February 26, 1980

We are temporarily putting aside the concern of connecting this theme to our main topic, and we are considering for itself the question: what is an axiomatic? First, because this could be useful for us, but especially because that [term] seems to be to create many problems even for understanding, not only what science is, but what we might call a “politics of science”. And the last time, I had just chosen an extremely simple example to try to have you sense what an axiomatic is. … You define a purely functional relationship between any-elements-whatsoever (éléments quelconques). What does any-elements-whatsoever mean? It means: you do not specify the nature of the elements you are considering; you determine a functional relationship between any-elements-whatsoever insofar as being any whatsoever.

Seminar Introduction

Following publication of Anti-Oedipus in 1972, Deleuze continues to develop the proliferation of concepts that his collaboration with Guattari had yielded. As part of this process of expanding concepts in order to produce the sequel of Capitalism & Schizophreinia, A Thousand Plateaus, this series of 13 lectures on “The State Apparatus and War Machines” constitutes the major seminar of 1979-80 and Deleuze’s penultimate consideration of these concepts. Deleuze first considers material begun during the previous year’s seminar, material corresponding to plateaus 12 (1227: Treatise on Nomadology – The War Machine), 13 (7000 B.C.: Apparatus of Capture), and 14 (1440: The Smooth and the Striated).

Deleuze then returns to the history of philosophy with five sessions on Leibniz and then concludes the academic year, at his students’ request, with two final sessions of reflections on Anti-Oedipus.

English Translation


After discussion of possibilities for a subsequent seminar (including on Leibniz), Deleuze defines the current session as a “parenthesis” for considering “what exactly is the axiomatic?” since he sees the axiomatic as the only discourse allowing a direct comparison between heterogeneous sets or domains insofar as being heterogeneous (cf. A Thousand Plateaus, plateau 13’s final section). He starts with the axiomatic as determining functional relations between any elements whatsoever, also insisting that an axiomatic refers to models of realization in which elements take on a qualified nature. After clarifying the distinction between axiomatization (cf. David Hilbert) and logical formalization (cf. Bertrand Russsell), he concludes that while the axiomatic is the functional relations that refer to models of realization, formalization is the formal relations which constitute models to be realized. In terms of the State apparatus, he hypothesizes that unlike the archaic State, the modern State has ceased to be a model to be realized, becoming instead a model of realization in relation to an axiomatic. After some brief discussion with students, he discusses the enunciation of the set of axioms as a new type of experimentation, allowing him to consider ways in which axiomatics, while inherently innovative, can also be contradictory and subject to failures. Then Deleuze returns to the four categories (or problems) introduced at the end of the previous session (cf. A Thousand Plateaus, pp. 461-473), topical conjunctions between flows, generalized flow conjugations, and connections allowing flows to escape the axiomatic and putting them into vectors of flight. This discussion leads him to focus, first, on a Dutch school of mathematics, intuitionism or constructivism, that reacted against the axiomatic and calling for a calculus of problems. Then he traces three cases in the history of mathematics of this kind of duality (first, in Greek geometry, second, a double pathway from the 17th to the 19th century, regarding algebra and analytical geometry, third, formation of axiomatic power versus anti-axiomaticians). Summarizing the categories cited earlier, Deleuze associates the third category of connections to the calculus of problems and mathematics of the event, which attracts him particularly since this mathematics does not seek true or false, but sense or nonsense of the problem. Finally, returning to the question of the State and politics in terms of an axiomatic, he outlines four aspects of this intersection, Deleuze notes four problems linked to an axiomatic, first, the process of adding and withdrawing axioms at the level of capitalism; second, the axiomatic’s saturation; third, the status of models for realizing the axiomatic of capital; and, a fourth aspect to be considered at the next session.

Gilles Deleuze

Seminar on Apparatuses of Capture and War Machines, 1979-1980

Lecture 09, 26 February 1980

Transcribed by Annabelle Dufourcq; augmented transcript, Charles J. Stivale

Translation by Charles J. Stivale


Part 1

On the other hand, … we’ll soon… we’ll soon have finished the first part of our work, right? So, I appeal to you very strongly, to a certain number of you, because, myself, I would conceive of the year-end, the second part… in the form of me making myself somewhat available to you, that is, doing separate things based on the state of some of your own work … Whether this would consist of details … for example, you can very well ask me … according to your own work, to prepare a session on an author or on… a subject… All that, we would do very… disconnected things, eh? So, it’s up to you to consider this.

So, there are already some people who have asked me to prepare… but, there, that seems bigger to me, that is, it is if… to prepare something that would be like a kind of… as a presentation on a very great philosopher, but a very difficult philosopher, named Leibniz. So, in fact, I could, unless there are… but… if you have some subjects that… about which you would like… — it is up to me to say “I can” or “I cannot”, obviously — if you have topics or problems related to your own work, we can, eh, we can see. So, think about it for the next time and the time after that, unless there are already some …

Or else… like… I think, but, here, that depends greatly on you as well, there are a certain number among you here who… who have been working with me for… a long time, for many years, and all that we’ve been doing for four or five years, I think that these are still some very diverse things, but these are things revolving around the same notions. So, it may be useful to go back to certain notions on which we have been working for several years. In the end, anything is possible; it’s up to you to… You will tell me, either right now, or next time, or still at another time. Otherwise, I’ll do something about Leibniz if there’s no… special request.

A student: [Inaudible]

Deleuze: Lichtenberg? That’s not enormous, right?

The student: [Inaudible]

Deleuze: Yes, but… what he’s known for…

The student: [Inaudible] that enlightened me!

Deleuze: yeah, yeah, yeah… I can’t. I don’t know enough. Yeah, that’s …

Another student: [Inaudible] Jakob Böhme?

Deleuze: Yeah… I’m being careless because I can’t see myself doing something about Böhme, I wouldn’t be able to … yeah. I mean, you never know, yeah … Yeah, yeah.

Another student: [Inaudible]

Deleuze: [Alois] Riegl, yes.[1] Yes, yes, yes, yes. But that, we will perhaps come back to this a little bit later …

A student: [Inaudible]

Deleuze: Yes, yes! Oh well, yes. Yes, yes, yes, yes, yes… yes. That we can, yes, [Henri] Maldiney, yes.[2] Yes…

A student: [Inaudible]

Deleuze: Good! There we are. I would like you to continue to accept this convention on which we were working two weeks ago [actually, three weeks]: I’m trying … We really forget where we have reached in our analysis of the State. And I’m making a very long parenthesis to ask: what exactly is an axiomatic? I am saying: this is a long parenthesis since an axiomatic has nothing to do with the problem of the State. An axiomatic is a certain type of system or discourse specific to … mathematics. Fine. Just… just this point, don’t forget that the hypothesis that causes us to pass through this detour is the hypothesis that it wouldn’t be inaccurate — I’m not going any further, that is, I’m weighing my words relatively, I’m using conditionals — it would not be inaccurate to treat the so-called modern political situation as an axiomatic.

So… but… temporarily, let’s forget this concern which links this topic to our subject. And we are considering for itself, for itself, the question: but what is an axiomatic? First of all because it can always be useful, but above all, because… it seems to me to pose a lot of problems even to be able to understand, not only what science is, but what we can call “a politics of science”. And, the last time, I just chose an extremely simple example to try to make you feel what an axiomatic is. And I am recalling this example because, if you don’t grasp it a bit… but… I am recalling it by outlining even more this example that I had already simplified myself; I am simplifying it even more by saying: here is an example of axiomatics. [Pause]

You define a purely functional relation between any elements whatsoever (éléments quelconques). Any elements whatsoever, what does that mean? It means: you do not specify the nature of the elements that you are considering; you determine a functional relation between any elements whatsoever. You’re going to tell me: this is very weird, really. What does that mean?

Let’s consider the symbolic form xRy. xRy, capital R is the functional relation between any two elements whatsoever, x and y. You will tell me: that really doesn’t get us very far. You determine… — we are leaving aside why you determine… how you determine… we will see that, later — and I assume that we determine axioms, axioms which will correspond to the functional relation xRy, x Relation y. First axiom that you determine – I’m choosing only two, really, to keep this simple, right? –, eRx = xRe = x. eRx = xRe = x. There you are, you treat this proposition, this equation as an axiom, that is, as a first proposition which is not derived from any other.

Second axiom: xRx’= x’Rx = e. Good. Why is this a second axiom? Because this second proposition is not supposed to be able to be proved based on the first. It introduces something irreducibly new. If I find myself faced with a proposition that can be proved based on the axioms previously determined, I would say that this is not an axiom but a theorem. So, a set of axioms is a set of independent propositions which assume nothing else and from which the theorems will result.

I return to my two axioms. What is that? Well, an axiomatic refers… and this is the second essential notion — the first essential notion is the idea of ​​uniquely functional relation between any elements whatsoever — the second fundamental notion of an axiomatic is that, as we had seen, of a model of realization. We will say that an axiomatic, as a set of functional relations between any elements whatsoever, refers to domains, to models of realization in which these are realized. What does it mean that these are realized there? This means that, in these domains, in these models of realization, the elements take on a qualified nature. The any elements whatsoever take on a qualified nature. An axiomatic, therefore, if we created an axiomatic of the axiomatic, I believe that it would not be difficult to demonstrate — this would be a theorem — that an axiomatic necessarily includes several models of realization, if only possible or virtual models of realization, to the point that the notion of an axiomatic having only a single model of realization, model of realization, would be contradictory.

But, well… I am saying: an axiomatic has models of realization; let’s again choose in the example, there, the minimum example that I have just used: the axiomatic that I have just defined with two axioms, with two axioms; by staying with, by staying with two axioms, this axiomatic has a first model of realization, which is what? Which is the domain … — or rather no, not the domain — which is the addition, the addition of real numbers. In what? I reread my first axiom: there is an element e such that, for any element x, we have: eRx = xRe = x. In the case of addition of real numbers, this element e is zero. [Pause] You can indeed write 0 + addition of real numbers; that will give you, in the “addition of real numbers” model of realization, that will give you: 0 + x = x + 0 = x. Try it for division, multiplication; it doesn’t work like that. So, that allowed you to circumscribe the addition of real numbers. Second axiom: for every element x, there is an element x’ such that xRx’ = x’Rx = e. For the addition of real numbers, x’ is the negative number, -x. [Pause] Fine.

But then why did we look for… an axiomatic? We looked for an axiomatic precisely because the addition of real numbers does not exhaust the functional relation. There will be, virtually or actually, there will be other models of realization. I had given another model of realization of this axiomatic with two axioms, namely the composition of displacements in space, in three-dimensional Euclidean space, which, in itself, is a set entirely different from the addition of real numbers. And, this time, my first axiom will no longer be realized by e = 0, but in the case of the composition of displacements in space, my first axiom will be realized by: e equals what one calls, precisely, in this model of realization, “the identical displacement”, that is, the displacement which leaves each point of space fixed. And, for the second axiom, x’ will no longer be realized by the negative number, but by what is called, in this model of realization, in this second model of realization, by what is called “the inverse displacement”.

Suddenly, if I redeveloped this example, it is for a very simple reason: it is that it seems to me that, starting from such a simplified example, one sees what there is that’s extraordinarily original in an axiomatic. I would say that it … [Deleuze does not finish] You see that, in fact, the axiomatic in itself only encompasses functional relations between any elements whatsoever. You understand, our purpose is not to do math here; it’s really to have this minimum that allows us to… to understand what they wanted to do, the… the people who created axiomatics. The axiomatic itself only encompasses that: functional relations between any elements whatsoever insofar as being random (quelconques). One doesn’t even have to ask what … what an axiomatic is talking about: the question has no meaning since it [the axiomatic] is talking about any elements whatsoever, and it defines functional relations between these elements as such.

But then it’s … what makes this so important? Why is this interesting? Because the axiomatic really seems to me to be the only thing … the only discourse that allows a direct comparison, a direct confrontation, a direct comparison between heterogeneous sets or domains insofar as being heterogeneous. These will be the same functional relations between any elements whatsoever that you will discover in the “addition of real numbers” set and in the “composition of … er, composition of displacements in Euclidean space” set. I am asking: is there another method which we… There I am speaking quite positively about axiomatics, so for…, but we will see that… that… we will also see that there it has problems, right? But, for the moment, it’s … it’s a pretty amazing method that by no means can be taken for granted. It gives us the means… and I don’t see any other way, at first glance… at first sight… , at first glance, we do not see any other way to compare heterogeneous domains insofar as they are heterogeneous and to compare them directly, that is, without going through homogenization. There we have it. So, you would have to understand that, because otherwise… So, I am even quite willing to start all over again, if you do not understand, but… You’d have to [understand], because otherwise… Either you have to understand, or else you have to leave during this class time, because otherwise everything … everything depends on that, right? There we are. So, think carefully… Do you understand?

Some students: [Inaudible]

Deleuze: Very good, great!

A student: [She refers to the element e which is defined in Axiom 1, but also in Axiom 2, which seems to call into question the independence of the axioms of the axiomatic]

Deleuze: It’s not that they don’t have [independence]… Yes, in that sense, yes! Yes, yes. But one cannot be deduced from the other; this is what I call independence … or what we call the independence of axioms. In other words, one is not a theorem that depends on the other. Fine.

So, if you have understood that, I immediately ask, because this is a subject that lingers in… a bit in everything… both in the history of all these things and also… which arises directly, and which, at the same time, never comes up, well at least among the authors that I have read, that does not seem to me … it’s not convincing, so all the more reason to say to yourself, to seize the opportunity, to tell yourself: Do we have the means to bring just an … attempt at some precision in all this? We are always told: be careful, though, do not confuse logical formalization and axiomatization. So, even at the historical level, that occurred; it was at the same period that the great axiomatics are created with, among others, a very great mathematician named [David] Hilbert and that a logical formalization is created which will receive the name of logistics, and therefore also a great logician and great mathematician directs and develops the thing all the way to… to an unequaled point, namely [Bertrand] Russell. And, you have only to read, even without … even understanding very badly, you understand, one doesn’t have to … it’s not necessary to understand everything, right? You just have to read a page from Russell and a page from Hilbert, [and] you can see that literally they’re not the same world. Logical formalization is not at all the same as an axiomatic, as axiomatization.

And all I want to say is, so, well, what’s the difference? What’s the difference? How does an axiomatic, as I have just tried to define it and as you have understood it so well, differ from a formalization? I would say, a formalization, here’s what it is: it is the emission (dégagement) and the determination of formal relations between elements specified according to such or such a type. I am weighing every word, eh. At least you see, even before I explain myself, that it’s not the same thing. “Functional relation” is opposed to “formal relation”; “any element whatsoever” of the axiomatic is opposed to “specified elements” of formalization. But then, if the elements are specified, that is, are defined as one thing or another, how is there formalization? And what are formal relations in their difference with functional relations?

This is where the notion of type comes into play in a fundamental way and has always been present in formalizations, although … it is well known that the particular author of a theory called, in the field of logistics, “the theory of types”, namely Russell himself, that is, that this theory was constituted late. That means that, in a way, it was being used before it was theorized. And the theory of types consists in determining as a condition under which one can state about propositions the distinction of: a plurality of types according to which propositions are likely to fit into each other. What, in fact, is the principle of the theory of types? Quite simply, it’s this: a set does not contain itself as an element. [Pause]

What does this mean, “a set does not contain itself as an element”? It means something very, very simple. I am selecting an example given from Russell himself. Here is the proposition: “Napoleon has all the qualities which make a great general”; “Napoleon has all the qualities which make a great general”, good. Russell finds that “having all the qualities that make a great general” can never be treated as one of the qualities necessary to make a great general. If you define… Or else, another example given by Russell, if you define “typical French”, if you say “ah, that is a typical French person”, “typical” is not one of the characteristics used to define a typical French person. In other words, “typical” and the characteristics that define a typical French person are not of the same type. [Pause]

Good. Let’s give an example; so, I am preparing, there, … I am preparing my return to our problem. I tried to say that a certain State apparatus, what I called the archaic apparatus, in a certain way relied on the overcoding of farming communities. We saw in what sense this could be stated, in what sense it was debatable, etc. But consider this proposition: the archaic State apparatus overcodes farming communities. I would say, it’s very simple there; if I make a very arbitrary application of the theory of types; I would say: this State apparatus cannot be an agricultural community. You follow me?

Why was the theory of types… why was it created and developed by Russell – here, I’m really stating the elementary principles, but it’s a stupendous, stupendous… and very funny… theory. – Why did, why did Russell feel the need to formalize it? To find a solution to what were called the famous logical paradoxes. You know, paradoxes of the type “I’m lying”, you see, eh? The proposition “I am lying”, is it true or is it false? It’s not hard to show that it’s impossible for it to be true, it’s impossible for it to be false. Russell’s answer is quite simple: the proposition “I’m lying” is neither true nor false. In fact, if it is true, it is false, and if it is false, it is true, right? Good, anyway, you know that; it’s in every … every newspaper for amusement, right. But it really disturbed the logisticians, these things. Well then, Russell, Russell’s answer is very simple: the proposition “I lie” is neither true nor false, because it is nonsense.

And I would like you to understand, there — I am starting a parenthesis again within my parenthesis… — it is not by chance that it is the English who found and who also so fully developed this… this concept of nonsense there, and who worked so much on it. And this is very important because… if you will, in concrete experience, for me, it seems to me that… one cannot do philosophy, besides, if one does not live this experience, but there is very few things true or false… it’s not true and false that matter. That’s never what has mattered. It’s a moment for celebration when we happen upon a false proposition. A false proposition is very, very rare.

What is it that makes us all unhappy? Our common misfortune is never living within error, not at all … not at all. It is that … our common misfortune is that we do not stop either encountering or — horror! — ourselves broadcasting things that are pure and simple nonsense. But this is wonderful, I assure you; it’s a day for celebration the day you say something false. That’s not it, otherwise we say bullshit (conneries), and it’s not the same, right, these are not errors, right? Stuff that doesn’t make sense, really… Yeah, why not… We don’t stop… ah, fine… This in the domain of “neither true nor false”, it doesn’t make sense. True and false is still what makes sense. But it’s rare, rare, you know, that you even get to the possibility of true and false. Take an ordinary speech; we can’t say, we can’t even say, this is false. Take books. But there’s an enormous number of books… We read that, but we really tell ourselves…, it’s obvious that the question is not “is it true or false… What is the gentleman saying?” It’s “does that make the least bit of sense?”

I have always been struck by the following problem, to connect with the problem of mathematicians. Mathematicians are not kids at school, eh… I mean: when mathematicians don’t agree with each other, there isn’t a single one who says to the other: you were wrong, what you are saying is false. I mean… and that’s what bothered me a lot, me… I have the impression that the whole theory of truth… in classical philosophy has always been so problematic in categories of true and false, that they were always… childish, implausible, fictitious situations. In the classic theory of true and false, well, we are treated like children in school. There is always a teacher who can say to Toto: no, Toto, 2 and 2 is not 5.[3] And you will not tell me that this is what we die from. It is not because we say too often: 2 and 2 is 5. We die, there, from a much more…, a much more aggressive virus, namely the weight of our stupidity, and this is not the weight of our errors, not at all … not at all … It is the weight of all the things that we say and that we think and which have strictly, really, no meaning. Hence the question “what is nonsense?” This is an infinitely more important and urgent question than the question “what is false? “. And, once again, the false just does not exist.

