February 10, 1981

Our essential point will be to try to draw conclusions concerning the relationships between an ethics and an ontology. This point that we are reaching is precisely the need from an ethical point of view to analyze the conception, in Spinozism, of the individual and of individuation. And you can see the point we’ve reached, where we are now: all that we said previously leads us to distinguish something like three layers, three layers of life, as if the individual is developed, formed upon three dimensions.

Seminar Introduction

“Spinoza: The Velocities of Thought” was a 15-lecture seminar given from December 1980 to March 1981. In this seminar, Deleuze revisits his examination of Baruch Spinoza’s philosophy. Deleuze had previously published two books on Spinoza: Expressionism in Philosophy: Spinoza (Spinoza et le problème de l’expression, 1968), and Spinoza: Practical Philosophy (Spinoza Philosophie pratique, 1970, 2nd ed. 1981). The majority of these lectures were given the same year as the publication of the second edition of the latter title, and hence these sessions were clearly informed by this new editorial preparation. The Seminar included here provides a sixteenth session, from 1978, on the theme of “continuous variation” that addresses Spinoza.

English Translation


After responding to a student’s comment, Deleuze returns to the relation between ethics and ontology, particularly an ethical analysis of Spinoza’s conception of the individual and individuation formed on three dimensions. Deleuze then addresses the distinction between simple and composed bodies which, for Spinoza, links to the whole of nature, composed of all bodies, to infinity. Declaring that the session will henceforth be very technical, a practical exercise to consider the simplest bodies, Deleuze considers these as composed solely as movement and rest, speed and slowness, while “composed bodies” are distinguished by other aspects, e.g. shape (figure) and magnitude (grandeur). Following Spinoza’s text, Deleuze returns to the starting point: the composed body with its large number of parts, while simple bodies proceeding by infinities such that a particular infinity of simple bodies has shape and magnitude, more or less large. Clearly, such relations of infinities emerge from Spinoza as geometrist, and to provide background, Deleuze considers aspects of the Greek origins of mathematics, reaching the conclusion that the infinite appears to be geometric reality itself, and number is always subject to the discovery not only of magnitude, but of the infinite in magnitude. From responses to a question on mathematical distinctions, Deleuze proceeds to the theory of ratios in Euclid, then the Hindu-Arab mathematical tradition, then ideal number theory in Plato, the purpose of this development being to explain why simple bodies have no shapes or magnitudes because they proceed through infinities, i.e., through infinitely minute terms. Yet, as such terms correspond to expression as non-formed elements, with speed and slowness also as differentials, Deleuze insists on the relational character of infinity and infinite sets, and then points to “the strangest proposition” from seventeenth-century philosophy, that “actual infinity” exists, meaning there is infinity in action, i.e., distinguished from the finite and the indefinite.

After a brief shift to Kant’s view on the infinity of diameters, linked to his understanding of the synthesis of time, Deleuze addresses aspects of infinity vis-à-vis the indefinite in eighteenth- and nineteenth-century mathematics, then returns to the seventeenth century by citing Leibniz’s Of The Radical Origin of Things, the exposition of the so-called cosmological proof of God’s existence. Pointing out that seventeenth-century philosophy implies a mutation of the cogito, “I think”, into a kind of “I think space” with time considered secondary, Deleuze describes this as the two branches in mathematics, the “Greek theme” (magnitudes greater than numbers) and the “Indian theme” (the independent number compared to the magnitudes). Deleuze then attempts to swerve back to this digression’s point of departure, seventeenth century thought of “actual infinity”, but the session ends without him managing to return to Spinoza.


Gilles Deleuze

Seminar on Spinoza: The Velocities of Thought

Lecture 10, 10 February 1981

Transcription (for Paris 8): Part 1, Yann Girard, Parts 2-3-4, Jean-Charles Jarrell; augmented transcription by Charles J. Stivale

Translation by Charles J. Stivale (duration: 2:21:22)

Part 1

… He deeply admires Rimbaud.[1] But philosophers, we tell ourselves [that] their activities consist in fleeing, that the activity of … I don’t know … And yet, everything belies it because every time we open a great philosopher’s work, we realize that the authors, first of all, speak very little about authors first, and then those of whom he speaks, it’s not entirely certain that he’s read them; it is not his problem.

So, if you think about it, there is nothing more comical! In the end, this idea is preposterous, that one might borrow ideas from a book. Obviously, that’s what creates the subject of theses. Otherwise, there would be no theses. A thesis is showing — at the extreme, not always — but basically, it consists in showing from which book a particular author borrowed ideas. That’s great! For example, the idea of ​​life in Bergson’s works will become, for example, “Did Bergson borrow his idea of ​​life from Schelling or someone else?” So, as soon as we get started on this aspect, it gets strange. We are entering an aspect that is completely inconsistent. You know, I believe that books are useful for everything except, precisely, for borrowing ideas from them. I don’t know what that’s for. But it surely serves a purpose. You can borrow anything you want from a book, including borrowing the book itself, but you can’t borrow the slightest idea. That’s just not okay. A book’s relation to “the idea” is something entirely different.

So, in Spinoza’s case, we can always find a tradition in the philosophy of the book, oh yes, well, “it continues and goes through Spinoza”, all that. But, in a sense, he didn’t borrow anything, nothing, nothing, nothing. Fine, for “idea in Bergson”, there is a philosopher, he has an intuition, and lets himself be taken in, trying to express it, although… This is also true of music. [Long pause] All this is meant to tell you that you really must read, otherwise… — I suddenly have a dreadful suspicion, if you don’t read… [Pause]

I did not distribute a bibliography, obviously, because I don’t believe that it’s absolutely necessary, but if there is someone who has a good intentions and reads the Ethics, and feels a little lost in book I, you can always do this — I don’t think it’s good, but if you feel it’s necessary, you’re the one who’s right — there is a classic book, called Spinozism, by a historian of philosophy named Victor Delbos, which is like a sort of very rigorous statement, a summary, a detailed summary on the Ethics.[2] Obviously it’s annoying [consulting this], I think, but if you feel the need, that’s what is best to use. [Pause]

Our essential point will be to try to draw conclusions concerning the relationships between an ethics and an ontology. This point that we are reaching is precisely the need from an ethical point of view to analyze the conception, in Spinozism, of the individual and of individuation. And you can see the point we’ve reached, [Deleuze moves a sheet of notes] where we are now: all that we said previously leads us to distinguish something like three layers (épaisseurs), three layers of life, as if the individual is developed, formed upon three dimensions.

A first dimension: [the individual] has a very large number of “parts”.[3] We don’t know anything more! An individual has a very large number of parts. What are these parts? There, these parts don’t present many problems. However, Spinoza reserves a name for them: he calls them the simplest bodies. An individual is therefore made up of a large number of parts called the simplest bodies, corpora simplicissima. An immediate question: but then, these simplest bodies, each considered one by one, are they individuals or not? If an individual includes a very large number of very simple body parts, are simple bodies either individuals or are they not? We’ll leave that aside. So, it seems to me — here I’m taking… — it seems to me that, for Spinoza, a simple body, a very simple body, is not strictly speaking an individual. But an individual, however small it may be, always has a very large number of very simple bodies that make up its parts. Fine, we’ll see! We’ll indeed see if that’s how it is for Spinoza.

In the case of bodies, and even in all cases, these parts, therefore, are really extensive parts. What are extensive parts? These are parts subject to the law — again to speak Latin — partes extra partes, that is, parts external to each other. You will tell me: “That does not apply to the body and extension”. Yes and no. You may remember that extension is an attribute of substance. The attribute of substance is not divisible; extension is indivisible. Just like the other attributes: thought is indivisible.

But what’s divisible are modes. The attribute is indivisible, but modes of the attribute are divisible. So, a body that is a mode of extension, the extension is not divisible. But a body that is a mode of extension is divisible. It is divisible into a very large number of parts. Any body is divisible into a very large number of parts. So, we will say the same thing about the soul: the soul is divisible into a very large number of parts. So, it’s not specific to extension. Thought is indivisible, but extension also was indivisible. The soul, which is the mode of thought, is divisible into a very large number of parts, just like the body, which is the mode of extension. Fine. Here we have our first dimension of the individual, made up of a very large number of extensive parts, external to each other.

The second dimension of the individual, which answers the question: “How do the extensive parts belong to an individual?” In fact, the question arises because [if] you take any body whatsoever, you can always — [noise of Deleuze knocking on his table] for example, a table — you can take a part off if it and put back another one, of the same dimension and the same shape (figure). For example, a table, you can remove one leg and then put back another leg. Is it the same? To what extent is it the same and to what extent would it not be the same? If you insert taller leg, it’s not the same. If you insert a leg of the same length and different color, is it the same? What does this question mean? It means: according to what reasons do any parts whatsoever belong to a given body?

