, le repos ou bien le cercle par rapport à tous les polygones, ou bien le triangle unique par rapport à tous les triangles combinés. Je me charge de construire un concept [108 :00] différentiel qui implique précisément tout le symbolisme différentiel, je me charge de construire un concept qui, à la fois, correspond au cas général intrinsèque et qui, pourtant, comprend aussi le cas extrinsèque. Je dirais, là, si j’y arrive, je peux dire qu’en toute vérité le repos, c’est un mouvement infiniment petit, tout comme je dis que mon triangle unique, c’est [Pause] l’opposition de deux triangles semblables opposés par le sommet, simplement, dont l’un des deux triangles est devenu inassignable. A ce moment-là, il y a continuité du cercle au polygone, et du polygone au cercle, il y a continuité du repos au mouvement, il y a continuité des deux triangles semblables opposés par le sommet à un seul triangle.

Parenthèse : toute la géométrie, et là, croyez-moi, [109 :00] surtout que, à propos de l’État, je ne sais pas si vous vous rappelez, j’ai fait une allusion, je n’étais pas très long là-dessus, j’aurais dû l’être parce que ça serait… Quand au XIXe siècle, en plein XIXe siècle, un très grand mathématicien, qui s’appelle [Jean-Victor] Poncelet, fera, assoira la géométrie projective en son sens le plus moderne, il sera directement leibnizien.[11] La géométrie projective tout entière est fondée sur précisément ce qu’on appelle, ce que Poncelet et les contemporains appelaient un axiome de continuité selon lequel, tout simple, si vous prenez, par exemple, un arc de cercle coupé par une droite en deux points, si vous faites remonter la droite, il y a un moment où elle ne touche plus l’arc de cercle qu’en un point, c’est la tangente, et un moment où elle sort du cercle, elle ne le touche plus en aucun point. L’axiome de continuité de [110 :00] Poncelet réclame la possibilité, encore une fois, de traiter le cas de la tangente comme un cas extrême, à savoir que ce n’est pas qu’un des points ait disparu, c’est que les deux points sont toujours là, mais virtuels, et quand tout sort, ce n’est pas que les deux points aient disparu, ils sont toujours là, mais les deux sont virtuels. C’est l’axiome de continuité qui permet précisément tout un système de projection, tout un système dit projectif. Bon, ça, les mathématiques en sortiront, elles garderont ça intégralement – c’est une espèce de technique très, très formidable.

Là, ils se donnent le moyen, mais alors, vous voyez sur quoi on peut presque terminer notre rude problème ; c’est quand même marrant. Enfin, je ne sais pas si vous allez être très sensible, mais il y a quelque chose d’éperdument comique là-dedans, mais ça ne va pas du tout gêner Leibniz, pas du tout. [111 :00] Il me semble, là aussi, que les commentateurs, ils se heurtent… — mais j’ai tort de dire ça, en tout cas, je n’en sais rien — que c’est très curieux, très, très curieux. Car on patauge depuis le début dans un domaine où il s’agit de montrer que les vérités d’existence, ce n’est pas la même chose que les vérités d’essence ou vérités mathématiques. Et pour le montrer, ou bien c’est des propositions générales pleines de génie chez Leibniz, mais qui nous laissent comme ça — l’entendement de Dieu, l’analyse infinie – et alors, c’est quoi tout ça? Et enfin quand il s’agit de montrer en quoi les vérités d’existence sont irréductibles aux vérités mathématiques, quand il s’agit de le montrer concrètement, tout ce que Leibniz dit de convaincant, c’est mathématique. C’est rigolo, non? [Silence, et rires supprimés]