And when mathematicians… Once again, except under extraordinarily abstract conditions, those of the child at school, that of the gentleman to whom I ask the time in the street, then, indeed, he can tell me something false, he can tell me “it’s three o’clock” when it’s half past two … fine, that makes me miss the train, at the outside, but … Ah … A politician in his speeches doesn’t tell us false things; he undertakes a much more pernicious operation which is to spin nonsense to an unparalleled degree.

Fine… I am saying: when two mathematicians argue, it happens… science is constituted by polemics. It is in this sense, too, that science is politics. When two mathematicians argue, it is not the situation of a teacher compared to a child; it’s not one saying to the other: ah, you thought 2 and 2 was 5. Oh, no. One says to the other or suggests: your thing is fine, but it’s without any interest, that is, it has no sense. None … At that moment, he is using very vague words; that indicates the state of the matter and that this is what we should think about. What do we mean when we say, “but this proposition has absolutely no interest”, “this proposition has no importance”? This is stuff revolving around meaning and nonsense. No sense, no importance, no interest.

What is the mathematical interest of a proposition? In thesis juries, for example, we see quite well guys that demonstrate… they demonstrate theorems, right? We can always invent theorems if we have a sufficient mathematical background. There we are, why not? No interest! We can always maintain propositions of a philosophical type, but they still must have an interest. What is the strictly philosophical interest of a proposition? What is the strictly mathematical interest of an equation? There are proposals that lack any interest, that is, lack any meaning. Fine.

So, you see where the theory of types was going; it consisted in saying: one of the forms — in any case, here, I don’t want to go too far — one of the forms of nonsense, one of the forms that has no sense, so it’s worse than false, it’s what can be neither true nor false. It is when, in a proposition, one contaminates proposition elements of different types, that is, one constructs a set that contains itself as an element. When I say, “I lie”, the proposition bears on itself, under conditions in which it could not bear on itself, so it is devoid of sense. So, at that point, it forcibly is neither true nor false since it doesn’t make sense.

You see, I am coming back, then, to my simpler topic: what is a logical formalization? To take up my example again, I am saying the archaic State apparatus looms over or overcodes agricultural communities. So, it is of a different type from farming communities; it is not itself an agricultural community. I would say: the proposition “archaic State apparatus” is of a different type from the proposition “agricultural communities”, exactly as Russell told us: the proposition “Napoleon has all the qualities of a great general” is not of the same type as the proposition “so and so has the particular qualities of a great general”. I mean: formalization — I am using my expression or the definition I proposed — logical or logistical formalization is the determination of formal relations between specified elements according to the type of proposition that corresponds to them. [Pause] In this sense, formalization sets up a model to be realized. [Pause]

I am coming back — but here, I am almost done with this… this… this… with this first point — I am coming back to my definition of axiomatics: axiomatics determines uniquely functional relations between any elements whatsoever. [Pause] In other words, it proceeds more by the path of formalizations which fit into one another according to the types of propositions, but it ensures a kind of point of contact (mise en contact) of universal relations as such, between any elements whatsoever, universal relations with domains… with… of… fields, of the most heterogeneous domains of realization, whereas in the formalization, you always had to go through a homogenization at the level of the higher type. Type 1 sets could not be compared, from a formalization point of view, could only be compared to the extent that they were homogenized by a type 2 set. Type 2 sets could only be compared to the extent where they were homogenized by a type 3 set.

So, there it seems to me that this is very curious. We can clearly see the innovation in the axiomatic process. I would say that the axiomatic is precisely the functional relations that refer to models of realization. Formalization is the formal relations which constitute models to be realized. And, all that I tried to show the last time is that, in the case which concerns us — here I am starting a parenthesis again — is that, in the case which concerns us, one could say by hypothesis, but it has not yet been well justified, that unlike the archaic State, the modern State has ceased to be a model to be realized; it has become a model of realization in relation to an axiomatic. [Pause] Good. This is extremely difficult, all of that, but finally … What?

A student: [Inaudible]

Deleuze: What is it?

A student: [Inaudible]

Deleuze: Oh yeah, well yeah … as we’ll come back to this, that doesn’t matter. No, it’s just… so, I would like… What?

A student: [Inaudible]

Deleuze: It’s the formalization, oh well, yes… the formulation? Uh, yes, I was saying… Yes, I just tried to show, very quickly, that, if you will, the archaic State, what we called during all our previous research the archaic Empire, insofar as being an overcoding of community, in a way, it was a formalization. In this sense, it is indeed a model to be realized. [Pause] It’s a transcendent model, isn’t it? As we have seen, modern states seem quite different. And how are they entirely different? It’s because, this time around, these are no longer models to be realized; these are models of realization. You see that the word “model” has completely changed its meaning, that is: these are the fields of realization in relation to a general axiomatic which is what? That we have tried to determine as being the axiomatic of capital. [Pause] But anyway, there, I’m getting ahead of what remains for us to do.

Georges Comtesse: [Inaudible]… in the realization model e =, for example, 0, we must suppose that there is only one axiomatic, for example, that of Hilbert, which precisely states the possibility of both zero and the successor of zero. So, there is another problem here; it is the model of realization of the formal definition of the axiomatic supposes an axiomatic which makes possible precisely the assignment of a series of integers (nombres entiers) to the model of realization as fulfilling the… the formal definition. There is a problem with the axiomatic …

Deleuze: In my opinion, sorry, it seems to me that there are two points in what you are saying. On the one hand, there is the requirement of, precisely, what axiomaticians call not, in fact, a formalization, but a meta-mathematics; that would be fulfilled by a meta-mathematics, the requirement that you are stating. And, on the other hand, in the very correct example that you yourself give, it seems to me that the need to define the successor belongs rather and constitutes … itself an axiom, an axiom which intervenes from the axiomatic of integers.

Comtesse: That’s it. That is, before saying that … [Inaudible]

Deleuze: Yes, you need an axiom of succession. [Comtesse continues to speak as does Deleuze, with barely audible remarks] I agree completely with that. Completely agree with that. An axiom is required, yes.

Comtesse: We need several axioms… [Inaudible]

Deleuze: Okay.

Comtesse: At least four axioms.

Deleuze: Okay, yeah, okay. Oh okay!

Comtesse: [Inaudible] the important thing about Hilbert is that, unlike all classical philosophy, all the classical philosophers, Descartes, Leibniz and all the others and even before, who believed that the series of integers was natural, well then, it must be founded axiomatically. We cannot be sure that if 0 is a number like, for example, [Inaudible] Hilbert’s axiomatic, that we have a successor of 0, the possibility of a successor must be axiomatically founded.

Deleuze: Yes, yes, yes.

Comtesse: This is one of the biggest problems in axiomatics, and also one of the biggest problems [is that] it makes another level of conjugation in the most heterogeneous [Inaudible].

Deleuze: Oh yes! Yes, yes! Ah, I see what you … mean, yeah. You, you would give … that’s possible, yes. I’m just saying that everyone understood, I think, that in the very example I cited, remaining with two axioms didn’t mean at all that the axiomatic that I was… defining there… that it was enough, was itself consistent, right? Comtesse’s remark, namely that this presupposes other axioms, that’s … that’s certain. And you … oh yes, you … you replaced the story there with an axiom of successibility because you think that there will be a particular use of it at the level of … at the level of a theory… of capital? It is possible, yes. It’s possible.

Comtesse: We are completely obsessed by the idea that a successor to zero is required and that zero is a number. The whole controversy is to say … for example [Inaudible] if we think that zero is a number, we cannot [Inaudible] a successor of zero, except to say that …

Deleuze: Yeah, yeah

Comtesse: [Inaudible]… unbelievable nonsense in mathematics, that for there to be a successor to zero, you have to state that zero equals one.

Deleuze: Yeah … yes, yes, yes, okay. Yes, yes. I totally agree. [Pause] Well, then, we’ll find that again, at the level of the succession, right, you will say, yes, good. There we are. Have you understood? [To the students] Shall I continue or … shall we stop? Do you want … have you had enough?

Claire Parnet: No, no, let’s continue.

A student: Why is it the Anglo-Saxons who … [Inaudible]

Deleuze: Well, why is it the English who have …? Ah well, they didn’t … No, the axiomatic, they never liked it very much, the English. You know, we find here … for me, my dream that …  because — it is not my personal dream — I tell myself: there is this path in Nietzsche which has never been taken up again, because it is a very dangerous path; one would have to be Nietzsche to… to succeed in things like that, this kind of typology of nations. Why is a particular problem linked to such … to a particular country? Eh? It’s very clear in philosophy, but it is also very clear in mathematics, all that, it is very clear … Why does a particular country provide …? It’s very odd when Nietzsche starts raving about the English mind, the German mind, the French mind, all that. So, why is it the English who … for whom the matter … a problem, it’s never … it is never abstract? I believe theorems are abstract, right, but concrete things in thought, real events in thought, are never abstract. That doesn’t mean that this is historical either; it would be necessary to invent quite different categories. But why are the problems signed? … [Interruption of the recording] [46: 08]

Part 2

Deleuze: It’s curious, nonetheless… Well… is…? I am indeed saying that it is insanely dangerous, that is, we risk falling into the worst platitudes … of … by saying: but … we would have to have the method to speak well about this. So, the English, why is it the formalization, the logistics that fascinated them, and why did they have geniuses on this topic, incredible geniuses? That seems obvious to me; in all fields, then, we should think about the vocation of England for thinking nonsense, for thinking about the problem of sense and nonsense. The English have always been guys who have said… finally, I will sum up. One of their philosophical contributions is… they’re quite… they’re quite funny, eh, the English. We always say: oh pfff… they don’t go far, it’s… They have a good laugh instead; they laugh at French philosophy, German philosophy, all that. They say, that’s good, but what does all that mean? What does it mean? What does the question “what does that mean?” mean? For the English, we can see very well, they say: oh, these are people who talk to us about the true and the false; only, here it is… they only forget one little thing; once again, it’s that the true and the false assume that what one is saying already makes sense; what interests us is: under what conditions does something …  does a proposition make sense?

So, it is in all fields that the English have been perpetually drawn to the question of sense and nonsense. Take their literature: Why is nonsense a driving aspect, that runs through English literature from beginning to end? When you find a page of nonsense, why is it that you know it’s English or American? Or Jewish? — Although Jewish nonsense is not the same thing, but anyway… generally it will not be difficult at that moment to show that it is rather… Except precisely Lichtenberg, him… there are always… little exceptions like that — But why is English thought, American thought penetrated by this problem of sense and nonsense? Whereas the French, they have always been very heavy, very clumsy, in the question of sense and nonsense. No matter how hard they try … No matter how hard they try to be light, it hardly works, eh. It hardly works, next to English nonsense, if you think… even in the cinema, if you think of… so, both Americans and Jews… the Marx [brothers], fine, the Marx [brothers] as an art of nonsense….

Fine. Whether it’s in literature, from Lewis Carroll to [Edward] Lear to… the whole tradition of nonsense, fine: is it by chance, I am saying, that their philosophers do the same in philosophy? That is, Russell is indeed a sort of great Lewis Carroll of philosophy. Good. So, there are mysteries that escape us… Good… why? Oh, there would be… there would be things to discover, ah yes. At that point one would have to, indeed, well … come to a clear definition of what nonsense is. Suddenly we might understand why this particularly interests the English and why the French have always missed out, that the Germans are still something else, something else, it’s not… [Deleuze does not complete this] Yeah, well, fine.

So, there you have it; I would like to make a second remark. There we have my first remark on the axiomatic. I would like to make a second remark on the axiomatic because it will, I believe, be very useful to us later. From everything we have just said, one might think an axiomatic is like a kind of automasticity process (procédé d’automasticité) in mathematical discourse. It is like a sort of construction of a spiritual automaton — “spiritual automaton” being a famous expression in philosophy — or, ultimately, even more, real automation.[4] Literally, these are the rules of a speech in which you don’t know what you are talking about, since you are stating relations between any elements whatsoever about which you do not specify the nature. Not only do you not need to know what you are talking about, but it is recommended that you do not know what you are talking about.

So, fine, one can have this impression that 0 — and it has been said quite often — the axiomatic tends and even proposes to expel not only all images in favor of a pure symbolism, but all the resources of the in… of intuition, of construction to replace it with the enunciation of the set of axioms. [Pause] And, in fact, one only has to look to see quite well. I mean, at the point we have reached, we can see quite clearly that the axiomatic is inseparable from a type of experimentation, undoubtedly from a very particular type of experimentation, but impossible to define in fact the axiomatic as the expulsion of experimentation; it is rather the constitution of an entirely new mode of experimentation. For I am insisting on this, nothing tells me in advance, if I undertake the axiomatic, nothing tells me in advance which axioms I must choose, and to what extent my axiomatic will be consistent or not, non-contradictory, to what extent it will be saturated or not. I remind you that an axiom is said to be saturated when I cannot add an axiom to the previous ones without the set becoming contradictory. So there can be contradictions in an axiomatic and contradictions which, if necessary, are not visible immediately, can only be seen at the level of the theorems that I deduce from it, but, even more, at what point my axiomatic is saturated?

All that is really … there is an inventiveness in axiomatics. Before speaking badly of the axiomatic, I believe that we must… we must indicate what is rather extraordinary in… in this adventure of the axiomatic. Very difficult to… there is a kind of… yes, of invention, of creation of axioms. There, then, I completely take up again what Comtesse just said. If you propose an axiomatization of arithmetic, well… yes, you will need some [inventiveness] and then to what extent will it be contradictory or not, when will it be saturated? Now, what does this kind of thing consist of …? So, it’s not at all a thing where… a mechanism would replace, right? I believe that it is, in fact, a mode of experimentation which is itself … subject to failures, to successes. Ultimately, I would say the same as for formalization; there are axiomatics which have no sense, which have no interest. So, fine… [Pause]

As a result, one cannot form from the axiomatic the idea of ​​… of a kind of constitution of infallible automatic knowledge. I insist on this because, in our comparison that we will make later, in a while, between the axiomatic and politics, we can no longer maintain as an objection the idea that, in politics, we make mistakes all the time, if in axiomatics as well … So, that is not the question. If I try to define the word, the level of the axiomatic, what will I say? So, I return to the four categories that we have … that we sketched out. The categories that we have outlined, I would say that, in the end, we should only identify three of them and indicate for convenience that we are not confusing these three concepts.

The first concept is: topical conjunctions between flows. You remember: what we were calling “topical conjunctions between flows” is in the case where flows are decoded. These are the forms in which the movement of flows is as if stopped, tied off, in a particular form or another, and it is the whole domain, as we have seen, that we called the “domain of ​​personal dependencies”. So, there were topical conjunctions.

With capitalism, in our previous analysis, we thought we were getting into a very different element. It was no longer…. It was no longer a question of topical conjunctions between flows; it was a question of a generalized conjugation of decoded flows. [Pause] And, at that point, there were no longer relations of personal dependence between subjects; there was in the end only one subjectivity, as we have seen: the subjectivity of capital. But we had defined capitalism precisely as the formation of this generalized conjugation which was distinguished from topical conjunctions.

Our question now could be: Isn’t there something else yet? Pure hypothesis, right, because there, I … I … this is just to have my terminological references. I would say: yes, there might still be something else, and that’s the connections of flows, the connections of flows which would not refer… which would be reduced neither to topical conjunctions, nor to a generalized conjugation. Why? Why would there be a need for this notion?

That’s what I meant with the experimental nature of axiomatics; it’s that axiomatics is still a way of stopping flows, in this case the flows of science. This is one more way to stop. Why? It seems to me that this is striking in the history of mathematics, or in the history of physics, since physics has been very axiomatized. The axiomatic always worked like a kind of stopping point (arrêt) … like a kind of stop, there. It’s in this way that I said, “politics of science”, where it is a question of saying to people, “ah no, one must … Do not go any further, because …”, “Do not go any further”, literally…, these flows of scientificity, these flows of mathematics, these flows of physics, etc. … we need to get this all organized. It… it flees everywhere, it leaks everywhere, all that, wherever you go, wherever you go. I’m saying that axiomatics, at the start of the 20th century, in the first half of the 20th century, in mathematics, but also in physics, worked as a means of blocking, of stopping.

Well, here is the proposition … here is the hypothesis that I would offer in the second place, in this second … in this second remark: it is that, when flows are decoded, for example, flows of science, well … they escape their topical conjunctions. But aren’t they yet moving beyond? Generalized conjugation, generalized conjugation of flows, this is still a way of blocking them, of saying: no, … For example, imagine, when did the axiomatics of physics have its major, major role? It was when, really, I believe, scientists themselves began to get worried by and about the ways and paths that so-called indeterminist physics was taking. And, at that point, there was a real need for some reorganizing. Everything unfolds as if not only scientists had told each other — there were also scholars, but not only scholars — it was as if … scholars and powers, the powers that were in charge of the politics of science, had told themselves: but anyway, what are these… what are these flows of knowledge which are more and more decoded, which… where are we going? What is this stuff? And [there was] a sort of reorganization which consisted in reconciling what is roughly called indeterminism with determinism. A great French physicist had a fundamental role there, namely [Louis de] Broglie, in this sort of reorganization, and the axiomatics of physics, for example in France, took place starting with Broglie’s students. It was really like saying: but indeterminist physics is dragging us into some stuff… [He doesn’t finish]

That’s exactly what I was saying, if you remember, concerning the famous story … of NASA, flows of capital, flows of capital, flows of capitalism that are all ready to go to the moon, but , there, there is nevertheless a State to say: ah no, no, no! One mustn’t … One mustn’t go too far. A little reterritorialization has to occur. Ah… And so, we tie it off, we seal it. The axiomatic is a bit like that; it operates a general conjugation of flows which prevents them, I would say, which prevents them from going too far, that is, from connecting with vectors of flight. It operates… how to put it, yes, I can’t find the best word, it operates as a kind of symbolic reterritorialization.

And, in math, it’s the same; axiomatics in math really has to do with … I’m thinking, for example, of the kind of flight of geometries in all directions. And now that didn’t work out, right, through the axiomatic; it continues to flow, to slip away… everywhere. The situation of current mathematics, it is … it is all the same … very, very curious, when you hear mathematicians speak … these … these situations where, really, mathematical knowledge has completely fragmented, where there is a mathematician in Japan who understands what the… what a mathematician is doing in Germany… And then there you go, and then the others… good… This kind of situation where really the flows of knowledge, there, are… are extraordinarily continuous. Fine. The axiomatic is … I repeat, the axiomatic is a kind of restructuring, structuring, symbolic re-territorialization.

You see in what sense I would distinguish, therefore, between three concepts: topical or qualified conjunctions between flows; generalized flow conjugations; and something more: connections, that is, what pushes flows even further, what makes them escape the axiomatic itself and what puts them into relation with vectors of flight. So, it is in this sense: isn’t there something other than the axiomatic that we could call the connectors type? And I think — and this is the last remark I would like to make concerning this math story — I think there has always been something very, very curious in mathematics, and it is about this that I would like to speak to complete his math story because that will continue being useful for us in our parallel with… politics.

At the same period as the formation of the first great axiomatics, to which Comtesse alluded earlier, along with Hilbert and others, coincided a mathematical movement which seems to me of very, very great interest. And there, oddly, to return — we always find the same problems — to return to our story: why was the center of this mathematical movement located in the Netherlands? It’s curious; there would be… reasons… we would need to find reasons… for that. And a very bizarre, very important school of great mathematicians who called themselves intuitionists, intuitionism or constructivism, constructionism, arose in reaction against the axiomatic. Note well: this is all the more interesting as there were also aesthetic movements that claimed to be constructivist. Fine.