This is the second dimension of the individual. The individual not only has a very large number of parts, but these parts must belong to him according to a reason. If the reason is missing, this is not among his parts; if the reason remains, these are his parts even if they change. It’s that simple. Spinoza’s answer: it’s according to a certain relation of movement and rest, speed and slowness, that parts belong to an individual.[4] Fine, you see: the second dimension of the individual, the relation of movement and rest, the relation of speed and slowness, which characterizes this body in its difference from any other body. So, it’s not the parts that define a body. It’s the relation by which the parts belong to it. What does it mean, a relation of movement and rest, a relation of speed and slowness, which would characterize a body? So, each body would have a relation. A body? What is that? This is the second dimension.

Finally, the third dimension: the mode itself, the individual himself “is” a part. In fact, Spinoza says it all the time: “the essence of mode is a part of divine power (puissance), of the power of substance.” This is curious since the power of the substance is indivisible, oh yes, but insofar as being the power of substance. But the mode is divisible. And henceforth, mode is part of the indivisible power. See, what is divided is always the mode. It’s not substance. This does not prevent the mode, precisely to the extent that it is divided, from being a part of divine power. At that point, this third level, within this third dimension, I no longer say: mode has a very large number of parts. I say: a mode is “a” part. A part of what? Notice that the word “part” is obviously used in two senses: in sense 1, to have a very large number of parts; in sense 3, to be a part.[5] For in the end, I specified when I said a mode has a very large number of parts, it was indeed a matter of extensive parts, external to each other. When I say mode is a part, “part” obviously has a completely different meaning. In fact, it is a part of power. Part of “power” is not the same as an extensive part. What is a part of power exactly? An intensity. So, the third level consists in telling us: the essence of the individual is an intensity.

In what way is this interesting? No doubt, [it’s] because this already eliminates two positions that had to be maintained in the history of thought, namely, it is an intensive conception of the individual which, from then on, is distinguished, on one hand, of an extensive conception, which would seek individuality in any extension whatsoever. And that is also opposed to a qualitative conception which would seek individuality, the secret of individuality, in a quality. Individuation for Spinoza is neither qualitative nor quantitative, in the sense of extensive quantity. It is intensive.

So if I try to group together the three dimensions of individuality within the same formulation, I would say: An individual is an intensive part, that is, a degree of power (puissance), point a; point b, insofar as this degree of power is expressed in a relation of movement and rest, speed and slowness; point c, a very large number of parts belonging to this individual, according to this relation, a very large number of extensive parts belonging to this individual, according to this relation.

Fine, you see, you, for example, each one of you, you are made up of a very large number of extensive mobile parts, in movement or in rest, for example, at a particular speed and a particular slowness, etc. What characterizes you is a set of relations of speed or rest… an aggregate of relations of movement and rest, speed and slowness, according to which these parts belong to you. Henceforth, they can change. So long as they still realize the same speed and slowness, they still belong to you. And finally, in your essence, you are an intensity. Good, this is an interesting vision.

Only, from there on, what can we say? Well, we already have a problem. I mean: every individual is composed of a very large number of parts, which are the simplest bodies. So there, immediately, we are invited to distinguish between composed bodies and simple bodies. Each body is a composed body. Okay, fine. Each body is a composed body. And from composition to composition – this is still Spinoza’s idea that there is a composition of relations to infinity — from composition to composition, we will arrive at the whole of nature. The whole of nature is an individual. The whole nature is even an individual. The whole of nature is the body composed of all bodies, themselves composed, to infinity. In fact, the whole of nature is the aggregate of all relations, of movement and rest, of speed and slowness. So, there is indeed an individual of individuals, or which is the body composed of all composed bodies.

And in fact, one can conceive of a composition step by step. If I take the Spinoza’s example, the chyle and the lymph, each in their own relation, each according to its own relation composes blood. Blood, in turn, enters into composition with something else to form a larger whole. The larger whole enters into composition with something else to form an even larger whole, etc., all the way to infinity, the unity of all nature, the harmony of all nature, which is composed of all relations. Notice, then, I can go toward a body composed to infinity, a body composed of all composed bodies.

But what if I descend? What are the simplest bodies? And it’s here that – to get a handle on this question, so what we must do today is almost a test (épreuve) — so here in order to vary, I would like that… and of course, you have every right to leave if you find… But today, I would like us to have an extremely… a very, very technical, a very technical session today, because there is a problem here. I’d almost like to make this into a practical exercise. There is a problem that reignited things for me. But I have to take certain precautions for a thousand reasons that you will understand. And that’s to say this is going to be very technical. So, if you have enough, just leave… There we are.

Things became reignited because — I haven’t talked about him yet — but euh… a very great historian of philosophy, I believe, very… one of the greatest historians of philosophy, named Martial Gueroult, wrote a commentary, a very, very detailed commentary on the Ethics, published by Aubier.[6] There are three large volumes, only two of which appeared, and euh… because, in the meantime, Martial Gueroult died. So uh … well, then, Martial Gueroult was greatly important in the history of French philosophy, I already showed you that, since he started with studies on German philosophy, on post-Kantian philosophers, that completely renewed – notably, on Fichte — that completely renewed the state of studies of German philosophy in France. And then he turned to the Cartesians — to Descartes, Malebranche — and finally Spinoza, always by applying his same method, which was a structuralist method, even before structuralism was successful. He creates a philosophy uh … a very, very curious history of structural philosophy starting from a very simple idea: it’s that, for him, “philosophical systems” were structures, strictly speaking. But once again, he did all this well before the burst of linguistic structuralism.

However, in this book, Spinoza, he attaches great importance, necessarily, to the Spinozist conception of the individual. And he tries, in an area that commentators had hitherto rather left aside — they had not much considered this question of the individual in Spinoza — he tries to introduce rigor, a very great rigor, into this consideration. There we have the exact situation; I’ll develop this so that you’ll understand it when I then want to take precautions.

Well, I both have extreme admiration, especially for the Gueroult’s work that seems to me a very important thing. But here we are, regarding this precise point, what he says about the individual in Spinoza, there is no proposition in his commentary, however very, very precise, which seems to me to be false. And so then, something bothers me enormously, because Gueroult’s knowledge (savoir), his erudition is an enormous thing; his thoroughness of commentary seems immense to me, all that. And at the extreme, I don’t understand why I have the impression that … that something is missing. This is not at all right. I’ve told you all this so that when… What I am calling a technical session, it’s really in things at the level of almost physical laws, invoked by Gueroult, invoked perhaps by Spinoza himself, or those that I will invoke, mathematical and physical models that are invoked, such that if I allow myself to say all the time, for more rapidity, that Gueroult is wrong, you’ll correct this yourself. That means that I’m getting confused (je ne m’y reconnais pas), I had another idea, a completely different idea. All that… for those who are really Spinozists, you’ll consult Gueroult on this. [There is] no reason to take my word for it. You’ll consult Gueroult’s books, and then it will be up to you, or even to find other solutions. So, that was a precautionary warning to state what I’m able to.

There is a point on which Gueroult is obviously right, I mean, to give you a foretaste of the kind of technique I’m hoping for. Most commentators have always said — the vast majority, almost all to my knowledge – they say that there was not so much of a problem with Spinozist physics, that it was completely Cartesian physics. Everyone recognizes that Leibniz completely challenged the principles of Cartesian physics, but it is agreed that Spinoza supposedly remained Cartesian. And this is frightening. So here, then, Gueroult is absolutely right. Gueroult is nonetheless the first — that means something about the state of studies in the history of philosophy, when you don’t pay very close attention — Gueroult is the first to clarify a small, specific point.

Namely, it is well known that Descartes places great emphasis on the idea that something is preserved in nature, and in particular, something concerning “movement”. So, considering the problems of communication of movement in the shock of bodies — when bodies encounter each other — Descartes insists — and this is going to be the basis, or one of the bases of his physics — on this: something is preserved in the communication of movement. And what is preserved in the communication of the movement? Descartes tells us: it’s “mv”, that is, what he calls the “quantity of movement”. And the “quantity of movement” is the product of mass [multiplied] by speed — mv, small m, small v. In his theory of bodies in book II of the Ethics, Spinoza tells us, “what is preserved is a certain relation of movement and rest, speed and slowness.”[7] A speedy reader will say: this is another way of expressing the amount of movement “mv”. In fact, “m”, mass, even for Descartes, implies a resting force, “v” implies a force in movement.

So, it seems that the passage flows quite naturally from the idea that “the quantity of movement is preserved” in the shock of the bodies, and that we pass quite naturally to the idea that “the relation of movement and rest is preserved”. I mean, Gueroult’s strength is nonetheless in being the first to say: but after all, do people read the texts or not? Because it’s obvious that this is not the same thing at all. In what way is this not at all the same thing? If I develop the Cartesian formulation, what is preserved in the shock of bodies is “mv”. How is the formulation developed? I am calling two bodies that meet, a and b. — You have to follow me closely; I’d put it on the board, but well, I don’t have the strength to write it there – so, let’s go on, I have my two bodies. I am calling “m”, the mass of the first body; “m prime”, the mass of the second body; “small v”, the speed of the first body before the shock; “small v prime”, the speed of the second body before the shock. I am calling “capital V”, the speed of the first body after the shock; “capital V prime”, the speed of the second body after the shock. Okay?