Alors, qu’est-ce qu’il a ? Mais vous comprenez, si vous comprenez ça, vous aurez compris comment, qu’est-ce qu’il répondrait. Voilà, un objecteur de service dirait à Leibniz [112 :00] – d’ailleurs tout lui a été dit ; qu’est-ce qu’il a subi, Leibniz — un objecteur viendrait et lui dirait, oh, mais Leibniz dit, oh, ça ne va pas la tête ? tu nous annonces que tu nous parles de l’irréductibilité des vérités d’existence, et cette irréductibilité, tu ne peux la définir concrètement qu’en utilisant des notions purement mathématiques. Alors, voilà ce que répondrait Leibniz. Il répondrait – ça dépendrait de son humeur – [Rires] il répondrait, comprenez bien, parce que c’est normal parce que c’est très difficile : voilà, Leibniz en toutes sortes de textes, dit beaucoup, on m’a toujours fait dire que le calcul différentiel désignait une réalité. Il dit, Je ne l’ai jamais dit; le calcul différentiel, c’est une convention, simplement, comme il dit, c’est une convention bien fondée. C’est une notion [113 :00] déjà pas commode. Donc il tient énormément — et ça, tous les textes de Leibniz ont toujours été très précis là-dessus — le calcul différentiel n’est qu’un système symbolique, il ne désigne pas une réalité, il désigne une manière de traiter la réalité.

Mais, ça veut dire quoi, une convention bien fondée? Ce n’est pas par rapport à la réalité que c’est une convention, c’est par rapport aux mathématiques. Je veux dire, c’est là le contresens à ne pas faire. Convention, d’accord. Le calcul différentiel, c’est une convention, c’est du symbolisme, mais par rapport à quoi ? C’est du symbolisme par rapport à la réalité mathématique, pas du tout par rapport à la réalité réelle. C’est par rapport à la vérité mathématique que le système différentiel, que le calcul différentiel est une fiction. [114 :00] Il emploie aussi bien le mot «fiction bien fondée». C’est une fiction bien fondée par rapport à la réalité des mathématiques. En d’autres termes, le calcul différentiel mobilise des concepts qui ne peuvent pas se justifier du point de vue de l’algèbre classique, c’est évident, ou du point de vue de l’arithmétique, c’est évident. Des quantités qui ne sont pas rien et qui sont égales à zéro, c’est du non-sens arithmétique. Donc ça n’a ni réalité arithmétique, ni réalité algébrique ; c’est une fiction.

Donc, à mon avis, il ne veut pas dire du tout que le calcul différentiel ne désigne rien de réel, il l’aurait dit. Il veut dire que le calcul différentiel est irréductible à la réalité mathématique. C’est donc une fiction en ce sens, mais précisément en tant qu’il est une fiction, il peut nous faire penser l’existant, en tant qu’il est une fiction par rapport à la réalité mathématique. [115 :00] Il peut nous faire penser ce qui est irréductible à la réalité mathématique, à savoir l’existant dans sa réalité. En d’autres termes, le calcul différentiel est une espèce d’union des mathématiques et de l’existant, à savoir: c’est la symbolique de l’existant, et c’est parce qu’il est une fiction bien fondée par rapport à la vérité mathématique qu’il est dès lors un moyen d’exploration fondamental et réel de la réalité d’existence. [Pause] Dès lors, vous voyez ce que veut dire «évanouissant», puisque c’était mon point de… [départ] «Différence évanouissante», c’est lorsque le rapport continue [116 :00] alors que les termes du rapport se sont évanouis. Le rapport c sur e continue alors que grand C et grand E se sont évanouis, c’est-à-dire coïncident avec grand A. Vous avez donc construit une continuité par le calcul différentiel.

Et là, Leibniz devient beaucoup plus fort, pour nous dire: eh ben, voilà, comprenez que dans l’entendement de Dieu – là, alors, il peut vraiment refaire de la théologie avec [mots indistincts] – il peut nous dire, comprenez, dans l’entendement de Dieu entre le prédicat pécheur et la notion d’Adam, il y a une continuité. Il y a une continuité par différence évanouissante au point que quand il crée le monde, Dieu ne fait que calculer. [117 :00] Et quel calcul! Évidemment pas un calcul arithmétique, il n’a pas besoin de le dire. Alors là-dessus, il peut osciller aussi ; il oscillera entre deux explications.