I don’t know if there were any possible relationships… I don’t know. These mathematicians, I am naming them for… if, by chance, you heard about them in a book… I am naming the principal ones, it was: [L.E.J.] Brouwer, B-r-o-u-w-e-r; [Arend] Heyting, H-e-y-t-i-n-g; [George FC] Griss, G-r-i-s-s, and in France, a very, very curious mathematician, who wrote a lot, who was called [Georges] Bouligand, B-o-u-l-i-g-a-n-d and one of his best books — but that can only be found, I believe, in a library – is called The Decline… The Decline of Mathematico-Logical Absolutes [Le déclin des absolus mathématico-logiques].[5] And they were opposed to the axiomatic, I believe, in two simultaneous ways.

On the one hand, they were going in reverse (en retrait), because they demanded conditions of construction in space. But, on the other hand and at the same time — in that sense they were really going in reverse (en retrait) — but in other aspects of their work and their thinking, they were far ahead which, of course, is important to us. They could be both at the same time. As if they had demanded that, literally, mathematical flows go even further, exceed the limits of axiomatics, in particular they had a way of calling into question principles that axiomatics retained, in particular the so-called principle of excluded third, according to which a proposition is true or false, and what they opposed to the axiomatic was — and there it is very useful for us; I am not saying why yet — it was what they themselves called, well some of them called, what some of them called a calculus of problems, a calculus of problems and, indeed, when we see what they call a calculus of problems — notably the mathematician Griss did a lot of calculating of problems in the sense…, there was also a Russian in there… There was a French couple… hey! I recollect something: there was a French couple of mathematicians-physicists, students of Broglie, which represented a kind of epistemological domestic scene [Laughter] because the husband was one of the best axiomaticians and the wife was an intuitionist, [Laughter] and they had a lot, a lot of talent,… they got divorced, eh, [Laughter] but hey…

A student: [Inaudible]

Deleuze: [Jean-Louis] Destouches, Destouches, and Paulette [Destouches-] Février yes, yes, yes. She, she was making presentations on calculating problems … and he was doing axiomatics … absolutely …

But, what interests me, therefore… — this couple is nonetheless… is still very important, because they surely lived a kind of duality of inspiration… — what interests me is how we can already, in our hypothesis, without specifying anything yet, ask the question: is there not, even beyond the generalized conjugation such that an axiomatic operates, isn’t there something else which is of the “connection with particular vectors” type that goes beyond the axiomatic, that is, a calculus of problems as opposed to a determination of axioms? And what would a calculus of problems be as opposed to a determination of axioms? You feel that this is our only chance in politics, if our comparison is founded with the axiomatic. How to get out of an axiomatic?

And if I look into the history of science, into the history of mathematics, I just want to note for the record three cases that seem essential to me in which we would find something of this duality, the opposition of scientific currents, opposition… First case. First case: the opposition of two essential scientific currents in Greek geometry — I am selecting a distant example — the opposition of two very important scientific currents in Greek geometry — if… I am summarizing, it’s just… there, really for the record that… and to be able to use it later — you have a conception of Greek geometry which is very simple, which proceeds by: definitions, axioms, postulates, theorems, proofs, corollaries. This conception of geometry finds its truly royal form with the geometer Euclid. [Pause] Do not mix everything up; I am not saying at all that this is already axiomatic. I’m saying it’s a deductive system. It is certainly not axiomatic yet, but it is a system that one could call an “axiom-theorem system”. [Pause]

How to define it, this very general deductive system? I would say that this deductive system consists in defining essences in order to deduce the necessary properties from them. It goes entirely from “essences” to “necessary properties”. For example, the Platonic conception not only of mathematics, but more particularly of geometry, is a conception of this type: we go from essences to necessary properties, and this is the definition of deduction, of an ideal deductive science.

And then there is another much more … bizarre current, from the time of the Greeks. This is a current that is no longer theorematic — you see I can call the first conception a theorematic conception of mathematics, and it culminates, again, with Euclid — the other conception is a problematic conception. The essential element of this conception is no longer the category of theorem, theorem to be demonstrated; this is the category of problem to be solved.

You will tell me, and you would be right: but, in the first conception, there are already problems. Answer: yes, there are problems, but problems which are closely subordinate to the theorems. Of course, the two are intermixed, but that’s not an argument, that. There is a primacy of theorems over problems. Moreover, to solve a problem, in the first conception, is always to relate it to theorems which allow them to be solved. And, in Euclid, there are many problems, but the solution to the problems is but one and proceeds through the determination of the theorems which will make this solution possible. This is the “theorem” category that wins out over the “problem” category.

But there are some very bizarre geometricians. So, you already sense, those who know a little Greek history… or the history of Platonism, you must think that, perhaps, they are linked, for example, to currents that are known as the Sophists, that they are linked to… to people all the more bizarre since we have lost the texts, but we can… well… [Inaudible] well… It’s a problematist current. And how does the problem differ from the theorem? I am saying, the theorem is not difficult; you go from … — well, it is not difficult … — you go from an essence to the properties which necessarily follow from it. To create theorems (Théorématiser) is to determine the properties that follow from an essence. You define the essence of the circle, and you deduce its necessary properties. I seem to be saying it’s easy; it’s not easy, of course. On this point, you subordinate all the problems to your theorems. The others do not proceed in that way.

What is the difference between a problem and a theorem? It’s that a problem is not of the essence type; it is of the event type, something happening, or of the operation type. You cause something to be subjected to a figure and something extrinsic; you cause it to be subjected to a painful operation, an ablation, an addition, a squaring, a cubing (cubature), a whole surgery of the figure. It is no longer a question at all of looking for the properties which result from essences; it is a question of looking for the metamorphoses which are linked to events. Yes, that seems to me to be a perfect expression, perfect, very clear. That’s the “problem” category.

Well, ok, I’m going to cut, here, I’m going to cut an angle into my triangle; what’s going to happen? So there, I’m going act so that … a plane cuts a cone at an angle there. What’s going to happen? Good, that’s a very, very curious way of thinking. It is an event thinking (pensée événement) and no longer an essence thinking (pensée essence) at all. Events of a special type will be properly mathematical events. We will oppose geometric essences, ev… properly geometric events. Fine. And there too, you understand, one must harden, one must not harden too much in any case. Of course, in that sense, you will also find theorems, but this time around, theorems will be entirely subordinate to problems.

And I believe that, in Greek geometry, there was a kind of very intense struggle and, finally, there was a victory. The “problem” tendency would have been … completely, so it … it has the equivalent of Euclid, that’s what we know, for example, of Archimedes’ geometry. Good, this is the great Euclid-Archimedes opposition. [Pause] These are truly events of geometry as opposed to geometric essences. There you have my first case. You see that here, I can say: a problematist conception was already opposed to the theorematic conception among the Greeks.

Second example: from the 17th [century] to the 19th, from the 17th to the 19th, we agree with … many authors, historians; they agree in considering that some — not just one – some conceptions of geometry arise from which we can date so-called “modern” geometry. And along what path does that occur? That occurs along a double pathway. I am trying to define the first path, the reinforcement of a symbolic power, the reinforcement of a symbolic power, that is, to go beyond intuition or representation in space towards a symbolic power. Of what is that the pathway? This is the pathway of algebra. This is the pathway of analytical geometry, and that will open itself onto the whole future of mathematics. But in the 17th century, it was above all the development of algebra and analytical geometry. So there, you see, spatial representation, that is, intuition, is taken over onto the side of the affirmation or the development of symbolic power, yeah, algebra and analysis.

But, at the same time, another current … if I’m trying to locate names, this is, for example, Descartes. This is very much the pathway of Cartesian geometry, hence the role of Descartes in analytical geometry. And then, among the successors of Descartes: the tendency to make analytical geometry into a completed model for the whole of geometry. But there are also forms of resistance, and paradoxically a whole other coexisting pathway emerges. And this completely different pathway has some strange names and above all … some strange names because these are rather strange men who introduce it. I am naming one we talked about… back in… I don’t know, many years ago… a very, very weird geometrician named [Girard] Desargues, D-e-s-a-r-g-u-e-s, who wrote very little, but whom everyone considers to have been fundamental for the development of modern geometry. So, there is… there is… an old book from the 19th century: Les Oeuvres de Desargues [The works of Desargues] and all the adventures of his life. He had all kinds of misfortunes; he was condemned everywhere, in Parliament, he had a trial in parliament… all that. Good.[6]

If I create, if I try to create the lineage… he was greatly interested in… very oddly, he was in contact with stonemasons. You see why, in this second conception, [contact] with stonemasons and stone cutting is quite important? Why? Because stone cutting really belongs to the “what’s going on?” type. Obviously, stone cutting is problematic. This is obvious. Rounding, cutting, this is the domain of … not properties that arise from an essence, but, as was often said in the language of the era, [the domain] of affects or events that transform a figure. [Pause] One of Desargues’s texts is called, has a marvelous title, a very, very “Lewis Carroll” title even, “Draft of an essay on the events that are determined by the encounter of a cone with a plane” [Brouillon d’une atteinte aux événements que déterminent la rencontre d’un cône avec un plan].[7] You see there is the thing: encounter, attacking events. You can sense that this is not Cartesian language here; this … that langue is part of another tradition. This is the language of the problematist current. Fine, the importance of Desargues is fundamentally recognized not only by Descartes in this, who is quite correct, who in several letters says that Desargues is … he is a formidable geometrician. But here, this is no longer merely a recognition, this is almost a disciple, but a disciple who … who … will surpass the master; this is on Pascal’s path. And it is on the path of Pascalian mathematics and no longer in Descartes’s approach that we find the Desarguian generation, the generation following Desargues.

Long after … — ah … Pascal as well, this is a situation … this is a very bizarre situation in science … — long after, you have a famous name as the creator of so-called “descriptive” geometry, it’s [Gaspard] Monge. And Monge does not cease formulating a theory that he himself calls, in his language, “a theory of particular affects”, and he distinguishes the particular affects of bodies from general properties. And it’s in this way, when he deals with physics, it is very important, since he treats phenomena, for example, electrical phenomena as particular affects of bodies in distinction from general determinations of figures of the “space and movement” type. In any case: Monge’s descriptive geometry. And Monge, what is this? This is a very, very weird current, because Monge is … well … he’s fully a scholar, but he’s a scholar who is not of the same tradition as the other current. He refers to a character… to a type of character that we talked about, here, in the year … I don’t know which one, when we were considering that, namely the engineer, the military engineer, the military engineer’s science. This is a very, very strange thing.

And then, so in the line, … there is really a … a continuity here, if we try to establish continuities … there is a continuity, it seems to me, Desargues – Pascal – Monge, and then in fourth case, perhaps one of the greatest — he has his little street in Paris — [Jean-Victor] Poncelet, Poncelet who is a great military engineer, but above all, above all, the inventor of so-called projective geometry — projective, this is problematist; pro-blem equals pro-jection. Literally, it’s… it’s… it’s the same word, one in Latin, the other in Greek – Poncelet’s projective geometry, which has a great axiom, which is based on a so-called axiom “of continuity”.

And there too, to stick to examples as stupid as the one I chose for the axiomatic, what is the axiom of continuity from Poncelet, in projective geometry? You see … a circle or an arc, eh, you draw a … line that intersects the arc at two points, right? These are two real points. You make it move up. The moment comes when there is only one real point. You will continue to tell yourself, you will continue to say: there are two points, but, simply, one is fictitious, or one is imaginary. You move it up again. The line comes out of the circle and no longer intersects … and no longer intersects anything: you will continue to say that there are two fictitious points; you will have established a series of continuity between heterogeneous cases, namely: three heterogeneous cases, the case where your line actually intersects the circle at two points, the case where your line is a tangent, and, a third case, the case where your line is outside the circle. You will tell me: what is the point of introducing these imaginary points? Ah, yes indeed, I won’t tell you, because you must sense that this has a colossal interest, from the point of view of geometry, that it results in a new conception of geometry.

If I try to summarize here, at this level, the example becomes very simple… Yes, it becomes… I would say: in both cases, as well in the conception, in the first conception as in the second conception, that is, in the path of analytical geometry, Descartes, in the path of constructive projective geometry, Monge, Poncelet, Desargues, etc. .., in both cases you go beyond … — otherwise there would be no science — in both cases, you go beyond the conditions of spatial representation, that is, you go beyond simple intuition. This is common to both. This is the way in which both are scientific.

But, in one case, you move beyond spatial representation or intuition toward an increasingly consistent power of abstraction, or toward symbolic power. In the other case, I would say, it’s a entirely different — you’ll understand — you move beyond this toward a trans-intuition, that is, you develop a kind of … space between cases. In one case, I would say, you create a conjugation; in the other case, you create a connection. [Pause] You’re raising yourself into some kind of… what? A trans-spatial intuition or trans-intuition. You do not go beyond space toward a symbolic power; you are creating connectors of space. You unfold a space common to the three cases: the line that intersects, the tangent line, the line outside the circle.

I would say that my second example overlaps my first one: I will call, if you will, “deductive” or “theorematic” conception the conception which goes beyond the spatial representation towards the power of abstr … towards the symbolic power, and I will call “problematic” the Desargues, Pascal, Monge… Poncelet’s conception which goes beyond the spatial representation towards a trans-intuition or a trans-spatial intuition. And, that the two intermix … It’s possible that at some level, the two intermix, but every time, there are tensions.

I am choosing only one example because I remember it: there is that… Poncelet has a whole polemic precisely with a descendant… and a creator, but a descendant of analytical geometry, a guy who… developed the analysis to a much more advanced level… and… and who… and who is his contemporary, a mathematician named [Augustin-Louis] Cauchy. And the kind of Cauchy-Poncelet tension renews, if you will, under completely different conditions historically, renews the same opposition as the one we have just seen among the Greeks, between a Euclidean current and an Archimedean current. Fine.

I am saying: [here’s] a third example in modern mathematics. First path: the formation of an axiomatic power, [Pause] an axiomatic power which consists in going beyond spatial representation towards a more and more, how to say, abstract symbolism … in the sense of a symbolism of any elements whatsoever; and, on the other hand, the problematist or intuitionist current of which people have wrongly — you see what I mean — people have wrongly created a conception of it, when that occurs, because I believe that there are math historians who present things in that way, as if my second current here was just regression. But, in fact, it is not at all a current which simply claims the rights of spatial representation and which says “ah well no…” The anti-axiomaticians are often presented as people who simply say: ah, but we cannot do without spatial representation and the axiomatic is wrong. And I don’t think this is at all the case. They are much more… the second current is… it is as interesting as the first one; it’s not at all… attempting to say: ah, spatial representation must be maintained. It goes beyond spatial representation no less than the other [current]. Archimedes goes beyond spatial representation, but he does so through a method of limits or of exhaustion, that is, metamorphoses of figures and passages to the limit. Poncelet does so with his axiom of continuity. It’s weird, by the way, that we call it an “axiom of continuity”, “axiom”. We should remove the word “axiom”; it’s obviously not an axiom of continuity, it’s a condition of … it’s a condition of problems, right? It’s not an axiom at all … You can treat it like an axiom, at that point, it’s an intersection (un mixte), it’s a mixture. You see, therefore, I would say: it does not exceed the conditions of spatial representation any less than the others, but, instead of going beyond it towards a symbolism, ultimately a symbolism of the object… [Interruption of the recording] [1: 32: 23]

Part 3

… They will establish a continuity between the three discontinuous cases; for example, in the case of Poncelet, you see, the line which intersects the circle, the tangent line, the line outside the circle. So, between these three cases, they cause to flow, or they cause a kind of common line to pass through, a fictitious line… good. But, in this current, it is not the power of the symbol; it is the fiction of an in-between (entre-deux). [Pause]

So if I summarize, I would say: we are entitled from here on to consider, not yet of course, but to consider better our hypothesis that three concepts must be distinguished: once again, that of topical conjunctions, that of generalized conjugations, and that of connections, connections, at the extreme, I would call it almost creative connections, or anticipatory connections. This will be a different world, anticipatory connections, and they would not proceed via the axiomatic: they would proceed by a calculus of prob … problems.

Hence the importance that, in the so-called intuitionist or constructionist school, the importance in this school, of … [Pause] what they call precisely a calculus of problems. The book by Bouligand that I was quoting, The Decline of Mathematical-logical Absolutes, the thesis, the whole thesis is this, with some very rich, very varied examples: that there would be in mathematics two irreducible elements, one that Bouligand calls “element of the global synthesis”, and the other that he calls “the problem element”. And undoubtedly, he shows that a problem can be solved only by the categories of the global synthesis, but conversely, he shows, that the cat … the categories of the global synthesis can only proceed, can only function thanks to germs of problematic elements acting like kinds of crystals therein, acting like viruses therein.[8]

And I believe that, when he analyzes — this is the strength of this book — when he analyzes some very concrete cases, even if we do not understand, there are some that we understand, so… he shows very well, he gathers this tradition very well, he doesn’t talk at all about the problems that… I have considered historically, but… he’s like… the state… of the first half of the 20th century, he is a very, very good representative of this mathematics of events, that is, of this problematist mathematics. There was once a whole … a whole current of math teachers, anti-axiomati … anti-axiomaticians, who were trying to create a teaching program of … [He does not finish this]. Basically, we can say the axiomatic won in the contemporary mathematics teaching program, even in the small classes… It is sometimes formal logic, it is sometimes… formalization, sometimes the axiomatic which has won, if you open a math book at even the sixth, fifth, fourth levels.[9]

And there was a whole current that said: no, no, we must not go in that direction. You have to go, you have to go into a really problematic conception, namely, on the contrary, cause everything … to collapse, to create mathematics program above all based not on axioms. It’s very funny, I don’t know if… if… you would have to have little brothers or…, but well, many of you have seen these books… and then, after all, I’m stupid… you are not my age… so yourselves you are… you may have been… taught with this extremely axiomatized method, in geometry and in… and in arithmetic. In fact, they start off with set theory… I’m not saying this is wrong at all: it’s… it’s… it feels weird… Myself, I’m from a generation in which it was neither one nor the other. So, that wasn’t any better, right? It was something else, it was really the old pedagogy.

But, these teachers that I am thinking of, these mathematics teachers, entirely from high school, they were very good mathematicians, but they demanded a completely different conception: that’s what interests me, which was really the construction of problems, because they would say: it is only at the level of the problems that we can invite the students into a kind of activity without it becoming a pure and simple mess, namely, we have them build a problem, and at that point, hey, wouldn’t everything come together? Because not every problem has … what? I mean — to tie everything together…, all these scattered remarks — a problem, a problem what? You will never say about a problem that it is true or false. What is true or false is a solution, it is a proof. It’s the proof of a theorem. A problem is not true or false. Well, yes there is: we can see what we call a false problem, it is … it is a problem where there is a mistake. It happens in academic exams (concours) all the time; someone creates false problems. Yes, false problems. Ah, there is a mistake, there is a missing piece of data, so this is a false problem. But, otherwise, a problem is neither true nor false as a problem.

Only there you have it, a problem either makes sense or it doesn’t. There are problems that just don’t make sense. And, then again, that is entirely the same as bullshit (connerie). Stupidity perpetually consists in posing problems that make no sense.  And there, this is not the domain of the true and the false, it is the domain of sense and nonsense. As a result, we would find our [previous] stories. Okay, so, making mathematical events emerge, that’s a different conception than axiomatization, where on the contrary, in axiomatization, we make necessary properties flow from a system of axioms. There you go, so I’ll again consider, to conclude, briefly… What time is it?