I would say the formulation, “what is preserved, it is mv”, for Descartes yields the following development: mv + m prime v prime = mV + m prime V prime. You see, what is preserved between pre-shock and after-shock is “mv”. In other words, what is preserved is a sum. In fact, Descartes will say it explicitly, what is preserved is a sum. And here, one doesn’t have to be knowledgeable (fort) when you deal with these questions to see that Leibniz’s criticism of Descartes, the way Leibniz will undermine, will blow up Cartesian physics, is precisely on this point. It’s well known, it’s renowned that Leibniz will “substitute” — as they say in the textbooks — for the Cartesian formula another formula, namely, he will say: No, what is preserved, it is not “mv”, it is “mv²”. Only when we’ve said that, we’ve said absolutely nothing, because the interesting operation is Leibniz’s need to square “v”. What does that mean, to consider the power, raised to the square [“v²”]? It’s simple! It’s not because of an experiment; an experience isn’t… physics doesn’t work like that. It’s not an experiment that forces him… We don’t discover v² in an experiment. That doesn’t mean anything. In fact, he changes the nature of the quantities. For a simple reason, v² is always positive, already. In other words, we cannot get to v² if we have not substituted so-called “algebraic” quantities for so-called “scalar” quantities. So, this is a change in the register, in the quantitative coordinates themselves. This is a change of coordinates. Fine, we’ll stop with this.

I’m just saying… because it’s Spinoza that interests me. Spinoza tells us: “what is preserved is a certain relation of movement and rest”. Fine, admire this because it’s still… What can it even mean that Spinoza remains Cartesian? That’s idiotic. Once again, Descartes — here, I’m not transforming and with all the more reason, here, I’m saying something; Gueroult, this is even the only point that seems absolutely convincing in Gueroult’s commentary — that means that if I develop everything when I have just tried to develop the Cartesian formulation, by saying: [in] the Cartesian formulation, what is preserved is mv, that comes down to saying that the formula of conservation is mv + m prime v prime = mV + m prime V prime, [and] it is therefore a sum which is preserved. When someone tells me, on the contrary, “what is preserved is a relation of movement and rest”, in what form can I develop it? That isn’t difficult: mv / m prime v prime = mV / m prime V prime. You follow me? If you need to copy this, I don’t mind; if it’s not clear, I could go to the board. Would you like… wait! [Pause]

[Deleuze is heard moving] Ah … Ah la la! … there’s no [chalk]! Damn! Nobody has a piece of chalk? Does anyone happen to have a piece of chalk in your pocket? [Inaudible words; Deleuze has moved away from the microphone. Apparently, Georges Comtesse writes on the board, and Deleuze gives him details to enter the formulas] No, no, no, it’s before the shock, Georges… So mv + m prime v prime = mV + m prime V prime, that is, the quantity of movement before the shock = the quantity of movement after the shock. See, it’s a sum. The Spinoza formulation, what is preserved, is a relation; it will be mv over m prime v prime.[8] [Pause] There you go. Thank you very much.

Well, there’s no need to have done a lot of math to understand that you don’t go from one formula to another. It’s not the same! It’s not the same! In other words, when Descartes says: “What is preserved is the quantity of movement”, and when Spinoza says: “What is preserved is a certain relation of movement and rest”, well, these are two formulas that… You will ask me: but then, where does the ambiguity come from? And the ambiguity would not be difficult to demonstrate. It’s that in certain cases — here I don’t have time to develop everything — in some special cases, you have equivalence, that is, you can switch from one [formula] to the other for certain cases, for certain exceptional cases.

Okay! At the extreme, let’s admit this, just as Leibniz himself recognized that, in exceptional cases, mv² = mv. Okay, fine. And that’s how Leibniz explained what he called “Descartes’s errors”. Descartes had chosen exceptional situations. It had prevented him from seeing v². In fact, that was not what prevented him from seeing v²; it was that Descartes did not want to take algebraic quantities into account.

So, and Spinoza, it’s also new! He is certainly not a great physicist that… euh, but he is absolutely not Cartesian! So there, I think that is one of the points in which Gueroult is obviously right to say: no, we never… we have never even… we’ve understood nothing about what he tells us about the individual, because we haven’t read him, ok? We don’t read. This is a good example of not reading. You will say to me: “It does not matter; this does not change anything for the comprehension of Spinozism in general.” Well, just see if it doesn’t change anything. But when, in fact, when you read so quickly that you don’t see the difference between quantity of movement and relation of movement and rest, it can be annoying in the end when you do that frequently. There, it becomes very, very unfortunate. Fine.

This is to say that there are really problems here, that this story of the relation of movement and rest to define the individual is already a master stroke compared to Descartes since Descartes, in fact, defined the individual by mv, namely, he defined it by the mass. And understand that there, on the contrary, what is he going to do? This is very important to us since mass, a mass, even abstractly, it’s a certain substantial determination when you define a body by a mass. What is a mass? A mass, in the 17th century, is very precise — in Descartes, it is very precise – it’s the permanence of a volume under various shapes, that is, the possibility that the volume remains constant for variant shapes. So, the whole Cartesian conception of bodies relies on mass. And in the formula mv, it is precisely mass that is the fundamental factor, namely, movement will account for what? For the variety of shapes. But mass is supposed to account for the identity of the volume through the variation of the shapes. In other words, it is the substantial conception of the body, and bodies are substances, bodily substance defined by the permanence of mass.

And that’s why — so we are moving forward a little – upon reflection, Spinoza could not accept such a conception, of the massive individual. He could not do so precisely because, for him, bodies are not substances. So, it was as if required, he was therefore going to be forced to define individuals by relations, not as substance. He will define an individual in the order of the relation or the relation, and not in the order of substance. So, when he tells us: “what defines an individual is a certain relation of movement and rest”, we must not stop there. If you stay on the surface of things, you will say to yourself in both cases, for Descartes as for Spinoza, [that] it is still mv. But that doesn’t mean anything, “it’s still mv”. Of course, it’s still mv, mass-speed. But that’s never what defines the individual. What matters is the status of m and the status of v. And I can say that for Descartes, this is an additive status, not at all because of m + v, which would make no sense, but, moreover, because mv + m prime v prime, is a sum. The masses enter into additive relationships.

In Spinoza, individuals are relations, not substances. Henceforth, there will be no addition! There will be no sums! There will be composition of relations, or decomposition of relations. You will have mv over… And mv does not exist independently. Mv is the term, it is a “term” of a relation. A term of a relation does not exist independently of the relation. In other words, I can say that already in Leibniz — or rather, as much as in Leibniz, in Spinoza as much as in Leibniz — there is obviously an abandonment of scalar quantities. It’s simply not going to be in the same way for Spinoza and Leibniz. There are as many criticisms of Descartes in Spinoza as in Leibniz, hence a very bizarre history. Because what is this history of Leibniz’s somewhat mysterious visit to see Spinoza?

Now it happens that Spinoza, who went out very little, right, received Leibniz’s visit. It’s not clear what they said to each other. Their interview lasted… — after all, this is as important as the meeting between two politicians; it’s even more important for thought. — What did Leibniz say to Spinoza? Well, I ask that because, realistically, I imagine [being] faced with Spinoza… He must not have spoken a lot. Someone would come to see him, he had to wait, careful as he was. He always said, “I better not get myself into this awful situation!” Leibniz, he wasn’t all that reassuring with his mania of writing everywhere, so… [Laughter]

Imagine, you can imagine. There he enters Spinoza’s shop, he sits down. Spinoza is very polite; he’s very polite, Spinoza, “what does he want with me, this guy?”. And Leibniz recounts his visit by saying…, he gave several versions; he was a huge liar, Leibniz, a hypocrite, right? [Laughter] A great philosopher, but very hypocritical, but always involved in some kind of scheme, he was always scheming. So, and then [his account] varied: when Spinoza… when there weren’t too many political reactions, Leibniz said: “Ah, that Spinoza, he’s good!”. And when it was going badly for Spinoza, Leibniz said: “Did I see him? You’re saying that I saw him? Oh, maybe, we crossed paths, by chance. [Don’t] know him, no. You know that guy is an atheist!”. It wasn’t good to have Leibniz as a friend. Philosophers are like everyone else!

So, what could they have said to each other? In one of Leibniz’s versions, Leibniz says: Well, I showed him that Descartes’s laws concerning movement were false. Oh, there’s one thing for certain: that Leibniz is indeed a much greater physicist than Spinoza. There is something else for certain as well: that before Leibniz’s visit, there is no text by Spinoza that completely challenges Cartesian laws. It’s also certain that, after Leibniz’s visit, in a letter, Spinoza said: “All of Descartes’s laws are false.” He never said that before. He never said that before, in any case, with such violence. Before, he took issue with this or that law, saying: “It doesn’t work, we have to correct it”. He never said before, “They’re all wrong.” So, there is a problem.

I would rather think that… Yes, we could choose a temperate solution because, being much less a specialist on certain physics questions, in particular concerning movement, Spinoza was nevertheless very struck by the legitimate attack against Cartesianism, Leibniz’s legitimate attack (l’attaque en règle), and that then gave him a reason to return to his conception of the relation. [Pause] On the relation, in what way is there something in common? [For] both, that implies speed multiplied by itself. It also involves relations/ratios. To get [speed] squared, you must have relations. It’s the relation that opens you to multiplication. So, Spinoza ultimately is much closer than he himself knows to Leibniz’s kind of physics.