Bref, Dieu fait le monde en calculant. Il y a la formule célèbre de Leibniz, en Latin, en Latin c’est plus joli ; c’est beaucoup plus jolie, mais en français, vous la préférez en français, ce n’est pas mal : Dieu calcule, le monde se fait, Dieu calcule, le monde se fait. Voilà, admirez la nécessité de, je crois, tout confondre dans la philosophie si vous aimez assez la philosophie. L’idée d’un Dieu joueur – et c’est pénible dans les textes parfois parce qu’il y a trop de mélanges — l’idée d’un Dieu joueur, on la trouve partout. Si vous dites « Dieu fait le monde en jouant », [118 :00] tout le monde a dit ça. Ce n’est pas très intéressant, très bien, on peut toujours le dire, mais ça a toujours été dit ça. Et ça ne veut jamais dire la même chose. Quand quelqu’un vous dit, « le monde n’est qu’un jeu de Dieu », « Dieu fait le monde en jouant », il ne faut pas lâcher, quelqu’un qui vous donne un secret aussi important. Il ne faut pas le lâcher ; il faut lui dire, « mais quel jeu ? » Les jeux, ça ne se ressemble pas.

Il y a un texte célèbre d’Héraclite ; alors là, on peut toujours en parler parce que quand c’est des petits bouts de phrases. Alors, il est question de l’enfant joueur qui vraiment constitue le monde. Il joue, mais à quoi? Ils jouent à quoi, les Grecs et les enfants grecs? Ils jouent à quoi ? Alors, il y a des éditions qui disent, « au tric-trac » ; il y a d’autres éditions d’Héraclite qui disent « au palais », « palais », c’est un autre jeu, bon. [119 :00] Ils peuvent dire ça, mais Leibniz ne dirait pas ça. Qu’est-ce qu’il dit quand il dit « Dieu … » — Quelle heure il est ? [Réponse] Une heure ? Oo, là, là ! Vous n’en pouvez plus ! Eh ben, j’ai presque fini. – Il ne dit pas ça, Leibniz.

Quand il s’explique sur le jeu, il prend deux explications. — Vous allez voir pourquoi ça termine notre étude aujourd’hui – Il lance… Il avait trouvé plein de trucs dans un domaine, dans un petit domaine de mathématiques tout à fait compliqué. Le domaine de mathématiques, c’est les problèmes de pavage, à cheval sur les mathématiques et l’architecture. Les problèmes de pavage, ce n’est pas rien, les problèmes de pavage ; ça doit intéresser tout le monde, les problèmes de pavage. Une surface étant donnée, avec quelle figure la remplir complètement? Bien plus, alors, problème plus compliqué: si vous prenez [120 :00] une surface rectangulaire et que vous voulez la paver avec des cercles, vous ne la remplissez pas complètement. Avec des carrés, est-ce que vous la remplissez complètement? Ça dépend de la mesure. Avec des rectangles? Des rectangles égaux ou pas égaux? Le problème va se compliquer : à supposer deux figures, lesquelles se combinent pour remplir complètement un espace? Si vous voulez paver avec des cercles, avec quelle autre figure vous comblerez les vides? Très intéressant, ça ; on peut prévoir des choses, il y a des formules, il y a plein, plein de choses. Ou bien vous consentez à ne pas remplir tout ; voyez, c’est très lié avec le problème de la continuité. Mais, dans quels cas et avec quelles figures et quelles combinaisons de figures différentes arriverez-vous à remplir le maximum possible? [121 :00] Ça met en jeu des incommensurables, ça met en jeu des incomparables, tout ça – ça le passionne, les problèmes de pavage.[12]

Lui, quand il dit que Dieu fait exister et choisit le meilleur des mondes possibles, on a vu ce qu’il était en train de… ça, on verra cela plus tard parce que c’est tellement compliqué, mais on a déjà, on devance, on comprend Leibniz avant qu’il n’ait parlé maintenant parce que, qu’est-ce qu’il est en train de dire, le meilleur des mondes possibles ? Ça a été la crise du leibnizianisme, ça a été le retournement, l’anti-leibnizianisme généralisé du XVIIIe siècle: ils n’ont pas supporté l’histoire du meilleur des mondes possibles. Voltaire et tout ça, il avait raison Voltaire. C’est-à-dire qu’ils étaient arrivés avec une exigence de philosophie qui n’était évidemment pas remplie par Leibniz, notamment du point de vue de la politique. Donc, ils ne pouvaient pas pardonner à Leibniz.