A student: [Inaudible]

Deleuze: What? Twelve twenty, my god! You can’t take it anymore! [Laughter]. It was… Okay, so I’ll finish really quickly. I am saying… well, what is the…? At the point where we are, we have at least… made this long, long parenthesis, which brings us to what? So, I am really coming back to my question about the State and politics since that’s where I would like to finish this first series of studies this year.

Well, there we are. My question has become a little more precise; it’s: what is our interest, if we try to treat the current situation as an axiomatic, under the conditions that I have just stated: the axiomatic is not at all a mechanical knowledge, it is not at all a gimmick without experimentation, it is not at all an infallible method, it is not… But the givens of the current situation like entering into an axiomatic, what happens?

In this case, how are the political problems considered? What does that mean, to treat the current situation as an axiomatic? This means two things: both that we would have reasons to assimilate capitalism to an axiomatic, and also that we would have reasons… I mean, to assimilate — first point — to assimilate to… capitalism to an axiomatic, I don’t have to do it anymore, because I believe that’s what we have done previously. All our definitions of capitalism consisted in saying: yes, capitalism arises when the topical conjunctions are overwhelmed, in favor of a generalized conjugation, in favor of a generalized conjugation of two flows: the flow of wealth, become independent, the flow of labor become “free”, free in quotes since… [He does not finish] And it is this conjugation or encounters of decoded flows that constitutes capital as subjectivity.

So, fine, we have reasons to consider capitalism as a social axiom. The immediate consequence is that political problems are only considered very partially within the framework of countries and States, that political problems immediately are considered, fundamentally, always — without there being any kind of fundamental reflection; on the contrary, it happens by itself — are immediately considered in a global framework, right, in the framework of a global system, to the point that it is very, very difficult to talk about what is happening in a country without taking into account — and once again, this does not imply any special knowledge – without taking into account the entirety of a global situation that distributes data. Third point: this comes down to saying, States and countries are ultimately analogous, let’s say, to models of realization in relation to the axiomatic of capital. [Pause]

And finally, [Pause] as a last point, we obviously find that this situation is quite… hopeless for us. At least it would be only if we made the axiomatic, precisely, into the idea of a kind of infallible power. Fortunately, we took our precautions. There are plenty of things that escape through the mesh of an axiomatic; there are plenty of things that get the hell out, there are plenty of things that … that don’t allow themselves to be axiomatized, and that continue to flow through the mesh of the axiomatic, and that’s what we are calling the world of connections or the calculus of problems-events, events as irreducible to the axiomatic order at the same time that they never cease being produced within this order.

The question would therefore be: do we have anything to console ourselves with in this? And what would be the problems, or events, what would be the connections that are working the global axiomatics currently, in such a way that, here and there, there might be sources of hope? An urgent problem for us, right? Good. [Pause] And I recall – at random, I will fall back exactly onto the point where I would like us to start the next time — I recall that, in fact, if I return to the mathematical topic of axiomatics … Here we are: we find ourselves facing a certain number of problems linked to an axiomatic.[10]

So here, the axiomatic-world situation comparison is only valid if we discover something similar to the aggregate of these problems, at the level of the world situation. I would say: the first problem is that, in an axiomatic, of one being able to add up to a certain point and, up to a certain point, to withdraw axioms. This is the problem of addition and withdrawal. A comparison of the axiomatic with the world situation is only valid if we are able to discover at work, in action, this process of adding and withdrawing axioms at the level of capitalism. Is there really an addition and a withdrawal of axioms? Axioms of capital? A first problem.

A second problem, I would say: it is no longer that of addition and subtraction, of withdrawal and addition; it is one of saturation. An axiomatic is said to be saturated when, precisely, nothing more can be added to it. And, in my opinion, although it is not necessarily evident, if there is an author who has treated, who has been able to show us how capitalism works as an axiomatic, it is Marx. And it’s Marx not just anywhere; it’s Marx in a very beautiful, very important chapter of Capital, which is the chapter on the downward trend in the rate of profit.[11] And Marx’s thesis, which we’ll have occasion to look at — but I would like some of you to consider and reconsider it between now and next week — Marx’s thesis, basically, is that capitalism never stops confronting limits — there is the idea of ​​limits of capital, at every moment – never stops confronting limits, but that these limits are immanent to it.

This is a very complex thesis, very beautiful but very complex one. You see, it is made of several propositions that are interlinked: capitalism never stops confronting limits; second: these limits are fundamentally, essentially immanent to it; third point: as a result, it does not stop colliding into them, and, at the same time, shifting them, that is, pushing them further… and, further on, it will collide with them again, it will push them more, shift them further. It is this thesis of limits as immanent and not external obstacles, which would make them absolute limits; in other words, it is [capitalism] that creates its own limits, and that therefore collides with them, and that shifts them. This fundamental thesis, I believe, poses the problem of the saturation of what one might call: the saturation of the system at a particular moment or another.

Third, third problem: States and countries … States and countries, nation-States, can in a way be seen as models for realizing this axiomatic of capital. [Pause] In that sense, what is the status of models of realization? What is the measure of their independence from the world situation, in relation to the axiomatic itself? What is the measure of their dependence, etc.? This is another problem, besides the one of saturation of the system.

Fourth… I don’t know… yes? Four, is that four? Little four … Four, yeah. Oh well, we’ll see later, right? There are too many, right? There are too many, but fine…. We’ll start there the next time. So, try to re-read … this chapter of Marx, ok? [End of the session] [1: 48: 57]


[1] Deleuze considers Alois Riegl during the Painting seminar, 12 May 1981.

[2] Deleuze refers to texts by Henri Maldiney on Cézanne during two sessions on Spinoza, 13 January and 31 March 1981 (the latter also being the first session of the Painting seminar).

[3] “Toto” is a name for a stock character in French discourse, a generic child as well as the butt of “Toto jokes” (blagues de Toto).

[4] Deleuze attributes this term, “spiritual automaton”, to Spinoza during the session on continuous variation, January 24, 1978. He returns to the term in several other sessions: in the first session in the short Leibniz seminar that follows this seminar on the State apparatus, April 15, 1980; and in five sessions during the fourth seminar on cinema and philosophy: October 30, 1984; November 6, 1984; January 8, 1985; April 23, 1985; and June 4, 1985.

[5] Georges Bouligand et Jean Desgranges, Le déclin des absolus mathématico-logiques (Paris : SEDES, 1949). See A Thousand Plateaus, p. 570, note 61.

[6] On Girard Desargues and his works as well as on conical sections, see the second Leibniz seminar, specifically the session of November 18, 1986, and March 3, 1987, as well as The Fold. Leibniz and the Baroque, pp. 20-22 (Le Pli, pp. 28-30). Regarding the text Les Oeuvres de Desargues, several modern reeditions exist of this text; it was originally edited by Noël Germinal Poudra, published in 1864. See also A Thousand Plateaus, p. 365.

[7] The title seems to be slightly different from the one that Deleuze cites: Brouillon Project d’une atteinte aux evenemens du rencontre d’une cone avec un plan [Rough draft for an essay on the results of taking plan sections of a cone]. See the study by Jan P. Hogendijk, “Desargues’ Brouillon Project and the Conics of Apollonius”, Centaurus vol. 34 (1991), pp. 1-43, http://www.jphogendijk.nl/publ/Desargues2.pdf.

[8] Besides the reference cited above (note 5), Deleuze and Guattari refer to Bouligand in connection with the intuitionist school (A Thousand Plateaus, p. 554, note 21) and in connection with Bergson and the dualism of two mathematical elements, the “problem” and “global synthesis” (A Thousand Plateaus, p. 556, note 40).

[9] Roughly seventh, eighth and nine grades in American high schools; year 7, year 8 and year 9 in UK comprehensive schools.

[10] As is evident in the preceding session, on the axiomatic and its four problems outlined by Deleuze, see plateau 13 (on the apparatus of capture), Proposition XIII. “Axiomatics and the present-day situation”, A Thousand Plateaus. pp. 460-473 (Mille plateaux, pp. 575-590).

[11] In all likelihood, this is text in from Capital, book III, part III, chapters 13-15. See A Thousand Plateaus, p. 567, note 32.

French Transcript


Deleuze annonce que la séance consistera en une longue « parenthèse » afin d’aborder une question particulière : « quelle est l’axiomatique ? Le but de cette réflexion est de trouver une manière (dans une séance ultérieure) d’envisager la politique contemporaine en termes d’axiomatiques et de modèles de réalisation.

Gilles Deleuze

Séminaire du 26 février 1980

Appareils de Capture et Machines de Guerre

St. Denis, Séance 09

Transcription : Annabelle Dufourcq (avec le soutien du College of Liberal Arts, Purdue University), transcription augmentée, Charles J. Stivale

Partie 1

D’autre part… nous allons bientôt… nous allons bientôt avoir fini la première partie de notre travail, hein ? Alors je fais très vivement appel à vous, à un certain nombre d’entre vous, parce que, moi, je concevrais la fin de l’année, la seconde partie… sous forme de : moi, me mettant un peu à votre disposition, c’est-à-dire faisant des choses séparées en fonction de l’état du travail de certains d’entre vous… Que ce soit des précisions… par exemple, vous pouvez très bien me demander… d’après votre travail à vous, de faire une séance sur un auteur ou bien sur… un sujet… Tout ça, on ferait des choses très… découpées, hein ? Alors, c’est à vous de voir.

Alors, il y en a déjà quelques-uns qui m’ont demandé de faire… mais, là, ça me paraît plus gros, c’est-à-dire c’est si… de faire quelque chose qui serait comme une espèce [1 :00] de… comme une présentation d’un très grand philosophe, mais un philosophe très difficile qui s’appelle Leibniz. Alors je pourrais, en effet, à moins qu’il y ait… mais… si vous avez, vous, des sujets que… dont vous aimeriez… – à charge pour moi de dire « je peux » ou « je ne peux pas », évidemment – si vous avez des sujets ou des problèmes liés à vos propres travaux, on peut, hein, on peut voir. Donc réfléchissez-y d’ici la prochaine fois et l’autre fois, à moins qu’il y ait déjà des… euh…

Ou bien… comme… je pense, mais, là, ça dépend beaucoup de vous aussi, il y en a un certain nombre ici qui… euh… qui travaillent avec moi depuis… euh… longtemps, depuis beaucoup d’années, et tout ce qu’on a fait depuis quatre ou cinq ans, je crois que ce sont quand même des choses très diverses, mais c’est des choses qui [2 :00] tournent autour des mêmes notions. Alors il peut y avoir utilité de reprendre certaines notions sur lesquelles on a travaillé depuis plusieurs années… Enfin tout est possible, c’est à vous de… vous me direz, ou dès maintenant, ou la prochaine fois, ou l’autre fois encore. Sinon, je ferai quelque chose sur Leibniz s’il n’y a pas de… demande spéciale.

Un étudiant : [Inaudible]

Deleuze : Lichtenberg ? Ce n’est pas gros, hein…

L’étudiant : [Inaudible]

Deleuze : Si, mais … euh… ce pour quoi il est connu…

L’étudiant: [Inaudible] ça m’a illuminé !

Deleuze : ouais, ouais, ouais… ça je ne peux pas. Je ne connais pas assez. Ouais, c’est…

Un autre étudiant : [Inaudible] Jakob Böhme ?

Deleuze : Ouais… je suis imprudent parce que je ne me vois pas en faire quelque chose sur Böhme, j’en serais incapable… [3 :00] euh… ouais. Enfin on ne sait jamais, oui… Ouais, ouais.

Un autre étudiant : [Inaudible]

Deleuze : [Alois] Riegl, oui.[1] Oui, oui, oui, oui. Mais, ça, on y reviendra peut-être un tout petit peu sur…

L’étudiant : [Inaudible]

Deleuze : oui, oui ! oh ben, oui. Oui, oui, oui, oui, oui… oui. Ça, on pourra, oui, [Henri] Maldiney, oui.[2] Oui…

L’étudiant : [Inaudible]

Deleuze : Bon ! Voilà. Je voudrais que vous acceptiez toujours cette convention sur laquelle nous étions restés il y a quinze jours [à vrai dire, trois semaines] : j’essaie… On oublie vraiment le point où on en est dans notre analyse de l’Etat. Et je fais une très longue parenthèse qui consiste à demander : [4 :00] qu’est-ce que c’est au juste qu’une axiomatique ? Je dis : c’est une longue parenthèse puisqu’une axiomatique, ça n’a rien à voir avec le problème de l’Etat. Une axiomatique, c’est un certain type de système ou de discours propre aux… aux mathématiques. Bon. Euh… Juste… juste ce point, vous n’oubliez pas que l’hypothèse qui nous fait passer par ce détour, c’est l’hypothèse d’après laquelle il ne serait pas inexact – je ne m’avance pas plus, c’est-à-dire je pèse relativement mes mots, je mets des conditionnels – il ne serait pas inexact de traiter la situation politique dite moderne comme une axiomatique.

Donc… mais… provisoirement nous oublions ce souci qui rattache ce thème à notre sujet. Et nous considérons [5 :00] pour soi-même, pour elle-même, la question : mais qu’est-ce que c’est qu’une axiomatique ? D’abord parce que ça peut toujours servir, mais surtout parce que… euh… ça me paraît poser beaucoup de problèmes pour comprendre même, non seulement ce qu’est la science, mais ce qu’on peut appeler « une politique de la science ». Et, la dernière fois, j’avais juste pris un exemple extrêmement simple pour essayer de vous faire sentir ce que c’était qu’une axiomatique. Et je rappelle cet exemple, parce que, si vous ne l’avez pas un peu… euh… mais… je le rappelle en schématisant encore plus, cet exemple que j’avais déjà moi-même simplifié, je le simplifie encore plus en disant : voilà un exemple d’axiomatique. [Pause]

Vous définissez [6 :00] une relation purement fonctionnelle entre éléments quelconques. Eléments quelconques, ça veut dire quoi ? Ça veut dire : vous ne spécifiez pas la nature des éléments que vous considérez, vous déterminez une relation fonctionnelle entre éléments quelconques en tant que quelconques. Vous allez me dire : c’est très bizarre, ça, quoi. Qu’est-ce que ça veut dire ?

Prenons la forme symbolique xRy. xRy, grand R est la relation fonctionnelle entre deux éléments quelconques en tant que quelconques, x et y. Vous me direz : avec ça, on ne va pas loin. Vous déterminez… [7 :00] – on laisse de [côté] pourquoi vous déterminez… comment vous déterminez… on va voir, ça, tout à l’heure – et je suppose que nous déterminions des axiomes, des axiomes qui vont correspondre à la relation fonctionnelle xRy, x Relation y. Premier axiome que vous déterminez — je n’en prends que deux, vraiment, pour rester au plus simple, hein –, eRx = xRe = x. [8 :00] eRx = xRe = x. Voilà, vous traitez cette proposition, cette équation comme un axiome, c’est-à-dire comme une proposition première qui ne dérive d’aucune autre.

Deuxième axiome : xRx’ = x’Rx = e. Bon. Pourquoi est-ce un deuxième axiome ? Parce que cette seconde proposition [9 :00] est supposée ne pas pouvoir être démontrée à partir de la première. Elle introduit quelque chose d’irréductiblement nouveau. Si je me trouve devant une proposition qui peut être démontrée à partir des axiomes précédemment déterminés, je dirai que c’est non pas un axiome mais un théorème. Donc un ensemble d’axiomes est un ensemble de propositions indépendantes qui ne supposent rien d’autre et dont les théorèmes découleront.

Je reprends mes deux axiomes. Qu’est-ce que c’est que ça ? Ben, une axiomatique renvoie… et c’est la seconde notion essentielle – la première notion essentielle, [10 :00] c’est l’idée de relation uniquement fonctionnelle entre éléments quelconques en tant que quelconques – la deuxième notion fondamentale d’une axiomatique, c’est celle, on l’avait vu, de modèle de réalisation. On dira qu’une axiomatique, comme ensemble de relations fonctionnelles entre éléments quelconques en tant que quelconques, renvoie à des domaines, à des modèles de réalisation dans lesquels elles s’effectuent. Qu’est-ce que ça veut dire qu’elles s’y effectuent ? Cela veut dire que, dans ces domaines, dans ces modèles de réalisation, les éléments prennent une nature qualifiée. Les éléments quelconques prennent une nature qualifiée. [11 :00] Une axiomatique, dès lors, là, si on faisait une axiomatique de l’axiomatique, je crois qu’il ne serait pas difficile de démontrer – ce serait un théorème – que une axiomatique comprend nécessairement plusieurs modèles de réalisation, ne serait-ce que des modèles de réalisation possibles ou virtuels, au point que serait contradictoire la notion d’une axiomatique n’ayant qu’un seul modèle de réalisation… modèle de réalisation.

Mais, bon… Je dis : une axiomatique a des modèles de réalisation, prenons toujours dans l’exemple, là, l’exemple minimum que je viens d’utiliser : l’axiomatique que je viens de définir, avec deux axiomes, avec deux axiomes ; en m’en tenant, en m’en tenant à deux axiomes, [12 :00] cette axiomatique a un premier modèle de réalisation, qui est quoi ? Qui est le domaine…, ou plutôt non, pas le domaine, qui est l’addition, l’addition des nombres réels. En quoi ? Je relis mon premier axiome : il y a un élément e tel que, pour tout élément x, on ait : eRx = xRe = x. Dans le cas de l’addition des nombres réels, cet élément e, c’est zéro. [Pause] Vous pouvez écrire [13 :00] en effet : 0 + (addition des nombres réels), ça vous donnera, dans le modèle de réalisation « addition des nombres réels », ça vous donnera : 0+x = x+0 = x. Essayez pour la division, la multiplication, ce n’est pas comme ça. Donc ça vous a permis de circonscrire l’addition des nombres réels. Deuxième axiome : pour tout élément x, il existe un élément x’ tel que xRx’ = x’Rx = e. Pour l’addition des nombres réels, x’, c’est le nombre négatif, -x. [Pause] [14 :00] Bien.

Mais alors pourquoi avoir cherché… euh… une axiomatique ? On a cherché une axiomatique précisément parce que l’addition des nombres réels n’épuise pas la relation fonctionnelle. Il y aura, virtuellement ou réellement, il y aura d’autres modèles de réalisation. J’avais donné un autre modèle de réalisation de cette axiomatique à deux axiomes, à savoir la composition des déplacements dans l’espace, dans l’espace euclidien à trois dimensions, ce qui, en soi, est un ensemble tout à fait différent de l’addition des nombres réels. [15 :00] Et, cette fois-ci, mon premier axiome ne sera plus effectué par e=0, mais, dans le cas de la composition des déplacements dans l’espace, mon premier axiome sera effectué par : e égale ce que l’on appelle, justement, dans ce modèle de réalisation, « le déplacement identique », c’est-à-dire le déplacement qui laisse fixe chaque point de l’espace. Et, deuxième axiome, x’ ne sera plus effectué par le nombre négatif, mais par ce qu’on appelle, dans ce modèle de réalisation, dans ce second modèle de réalisation, par ce qu’on appelle « le déplacement inverse ».