Okay, let’s assume all of that. So, it’s from this point on that I would really like to comment, starting with the simplest. So then, if it is true, if it is nonetheless relatively important things concerning the status of the bodies which occur at this level, if we must not speak nonsense, or go very fast, if we must, on the contrary, go very slowly, even if it bothers you on this point, well, we have to start all over again because we may be making discoveries as important, relatively important as… for the difference, Descartes, euh… Once again, that comes down to simple discoveries: “a relation” is not the same thing as “sum”. And you must think about this when you read a text.

Now we have to start from scratch: what is a simple body? A body has a very large number of bodies, euh, of parts. A body has a very large number of parts which are called simple bodies. These simple bodies belong to the composed body, according to a certain relation. This is absolutely not Cartesian. Fine, we can now move on (on peut s’en tirer), and from this point, I can no longer follow, really, I can no longer follow Gueroult’s commentary in the slightest. But once again, it seems very curious to me. I mean, it’s almost up to you to [read it]. This is what I would like to tell you today. Why? Well, these simple bodies, in book II, Spinoza defines them, and he says this: “They are distinguished by movement and rest, by speed and slowness”; “These very simple bodies are distinguished by movement and rest, by speed and slowness”.[9] Implied here is, “and even they are distinguished only in that way.” The simplest bodies don’t have between them … [Interruption of the session] [46:43]

Part 2

… [the simplest bodies]. Spinoza tells us more, but that doesn’t change anything. The distinction between simple bodies between them is: speed and slowness, movement and rest, full stop, that’s it. It’s even in this way that they are very simple. For how do you recognize composed bodies? It’s that they are distinguished by and through other aspects. What are these other aspects? To start with the simplest aspects, they are distinguished by shape (figure) and by magnitude (grandeur). The simplest bodies are distinguished only by movement and rest, slowness and speed. This is what I would like for us to reflect on. Because I am presenting — there, it would perhaps be necessary to study cases; I would like to give you all the elements — I am presenting Gueroult’s comment.

Gueroult tells us, in volume II of his Spinoza, which is therefore literally a commentary on the Ethics, he tells us: “no doubt, they are only distinguished by movement and rest” — there, he agrees since it is the letter of the text –, “that does not prevent them from having different shapes and magnitude”. [Pause] Fine. Why does he say that? Because Spinoza doesn’t say it; he does not say the opposite. Gueroult means, be careful, these very simple bodies are only distinguished by movement and rest, but that does not mean that they have the same shape and the same magnitude. This means at most that their differences in shape and magnitude are not useful, are not operative at the level of very simple bodies. They will only gain importance in relation to composed bodies. But they cannot, says Gueroult, they cannot have the same shape and the same magnitude.

And why, according to Gueroult, can they not have the same shape and the same magnitude? Here Gueroult’s argument is very strange, because he tells us — I am giving you Gueroult’s reasoning before telling you everything that he already finds in this –, he tells us in fact, if they didn’t have the same shape and same … if they didn’t … — no, sorry, uh — if they didn’t have different shapes and magnitudes, necessarily they would then have the same magnitude and even shape. If they did not have distinct shapes and magnitudes, they would therefore have the same shape and same magnitude, says Gueroult. You understand? Right away, something jumps in my head; I say to myself: but why does he say that? Isn’t there a third possibility? If bodies are not distinguished by shape and magnitude, does that mean that they have the same shape and same magnitude from then on, or does that mean that they have neither l neither shape nor magnitude? Why eliminate this possibility? Why pretend that this possibility is impossible? For an obvious reason! Someone will tell me: a body which has neither shape nor magnitude is not a body. I really don’t know.

Let’s hold on. I’m just saying: there is a third possibility that Gueroult moves past completely, it seems to me. He considers, he believes completely certain – here, he is anticipating something in Spinoza — that any body, whatever it is, whether simple or composed, necessarily has a shape and a magnitude, and at that point, in fact, if a body, whatever it is, even a simple body, has shape and magnitude, well, at that point, if it does not have shapes and magnitude distinct from the other, this is because all have the same magnitude and same shape. I am saying: no, that doesn’t work, because so long as I haven’t been shown that it’s contradictory for a body to be without shape and without magnitude, there is another possibility, namely: that simple bodies, and only simple bodies, have neither magnitude nor shape. At that point, we must take literally the Spinozist idea “simple bodies are distinguished only by movement and rest, speed and slowness”; they are distinguished only in that way for a simple reason: that they have neither magnitude nor shape. But there’s a difficulty for my side, if you will, specifically: what would bodies without magnitude or shape possibly be?

But finally, I seem to be treating Gueroult in my turn very badly, that is, as if he had not read the texts, because why does Gueroult tell us: “although the simplest bodies are not distinguished in that way, they nevertheless have distinct magnitude and shapes”? Well, he tells us this by invoking a Spinoza text. And you will see that, at this level, I am presenting this in detail because it is — even if it takes time, but that does not matter — it is… Here is the text: “Definition”: — I am reading slowly — “When some bodies of the same magnitude or different magnitudes … When some bodies of the same magnitude or different magnitudes are under pressure from other bodies which keeps them applied to each other,” etc., etc., “When some bodies of the same magnitude or different magnitudes are under pressure from other bodies which keeps them applied to each other”. Next axiom: “The larger or smaller are the surfaces, the areas according to which the parts of an individual or of a composed body are applied to each other…” See what Spinoza is telling us, I am holding onto this: the parts of a composed body apply to each other according to larger or smaller surfaces. And the parts of a composed body are simple bodies. So, simple bodies are applied to each other according to larger or smaller surfaces. I tell myself, this seems, in fact, to support Descartes, sorry, to support Gueroult. See, the parts of a composed body – [Spinoza] has said nothing; first, he dealt with simple bodies. He said, “they are distinguished only by speed and slowness, movement and rest.” Fine.

Then, he studies composed bodies, and he tells us “the parts of composed bodies” — that is, simple bodies — “apply themselves to one another through larger or smaller surfaces”, “The larger or smaller are the areas according to which the parts of an individual or of a composed body are applied [to each other]…”  So how? [It’s] at [this] point that there is a commentator, another commentator than Gueroult, who says that there is a small… — he’s English, so he uses an expression, one that’s very pretty — a little inconsistency, a little inconsistency in Spinoza. Gueroult answers: not at all, [no] inconsistency; [while] undoubtedly simple bodies are distinguished only by movement and rest, they have nonetheless distinct magnitudes and shapes, simply these separate magnitudes and shapes will develop their effect only at the level of composed bodies. You understand? Here we are, it’s very odd that… So, we have the choice, how to get out of this? Or else to say: no, we must respect the letter of the text, [that] simple bodies are distinguished only by movement and rest, that is, they have neither shape nor magnitude; and there would be a little inconsistency, as the other [commentator] said. Or else we must say, like Gueroult, “Ah well yes, simple bodies indeed have a distinct shape and magnitude, but …”

Well, that’s very weird. It’s all the more bizarre since… Okay then, so, it seems to me that this is what we must be looking for. What is this? This status… Simple bodies… My question is exactly this: I bet that this [matter] must be taken literally, but that, furthermore, there is no inconsistency. That is, what I would like to show is how we must, at the same time, maintain that the simplest bodies have neither magnitude nor shape and that, nevertheless, they apply themselves onto each other, or to one another, through larger or smaller areas. Which means that these are obviously not their own areas; they don’t have any. So, what would this be?

So then, I am almost going back to the starting point, when Spinoza tells us: a body has a very large number of parts, a composed body has a very large number of parts, “plurime partes“; what does “a very large number” mean? I’ll tell you my idea right away because it’s childish in a way, but it seems to me that it changes everything. For me, if we take literally “plurime partes“, “a very large number of parts”, that already means that there is a formulation that is nonsensical. The nonsensical one is each simple body, each simple body, I mean, “a very large number of parts,” that means, in fact, that any assignable number is exceeded. This is the meaning of “plurime“, “plurime partes“. A very large number, in fact, means: “which exceeds any assignable number”. By what right do I say that, without forcing [the text]? Because this is common in the seventeenth century. Namely, the seventeenth century is full of thinking about what? Magnitudes which cannot be expressed by numbers, namely, geometric magnitudes, geometric magnitudes which cannot be expressed by numbers.