Mais Leibniz, si l’on se lance dans une démarche pieuse, qu’est-ce que Leibniz voulait dire par le monde qui existe est le meilleur des mondes possibles? [122 :00] Il veut dire une chose très simple: comme il y a plusieurs mondes possibles, simplement ils ne sont pas compossibles les uns avec les autres, Dieu choisit le meilleur, et le meilleur, c’est quoi ? Ce n’est pas celui où on souffre le moins. L’optimisme rationaliste, c’est en même temps d’une cruauté infinie; ce n’est pas du tout un monde où on ne souffrirait pas, c’est le monde qui réalise le maximum de continuités. C’est évident que, c’est évident que le cercle, si j’ose une métaphore inhumaine, mais c’est évident que le cercle souffre lorsqu’il n’est plus qu’une affection du polygone. C’est un mot même des mathématiciens, une « affection ». Lorsque le repos n’est plus qu’une affection du mouvement, imaginez la souffrance du repos. Simplement c’est le meilleur des mondes parce que c’est celui qui réalise le maximum de continuité. D’autres mondes étaient [123 :00] possibles, mais ils auraient réalisé moins de continuité. Ce monde est le plus beau, le meilleur, le plus beau, le meilleur, oui, le meilleur et le plus beau, le plus harmonieux, etc., uniquement sous le poids de cette phrase impitoyable: parce qu’il effectue le plus de continuité possible. Alors si ça se fait au prix de votre chair et de votre sang, peu importe.

Et ce qui complique tout, c’est que, comme Dieu n’est pas seulement juste, c’est-à-dire poursuivant le maximum de continuité, mais comme il est en même temps d’une coquetterie, il veut varier son monde. Alors, c’est en réalité le monde qui effectue le maximum de continuité, mais Dieu la cache, cette continuité. Il l’abrise. Il fout un segment qui devrait être en continuité avec celui-là, eh ben, le segment qui devrait être en continuité, il le met ailleurs. Pourquoi ? [124 :00] Pour cacher ses voies. On ne risque pas de s’y retrouver, nous, mais ça se fait sur notre dos, ce meilleur des mondes. Vous voyez ? Évidemment le XVIIIe siècle ne trouvera pas que c’est très, très bien, toute cette histoire de Leibniz. Mais c’est, en effet, le monde de la continuité. Alors, voyez, les problèmes du pavage expriment très bien ce choix du meilleur monde: le meilleur des mondes sera celui dont les figures et les formes rempliront le maximum d’espace-temps en laissant le moins de vide.

Deuxième explication de Leibniz, et là il est encore beaucoup plus fort: le jeu d’échecs. Si bien qu’entre la phrase d’Héraclite qui fait allusion à un jeu grec et Leibniz qui fait allusion au jeu d’échecs, il y a toute la différence qu’il y a entre les deux jeux au moment même où la formule commune «Dieu joue» pourrait [125 :00] faire croire que c’est une espèce de béatitude. Car comment est-ce qu’il conçoit le jeu d’échecs, Leibniz ? Très simple : l’échiquier, c’est un espace; les pièces, c’est des notions. Quel est le meilleur coup aux échecs, ou le meilleur ensemble de coups? Vous savez, dans tous les problèmes d’échecs, vous avez des bifurcations, comme dirait l’autre « Le jardin aux sentiers qui bifurquent ». Eh ben, le meilleur coup ou ensemble de coups, c’est celui qui fait qu’un nombre déterminé et avec des valeurs déterminées de pièces tient ou occupe le maximum d’espace, l’espace total étant détenu par l’échiquier. Il faut placer votre fou, [126 :00] votre cheval, votre… reine, vos pions de telle manière qu’ils commandent le maximum d’espace, pour que l’autre soit… [Deleuze ne termine pas]

Et enfin, qu’est-ce qui ne va pas là-dedans ? Pourquoi est-ce que ce ne sont que des métaphores? Là aussi il y a une espèce de principe de continuité – le maximum de continuité. Qu’est-ce qui ne va pas dans ces deux métaphores, aussi bien de pavage que du jeu d’échecs ? C’est que dans les deux cas, vous avez référence à un réceptacle. On présente les choses comme si les mondes possibles rivalisaient pour s’incarner dans un réceptacle déterminé, dans le cas du pavage, c’est la surface à paver; dans le cas du jeu d’échecs, c’est l’échiquier. Mais dans les conditions de la création du monde, il n’y a pas de réceptacle préalable.