Du coup, si j’ai redéveloppé cet exemple, c’est pour une raison très simple, c’est qu’il me semble que l’on voit, à partir d’un exemple aussi simplifié, [16 :00] ce qu’il y a d’extraordinairement original dans une axiomatique. Je dirais qu’elle… [Deleuze ne termine pas] Vous voyez que, en effet, l’axiomatique en elle-même ne comprend que des relations fonctionnelles entre éléments quelconques en tant que quelconques. Vous comprenez, notre objet ce n’est pas de faire des mathématiques là ; c’est vraiment avoir ce minimum qui nous permet de… de comprendre ce qu’ils ont voulu faire, les… les gens qui ont fait de l’axiomatique. L’axiomatique elle-même ne comprend que ça : relations fonctionnelles entre éléments quelconques en tant que quelconques. Il ne faut même pas demander de quoi… de quoi une axiomatique parle : la question n’a pas de sens puisqu’elle parle d’éléments quelconques en tant que quelconques, et elle définit des relations fonctionnelles entre ces éléments comme tels.

Mais alors c’est… c’est important pour quoi ? C’est intéressant pour quoi ? Parce que l’axiomatique me paraît vraiment la seule chose… euh… le seul discours qui permette une comparaison [17 :00] directe, un affrontement direct, une comparaison directe entre ensembles ou domaines hétérogènes en tant qu’hétérogènes. Ce seront les mêmes relations fonctionnelles entre éléments quelconques que vous découvrirez dans l’ensemble « addition des nombres réels » et dans l’ensemble « composition des… euh, composition des déplacements dans l’espace euclidien ». Je demande : est-ce qu’il y a une autre méthode qui nous…euh… Là je dis beaucoup de bien de l’axiomatique, donc pour…, mais on verra que… que… euh… on verra aussi qu’il y a des problèmes, hein. Mais, pour le moment, c’est… c’est une méthode assez étonnante qui ne va pas du tout de soi. Elle nous donne le moyen – et je ne vois pas d’autre moyen, à première vue… à première vue… euh… [18 :00] — à première vue, on ne voit pas d’autre moyen pour comparer des domaines hétérogènes en tant qu’ils sont hétérogènes et les comparer directement, c’est-à-dire sans passer par une homogénéisation. Voilà. Alors, ça, il faudrait que vous compreniez, parce que sinon…euh… Alors je veux bien, même, tout recommencer, si vous ne comprenez pas, mais… euh… Faudrait, parce que, sinon… Il faut que ou bien que vous compreniez, ou bien que vous partiez pour cette fois, parce que, sinon, tout… tout dépend de ça, hein. Voilà. Alors réfléchissez bien… Vous comprenez ?

Quelques étudiants : [Inaudible]

Deleuze : Très bien, formidable !

Une étudiante : [Elle fait référence à l’élément e qui est défini dans l’axiome 1, mais aussi dans l’axiome 2, ce qui semble remettre en cause l’indépendance des axiomes de l’axiomatique] [19 :00]

Deleuze : Ce n’est pas qu’ils n’aient pas… Oui, en ce sens, oui ! Oui, oui. Mais l’un ne peut pas être déduit de l’autre, c’est là ce que j’appelle l’indépendance…, ou ce qu’on appelle l’indépendance des axiomes. En d’autres termes, l’un n’est pas un théorème qui dépend de l’autre. Bon.

Alors si vous avez compris ça, je demande immédiatement, parce que c’est un sujet qui traîne dans… un peu dans tout… à la fois dans l’histoire de toutes ces choses et aussi… euh… qui se pose directement, et qui, en même temps, ne paraît jamais, enfin chez les auteurs que j’ai lus, ça ne me paraît pas… euh… pas convaincant, alors raison de plus pour se dire, pour sauter sur l’occasion, se dire : est-ce qu’on a le moyen d’apporter juste un… un essai de précision là-dedans ? On nous dit toujours : attention, quand même, ne confondez pas la formalisation logique et l’axiomatisation. [20 :00] Alors, même au niveau historique, ça s’est rencontré, c’est à la même époque que se font les grandes axiomatiques avec, entre autres, un très grand mathématicien qui s’appelle [David] Hilbert et que se fait une formalisation logique qui recevra le nom de logistique, et donc également un grand logicien et grand mathématicien, mène et pousse la chose jusque … euh… à un point inégalé, à savoir [Bertrand] Russell. Or, il suffit de lire, même sans… en comprenant très mal, vous comprenez, ne faut pas… ce n’est pas nécessaire de tout comprendre, hein. Euh… Il suffit de lire une page de Russell et une page de Hilbert, on voit bien que, à la lettre, ce n’est pas le même monde. La formalisation logique, ce n’est pas du tout la même chose qu’une axiomatique, que l’axiomatisation.

Et tout ce que je voudrais dire, c’est : alors, bon, quelle différence ? [21 :00] Quelle différence ? En quoi une axiomatique, telle que je viens d’essayer de la définir et telle que vous l’avez si bien compris, se distingue d’une formalisation ? Je dirais, une formalisation, voilà ce que c’est : c’est le dégagement et la détermination de relations formelles entre éléments spécifiés d’après tel ou tel type. Je retiens chaque mot, hein. Vous voyez au moins, même avant que je me sois expliqué, que ce n’est pas la même chose. « Relation fonctionnelle » s’oppose à « relation formelle » ; « élément quelconque » de l’axiomatique s’oppose à « éléments spécifiés » de la formalisation. Mais, alors, si les éléments sont spécifiés, c’est-à-dire sont définis comme tel ou tel, en quoi y a-t-il formalisation ? Et qu’est-ce que c’est que des relations formelles [22 :00] par différence avec des relations fonctionnelles ?

C’est là que la notion de type intervient de manière fondamentale et a toujours été présente dans les formalisations, bien que… il est notoire que l’auteur particulier d’une théorie qu’on appelle, dans le domaine de la logistique, « la théorie des types », soit Russell lui-même, c’est-à-dire que cette théorie ait été constituée tardivement. Ça n’empêche pas que, d’une certaine manière, on s’en servait avant que ça ait été théorisé. Et la théorie des types, elle consiste à déterminer comme condition sous laquelle on peut énoncer des propositions la distinction de : une pluralité de types d’après lesquels les propositions sont susceptibles de s’emboîter les unes dans les autres. [23 :00] Quel est, en effet, le principe de la théorie des types ? C’est tout simple, c’est que : un ensemble ne se contient pas lui-même comme élément. [Pause]

Qu’est-ce que ça veut dire « un ensemble ne se contient pas lui-même comme élément » ? Ça veut dire une chose très, très simple. Je prends un exemple qui est donné par Russell lui-même. Voici la proposition : « Napoléon a toutes les qualités qui font un grand général » ; « Napoléon a toutes les qualités qui font un grand général », bien. Russell constate que « avoir toutes les qualités qui font un grand général » ne peut jamais [24 :00] être traité comme une des qualités nécessaires pour faire un grand général. Si vous définissez… Ou bien, autre exemple donné par Russell, si vous définissez « français typique », si vous dites « ah, ça, c’est un français typique », « typique » ne fait pas partie des caractères qui permettent de définir un français typique. En d’autres termes « typique » et les caractères qui permettent de définir un français typique ne sont pas du même type. [Pause]

Bon. Prenons un exemple, alors, je prépare, là, hein… euh… je prépare mon retour à notre problème. J’ai essayé de dire qu’un certain appareil d’Etat, [25 :00] que j’appelais l’appareil archaïque, d’une certaine manière reposait sur le surcodage de communautés agricoles. On a vu en quel sens ça pouvait être dit, en quel sens c’était discutable, etc. Mais prenons cette proposition : l’appareil d’Etat archaïque surcode des communautés agricoles. Je dirai, c’est tout simple, là ; si je fais une application très arbitraire de la théorie des types, je dirais : cet appareil d’Etat ne peut pas être une communauté agricole. Vous me suivez ?

Pourquoi la théorie des types fut-elle … euh… fut-elle faite et poussée par Russell — là je dis vraiment les principes élémentaires, mais c’est une théorie prodigieuse, prodigieuse… [26 :00] et très amusante…euh… — pourquoi est-ce que, pourquoi est-ce que Russell a éprouvé le besoin de la formaliser ? Pour trouver une solution à ce qu’on appelait les fameux paradoxes logiques. Vous savez, les paradoxes du type « je mens ». Vous voyez, hein. La proposition « je mens », est-ce qu’elle est vraie ou est-ce qu’elle est fausse ? Ce n’est pas difficile de montrer qu’il est impossible qu’elle soit vraie, il est impossible qu’elle soit fausse. La réponse de Russell est toute simple : c’est que la proposition « je mens » n’est ni vraie ni fausse. En effet, si elle est vraie, elle est fausse et si elle est fausse, elle est vraie, hein ? Bon, enfin, vous savez ça, c’est dans tous les… dans tous les journaux pour s’amuser, quoi. Mais ça a beaucoup agité les logisticiens, ces choses-là. [27 :00] Eh ben, Russell, la réponse de Russell est très simple : la proposition « je mens » n’est ni vraie ni fausse, parce que c’est un non-sens.

Et je voudrais que vous compreniez, là — je fais à nouveau une parenthèse dans ma parenthèse… euh… — ce n’est pas par hasard que ce sont les Anglais qui ont trouvé et qui ont tellement poussé aussi cet… euh… ce concept de non-sens, là, et qui ont tellement travaillé là-dedans. Et c’est très important parce que… si vous voulez, dans l’expérience concrète, moi, il me semble que… on ne peut pas faire de philosophie, d’ailleurs, si on ne vit pas cette expérience, mais il y a très peu de choses vraies ou fausses … euh… ce n’est pas le vrai et le faux qui comptent. Jamais ce n’est ça qui a compté. C’est les jours de fête qu’on rencontre, qu’on bute sur une proposition fausse. C’est très, très rare une proposition fausse.

Qu’est-ce qui fait notre malheur à tous ? [28 :00] Notre malheur à tous, ce n’est jamais de vivre dans le faux, pas du tout… pas du tout. C’est que…, notre malheur à tous, c’est que nous ne cessons pas soit de rencontrer, soit – horreur ! – d’émettre nous-mêmes des choses qui sont de purs et simples non-sens. Mais c’est merveille, je vous l’assure, c’est un jour de fête le jour où vous dites quelque chose de faux. Ce n’est pas ça, sinon on dit des conneries et ce n’est pas la même chose, hein, ce n’est pas des erreurs, hein ? Des trucs qui n’ont pas de sens, quoi… Oui, pourquoi pas… On ne cesse pas… ah bon… C’est du domaine du « ni vrai ni faux », ça n’a pas de sens. Le vrai et le faux, c’est encore ce qui a un sens. Mais c’est rare, rare, vous savez, qu’on arrive même à la possibilité du vrai et du faux. [29 :00] Prenez un discours ordinaire ; on ne peut pas dire, on ne peut même pas dire : c’est faux. Prenez les livres. Mais il y a énormément de livres… on lit ça, mais on se dit vraiment…, c’est évident que la question, ce n’est pas « est-ce que c’est vrai ou faux… ce que dit le… le monsieur ? », c’est : « est-ce que ça a le moindre sens ? ».

J’ai toujours été frappé par le problème suivant, pour rejoindre le problème des mathématiciens. Les mathématiciens, ce n’est pas des enfants à l’école, hein… Je veux dire : quand des mathématiciens ne sont pas d’accord l’un avec l’autre, il n’y en a pas un qui dit à l’autre : tu t’es trompé, ce que tu dis est faux. Je veux dire… euh… et c’est ça qui me troublait beaucoup, moi… euh… J’ai l’impression que toute la théorie de la [30 :00] vérité… euh… en philosophie classique a toujours posé tellement de problèmes en catégories de vrai et de faux, que c’était toujours des situations… euh… puériles, invraisemblables, fictives. Dans la théorie classique du vrai et du faux, mais, on nous traite comme des enfants à l’école. Là, il y a toujours un instituteur qui peut dire à Toto : non, Toto, 2 et 2, ce n’est pas 5. Et vous ne me direz pas que c’est de ça qu’on meurt. Ce n’est pas parce que nous disons trop souvent : 2 et 2, c’est 5. On meurt, là, d’un virus beaucoup plus… euh… beaucoup plus agressif, à savoir le poids de notre bêtise, et ce n’est pas le poids de nos erreurs, pas du tout… pas du tout… C’est le poids de toutes les choses qu’on dit et qu’on [31 :00] pense et qui n’ont strictement, mais, aucun sens. D’où la question « qu’est-ce que le non-sens ? », c’est une question infiniment plus importante et urgente que la question « qu’est-ce que le faux ? ». Et, encore une fois, le faux, ça n’existe pas.

Or, quand des mathématiciens… Encore une fois, sauf dans des conditions extraordinairement abstraites, celles de l’enfant à l’école, celle du monsieur à qui je demande l’heure dans la rue, alors, en effet, il peut me dire quelque chose de faux, il peut me dire « il est trois heures » quand il est deux heures et demie… bon, ça me fait rater le train, à la rigueur, mais… euh… Ah… un homme politique dans ses discours, il nous dit pas des choses fausses ; il fait une opération beaucoup plus pernicieuse qui est de manier le non-sens à un point sans égal.

Bon… Je dis : quand deux mathématiciens se disputent, ça arrive… la science, [32 :00] elle est faite de polémiques ; c’est en ce sens, aussi, que c’est de la politique, la science. Quand deux mathématiciens se disputent, ce n’est pas la situation d’un instituteur par rapport à un enfant ; ce n’est pas l’un qui dit à l’autre : ah, tu as cru que 2 et 2 ça faisait 5. Ah ça, non. L’un dit à l’autre ou suggère : très bien ton truc, mais aucun intérêt, c’est-à-dire pas de sens. Aucun… il emploie des mots, à ce moment-là, très flous, ça indique bien l’état de la question et que c’est là-dessus qu’il faudrait réfléchir. Qu’est-ce qu’on veut dire quand on dit « mais cette proposition n’a strictement aucun intérêt », « cette proposition n’a aucune importance » ? C’est des trucs qui tournent autour du sens et du non-sens. Pas de sens… pas d’importance, pas d’intérêt.

Qu’est-ce que c’est que l’intérêt mathématique d’une proposition ? Dans les jurys [33 :00] de thèse, par exemple, on voit très bien des types, ils démontrent… ils démontrent des théorèmes, hein, on peut toujours inventer des théorèmes si on a la culture mathématique suffisante. Voilà, pourquoi pas ? Aucun intérêt ! On peut toujours tenir des propositions d’un type philosophique, encore faut-il qu’elles aient un intérêt. Qu’est-ce que c’est que l’intérêt proprement philosophique d’une proposition ? Qu’est-ce que c’est que l’intérêt proprement mathématique d’une équation ? Il y a des propositions dénuées d’intérêt, c’est-à-dire dénuées de sens. Bien.

Alors vous voyez où allait la théorie des types, elle consistait à dire : une des formes – en tout cas, là, je ne veux pas aller trop loin – une des formes du non-sens, une des formes de ce qui n’a pas de sens, donc c’est pire que le faux, c’est ce qui ne peut être ni vrai ni faux. C’est lorsque, dans une proposition, on contamine [34 :00] des éléments de proposition de types différents, c’est-à-dire on construit un ensemble qui se contient lui-même comme élément. Lorsque je dis « je mens », la proposition porte sur elle-même, dans des conditions où elle ne pourrait pas porter sur elle-même, donc elle est dénuée de sens. Donc, à ce moment-là, c’est forcé qu’elle ne soit ni vraie, ni fausse, puisqu’elle n’a pas de sens.

Vous voyez, je reviens, alors, à mon thème plus simple : qu’est-ce que c’est qu’une formalisation logique ? Je dis, pour reprendre mon exemple, l’appareil d’Etat archaïque surplombe ou surcode les communautés agricoles. Donc il est d’un autre type que les communautés agricoles, il n’est pas lui-même une communauté agricole. Je dirais : la proposition « l’appareil d’Etat archaïque » est d’un autre type que la proposition « les communautés agricoles », [35 :00] exactement comme Russell nous disait : la proposition : « Napoléon a toutes les qualités d’un grand général » n’est pas du même type que la proposition « untel a telles qualités d’un grand général ». Je veux dire : la formalisation – je reprends ma formule ou la définition que je proposais – la formalisation logique ou logistique est la détermination de relations formelles entre éléments spécifiés d’après le type de proposition qui leur correspond. [Pause] En ce sens, la formalisation érige [36 :00] un modèle à réaliser. [Pause]

Je reviens – mais, là, j’en ai presque fini avec ce… ce … ce… avec ce premier point – je reviens à ma définition de l’axiomatique : l’axiomatique détermine des relations uniquement fonctionnelles entre éléments quelconques en tant que tels. [Pause] En d’autres termes : elle procède plus par le chemin des formalisations qui s’emboîtent d’après les types de propositions, mais elle assure une espèce de mise en contact de relations universelles en tant que telles, entre éléments quelconques, relations universelles avec des domaines… avec… des… des champs, [37 :00] des domaines de réalisation les plus hétérogènes, tandis que dans la formalisation vous deviez passer toujours par une homogénéisation au niveau du type supérieur. Les ensembles de type 1 ne pouvaient être comparés, du point de vue de la formalisation, ne pouvaient être comparés que dans la mesure où ils étaient homogénéisés par un ensemble du type 2. Les ensembles de type 2 ne pouvaient être comparés que dans la mesure où ils étaient homogénéisés par un ensemble de type 3.

Alors, là, il me semble que c’est très curieux. On voit bien la nouveauté de la démarche axiomatique. Je dirais que, l’axiomatique, c’est précisément les relations fonctionnelles qui renvoient à des modèles de réalisation. La formalisation, c’est les relations formelles [38 :00] qui constituent des modèles à réaliser. Or, tout ce que j’ai essayé de montrer la dernière fois, c’est que, dans le cas qui nous occupe – là je fais à nouveau une parenthèse – c’est que, dans le cas qui nous occupe, on pourrait dire par hypothèse, mais on ne l’a pas encore bien justifié, que, contrairement à l’Etat archaïque, l’Etat moderne a cessé d’être un modèle à réaliser, il est devenu modèle de réalisation par rapport à une axiomatique. [Pause] Bon. C’est rudement difficile, tout ça, mais enfin… Quoi ?

Un étudiant : [Inaudible]

Deleuze : Qu’est-ce qu’il y a ?

Un étudiant : [Inaudible]

Deleuze : Oh ben oui, oh ben ça… comme on va y revenir, ça n’a aucune importance, cela. Non, c’est juste… alors, je voudrais… Quoi ?

Une étudiante : [Inaudible]

Deleuze : C’est la formalisation, ah ben, oui… euh… La formulation ? Euh, oui, je disais… Oui, je viens d’essayer [39 :00] de montrer, très vite, que, si vous voulez, l’Etat archaïque, ce qu’on a appelé pendant toute notre recherche précédente, l’Empire archaïque, en tant que surcodage de communauté, était, d’une certaine manière, une formalisation. En ce sens, il est bien modèle à réaliser. [Pause] Il est modèle transcendant, n’est-ce pas ? Les Etat modernes, on l’avait vu, semblent tout à fait différents. Or en quoi sont-ils tout à fait différents ? C’est parce que, cette fois-ci, ce n’est plus du tout des modèles à réaliser ; c’est des modèles de réalisation. Vous voyez que le mot « modèle » a complètement changé de sens, c’est-à-dire : ce sont les champs d’effectuation par rapport à une axiomatique générale qui est quoi ? Qu’on a essayé de déterminer comme étant l’axiomatique du capital. [Pause] [40 :00] Mais enfin, là, je devance ce qui nous reste à faire.