Okay, what does that mean? I am saying, in other words, I am saying [that] simple bodies proceed by infinities. It’s very simple; what I mean really is a very, very simple thing. Simple bodies proceed by infinities. But if that’s true, think about the formulation… It seems to me that this will provide us with a solution. Simple bodies will … — [Deleuze speaks a student] You can ask this later, because if I lose my… — Simple bodies proceed by infinities, that means: you cannot speak about “a simple body”, except by abstraction, an abstraction devoid of all reason. The expression “a simple body” is meaningless. And it’s by assuming the legitimacy of the expression “a simple body” that Gueroult concludes: if we can speak of a simple body, the simple body must indeed have shape and magnitude. “Simple bodies proceed by infinities” means sufficiently that we cannot speak of a simple body. You can never speak of anything but an infinity of simple bodies. As a result, what is shape and magnitude? It is not a particular simple body; it’s a particular infinity of simple bodies. Yes, here, yes, okay. A particular infinity of simple bodies has a shape and a magnitude, [but] careful: more or less large… What does that mean? An infinity of simple bodies has a more or less large shape, what does that mean? But then, how is it more or less large? If it’s still an infinity of simple bodies… But infinity is greater than any quantity, so how does this … [Deleuze does not finish]

Well here we are, it’s very simple: suddenly, we are in the process of, yes, making progress. Okay, an infinity is always greater than any number, but, Spinoza says, and it is undoubtedly the point in geometry to which he is most attached, it’s geometry that teaches us that there are double infinities, triples infinities, etc., many, many others. In other words, it’s geometry which imposes on us the idea of ​​relation, of quantitative relation between infinities, to the point that we can speak of a double infinity of another, and of half an infinity of another. Any infinity is irreducible to numbers, that Spinoza will always maintain, [as] he is a geometrist. What does that mean? [It means] that for him, the reality of mathematics is within geometry, that arithmetic and algebra are only auxiliaries, [are] only means of expression, and indeed, these are extremely ambiguous means of expression.

In the history of mathematics, there has always been a geometrist current, against arithmetist currents, against algebrist currents. Furthermore, the whole history of mathematics is like philosophy: mathematics is very, very complicated in this history. There is as at the origin of mathematics, as far back as one can go, if one creates, when one creates the history of mathematics, one sees two currents very clearly. We see a current that we call, roughly, the Greek current, and the Greek current has always been, so far as they go, however, into the development of the study of the number — and you will see why they go quite far — so far as the Greeks went in the development of the number, their conception of mathematics is fundamentally geometrist, specifically: the number is subordinate. The number is subordinate to magnitude, and magnitude is geometric. And all Greek mathematics is based on this.

Far from stifling the number, this is very important; it directs the number towards what? What is the subordination of the number to geometric magnitude? This opens up a kind of fantastic horizon for mathematics, which is what? That numbers have no value in themselves; they have value in relation to one or another domain of magnitude. Finally, the domains of magnitude need, they are expressed through number systems, but there is no independence of the number system. It’s not the number that determines magnitude; it is magnitude that determines the number. In other words, numbers are always local numbers. Numbers, number systems are always assigned to one or another type of magnitude. [This is] the primacy of magnitude over number. If you want to understand something, for example, in the problems of infinity in mathematics, you have to start from very, very simple things like that. The primacy of magnitude over number, henceforth the local character of the number — I call “local character” the dependence of the number compared to a particular domain of magnitude — is fundamental.

And in fact, think about what one can say, for example, about numbers in this regard — I’m trying to inflate this thesis a little. Numbers… How do numbers develop? It’s very interesting when you look at the history of numbers, and the multiplication, proliferation of number systems. When you look at this — oh, not up close, eh? –, you see what? That the number has always grown in order to respond to problems posed to it — not “always”, I take back my “always” – [that] the number has often grown to respond to problems posed to it by heterogeneous magnitudes, to numbers. For example, how did the domain of fractional numbers manage to be formed, which is a domain of numbers? How did another number system manage to get developed, the system of irrationals, of irrational numbers? [It’s] not complicated. Each time, we could say, that would be the geometrist law of the number, each time that geometry presented us, imposed on us a magnitude which could not be expressed in the previous number system.

And what are the last extraordinarily complex numbers of mathematics that are formed at the end of the 19th and the beginning of the 20th century? It is when mathematics collides with something very bizarre that belongs to the line, namely, what they will call, what mathematicians will call the power of the continuous. If you will, I mean a very simple thing so you might then understand: a fraction, what is it? It’s not a number, a fraction; it’s absurd, it’s not a number. You write 1/3, a fraction; it’s not a number, by definition. It will become a number when you have fractions. You put yourself in front of your series, there, of whole numbers, natural numbers, whatever you want, and you see a mathematician writing 1/3. It’s ineptitude, it’s a bit of nonsense, 1/3. 1/3 is not a number, and why? Well, in your head, write 1/3 = x. There is no number, there is no x which multiplied by 3 equals 1. 1/3 would be a number if you could write 1/3 = x. You cannot write 1/3 = x since there is no x, there is no number which multiplied by 3 equals 1. Do you follow me? So a fraction is obviously not a number; it’s a complex of numbers that you arbitrarily decide to treat as a number, that is, to which you arbitrarily decide to apply laws — of associativity, etc. etc. — of the number. It’s not a number.

An irrational number is not a number either. So, I would say, all the developments of the number, and the number, would never have been developed except, I would say — from a certain point of view –, I would say, that numbers and the number systems are never only symbolic treatments, symbolic ways of dealing, of dealing with what? Of dealing with magnitudes irreducible to numbers. So there, you are constructing number complexes, but you see that number complexes — or complex numbers, it comes down to the same thing — number complexes are eminently relative to the types of magnitudes irreducible to numbers that geometry imposes on you. So, the primacy of magnitude over number is a fundamental element. In the 20th century, a great mathematician logician named [Louis] Couturat, in a book titled De l’Infini mathématique (1896), further developed this thesis, which he would come back to a few years later, because Couturat’s story is very curious. And Couturat, in his book De l’Infini mathématique, based his entire thesis on precisely the primacy of magnitude over number. And, therefore, the infinite seemed to us geometric reality itself, and number is always subject to the discovery not only of magnitude, but of the infinite in magnitude. Fine. But there is another mathematical tradition.

Georges Comtesse: In Greek mathematics, on the point that you raise, perhaps in Greek mathematics, there was this problem of the subordination of the number to geometric magnitude which causes crises, for example, the impossibility of an exact measure of the diagonal of a perfect square [Deleuze: yes], the crisis caused by Philolaus in Pythagoras’s school, for example. So there, at the level of mathematics, of mathematicians, there is effectively this subordination of the number to geometric magnitude and the crises that this can cause, the mutations that it can cause from there. Only, in Plato’s philosophy, for example, there is a reversal of this position of the number which is subordinate to geometric magnitude, because Plato, when he says that… finally, when there is a crisis, there must necessarily be a square, and for there to be a square, there must necessarily be straight lines, and for there to be straight lines, there must be points, and how does one define a point except by the intersection of two lines, but how does one say that a point is the intersection of two lines if we do not already have the number 1? So, arithmetic must be first in relation to any geometric magnitude. This is a problem from Plato, and Plato adds another one concerning the language of mathematicians: why do you say 1, finally? Why 1, before saying a, a point; it goes even further. So, this is where he introduces the problem of the hypothetical, and the anhypothetical… [Deleuze: I’ll tell you …] Then, if it is true that in Greek mathematical discourse, there is this subordination, and again, we would have to ask the question about the curious number theory in Pythagoras, it’s a very mysterious theory… Then, if there is, in Greek mathematics in any case, a subordination of arithmetic to geometrical magnitude, perhaps there is an aporia of Greek mathematics in Plato’s philosophy at the level, precisely, not only of the reversal of this perspective, but the very aporia of thought that there would be a first number in a series, which will then be said to be natural, and which would be 1.

Deleuze: Yeah… It’s related. [Deleuze recognizes another student] What do you have to say? Then go ahead…

Another student: [Inaudible]

Deleuze: Yes, that’s absolutely right, that Spinoza is deeply Euclidean, and that we can define Euclid — then here, Comtesse himself would agree, taking into account what he just said –, that Euclid could be defined by a subordination, not generally of number to magnitude once again, but of number systems — for there are never only number systems from this point of view, number systems — in the domains of magnitudes, where Spinoza has kept this absolute geometrism. So, in order to respond somewhat to these two remarks, I would say that, yes … what’s going on? In fact, when Comtesse says “be careful, there’s Plato…” But Plato, you understand…

The same student: [Inaudible]

Deleuze: Yeah, yeah… I may have something else… But, in fact, what you said that’s important, it seems to me, is that this refers to one of Euclid’s points, not generally in Euclid, but what all Greek mathematicians have nonetheless considered to be Euclid’s high point, namely the theory of ratios (relations) and proportions. And it’s at the level of a geometric theory of proportions and ratios that this subordination of number is asserted. There, this would be a completely Spinozist point.

As for the question, then, of the infinite, we place it… We should first look at this very special status of the theory of ratios in Euclid. What I mean, here for the moment, concerns what Comtesse just said: “careful, there’s Plato; it’s much more complicated in Greek history”. It’s much more complicated, why? Because, as far as we can understand, I would say… This is a pole of geometry, and it was really the great tradition of Greek geometry, and I believe that… the Greeks won’t budge from this tradition.