Il faut donc dire que le monde qui passe à l’existence, [127 :00] c’est celui qui réalise en lui-même le maximum de continuité, c’est-à-dire qui contient la plus grande quantité de réalité ou d’essence. Je ne peux pas dire d’existence, puisqu’existera le monde qui contient, non pas la plus grande quantité d’existence, mais la plus grande quantité d’essence sous les espèces de la continuité. Et, en effet, la continuité, c’est précisément le seul moyen d’obtenir le maximum de quantité de réalité. Vous comprenez ?

Voilà, cela devient une vision très, très belle, comme philosophie. Je considère que j’ai répondu, dans ce second paragraphe, à la première question, à savoir qu’est-ce que c’est que l’analyse infinie? Je n’ai pas répondu encore à la question: qu’est-ce que c’est que la compossibilité ? [2 :08 :00] Voilà. [Fin de la séance] [2 :08 :04]


[1] Cf. https://www.youtube.com/watch?v=LzJQNX6W53s

[2] Il faudra signaler que cette transcription renouvelle entièrement le texte disponible depuis une vingtaine d’années à Web Deleuze dans la mesure où nous suivons intégralement ici, sans coupures ni transpositions de texte, la version audio également disponible à YouTube, Web Deleuze, Paris 8, et dans The Deleuze Seminars. Nous élargissons ainsi le texte de cette deuxième séance du séminaire par [une quarantaine de minutes, sur l’équivalent d’à peu près quatre-vingts qui se trouvent dans l’ancienne transcription.] [Nous profitons, pourtant, de l’enregistrement alternatif de Web Deleuze, et donc de l’ancienne transcription, afin de suppléer les deux trous du texte qui ont lieu lors du changement des cassettes à la fin des parties 1 et 2.]

[3] La partie II de Le Pli. Leibniz et le Baroque s’intitule « Inclusions », composée du chapitre 4, « La raison suffisante, » chapitre 5, « Incompossibilité, Individualité, Liberté, » et chapitre 5, « Qu’est-ce que l’événement ? ».

[4] Dans la séance sur Leibniz qui a lieu le 27 janvier 1987, Deleuze élabore en détail à la fois l’exemple tiré de la Théodicée, et celui tiré des Fictions de Borges.

[5] Le texte de Borges présente cette phrase ainsi : « aux nombreux avenirs, non à tous » dans le commentaire présenté.

[6] Voir la séance 5, le 6 janvier 1987, du second séminaire sur Leibniz pour un développement bref de cet ouvrage de Malebranche.

[7] Il n’est pas tout à fait clair à quel écrit de Merleau-Ponty Deleuze se réfère ici, peut-être un des essais recueillis sous le titre Eloge de la philosophie, Leçon inaugurale faite au Collège de France le jeudi 15 janvier 1953 (Paris, Éditions Gallimard, 1953).

[8] En ce qui concerne cette lettre, voir la séance sur Spinoza, le 20 janvier 1981, aussi celle du 10 février 1981, et aussi, de Deleuze, Spinoza, philosophie pratique, pp. 111-112.

[9] Dans la transcription de Web Deleuze, on trouve ici la notation : «[Explication de Deleuze sur le calcul différentiel] ».

[10] Dans la transcription de Web Deleuze, on trouve ici la notation : « [Explication de Gilles Deleuze qui dessine au tableau, avec dessin à la craie: construction de triangles. 85 :30 à 93 :30] »

[11] Voir aussi la discussion de la géométrie projective et de Poncelet lors de la séance 9 du séminaire précédent, le 26 février 1980.

[12] Deleuze revient à ce même sujet, du pavage, lors de la séance du 27 janvier 1987, la huitième séance sur Leibniz et le baroque.


For archival purposes, an initial version of this translation was prepared based on the available transcript at Web Deleuze and posted there in 1997, then prepared for addition to this site in February 2019. Additional revisions to both the French transcript and the English translation occurred in April 2019 based on access to the YouTube video of the seminar. Subsequent revisions of the transcript, based on close review of the audio recording, were completed in October 2020, with additional updates to the translation and transcript completed in June 2023 and a revised description completed in September 2023.