Georges Comtesse : [Inaudible]… dans le modèle de réalisation e = par exemple 0, il faut supposer qu’il n’y a qu’une axiomatique, par exemple, celle de Hilbert, qui justement énonce la possibilité à la fois du zéro et du successeur de zéro. Donc, là, il y a un autre problème ; c’est le modèle de réalisation de la définition formelle de l’axiomatique suppose une axiomatique qui rend possible justement l’assignation d’une [41 :00] série de nombres entiers au modèle de réalisation come remplissage de la …de la définition formelle. Là, il y a un problème de l’axiomatique…

Deleuze : A mon avis, pardon, il me semble qu’il y a deux points dans ce que tu dis. Il y a, d’une part, l’exigence de, précisément, ce que les axiomaticiens appellent non pas, d’ailleurs, une formalisation, mais une méta-mathématique, ça serait rempli par une méta-mathématique, l’exigence que tu dis, et, d’autre part, dans l’exemple très juste que tu donnes toi-même, il me semble que la nécessité de définir le successeur fait plutôt partie et constitue… euh… elle-même un axiome, axiome qui intervient dès l’axiomatique des nombres entiers.

Comtesse : C’est ça. C’est-à-dire que, avant de dire que [42 :00] [Inaudible]

Deleuze : Oui, qu’il faut un axiome de succession. [Comtesse continue à parler, propos quasi-inaudibles] Complètement d’accord, ça. Complètement d’accord, ça. Il faut un axiome, oui.

Comtesse : Il faut plusieurs axiomes [Inaudible]

Deleuze : D’accord.

Comtesse : Au moins quatre axiomes.

Deleuze : D’accord, ouais, d’accord. Oh, d’accord !

Comtesse : [Inaudible] l’important chez Hilbert, c’est que, contrairement à toute philosophie classique, à tous les philosophes classiques, Descartes, Leibniz et tous les autres et même avant, qui croyaient que la série des nombres entiers était naturelle, eh bien justement il faut la fonder axiomatiquement. On n’est pas assuré que, si 0 est un nombre comme, par exemple, [Inaudible] axiomatique de Hilbert, on ait un successeur de 0, il faut fonder axiomatiquement la possibilité [43 :00] d’un successeur.

Deleuze : Oui, oui, oui.

Comtesse : C’est un des plus grands problèmes de l’axiomatique, et également un des plus grands problèmes, ça fait un autre niveau de la conjugaison dans le [Inaudible] le plus hétérogène.

Deleuze : Ah oui ! Oui, oui ! Ah, je vois ce que tu… veux dire, oui. Toi, tu donnerais… c’est possible, ça. Je dis juste que tout le monde a compris, je pense, que, dans l’exemple même que j’ai cité, m’en tenir à deux axiomes ne signifiait pas du tout que l’axiomatique que je… définissais là euh… se suffisait, était elle-même consistante, hein. La remarque de Comtesse, à savoir que ça suppose d’autres axiomes, ça c’est… c’est sûr. Et toi… ah oui, tu… tu replaçais là l’histoire d’un axiome de successibilité parce que tu penses qu’il y en aura un usage particulier au niveau de… [44 :00] euh… au niveau d’une théorie… euh… du capital ? C’est possible, oui. C’est possible.

Comtesse : On est complètement hanté par l’idée qu’il faut nécessairement un successeur de zéro et que zéro est un nombre. Toute la polémique c’est de dire… par exemple [Inaudible] si on pense que zéro est un nombre, on ne peut pas [Inaudible] un successeur de zéro, sauf à affirmer que…

Deleuze : Ouais, ouais

Comtesse : [Inaudible] … absurdité incroyable en mathématiques, que pour qu’il y ait un successeur de zéro, il faut énoncer que zéro égale un.

Deleuze : Ouais… oui, oui, oui, d’accord. Oui, oui. Tout à fait d’accord. [Pause] Ben, alors on retrouvera ça, au niveau de la succession, hein, tu diras, oui, bon. Voilà. Vous avez compris ? Je continue ou… on arrête ? Vous voulez… vous en avez assez ?

Claire Parnet : Non, non on continue.

Une étudiante : Pourquoi c’est les [45 :00] Anglo-Saxons qui… [Inaudible]

Deleuze : Euh… ben, pourquoi c’est les Anglais qui ont… ? Ah ben, ils n’ont pas… Non, l’axiomatique, ça ne leur a jamais beaucoup plu, aux Anglais. Vous savez, on retrouve là… moi, mon rêve que … euh… parce que — ce n’est pas mon rêve personnel — je me dis : il y a cette voie dans Nietzsche qui n’a jamais été reprise, parce que c’est une voie très dangereuse, il faudrait être Nietzsche pour… pour réussir des choses comme ça, cette espèce de typologie des nations. Pourquoi tel problème est lié à tel… euh… à tel pays ? Hein. C’est très net en philosophie, mais c’est très net aussi en mathématiques, tout ça, c’est très net… Pourquoi tel pays fournit-il… euh… ? Très curieux lorsque Nietzsche se met à délirer sur l’esprit anglais, l’esprit allemand, l’esprit français, tout ça. Alors pourquoi c’est les Anglais qui… dont l’affaire… un problème, ce n’est jamais… ce n’est jamais abstrait. Je crois que les théorèmes c’est abstrait, hein, mais les choses concrètes de la pensée, les vrais événements de la pensée, ce n’est jamais abstrait. [46 :00] Euh… ça ne veut pas dire non plus que ce soit historique ; il faudrait inventer de tout autres catégories. Mais pourquoi les problèmes sont-ils signés ? [Fin de la cassette] [46 :08]

Partie 2

C’est curieux, quand même… euh… Bon… est-ce que… euh… ? Je dis bien que c’est follement dangereux, c’est-à-dire on risque de tomber dans les pires platitudes… de… en disant : mais… il faudrait avoir la méthode pour bien parler de ça. Alors, les Anglais, pourquoi c’est la formalisation, la logistique qui les a fascinés, et qu’ils ont eu des génies là-dedans, d’incroyables génies ? Ça me paraît évident, là, il faudrait penser à, dans tous les domaines, alors, la vocation de l’Angleterre pour penser le non-sens, pour penser le problème du sens et du non-sens. Les Anglais, c’est de tout temps des types qui ont dit … euh… finalement je résume, un de leurs apports philosophiques, c’est … euh… ils sont assez… ils sont assez drôles, hein, les anglais. On dit toujours : oh pfff… ils ne vont pas loin, c’est… Ils rigolent plutôt ; [47 :00] ils rigolent devant la philosophie française, allemande, tout ça. Ils disent : c’est bien, mais qu’est-ce que ça veut dire, tout ce… ? Qu’est-ce que ça veut dire ? Qu’est-ce que ça veut dire la question « qu’est-ce que ça veut dire ? » ? Chez les Anglais, on voit très bien, ils disent : oh, c’est des gens qui nous parlent du vrai et du faux, seulement, voilà … euh… ils n’oublient qu’une petite chose, encore une fois, c’est que, le vrai et le faux, ça suppose que ce qu’on dit a déjà un sens ; nous, ce qui nous intéresse, c’est : à quelles conditions quelque chose a… une proposition a un sens.

Alors, c’est dans tous les domaines que les Anglais ont perpétuellement été attirés par la question du sens et du non-sens. Que vous preniez leur littérature : Pourquoi est-ce que le non-sens est un truc qui anime, qui parcourt la littérature anglaise des débuts à la fin ? Pourquoi est-ce que, quand vous trouvez une page de non-sens, vous savez que c’est anglais ou américain ? Ou juif ? — Encore que le non-sens juif ne soit pas la même chose, mais enfin … euh… [48 :00] généralement il ne sera pas difficile à ce moment-là de montrer que c’est plutôt … euh… Sauf justement Lichtenberg, lui… il y a toujours des… des petites exceptions, comme ça. — Mais pourquoi est-ce que la pensée anglaise, américaine est pénétrée par ce problème du sens et du non-sens ? Alors que les Français, ils ont toujours été très lourds, très patauds, dans la question du sens et du non-sens. Ils ont beau s’efforcer… Ils ont beau s’efforcer de faire les légers, ça ne marche guère, hein. Ça ne marche guère, à côté des non-sens anglais, si vous pensez… même le cinéma, si vous pensez à … euh… alors à la fois à ceux qui sont américains et juifs … euh… les [frères] Marx , bon, les Marx comme art du non-sens….

Bon. Que ce soit en littérature de Lewis Carroll à [Edward] Lear à… toute la tradition du non-sens, bon : est-ce que c’est par hasard, je dis, que leurs philosophes font la même chose en philosophie ? C’est-à-dire que Russell, c’est effectivement une espèce de grand Lewis Carroll de la philosophie. Bon. Alors, [49 :00] là, il y a des mystères qui nous échappent… Bon… pourquoi ? Oh, il y aurait… il y aurait des trucs à trouver, ah ouais. A ce moment-là il faudrait, en effet, bien… arriver à bien définir ce que c’est qu’un non-sens. Du coup on comprendrait peut-être pourquoi ça intéresse particulièrement les Anglais et pourquoi les Français sont toujours passés à côté, que les Allemands, c’est encore autre chose, encore autre chose, ce n’est pas… [Deleuze ne termine pas la phrase] Ouais, bon, enfin.

Alors voilà, je voudrais faire une deuxième remarque. Ça, c’est ma première remarque sur l’axiomatique. Je voudrais faire une seconde remarque sur l’axiomatique, car elle nous sera, je crois, très utile plus tard. A partir de tout ce qu’on vient de dire, on pourrait croire, euh, une axiomatique c’est comme une espèce de procédé d’automasticité dans le discours mathématique. [50 :00] C’est comme une espèce de construction d’un automate spirituel – « automate spirituel » étant une expression célèbre en philosophie – ou, à la limite, même plus, d’une véritable automation.[3] A la lettre, c’est les règles d’un discours où vous ne savez pas de quoi vous parlez, puisque vous énoncez des relations entre des éléments quelconque dont vous ne spécifiez pas la nature. Non seulement vous n’avez pas besoin de savoir ce dont vous parlez, mais il est recommandé de ne pas savoir ce dont vous parlez.

Alors, bon, on peut avoir cette impression que — et ça a été très souvent dit — l’axiomatique tend et même se propose d’expulser non seulement toutes les images au profit d’un pur symbolisme, mais toutes les ressources de l’in… de l’intuition, [51 :00] de la construction pour y substituer l’énonciation de l’ensemble des axiomes. [Pause] Et, en fait, il suffit de regarder pour bien voir. Je veux dire, au point où on en est, on voit très bien que l’axiomatique est inséparable d’un type d’expérimentation, sans doute d’un type d’expérimentation très particulier, mais impossible de définir en fait l’axiomatique comme l’expulsion de l’expérimentation ; c’est plutôt la constitution d’un mode d’expérimentation tout à fait nouveau. Car, j’insiste là-dessus, rien ne me dit d’avance, si je fais de l’axiomatique, rien ne me dit d’avance quels axiomes je dois choisir, et dans quelle mesure mon axiomatique sera consistante [52 :00] ou non, non-contradictoire, dans quelle mesure elle sera saturée ou non. Je vous rappelle qu’une axiomatique est dite saturée lorsque je ne peux pas ajouter un axiome aux précédents sans que l’ensemble ne devienne contradictoire. Donc il peut y avoir des contradictions dans une axiomatique et des contradictions qui, au besoin, ne se voient pas immédiatement, ne se voient qu’au niveau des théorèmes que j’en déduis, mais, bien plus, à quel moment mon axiomatique est saturée ?

Tout ça, c’est vraiment…, il y a une inventivité en axiomatique. Avant de dire du mal de l’axiomatique, je crois que il faut… il faut marquer ce qu’il y a d’assez extraordinaire dans… dans cette aventure de l’axiomatique. Très difficile de…  il y a une espèce de… oui d’invention, de création des axiomes. Là, alors, je reprends complètement ce que vient de dire Comtesse, [53 :00] euh… Si vous proposez une axiomatisation de l’arithmétique, ben… oui, il vous en faudra et puis jusqu’à quel point elle sera contradictoire ou pas, à quel moment elle sera saturée ? Or, ça consiste en quoi, cette espèce… ? Donc ce n’est pas du tout un truc où… euh… un mécanisme remplacerait, hein. Je crois que c’est, en effet, un mode d’expérimentation qui est lui-même s… sujet à des échecs, à des succès. A la limite, je dirais la même chose que pour la formalisation ; il y a des axiomatiques qui n’ont aucun sens, qui n’ont aucun intérêt. Alors, bon… [Pause]

Si bien que on ne peut pas se faire de l’axiomatique l’idée de… d’une espèce de constitution d’un savoir automatique infaillible. [54 :00] J’insiste là-dessus parce que, dans notre comparaison que nous ferons plus tard, tout à l’heure, entre l’axiomatique et la politique, on ne pourra plus tenir comme une objection l’idée que, en politique, on se trompe tout le temps, si en axiomatique aussi… ce n’est donc pas la question. Si j’essaie de définir le mot, euh, le niveau de l’axiomatique, je dirai quoi ? Alors je reprends les quatre catégories qu’on a… qu’on a ébauchées. Les catégories qu’on a ébauchées, je dirais que, finalement, il ne faudrait en dégager que trois et bien marquer par commodité que nous ne confondons pas ces trois concepts.

Le premier concept c’est : les conjonctions topiques entre [55 :00] flux. Vous vous rappelez : ce que nous appelions des « conjonctions topiques entre flux », ça, c’est dans le cas où les flux sont décodés. C’est les formes sous lesquelles le mouvement des flux est comme arrêté, ligaturé, sous telle ou telle forme, et c’est tout le domaine, on avait vu, qu’on avait appelé le « domaine des dépendances personnelles ». Il y avait donc des conjonctions topiques.

Avec le capitalisme, dans notre analyse précédente, on a cru voir qu’on arrivait dans un élément très différent. Il ne s’agissait plus…. Il ne s’agissait plus de conjonctions topiques entre flux, il s’agissait d’une conjugaison [56 :00] généralisée des flux décodés. [Pause] Et, à ce moment-là, il n’y avait plus de rapports de dépendances personnelles entre sujets ; il y avait finalement une seule subjectivité, on a vu : la subjectivité du capital. Mais on avait défini, précisément, le capitalisme comme la formation de cette conjugaison généralisée qui se distinguait des conjonctions topiques.

Notre question, maintenant, ça pourrait être : est-ce qu’il n’y a pas autre chose, encore ? Pure hypothèse, hein, parce que, là, je… je … c’est juste pour avoir mes repères terminologiques. Je dirais : oui, il y a peut-être encore autre chose, c’est les connexions de flux, les connexions de flux qui ne se rapporteraient… qui ne se ramèneraient ni à des conjonctions topiques, [57 :00] ni à une conjugaison généralisée. Pourquoi ? Pourquoi il y aurait besoin de cette notion ?

C’est ça que je voulais dire avec le caractère expérimentateur de l’axiomatique, c’est que, l’axiomatique, c’est encore une manière d’arrêter les flux, dans ce cas les flux de science. C’est encore une manière d’arrêter. Pourquoi ? Moi il me semble que c’est frappant dans l’histoire des mathématiques, ou dans l’histoire de la physique, puisque la physique a été très axiomatisée. L’axiomatique, elle a toujours fonctionné comme une espèce d’arrêt… comme une espèce d’arrêt, là. C’est par là que je disais « politique de la science », où il s’agit de dire aux gens « ah non, hein, faut… N’allez pas plus loin, parce que… », « N’allez pas plus loin », à la lettre…, ces flux de scientificité, ces flux de mathématiques, ces flux de physique… etc. euh… il faut remettre un peu d’ordre dans tout ça. [58 :00] Ça… ça file de partout, ça fuit de partout, tout ça, où vous allez, où vous allez. Je dis que l’axiomatique, au début du XXème siècle, dans la première moitié du XXème siècle, en mathématiques, mais également en physique, a fonctionné comme un moyen de bloquer, d’arrêter.

Eh bien, voilà la proposition… voilà l’hypothèse que je ferais en second lieu, dans ce second… dans cette seconde remarque : c’est que, quand des flux se décodent, par exemple, des flux de science, ben… ils échappent à leurs conjonctions topiques. Mais est-ce qu’ils ne débordent pas encore ? La conjugaison généralisée, conjugaison généralisée des flux, c’est encore une manière de les bloquer, de dire : non, euh… [59 :00] Par exemple, imaginez, quand est-ce que l’axiomatique de la physique a eu son grand, grand rôle ? C’est lorsque, vraiment, là je crois, les savants eux-mêmes ont commencé à s’inquiéter par et sur les voies et les chemins que prenait la physique dite indéterministe. Et, à ce moment-là, il y a vraiment eu besoin d’une remise en ordre. Tout se passe comme si pas seulement des savants s’étaient dit — il y avait aussi des savants, mais pas seulement des savants — tout se passe comme si euh… des savants et des puissances, des puissances qui s’occupaient de la politique de la science, s’étaient dit : mais enfin, qu’est-ce que c’est… qu’est-ce que c’est que ces flux de savoir qui se décodent de plus en plus, qui euh… Où est-ce qu’on va ? Qu’est-ce que c’est que ce truc-là ? Et une espèce de remise en ordre qui a consisté à réconcilier ce qu’on appelle en gros l’indéterminisme avec le déterminisme. [60 :00] Un grand physicien français y a eu un rôle fondamental, à savoir [Louis de] Broglie, dans cette espèce de remise en ordre, et l’axiomatique de la physique, par exemple en France, s’est faite à partir d’élèves de Broglie. Ça a été vraiment comme dire : mais la physique indéterministe, elle nous entraîne dans des trucs… [Il ne termine pas]

C’est exactement ce que je disais, si vous vous rappelez, pour la fameuse histoire… de la NASA, des flux de capitaux, des flux de capital, des flux de capitalisme qui sont tout prêts à s’envoyer dans la lune, mais, là, il y a quand même un Etat pour dire : ah non non non ! Euh… Faut pas euh… Faut pas aller trop loin. Faut faire un peu de reterritorialisation. Ah… Et alors on ligature, on colmate. L’axiomatique c’est un peu ça ; elle opère une conjugaison générale des flux qui les empêche, [61 :00] je dirais, qui les empêche d’aller trop loin, c’est-à-dire de se connecter avec des vecteurs de fuite. Elle opère euh… comment dire, oui je ne trouve pas le meilleur mot, elle opère comme une espèce de reterritorialisation symbolique.

Et, en mathématiques, c’est pareil, l’axiomatique en mathématiques a vraiment par rapport… euh… je pense, par exemple, à l’espèce de fuite des géométries dans tous les sens. Et maintenant ça ne s’est pas arrangé, hein, à travers l’axiomatique ; ça continue à couler, à filer… partout. La situation des mathématiques actuelles, elle est… elle est quand même… très très curieuse, quand on entend parler les mathématiciens… ces… ces situations où, vraiment, le savoir mathématique s’est complètement fragmenté, où il y a un mathématicien au Japon qui comprend ce que le… ce que fait un mathématicien en Allemagne… Et puis voilà, et puis les autres… [62 :00] bon… euh…. Cette espèce de situation où vraiment les flux de savoir, là, sont… sont extraordinairement filants. Bon. L’axiomatique, c’est… je redis, l’axiomatique c’est une espèce de restructuration, de structuration, de reterritorialisation symbolique.