But there is another tradition. To have only short-distance communications, but also at very long distances, they didn’t have to wait on our era for there to be such communications. There is a tradition that is called, in the end, that historians of mathematics call, at the other pole of the Greek tradition, the Hindu-Arab tradition. And this Hindu-Arab tradition is no less fundamental. And it consists, which is its power move (coup de force) after its creation, not a power move, but that’s how they did their work… Everything happens as if, if you will, there was this kind of differentiation: well, yes, in Greece, it moves this way; in India, it moves that way! On the contrary, it is the independence and the legislative character of the number in relation to magnitude. And the birth certificate of algebra, which precisely is like the expression of this conception of the number independent of the magnitude, in such a way that’s what will determine and regulate and dictate to the relation of magnitude, this will explain practically, for example, the role of Arab thought in the formation of algebra, and there you have an entire arithmetical-algebraic current.

And very quickly, in Greece itself, the so-called “oriental” currents, the so-called “Indian”, “Hindu” currents, and the Greek geometric current confront each other. And precisely, and in this way, Comtesse’s comments are quite correct. Pythagorism, with its extremely mysterious character for us, — because it’s quite complicated, and many texts are missing –, Pythagorism indeed seems to be the kind of fundamental first encounter between an Indian conception and a Greek conception of mathematics. So here, then, a story plays out, a very, very lively story plays out which, nonetheless, I would say… I don’t know, here, what you think about it, Comtesse, but I would still be more cautious that you, because what the Pythagoreans call number, even when it’s reduced to a system of points, they call it number, and what is the exact relation between number and shape is something that’s very… Or number and magnitude in Pythagoras, this would be, it seems to me… Then there… certainly, in any case, that really is way beyond me.

I am just pointing out that when, in the latter, in what is called the later philosophy by Plato, we are sure that, at the end of his life, Plato developed a theory that we know by the name, roughly, “ideal number theory”. What are ideal numbers in Plato? We have no direct text. We know that this became increasingly important in the Platonic dialectic. There is no direct text on these ideal numbers, no text from Plato. We know this later theory by Plato through Aristotle. And for Plato, these ideal numbers are, according to Aristotle’s testimony, complementary – so, in what order? in what sense? what is this? — ideal shapes. In some ways, these are sort of meta-arithmetic numbers, beyond arithmetic, which do not have the same law of generation as arithmetic numbers, and in correlation with meta-geometric shapes, that is, the shapes which do not have, which are not justifiable, or which do not refer to the possibility of a drawing (tracé) in space.

So, at this level, where really, I suppose, the two main currents meet, the algebraic current and the geometrical current, what is the place of ideal numbers, ideal shapes, etc.? How precisely here did they move away, at that level, did they move away from mathematics properly speaking, since Plato makes it the object of his dialectic, his final dialectic, his dialectic in his later philosophy? And he completely distinguishes between the mathematical movement and the dialectical movement, so these higher numbers, which come from Indian tradition, cannot be defined simply arithmetically; they are defined dialectically, independently of an arithmetic genesis, but by a kind of dialectical mode of constitution.

So I am just making it clear with regard to Comtesse’s intervention that quite evidently, it seems to me [that] it’s true, it’s true that, at the level of Greece, it’s much more complicated than a simple geometrist current, but that the geometrist current and the algebrist current coming from India encounter each other on a level which, finally, moves beyond geometry, but also moves beyond arithmetic. I think that’s going to be a very, very fundamental moment in the history of… [Deleuze doesn’t finish]

But then, let’s go back to the history of Euclidean geometry. For the moment, I have only reached… It’s that Spinoza, on his own behalf, here, I believe, there is no problem with his works. He only retains, for questions – go ahead, try figuring out why exactly — but it turns out that really, he is pure geometrist.

I was talking about Couturat; it’s weird, you see that even these changes are changes that must be evaluated. So, a mathematician like Couturat, in my recall of De l’infini mathématique, it’s a book that appeared around 1905 [in fact, 1896], and afterwards, he wrote Les Principes des mathématiques around 1900 [1905], I don’t know what, 1911 or 1912, I suppose, and there he changed completely. Under the influence of a… finally, an arithmetician, a logician, an algebraist, namely, under the influence of [Bertrand] Russell, he denounces his book on mathematical infinity, and he says that he renounces the principle of the primacy of magnitude over number. It’s like he’s going from pole to pole, and he renovates entirely his theory of mathematics. And I don’t know, I’m not sure he was right; you can’t necessarily say that he was right. I’m not sure that it wasn’t the first book that went the furthest; we don’t know, we don’t know well.

In any case, what do I mean here? I mean, understand, between us, when Spinoza tells us, “Each composed body has a very large number of simple bodies as parts”, I am saying: that means an infinity of parts. Why? Because simple bodies necessarily exist as infinities. Only, simple bodies, you remember, belong to a composed body only through a relation that expresses the composed body. They belong to a composed body only through a relation of movement and rest, which characterizes the composed body. Fine. Henceforth, you now possess everything. A relation of movement and rest, — grant me this — we do not yet understand clearly what this means, but it’s not very complicated. It can be double that of another. [Pause] If double, or half, is the relation/ratio of movement and rest, the relation/ratio of movement and rest that characterizes the body, small a, is double the ratio of movement and rest that characterizes the body, small b, it’s very simple; I can write: mv = 2 x m prime v prime. That means: the relation/ratio of movement and rest is double. Fine.

What would I say if I found myself faced with this simple case: the relation/ratio of movement and rest of one body is double that of another body? I would say: each of the two bodies has an infinity of parts, of simple bodies. But: the infinity of one is double the infinity of the other. It’s very simple. In other words, it’s an infinity of magnitude, not of number. It’s an infinity of magnitude, not of number, what does that mean? Magnitude, however, is not infinite. The mv relation is not infinite. Hence, the importance of Spinoza’s example in letter XII [to Louis Meyer].[10] You may remember, since we talked a little bit about that.

In letter XII, Spinoza considers two non-concentric circles, one inside the other and non-concentric. And he said, “Take the space between the two circles.” We then take a simplified example, precisely the one that, euh, that Spinoza did not want because, given the goal he had in this letter, he needed a more complex example. But I’m just saying: take a circle and consider the diameters. There is an infinity of diameters, since from any point on the circumference, you can develop a diameter, namely the line that unites the point of the circumference, a point of any circumference, in the center. A circle therefore has an infinity of diameters. If you take a semi-circle – Spinoza’s example is as simple as that –, if you take a semi-circle, it has an infinity of diameters too, since you have an infinity of possible points on the half circumference as much as on the entire circumference. Henceforth, you will indeed speak of an infinity double that of another, since you will say that in a semicircle, there is an infinity of diameters as much as in the whole circle, but that this infinity is half that of the entire circle. In other words, here you have defined an infinity which is double or half, as a function of what? As a function of the space occupied by a shape, notably, the entire circumference or the half of that circumference. You have only to transpose to the level of relations/ratios. You consider two bodies: one has a characteristic relation/ratio that is double the other, therefore both, like all bodies, all bodies have an infinity of parts. And in one case, it’s an infinity which is double that of the other case. You understand what this means: “simple bodies necessarily proceed through infinities”.

Henceforth, I have an answer, it seems to me, to my problem there concerning Gueroult. How can Spinoza say: “simple bodies apply themselves according to surfaces that are more or less large”? That doesn’t mean at all that each surface has a magnitude since, once again, they have no magnitude. Why are simple bodies — suddenly, now, I don’t know, we’re almost in a state, I hope, to understand everything –, why don’t simple bodies have magnitude? Because when I was saying they proceed through infinities, what did that mean? It meant precisely: what is it that proceeds through infinity? It is not just anything that proceeds through infinity. I mean, what is it having such a nature that it can only proceed through infinity, if that exists? Well, of course, there is only one thing, that is, infinitely minute terms. Infinitely minute terms can only proceed through infinities. In other words, an infinitely minute [term], again, is a strictly meaningless formulation. [Interruption of the recording] [93: 38]

Part 3

It’s like you say a square circle; there’s a contradiction. You cannot extract an infinitely minute from the infinite set of which it is a part. In other words, and the 17th century understood that wonderfully, it seems to me, and that’s where I would like to arrive; that’s why I’ve gone through all these rather harsh detours. That’s what the 17th century knew and that we — I don’t mean we’re wrong — that we don’t know anymore and don’t want anymore. Why do we no longer want that, we will have to ask ourselves. It’s odd, but for the 17th century, all the stupidities that are spoken about their conception of infinitesimal calculus would no longer be said if people were even sensitive to this very simple thing. They are accused of having believed in the infinitely minute. They didn’t believe in the infinitely minute; that idiotic, that’s completely idiotic. They didn’t believe in the infinitely minute any more than something else. They believed that the infinitely minute proceeded by infinite sets, by infinite collections. That’s the only way I can believe in the infinitely minute: if I believe in the infinitely minute, I necessarily believe in infinite collections.

We act as if they believed that infinite collections had an end (terme), which was infinitely minute. They never believed that; it’s even contradictory. An infinitely minute is not an end since we can’t get there, since there is no end. In infinity analysis, we pretend there is an end to infinity. But this is completely grotesque. In infinity analysis, there is no end to infinity since it’s infinity. There are simply infinitely minute ones proceeding by infinite collections. If I say, “Ah, but, [I] must reach the infinitely minute,” not at all; [I] must not reach the infinitely minute. I must reach the infinite set of infinitely minute. And the infinite set of infinitely minute is not at all infinitely minute. You will not extract the infinitely minute from their infinite set, to the point that for someone from the 17th century, or even already from the Renaissance, there is absolutely nothing bizarre about saying, “well yes, each thing is an infinite set of infinitely minute, obviously…”. This is a very odd way of thinking, I mean, “very odd”, both, at the same time, which goes without saying.