Vous voyez en quel sens je ferais la distinction, donc, entre trois concepts : les conjonctions topiques ou qualifiées entre flux ; les conjugaisons généralisées de flux ; et quelque chose de plus : les connexions, c’est-à-dire ce qui pousse les flux encore plus loin, ce qui les fait échapper à l’axiomatique même et ce qui les mettent en rapport avec des vecteurs de fuite. Alors c’est en ce sens : est-ce qu’il n’y a pas quelque chose d’autre que l’axiomatique et qu’on pourrait appeler du type connecteurs ? Or je pense – et c’est la [63 :00] dernière remarque que je voudrais faire concernant cette histoire de mathématiques – je pense qu’il y a toujours eu en mathématiques quelque chose de très, très curieux, et c’est de ça que je voudrais parler pour finir dans l’histoire des mathématiques, parce que ça nous servira toujours pour notre parallèle avec euh… la politique.

A la même époque que la formation des premières grandes axiomatiques, à laquelle Comtesse faisait allusion tout à l’heure, avec Hilbert et d’autres, coïncidait un mouvement mathématique qui me semble d’un très, très haut intérêt. Et là, bizarrement, pour reprendre – on retrouve toujours les mêmes problèmes – pour reprendre notre histoire : pourquoi est-ce que le centre de ce mouvement mathématique s’est-il trouvé dans les Pays-Bas ? C’est curieux, là, faudrait… faudrait des raisons… faudrait trouver des raisons… euh… pour ça. [64 :00] Et se constituait en réaction contre l’axiomatique une école très bizarre, très importante, de grands mathématiciens qui se nommaient intuitionnistes, l’intuitionnisme ou le constructivisme, constructionnisme. Remarquez : c’est d’autant plus intéressant qu’il y avait aussi des mouvements esthétiques qui se disaient constructivistes. Bon.

Je ne sais pas s’il y avait des rapports possibles… je ne sais pas. Ces mathématiciens, je cite pour euh… si par hasard vous en entendiez parler dans un livre… euh… je cite le nom des principaux, c’était : [L.E.J.] Brouwer, B-R-O-U-W-E-R ; [Arend] Heyting, H-e-y-t-i-n-g ; [65:00] [George F.C.] Griss, G-r-i-s-s, et en France, un mathématicien très, très curieux, qui a beaucoup écrit, qui s’appelait [Georges] Bouligand, B-o-u-l-i-g-a-n-d et dont un des meilleurs livres – mais qu’on ne trouve, je crois, qu’en bibliothèque – s’appelle Le déclinLe déclin des absolus mathématico-logiques.[4] Et ils s’opposaient à l’axiomatique, je crois, de deux manières simultanées.

D’une part, ils étaient comme en retrait, parce qu’ils exigeaient des conditions de construction dans l’espace. Mais, d’autre part et en même temps,  – en ce sens ils étaient vraiment en retrait – mais par d’autres aspects de leur œuvre et de leur réflexion, ils étaient très au-delà. [66 :00] Ce qui, évidemment, est important pour nous. Ils pouvaient être les deux à la fois. Comme s’ils avaient exigé que, à la lettre, les flux mathématiques aillent encore plus loin, débordent les limites de l’axiomatique, notamment ils avaient une manière de mettre en cause des principes que l’axiomatique conservait, notamment le principe dit du tiers exclu, selon lequel une proposition est vraie ou fausse, et ce qu’ils opposaient à l’axiomatique c’était – et là c’est très utile pour nous, je ne dis pas pourquoi encore – c’était ce qu’ils appelaient eux-mêmes, enfin certains d’entre eux, ce que certains d’entre eux appelaient un calcul des problèmes, un calcul des problèmes et, en effet, quand on voit ce qu’ils appellent un calcul des problèmes — notamment le mathématicien Griss a beaucoup fait de calcul des problèmes [67 :00] au sens…, il y avait aussi un russe là-dedans… Il y avait un ménage français… tiens ! J’ai un souvenir : il y avait un ménage français de mathématiciens-physiciens, élèves de Broglie, euh… qui représentaient comme une espèce de scène de ménage épistémologique [Rires] car le mari était un des meilleurs axiomaticiens et la femme était une intuitionniste, [Rires] et ils avaient beaucoup, beaucoup de talent, euh… ils ont divorcé, hein, [Rires] mais enfin…

Une étudiante : [Inaudible]

Deleuze : [Jean-Louis] Destouches, Destouches, et Paulette [Destouches-]Février, oui, oui, oui. Elle, elle faisait des communications sur le calcul des problèmes… euh… et, lui, il faisait de l’axiomatique… euh… tout à fait…

Mais, ce qui m’intéresse, donc… – ce couple est quand même… euh… est quand même très important, parce qu’il a sûrement vécu une espèce de dualité d’inspiration… [68 :00] euh… – ce qui m’intéresse, c’est comment on peut déjà, nous, dans notre hypothèse, sans du tout rien préciser encore, poser la question : est-ce qu’il n’y a pas, au-delà même de la conjugaison généralisée telle que une axiomatique l’opère, est-ce qu’il n’y a pas quelque chose d’autre qui est du type « connexion avec des vecteurs particuliers » qui déborde l’axiomatique, c’est-à-dire un calcul des problèmes par opposition à une détermination des axiomes ? Et qu’est-ce que ce serait qu’un calcul des problèmes par opposition à une détermination d’axiomes ? Vous sentez que c’est notre seule chance en politique, si notre comparaison est fondée avec l’axiomatique. Comment sortir d’une axiomatique ?

Or si je cherche dans l’histoire des sciences, dans l’histoire des mathématiques, je veux pour mémoire marquer juste trois temps qui me paraissent essentiels où on trouverait quelque chose de cette dualité, [69 :00] l’opposition de courants scientifiques. Opposition… Premier cas. Premier cas : opposition de deux courants scientifiques essentiels dans la géométrie grecque – je prends un exemple lointain – opposition de deux courants scientifiques très importants dans la géométrie grecque — si … euh… je résume, c’est juste… là, vraiment pour mémoire que… euh… et pour pouvoir m’en servir plus tard — vous avez une conception de la géométrie grecque qui est très simple, qui procède par : définitions, axiomes, postulats, théorèmes, démonstrations, corolaires. Cette conception de la géométrie trouve sa forme vraiment royale [70 :00] avec le géomètre Euclide. [Pause] Ne confondez surtout pas tout, je ne dis pas du tout que ce soit déjà de l’axiomatique. Je dis que c’est un système déductif. Ce n’est certainement pas encore de l’axiomatique, mais c’est un système qu’on pourrait appeler « système axiomes-théorèmes ». [Pause]

Comment le définir, ce système déductif très général ? Je dirais que ce système déductif consiste à définir des essences pour en déduire des propriétés nécessaires. Il va tout entier de « essences » à « propriétés nécessaires ». [71 :00] Par exemple, la conception platonicienne non seulement des mathématiques, mais plus particulièrement de la géométrie, est une conception de ce type : on va des essences aux propriétés nécessaires et c’est la définition de la déduction, d’une science déductive idéale.

Et puis il y a un autre courant beaucoup plus… bizarre, dès l’époque des Grecs. C’est un courant qui n’est plus théorématique – vous voyez je peux appeler la première conception une conception théorématique des mathématiques, et elle culmine, encore une fois, avec Euclide – l’autre conception, c’est une conception problématique. L’élément essentiel de cette conception, [72 :00] ce n’est plus la catégorie de théorème, théorème à démontrer ; c’est la catégorie de problème à résoudre.

Vous me direz, et vous auriez raison : mais, dans la première conception, il y a déjà des problèmes. Réponse : oui, il y a des problèmes, mais des problèmes qui sont étroitement subordonnés aux théorèmes. Bien sûr, les deux se mélangent, mais ce n’est pas un argument, ça. Il y a un primat des théorèmes sur les problèmes. Bien plus, résoudre un problème, dans la première conception, c’est toujours le rapporter à des théorèmes qui permettent de les résoudre. Et, chez Euclide il y a bien des problèmes, mais la solution des problèmes ne fait qu’un et passe par la détermination des théorèmes qui rendront cette solution possible. C’est la catégorie « théorème » qui l’emporte sur la catégorie « problème ».

Mais il y a des géomètres très bizarres. Alors vous sentez déjà, ceux qui connaissent un peu l’histoire grecque… [73 :00] ou l’histoire du platonisme, vous devez penser que, peut-être, ils sont liés, par exemple, à des courants qu’on appelle les Sophistes, qu’ils sont liés à des… à des gens d’autant plus bizarres qu’on a perdu les textes, mais on peut… enfin… [Inaudible] bon… Euh… C’est un courant problématiste. Et, le problème, ça se distingue du théorème comment ? Je dis le théorème, ce n’est pas difficile, vous allez de… – enfin, ce n’est pas difficile… – vous allez d’une essence aux propriétés qui en découlent nécessairement. Théorématiser, c’est déterminer les propriétés qui découlent d’une essence. Vous définissez l’essence du cercle, et vous déduisez les propriétés nécessaires. Euh… j’ai l’air de dire que c’est facile ; ce n’est pas facile, évidemment. Là-dessus, tous les problèmes, vous les subordonnez à vos théorèmes. Les autres, ils ne procèdent pas comme ça.

Quelle est la différence entre un problème et un théorème ? C’est qu’un problème, ce n’est pas [74 :00] du type essence, c’est du type événement, quelque chose qui se passe, ou du type opération. Vous faites subir quelque chose à une figure et quelque chose d’extrinsèque ; vous lui faites subir une opération douloureuse, une ablation, une adjonction, une quadrature, une cubature, toute une chirurgie de la figure. Il ne s’agit plus du tout de chercher les propriétés qui découlent d’essences, il s’agit de chercher les métamorphoses qui sont liées à des événements, oui, [75 :00] ça me semble parfait comme formule, parfait, très clair. Ça, c’est la catégorie « problème ».

Ah tiens, je vais couper, là, je vais couper un angle à mon triangle, qu’est-ce qui va se passer ? Tiens, je vais faire que… un plan coupe un cône en biais, là. Qu’est-ce qui va se passer ? Bon, c’est très, très curieux comme mode de penser. C’est une pensée événement et non plus du tout une pensée essence. Evénements d’un type spécial, ce seront des événements proprement mathématiques. On opposera aux essences géométriques, des évén… des événements proprement géométriques. Bon. Et là aussi, vous comprenez, il ne faut pas durcir, il ne faut pas trop durcir en tout cas. Bien sûr, euh… dans ce sens-là, aussi vous trouverez des théorèmes, mais cette fois-ci, les théorèmes seront tout à fait subordonnés aux problèmes. [76 :00]

Or je crois que, dans la géométrie grecque, il y a eu une espèce de lutte très intense et, finalement, il y a eu une victoire. La tendance problème, elle aurait été… complètement, alors elle… euh… elle a l’équivalent d’Euclide, c’est ce qu’on sait, par exemple, de la géométrie d’Archimède. Bon, c’est la grande opposition Euclide-Archimède. [Pause] C’est vraiment des événements de la géométrie par opposition aux essences géométriques. Voilà mon premier cas. Vous voyez que, là, je peux dire : à la conception théorématique s’opposait déjà chez les Grecs une conception problématique.

Deuxième exemple : du XVIIème [siècle] au XIXème, du XVIIème au XIXème, on s’accorde à… beaucoup d’auteurs, d’historiens, s’accordent à considérer que se montent [77 :00] des – pas seulement une – conceptions de la géométrie dont on peut faire dater la géométrie dite « moderne ». Or dans quelle voie ça se fait ? Ça se fait dans une double voie. J’essaie de définir la première voie, le renforcement d’une puissance symbolique, renforcement d’une puissance symbolique, c’est-à-dire : déborder l’intuition ou la représentation dans l’espace vers une puissance symbolique. C’est la voie de quoi, ça ? C’est la voie de l’algèbre. C’est la voie de la géométrie analytique, et ça s’ouvrira [78 :00] sur tout l’avenir des mathématiques. Mais au XVIIème siècle c’est avant tout le développement de l’algèbre et de la géométrie analytique. Donc, là, vous voyez, la représentation spatiale, c’est-à-dire l’intuition, est dépassée du côté de l’affirmation ou du développement d’une puissance symbolique, ouais, algèbre et analyse.

Mais, en même temps, un autre courant… Euh… si j’essaie de situer des noms, c’est par exemple, Descartes. Ça, c’est très la voie de la géométrie cartésienne, d’où le rôle de Descartes dans la géométrie analytique. Et, ensuite, chez les successeurs de Descartes : tendance à faire de la géométrie analytique un modèle achevé [79 :00] pour l’ensemble de la géométrie. Mais il y a aussi des résistances et se dessine paradoxalement une tout autre voie coexistante. Et, cette tout autre voie, elle a des noms étranges et surtout… des noms étranges parce que c’est des hommes assez étranges qui l’amènent. Je cite, un dont on a parlé… euh… il y a… je sais plus, de nombreuses années… un géomètre très, très bizarre qui s’appelle [Girard] Desargues, D-e-s-a-r-g-u-e-s, qui a très peu écrit, mais dont tout le monde considère qu’il a été fondamental pour le développement de la géométrie moderne. Alors il y a… il y a… un vieux livre du XIXème : Les œuvres de Desargues et toutes les aventures de sa vie. Il a eu tous les malheurs, [80 :00] il était condamné partout, au parlement, il a eu un procès au parlement… tout ça, bon.[5]

Euh… si je fais, si j’essaie de faire la lignée… il s’occupait beaucoup…, il était en liaison avec, très bizarrement, des tailleurs de pierres. Vous voyez, pourquoi avec des tailleurs de pierres et que la taille des pierres, dans cette seconde conception, c’est très important ? Pourquoi ? Parce que, la taille des pierres, c’est vraiment du type « qu’est-ce qui se passe ? ». Evidemment la taille des pierres, c’est problématique. C’est évident. Arrondir, tailler, c’est du domaine des… non pas des propriétés qui découlent d’une essence, mais, comme on dit souvent dans le langage de l’époque, des affects ou des événements qui transforment une figure. [Pause] [81 :00] Un des textes de Desargues s’appelle, a un titre merveilleux, très très « Lewis Carroll » alors, « Brouillon d’une atteinte aux événements qui déterminent… que déterminent la rencontre d’un cône avec un plan ».[6] Vous voyez il y a le truc : rencontre, atteinte aux événements. Vous pouvez sentir que ce n’est pas du langage cartésien, ça ; c’est… ça fait partie d’une autre tradition, ce langage-là. C’est du langage du courant problématiste. Bon, l’importance de Desargues est fondamentalement reconnue non seulement par Descartes, là, qui est très juste, qui, dans plusieurs lettres dit que Desargues c’est… c’est un géomètre formidable. Mais, là, ce n’est plus qu’une reconnaissance, c’est presque un disciple, mais un disciple qui… qui… dépassera le maître, [82 :00] c’est du côté de Pascal. Et c’est du côté des mathématiques à la Pascal et non plus à la Descartes que se trouve la descendance desarguienne, la descendance de Desargues.

Bien après… — ah… Pascal aussi, c’est une situation… c’est une situation dans la science très bizarre… — bien après, vous avez un nom célèbre comme le créateur de la géométrie dite « descriptive », c’est [Gaspard] Monge. Et Monge ne cesse pas de faire une théorie qu’il appelle lui-même, dans son langage, « une théorie des affects particuliers », et il distingue les affects particuliers des corps des propriétés générales. Et c’est par-là que, quand il s’occupe de physique, c’est très important, puisqu’il traite les phénomènes, par exemple, électriques comme des affects particuliers des corps par distinction aux déterminations [83 :00] générales des figures du type « espace et mouvement ». En tout cas : géométrie descriptive de Monge. Or, Monge, c’est quoi ? C’est un courant très, très bizarre, parce que Monge, c’est… bon… c’est pleinement un savant, mais c’est un savant qui n’est pas de la même tradition que l’autre courant. Euh… il renvoie à un personnage… à un type de personnage dont on a parlé, là, l’année euh… je ne sais plus laquelle, où on s’occupait de ça, à savoir… euh… l’ingénieur, l’ingénieur militaire, la science de l’ingénieur militaire. C’est une chose très, très curieuse.

Et puis, dans la ligne, alors… il y a vraiment une… une continuité, là, si on essaie d’établir des continuités… il y a une continuité, il me semble, Desargues – Pascal – Monge, et puis en quatrième, peut-être un des plus grands, il a sa petite rue à Paris, [84 :00] [Jean-Victor] Poncelet, Poncelet qui est un grand ingénieur militaire, mais surtout, surtout, l’inventeur de la géométrie dite projective — projectif, c’est problématique ; pro-blème égale pro-jection. A la lettre, c’est… c’est… c’est le même mot, l’un en latin, l’autre en grec — la géométrie projective de Poncelet, qui a un grand axiome, qui repose sur un axiome dit « de continuité ».

Or, là aussi, pour en rester à des exemples aussi stupides que celui que j’ai pris pour l’axiomatique, qu’est-ce que c’est que l’axiome de continuité à la Poncelet, dans la géométrie projective ? Vous voyez… euh… un cercle ou un arc de cercle, hein, vous tracez une… droite qui coupe l’arc de cercle en deux points, hein, il y a deux points réels. [85 :00] Vous le faites monter. Vient le moment où il n’y a plus qu’un point réel. Vous continuerez à vous dire, vous, vous continuerez à dire : il y a deux points, mais, simplement, l’un est fictif, ou l’un est imaginaire. Vous montez encore. La droite sort du cercle et ne coupe plus… et ne coupe plus rien : vous continuerez à dire qu’il y a deux points fictifs, vous aurez établi une série de continuité entre cas hétérogènes, à savoir : trois cas hétérogènes, le cas où votre droite coupe effectivement le cercle en deux points, le cas où votre droite est une tangente, et, troisième cas, le cas où votre droite est extérieure au cercle. Vous me direz : quel intérêt d’introduire ces points imaginaires… ? Ah, si, je ne vous le dirai [86 :00] pas, parce que vous devez sentir que ça a un intérêt colossal, du point de vue de la géométrie, que ça entraîne une nouvelle conception de la géométrie.

Si j’essaie de résumer, là, à ce niveau, l’exemple devient très simple… Oui, il devient… je dirais : dans les deux cas, aussi bien dans la conception, dans la première conception que dans la seconde conception, c’est-à-dire du côté de la géométrie analytique, Descartes, du côté de la géométrie projective constructive, Monge, Poncelet, Desargues etc…, dans les deux cas vous dépassez… – sinon il n’y aurait pas de science – dans les deux cas, vous dépassez les conditions de la représentation spatiale, c’est-à-dire vous dépassez la simple intuition. Ça, c’est commun aux deux. C’est par là que les deux sont de la science.

Mais, dans un cas, [87 :00] vous dépassez la représentation spatiale ou l’intuition vers une puissance d’abstraction de plus en plus consistante, ou vers une puissance symbolique. Dans l’autre cas, je dirais, c’est tout différent – vous allez comprendre – vous le dépassez vers une trans-intuition, c’est-à-dire vous développez une espèce de… d’espace entre les cas. Dans un cas, je dirais, vous faites une conjugaison, dans l’autre cas vous établissez une connexion. [Pause]  Vous vous élevez vers une espèce de… quoi ? Intuition trans-spatiale [88 :00] ou trans-intuition. Vous ne dépassez pas l’espace vers une puissance de symbole ; vous établissez des connecteurs d’espace. Vous déroulez un espace commun aux trois cas : la ligne qui coupe, la ligne tangente, la ligne extérieure au cercle.

Je dirais que mon second exemple recoupe mon premier : j’appellerai conception, si vous voulez, « déductive » ou « théorématique » la conception qui dépasse la représentation spatiale vers la puissance d’abstr… euh… vers la puissance symbolique, et j’appellerai « problématique » la conception Desargues, Pascal, Monge euh… Poncelet, qui dépasse [89 :00] la représentation spatiale vers une trans-intuition ou vers une intuition trans-spatiale. Et, que les deux se mélangent… C’est possible que, à un certain niveau, les deux se mélangent, mais chaque fois il y a des tensions.

Je prends un seul exemple parce que je me le rappelle, là, c’est que… euh… Poncelet a toute une polémique avec, précisément, un descendant… et un créateur, mais un descendant de la géométrie analytique, un type qui… poussait l’analyse à un niveau beaucoup plus… loin, et… euh… et qui lui… et qui est son contemporain, un mathématicien qui s’appelait [Augustin-Louis] Cauchy. Et l’espèce de tension Cauchy-Poncelet renouvelle, si vous voulez, dans des conditions complètement autres historiquement, renouvelle la même opposition que celle qu’on vient de voir chez les Grecs, là, entre un courant euclidien et un courant archimédien. Bien… [90 :00]

Je dis : troisième exemple, dans les mathématiques modernes. Première voie : la formation d’une puissance axiomatique, [Pause] une puissance axiomatique qui consiste à dépasser la représentation spatiale vers un symbolisme de plus en plus… comment dire… euh… abstrait, au sens d’une symbolique des éléments quelconques ; et, d’autre part, le courant problématiste ou intuitionniste dont on a tort – vous voyez ce que je veux dire – on a tort de s’en faire une conception… lorsque ça arrive, parce que je crois qu’il y a des historiens des mathématiques qui présentent les choses comme ça, comme si mon second courant, là, était en [91 :00] régression simplement. Mais, en fait, ce n’est pas du tout un courant qui réclame simplement les droits de la représentation spatiale et qui dit « ah ben non… »… On présente très souvent les anti-axiomaticiens comme des gens qui, simplement, disent : ah, mais la représentation spatiale, on ne peut pas s’en passer et l’axiomatique a tort. Et je crois que ce n’est pas ça du tout. Ils sont beaucoup plus… le second courant, il est… il est aussi intéressant que le premier ; il n’est pas du tout en train de… de… de… de dire : ah, il faut garder de la représentation spatiale. Il dépasse la représentation spatiale non moins que l’autre. Archimède dépasse la représentation spatiale, mais il le fait par une méthode des limites ou de l’exhaustion, c’est-à-dire les métamorphoses de figures et les passages à la limite. Poncelet, il le fait avec son axiome de continuité. C’est bizarre, d’ailleurs qu’on appelle ça « axiome de continuité », « axiome » . Il faudrait retirer le mot « axiome », ce n’est évidemment pas un axiome de continuité, c’est une condition de… [92 :00] c’est une condition de problèmes, hein. Ce n’est pas du tout un axiome… On peut le traiter comme un axiome, à ce moment-là, c’est un mixte, c’est un mélange. Vous voyez, donc, je dirais : il ne dépasse pas moins que les autres les conditions de la représentation spatiale, mais, au lieu de la dépasser vers un symbolisme, à la limite un symbolisme de l’objet… [Fin de la cassette] [1 :32 :23]

Partie 3

… ils vont établir une continuité entre les trois cas discontinus, par exemple dans le cas de Poncelet, vous voyez, la ligne qui coupe le cercle, la ligne tangente, la ligne extérieure au cercle. Donc, entre ces trois cas, ils font couler ou ils font passer une espèce de ligne commune, une ligne fictive… bon.  Mais, chez eux, ce n’est pas la puissance du symbole, c’est la fiction d’un entre-deux. [Pause] [93 :00]

Donc si je résume je dirais : nous sommes en droit à partir de là, de considérer pas encore bien sûrement, mais de euh… mieux considérer notre hypothèse que trois concepts doivent être distingués : encore une fois celui des conjonctions topiques, celui des conjugaisons généralisées, et celui des connexions, des connexions, j’appellerais ça presque, à la limite, des connexions créatrices, ou des connexions anticipatrices. Ce sera un monde différent, connexions anticipatrices, et elles ne procéderaient pas par axiomatique : elles procéderaient par calcul des prob… des problèmes.

D’où l’importance que, dans l’école dite intuitionniste ou constructionniste, l’importance dans cette école, de… [Pause] [94 :00] ce qu’ils appellent précisément un calcul des problèmes. Le livre de Bouligand que je citais, Le déclin des absolus mathématico-logiques, la thèse, toute la thèse est celle-ci, avec des exemples très riches, très variés : qu’il y aurait en mathématiques deux éléments irréductibles, l’un que Bouligand appelle “élément de la synthèse globale”, et l’autre qu’il appelle “l’élément problème”. Et sans doute, il montre qu’un problème ne peut être résolu que par les catégories de la synthèse globale, mais inversement, il montre, que la cat… les catégories de la synthèse globale ne peuvent procéder, ne peuvent fonctionner, que grâce à des germes d’éléments problématiques agissant comme des espèces de cristaux là-dedans, agissant comme des virus, là-dedans.

Et je crois que, lorsqu’il analyse — c’est là la force de ce livre — lorsqu’il analyse des cas très concrets, même si on comprend pas, il y en a qu’on comprend, [95 :00] donc… euh… il montre très bien, il recueille très bien cette tradition, il ne parle pas du tout des problèmes que… j’ai envisagés historiquement, mais euh… il est comme euh… l’état euh… de la première moitié du XXème siècle, il est un très, très bon représentant, de cette mathématique des événements, c’est-à-dire de cette mathématique problématique. Il y a eu un moment, tout un… tout un courant de profs de maths, anti-axiomati… euh… anti-axiomaticiens, euh… qui essayaient de faire un enseignement de… en gros, on peut dire l’axiomatique a gagné dans l’enseignement des mathématiques actuellement, même dans les petites classes… Euh… c’est tantôt de la logique formelle, c’est tantôt…le… la formalisation, euh… tantôt l’axiomatique qui a gagné. Si vous ouvrez un livre même de sixième, de… de cinquième, de quatrième, euh… de… de mathématiques.

Or il y avait tout un courant qui disait : non, non, il ne faut pas aller dans ce sens-là. [96 :00] Il faut aller euh… faut aller dans une conception vraiment problématique, à savoir, au contraire, tout… tout faire basculer, faire un enseignement des mathématiques avant tout fondé non pas sur les axiomes. Euh… c’est très rigolo, je ne sais pas si… si… il faudrait que vous ayez des petits frères ou des…, mais enfin, beaucoup d’entre vous ont vu, ces livres… et puis, après tout, je suis bête… vous n’avez pas de mon âge… donc vous-mêmes vous êtes… vous avez peut-être été… enseignés avec cette méthode extrêmement axiomatisée, euh… en géométrie et en… et en arithmétique. On commence en effet par la théorie des ensembles… Je ne dis pas du tout que ce soit mal : c’est… c’est… ça fait bizarre… euh… Moi, je suis d’une génération où ce n’était ni l’un ni l’autre. Alors, ce n’était pas mieux, hein. C’était autre chose, c’était vraiment la vielle pédagogie.

Mais, ces profs auxquels je pense, ces profs de mathématiques, tout à fait du lycée, c’était des très bons mathématiciens, mais réclamaient une toute autre conception : c’est ça qui m’intéresse, [97 :00] qui était vraiment la construction des problèmes, parce qu’ils disaient : il n’y a qu’au niveau des problèmes qu’on peut convier les élèves à une espèce d’activité sans que ça devienne un pur et simple bordel, à savoir, on leur fait construire un problème, et à ce moment-là, tiens, est-ce que tout ne se retrouverait pas ? Parce que tout problème n’a pas… quoi ? Je veux dire – pour nouer tout ce qu’on…, toutes ces remarques dispersées – un problème, un problème quoi ? Vous ne direz jamais d’un problème qu’il est vrai ou qu’il est faux. Ce qui est vrai ou faux, c’est une solution, c’est une démonstration. C’est la démonstration d’un théorème. Un problème, ce n’est pas vrai ou faux. Si : on voit bien ce qu’on appelle un faux problème, c’est… c’est un problème où il y a une faute. Ça arrive dans les concours tout le temps, euh… on donne de faux problèmes. Oui, faux problèmes. Ah, il y a une faute, il y a une donnée qui manque, donc c’est un faux problème. Mais, sinon, un problème, il n’est ni vrai ni faux en tant que [98 :00] problème.

Seulement voilà, un problème, il a un sens ou il n’en a pas. Il y a des problèmes qui n’ont pas de sens. Et, là encore, ça ne fait qu’un avec la connerie, ça. Euh… la bêtise, ça consiste perpétuellement à poser des problèmes qui n’ont aucun sens. Or, là, ce n’est pas le domaine du vrai et du faux, c’est le d… le domaine du sens et du non-sens. Si bien qu’on retrouverait nos histoires. Bon, alors, faire surgir des événements mathématiques, ça, c’est une autre conception que l’axiomatisation, où au contraire, l’axiomatisation, on fait découler des propriétés nécessaires à partir d’un système d’axiomes. Voilà, alors je reprends euh…, pour conclure, brièvement… Quelle heure il est ?

Un étudiant : [Inaudible]

Deleuze : Quoi ? [99 :00] Midi vingt, mon dieu ! Euh… Vous n’en pouvez plus ! Euh… [Rires]. C’était… Bon, alors je termine très rapidement. Je dis… Bon, qu’est-ce que… ? Au point où on est, on a au moins…euh… fait cette longue, longue parenthèse, qui nous amène à quoi ? Alors je reviens vraiment à ma question concernant l’État et la politique, puisque c’est là-dessus que je voudrais finir, euh… cette première série de recherches cette année.

Ben, voilà. Ma question, elle s’est un peu précisée, c’est : quel est notre intérêt à nous, si nous essayons de traiter la situation actuelle comme une axiomatique, dans les conditions que je viens de dire : l’axiomatique, ce n’est pas du tout un savoir mécanique, ce n’est pas du tout un truc sans expérimentation, ce n’est pas du tout euh… une méthode infaillible, ce n’est pas… Mais, les données de la situation actuelle comme [100 :00] entrant dans une axiomatique, qu’est-ce qui arrive ?

Comment, à ce moment-là, les problèmes politiques se posent-ils ? Qu’est-ce que ça veut dire, traiter la situation actuelle comme une axiomatique ? Ça veut dire deux choses : et que nous aurions des raisons d’assimiler le capitalisme à une axiomatique, et aussi que nous aurions des raisons… je veux dire, assimiler — premier point — assimiler à… le capitalisme à une axiomatique, je n’ai plus à le faire, parce que j’estime que ce qu’on a fait précédemment. Toutes nos définitions du capitalisme, consistaient à dire : oui, le capitalisme, il surgit lorsque les conjonctions topiques sont débordées, au profit d’une conjugaison généralisée, au profit d’une conjugaison généralisée de deux flux : le flux de richesse, devenu indépendant, [101 :00] le flux de travail devenu « libre », libre entre guillemets puisque, euh… [Il ne termine pas] Or, c’est cette conjugaison ou rencontres des flux décodés qui constitue le capital en tant que subjectivité.

Donc, bon, on a des raisons de considérer le capitalisme comme une axiomatique sociale. La conséquence immédiate, c’est que les problèmes politiques ne se posent que très partiellement dans le cadre des pays et des États, que les problèmes politiques, immédiatement, se posent fondamentalement, toujours – sans qu’il y ait là une sorte de réflexion fondamentale, au contraire, ça se fait tout seul – se posent immédiatement dans un cadre mondial, hein, dans le cadre d’un système mondial, au point qu’il est très, très difficile de parler de ce qui se passe dans un pays sans tenir compte – et ça n’implique encore une fois aucun [102 :00] savoir spécial – sans tenir compte de l’ensemble d’une situation mondiale qui distribue les données. Troisième point : ce qui revient à dire, les États et les pays sont finalement analogues, mettons, à des modèles de réalisation par rapport à l’axiomatique du capital. [Pause]

Et enfin, [Pause] en dernier point, nous constatons évidemment que cette situation est tout à fait… désespérante pour nous. Du moins elle ne le serait que si nous nous faisions de l’axiomatique l’idée, précisément, d’une espèce de puissance infaillible. [103 :00] Heureusement, nous avons pris nos précautions. Il y a plein de choses qui fuient sous les mailles d’une axiomatique ; il y a plein de choses qui foutent le camp, il y a plein de choses qui… qui ne se laissent pas axiomatiser, et qui continuent à couler, à travers les mailles de l’axiomatique, et c’est de ça qu’on a appelé le monde des connexions ou le calcul des problèmes-événements, événements comme irréductibles à l’ordre axiomatique en même temps qu’ils ne cessent de se produire dans cet ordre.

La question serait donc : est-ce qu’on a de quoi se consoler avec ça ? Et quels seraient les problèmes, ou événements, quelles seraient les connexions qui travaillent l’axiomatique mondiale actuellement, de telle manière qu’il y ait, par ci par là, des sources d’espoir ? Problème urgent pour nous, hein ? [104 :00] Bon. [Pause] Or je rappelle — comme ça, je retomberai exactement au point où je voudrais qu’on commence la prochaine fois — je rappelle que, en effet, si je reviens au thème mathématique de l’axiomatique… Voilà : nous nous trouvons devant un certain nombre de problèmes liés à une axiomatique.[7]

Donc, là, la comparaison axiomatique-situation mondiale ne vaut que si nous retrouvons quelque chose de semblable à l’ensemble de ces problèmes, au niveau de la situation mondiale. Je dirais : le premier problème, c’est celui de, dans une axiomatique, on peut ajouter jusqu’à un certain point, et jusqu’à un certain point, retirer des axiomes. C’est le problème de l’addition et du retrait. Une comparaison de l’axiomatique avec la situation mondiale ne vaut que si [105 :00] nous sommes capables de découvrir à l’œuvre, en acte, ce processus d’addition et de retrait des axiomes, au niveau du capitalisme. Est-ce qu’il y a bien une addition et un retrait des axiomes ? Des axiomes du capital ? Premier problème.

Deuxième problème, je dirais : ce n’est plus celui de l’adjonction et de la soustraction, du retrait et de l’addition, c’est celui de la saturation. Une axiomatique est dite saturée quand, justement, on ne peut plus rien lui ajouter. Or, à mon avis, quoique ça ne se voit pas forcément, s’il y a un auteur qui a traité, qui a su nous montrer de quelle manière le capitalisme fonctionnait comme une axiomatique, c’est Marx. Et c’est Marx pas n’importe où, c’est Marx dans un chapitre très beau, [106 :00] très important du Capital, qui est le chapitre sur la baisse tendancielle du taux de profit.[8] Et la thèse de Marx, que nous aurons à voir — mais je voudrais bien que certains d’entre vous la voient ou la revoient d’ici la semaine prochaine — la thèse de Marx, en gros, est que le capitalisme ne cesse d’affronter des limites — il y a l’idée de limites du capital, à chaque moment — ne cesse d’affronter des limites, mais que ces limites lui sont immanentes.

C’est une thèse très complexe, très belle mais très complexe. Vous voyez, elle est faite de plusieurs propositions qui s’articulent : le capitalisme ne cesse d’affronter des limites ; deuxièmement : ces limites lui sont fondamentalement, essentiellement immanentes ; troisième point : si bien qu’il ne cesse de s’y heurter, et, en même temps, de les déplacer, c’est-à-dire, de les repousser [107 :00] plus loin… et, plus loin, il va s’y heurter à nouveau, il va les repousser, les déplacer plus loin. C’est cette thèse des limites en tant qu’immanentes et non pas obstacles extérieurs, qui en ferait des limites absolues ; en d’autres termes, c’est lui qui engendre ses propres limites, et qui, dès lors, s’y heurte, et qui les déplace. Cette thèse fondamentale, je crois, pose le problème de la saturation de ce qu’on pourrait appeler : la saturation du système à tel ou tel moment.

Troisièmement, troisième problème : les États et les pays… les États et les pays, les États-nations, peuvent d’une certaine manière être considérés comme des modèles de réalisation de cette axiomatique du capital. [Pause] [108 :00] En ce sens, quel est le statut des modèles de réalisation ?  Quelle est la mesure de leur indépendance par rapport à la situation mondiale, par rapport à l’axiomatique elle-même ? Quelle est la mesure de leur dépendance, etc. ? C’est un autre problème, que celui de la saturation du système.

Euh… Quatrième… Je ne sais plus… oui ? Quatre, c’est quatre, ça ? Petit quatre… Quatre, ouais. Oh ben, on verra après, hein ? Il y en a trop, hein ? Il y en a trop, mais bon…. On commencera par-là, la prochaine fois. Alors essayez de relire… ce chapitre de Marx, hein ? [Fin de la séance] [1 :48 :57]


[1] Deleuze considère Alois Riegl lors de la séance 5 sur la Peinture, le 12 mai 1981.

[2] Deleuze se réfère aux textes de Henri Maldiney sur Cézanne lors de deux séances sur Spinoza, le 13 janvier et le 31 mars 1981.

[3] Deleuze attribue ce terme, « automate spirituel », à Spinoza lors de la séance sur la variation continue, le 24 janvier 1978. Il revient à ce terme à plusieurs reprises : dans la première séance dans le séminaire sur Leibniz, celui qui suit ce séminaire sur l’Appareil d’État, le 15 avril 1980 ; et dans cinq séances de la quatrième année sur le cinéma et la philosophie : le 30 octobre 1984, le 6 novembre 1984, le 8 janvier 1985, le 23 avril 1985, et le 4 juin 1985.

[4] Georges Bouligand et Jean Desgranges, Le déclin des absolus mathématico-logiques (Paris : SEDES, 1949).

[5] Sur Girard Desargues et ses travaux aussi bien que sur les sections coniques, voir le deuxième séminaire sur Leibniz, notamment les séances du 18 novembre 1986 et celle du 3 mars 1987, aussi bien que Le Pli. Leibniz et le baroque (Paris : Minuit, 1987) pp. 28-30. Quant aux Œuvres de Desargues, plusieurs éditions modernes existent de ce texte ; il s’agit d’un ouvrage édité par Noël Germinal Poudra, publié en 1864.

[6] Le titre semble être légèrement différent de celui que Deleuze cite : Brouillon Project d’une atteinte aux evenemens du rencontre d’une cone avec un plan. Voir l’étude de Jan P. Hogendijk, «Desargues’ Brouillon Project and the Conics of Apollonius”, Centaurus vol. 34 (1991), pp. 1-43, http://www.jphogendijk.nl/publ/Desargues2.pdf.

[7] Comme on voit dans la séance précédente, sur l’axiomatique et les quatre problèmes détaillés par Deleuze, voir le plateau 13 (sur l’appareil de capture), « Proposition XIII. L’Axiomatique et situation actuelle, » Mille plateaux, pp. 575-590. [« Axiomatics and the present day situation ATP 460-473]

[8] Il s’agit sans doute du Capital, livre III, part III, chapitres 13-15.


For archival purposes, the transcription of this seminar by Annabelle Dufourcq took place starting in 2011 with the support of a Purdue University College of Liberal Arts grant. The augmented transcription and the new translation were completed in September 2020, with additional updates to the translation and transcription completed in June-July 2023 and a new description in September 2023.

Lectures in this Seminar

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