Why is it very odd? I mean, here it is: Spinoza, I’m trying to seize what we can keep here for Spinoza directly. Spinoza tells us, “the simplest bodies have neither magnitude nor shape”, obviously, since they are infinitely minute, and an infinitely minute has no magnitude or shape. If you give it a magnitude or a shape, you make it finite. You make it finite. An infinitely minute has neither magnitude nor shape, it goes without saying. An infinitely minute does not exist independently of the infinite collection of which it is a part. In other words, the infinitely minute are elements, they correspond to expression because it is the best, it seems to me, and the infinitely minute are non-formed elements. They have no form. These are informal elements, as we say today. They are distinguished by speed and slowness, and why? You must already be sensing this: because speed and slowness are differentials. And that can be said about the infinitely minute. But form and shape cannot be said about the infinitely minute without transforming them into something finite.

So fine, these are informal elements that proceed through infinite collections. It comes down to saying: you will not define them by shape and magnitude; you will define them by an infinite set. And good, but what infinite set? How does one define the infinite set? Here we fall back completely upon what he was saying earlier:[11] an infinite set will not be defined by ends (termes); it will be defined by a relation. In fact, a relation, whatever it is, is justifiable from an infinity of ends. The relation is finite; a finite relation has an infinity of ends. If you say, “larger than…”, let’s take the simplest example possible, if you say, “larger than…”, there are endless possible ends. What cannot be “larger than…”? [Larger] than what? Well, it all depends: than what?

So, “larger than” subsumes an infinity of possible ends; it’s obvious. So, an infinite set will be defined by a relation. Which relation? Spinoza’s response: a relation of movement and rest, speed and slowness; this relation is itself finite, it has an infinity of ends. Final point: a relation defines an infinite set; henceforth, infinite sets can enter into quantitative relations, double, half, triple, etc. relations. In what sense? If a relation — every relation defines an infinite set — if a relation is the double of another relation, if I can say, “the relation twice as great as, once greater than, twice as great as” — and I can, since the relations are finite, they correspond to infinite sets which are themselves double, halves, or more.

What does that mean, that? Oh, well, it’s very simple, if you understand a little bit, it will launch us into the strangest proposition — in my opinion, for us – of 17th century philosophy, namely: actual infinity (l’infini actuel) exists, actual infinity exists, and I believe that we can, we can really, yes — I seem to be revealing something like a secret, but it seems to me, yes, it’s a kind of secret because it seems to me that this is the basic proposition, the basic implication of all 17th century philosophy — there is actual infinity. What does this seemingly strange proposition mean, actual infinity? There is infinity in action. Well, this is opposed to two things: the infinite in action is what must be distinguished both from the finite and from the indefinite. The indefinite means that there is infinity, but only in power (puissance). We can’t stop, there is no final end (dernier terme). There is no final end; it’s indefinite. What is finitism? There is a final end. There is a final end, and you can reach this final term, if only through thought.

And these are two relatively intelligible theses; in any case, we are used to them. Finitist theses and indefinitist theses, for us, are equally simple, one proposition as the other: there is a final end or there is no end. In one case, you will say: there is a final end, what is it? It is the position of a finite analysis; it’s the point of view finite analysis. [For] there is no final end, you can go on and on, you can always split the final end you reached. So, this is the position of an infinity in power, only in power. We can always go further. This time, this is the position of an infinite synthesis. Infinite synthesis means: the power of the indefinite, pushing the analysis further and further.

And strangely, the 17th century, strangely, does not recognize itself in one point or the other. I would say that the theses of finitude are what? They are well known; these have always been what has been called atoms. You can go to the final end of the analysis. This is finite analysis. The great theorist of the atom, in Antiquity, was Epicurus, then it was Lucretius. However, Lucretius’s reasoning is very strict. Lucretius says: the atom goes beyond sensitive perception (la perception sensible); it can only be thought. Fine. It can only be thought. But he marks as… — not exactly by himself, but similarly — there is a very odd reasoning from Lucretius, which consists in telling us: there is a sensible minimum (minimum sensible). The sensible minimum is what… You can experience it easily: you take a point of light, you focus on it, and this point of light is moved back, to the point at which it disappears from your sight. It doesn’t matter whether you have good or bad eyesight, there will always be a point at which, there will always be a point when the light point disappears, can no longer be seen. Very good; let’s call that the sensible minimum. It’s the perceptible minimum, the sensible minimum; it may vary for everyone; for each person, there is a sensible minimum. Well, likewise, he says, to think of the atom — since the atom is to thought what the sensible thing is to the senses –, if you think of the atom, you will come to an atom minimum. The atom minimum is the threshold beyond which you no longer think anything at all.

Just as there is a sensible threshold beyond which you no longer grasp anything, there is a thinking minimum beyond which you no longer think anything. There is therefore a thinkable minimum as much as a sensible minimum. At that point, the analysis has ended. And that’s what Lucretius calls with a very, very bizarre expression, not just the atom, but “the apex of the atom”. The apex of the atom is that minimum beyond which there is nothing left. This is the principle of a finite analysis. We all know what indefinite analysis is. What is indefinite analysis? Obviously, it is much more complicated than… Its formulation is very simple: as far as you go, you can always go further. That is, this is a point of view of synthesis since we call for a synthesis through which I can always continue my division, continue my analysis… This is the synthesis of the indefinite. [Pause] Good.

I’d like to read you a text after the 17th century, a very odd text. Listen to it carefully because you will see, I believe, that this text is very important. I’m not saying who [it’s written by] yet; I would like you to guess for yourself who it is. [Pause] “In the concept of a circular line, in the concept of a circular line”, that is, in the concept of a circle, “we think of nothing more than this, notably: that all the straight lines drawn from this circle at a single point called the center are equal to each other ”. In other words, the text tells us: in a circle, all diameters are equal, all diameters. And the text proposes to comment on what “all diameters” means. So, in a circle, all diameters are equal, okay.

The text continues: “In fact, when I say that” — all diameters are equal — “it is simply, it is simply a question here of a logical function of the universality of judgment”. That gets complicated. — Those who are a bit familiar will have already recognized the author; there is only one philosopher who speaks like that. — “It is only a question” — when I say all diameters are equal — “it is only a question of the logical function of the universality of judgment” — the universality of judgment: all diameters. Universal judgment: all diameters of the circle — “This is only a question of the logical function of the universality of judgment, in which” — in which, logical function — “the concept of a line constitutes the subject, and means nothing more than each line, and not the entirety of lines” which can be drawn on a surface starting from a given point. It becomes very, very… All that is very odd. Feel that something is happening. It’s as if, starting from a very small example, this is a rather radical mutation of thought. It’s from this point onward that the 17th century collapses, well, if I dare say. “When I say all the diameters are equal, it is simply a logical function of the universality of the judgment, in which the concept of a line constitutes the subject” — the subject of judgment –, “and does not mean anything more than each line, and not at all: all of the lines. Because otherwise” — the reasoning continues –, “because otherwise, each line would be with the same right an idea of ​​the understanding” – that is, a whole –, “because otherwise each line would be with the same right a totality insofar as containing as parts all the lines which can be thought between two points which are easily thinkable between them, and whose quantity goes precisely to infinity.” This is essential because this text is taken from a letter, a letter, alas, not translated into French; that’s bizarre because it’s a very important letter.

This is a letter from Kant, it is a letter from Kant in which Kant repudiates in advance – I’ll state the reasons, the circumstances of the letter –, repudiates in advance his disciples who try to make a kind of reconciliation between his own philosophy and the philosophy of the 17th century. Fine, this concerns us closely. And Kant says that: those who try this operation which consists in making a kind of synthesis between my critical philosophy and the philosophy of infinity of the 17th century, these people are completely mistaken and ruin everything. This is important because he has some disciples, with his first post-late Kant disciple, named [Salomon] Maimon, but then this great attempt to make a synthesis between Kant’s philosophy and the philosophy of infinity of 17th century was the business of Fichte, Schelling, Hegel. And there is some kind of curse by Kant on such an attempt, and that curse consists in saying what exactly?

I’m coming back… You have a circle; he tells you: all the diameters are equal. And I am saying: there are an infinity of diameters; a 17th century man would say that, there is an infinity of diameters, and all diameters — the word “all” means “the infinite set”, “all” commented by a 17th century man, it would be: all diameters = the infinite set of diameters traceable in the circle. It’s an infinite set, an actual infinite. — Kant arrives, and he says: not at all, this is a misunderstanding. “All the diameters of the circle” is a proposition, again, empty of meaning. Why? By virtue of a very simple reason: diameters do not exist before the act through which I trace them; that is, diameters do not exist before the synthesis through which I produce them. And in fact, they never exist simultaneously because the synthesis through which I produce the diameters is a successive synthesis. Understand what he means; it becomes very strong: this is a synthesis of time. He means: the 17th century never understood what the synthesis of time was, and for a very simple reason: it was concerned with the problems of space, and the discovery of time was precisely at the end of the 17th century.

In fact, “all diameters” is an empty proposition; I cannot say “all diameters of the circle”. I can only say “each diameter”, “each” simply referring to what function? [To a] distributive function of judgment, a distributive function of judgment, namely, each diameter insofar as I draw it here now, each diameter insofar as I draw it here now, and then it will take me time to manage to reach the trace of the other diameter, this is a synthesis of time. It’s a synthesis, as Kant says, of succession within time. This is a synthesis of succession within time that goes on indefinitely, that is, it has no end, by virtue of what time is. I could, no matter how many diameters I have already drawn, I could always draw one more, and then one more, and then one more. It will never stop. This is a synthesis of the production of each diameter that I cannot confuse with an analysis. It is exactly: a synthesis of the production of each diameter in the succession of time, which I cannot confuse with an analysis of all the supposed diameters given simultaneously in the circle.

The error of the 17th century was to transform an indefinite series specific to the synthesis of time into an infinite set coexisting in extension. So, about this example, in fact, it is simply a question of something fundamental. See, Kant’s power move will be to say: finally, there is no actual infinite; what you take for the actual infinite is simply… You say that there is an actual infinite because you have not seen, in fact, that the indefinite refers to a synthesis of succession in time, so when you gave yourself the indefinite in space, you have already transformed it into the actual infinite; but in fact, the indefinite is inseparable from the synthesis of succession in time, and at that point, it’s indefinite, it’s absolutely not the actual infinite. But what does the synthesis of succession over time refer to? It refers to an act of the self, an act of “I think”; it is insofar as “I think” that I trace a diameter of the circle, another diameter of the circle, etc.; in other words, it’s the “I think” itself, and this is going to be the Kantian revolution in relation to Descartes.

What is the “I think”? It is nothing other than the act of synthesis in the series of temporal succession. In other words, the “I think”, the cogito, is directly placed in relation to time, whereas for Descartes, the cogito was immediately related to the extension. So, there it is, this is my question, it’s almost… It is a bit like saying that, today, mathematicians are no longer talking about infinity. The way in which mathematics has expelled the infinite — maybe we will see this next time if we have time — how did that happen? Everywhere, this was done in the simplest way, and almost for arithmetical reasons. Starting from the moment they said: “but, an infinitely minute quantity”, it begins, if you will, from the 18th century. Starting from the 18th century, there is an absolute rejection of so-called infinitist interpretations, and the whole attempt, from the 18th century, of the mathematicians, starting with d’Alembert, and then Lagrange, and then all, all, in order to arrive at the beginning of the 20th century, where they decide that they have achieved everything, what is it? It’s to show that infinitesimal calculus has no need of the infinitely minute hypothesis in order to be established.

What is more, there is a 19th century mathematician who employs a mode of thinking, a term which, it seems to me, accounts very well for the way of thinking of modern mathematicians. He says: the infinite interpretation of infinitesimal analysis is a Gothic hypothesis; or else they call it the “pre-mathematical” stage of infinitesimal calculus. And they simply show that in infinitesimal calculation, there are not at all quantities smaller than any given quantity; there are simply quantities that are left undetermined. In other words, the whole notion of axiom comes to replace the notion of the infinitely minute. You leave a quantity undetermined to make it — this is therefore the notion of indeterminate which replaces the idea of ​​infinity –, you leave a quantity undetermined to make it, at the moment you want, smaller than any specific given quantity. But there is not an infinitely minute within this at all. And the great mathematician who will give to infinitesimal calculus its definitive status at the end of the 19th and at the beginning of the 20th, that is, [Karl ] Weierstrass, he will have succeeded in expelling from this everything that resembles any notion of infinity whatsoever.

So then, I would say, how are we taught? Well, I would say that we oscillate between a finitist point of view and an indefinitist point of view. If you will, we oscillate between — and we understand these two points of view very well –, I mean, we are sometimes Lucretian, and sometimes we are Kantian. I mean, we understand relatively well the idea that things are subject to an indefinite analysis, and we understand very well that this indefinite analysis, which has no end, necessarily does not reach an end since it expresses a synthesis of succession within time. So, in this sense, we understand indefinite analysis insofar as based on a synthesis of succession within time even if we have not read Kant. And we see, we are entirely familiar with such a world. We also understand the other aspect, the finitist aspect, that is, the atomist aspect in the broad sense, namely: there would be a final end, and if it’s not the atom, it will be a particle, it will be an atom minimum, or else an atom particle, anything. So, there is a final end.

What we no longer understand at all is that… unless… that there is… I would like this to have the same effect on you because, if not, that worries me. What, at first sight, we no longer understand is the kind of thought, the way in which, during the 17th century, they think of actual infinity, namely: they consider legitimate the transformation from an indefinite series to an infinite set. We no longer understand that at all.

I’m selecting a text — and what I’m talking about are almost commonplaces of the 17th century — I’m selecting a famous text by Leibniz, which has an admirable title: Of the radical origin of things. It’s a little pamphlet. He begins with the exposition made a thousand times; it’s not new for him, and he does not present it as new, the exposition of the so-called cosmological proof of the existence of God. And the so-called “cosmological proof” of the existence of God is very simple; it tells us this. It consists in telling us: Well, you see, a thing has a cause. Fine. This cause, in turn, is an effect, it has a cause, in its turn. The cause of the cause, it has a cause, etc., etc., to infinity, to infinity. You must reach a primary cause which itself does not refer to a cause, but which would be a cause in itself. This is the proof, you see: starting from the world, you conclude that there is a cause of the world. The world is the series of causes and effects; it is the series of effects and causes. We must reach a cause that is like the cause of all causes and effects. Needless to say, this proof never convinced anyone. But still, it has always been stated as being the cosmological proof of the existence of God. It has been debated; it has been contradicted in two ways. The finitists will tell us: well no, why? In the world itself, you will not reach final causes, that is, get to final ends. And then, the indefinitists tell us, well no, you will climb back up endlessly from effect to cause, and you will never reach a first term in the series. [Interruption of the recording] [2: 04: 48]

Part 4

… finite to an infinite set which itself demands a cause. It’s only in this form that the cosmological proof would be conclusive. If I can — the world is an indefinite series of causes, effects and causes — if I can legitimately conclude from the indefinite series of effects and causes to a collection, to a set of causes and effects, that I will call the world, this set of causes and effects must itself have a cause. Fine. Kant will criticize the cosmological proof, saying: but after all, this is a pure logical error, this proof, it is a pure logical error because you can never consider an indefinite series as if it were a set — a successive indefinite series –, as if it were an infinite set of coexistence. Fine. My question, then, you understand my question: we are convinced in advance, I suppose. We say: but it is obvious that I cannot. By what right, in fact, does it… If a series is independent — you see the valorization of the time that this implies, this discovery of the indefinite — because if the indefinite series of causes and effects cannot be assimilated to an infinite set, it is only because the indefinite series is inseparable from the constitution of synthesis within time. It’s because time is never given; it’s because there is no collection of time, whereas there are spatial collections. It’s because time does not create collections that the indefinite is irreducible to infinity. As a result, it is not surprising that this point of view of the indefinite, which seems very simple to us, implies, in fact, an astonishing valorization of the consciousness of time. It implies that philosophy has made this mutation that causes the whole cogito, that is, the “I think”, to pass into a kind of “I think time” instead of “I think space”.

And it is true that 17th century philosophy is an “I think space”, and that it’s in the name of space that they give themselves the right to consider that time, in the end, is very secondary and that, henceforth, I can constitute an indefinite series within time in a collection of simultaneities in space. In other words, they believe in infinite space. Henceforth, they think of the possibility of an actual infinity and, in a way, they are fighting on two fronts. You understand? They are fighting against finitism, hence all these authors, whether it is Descartes, whether it is Malebranche, whether it is Spinoza, whether it is Leibniz, will refuse here, will constantly refuse the atom hypothesis. That will be their enemy. They denounce that; there is not one of these authors who does not attack, [saying] “above all, do not believe that what I’m explaining to you is about atoms”. Constantly, when Leibniz talks about the infinitely minute, he says: “the infinitely minute, [that has] nothing to do with atoms”. You see why. An atom is not an infinitely minute at all. And on the other hand, if you put yourself in their place, everything gets turned upside down for them, if we put ourselves in their place. That is, I mean… For them, Kant’s argument is completely backbiting. Someone would say to a 17th century man: “But come on, you have no right to convert a succession within time into a collection in space …”, well, this statement itself is empty, because it does only takes on meaning, this statement, “I have no right to convert a succession within time into a coexistence in space, into a simultaneity in space”, that only makes sense if I have, once again, identified a form of time which does not make up a set, an immediately and irreducibly serial form of time, a serial consciousness of time, such that the aggregate of time would be a meaningless notion. If I have identified a serial and irreducibly serial reality of time within a consciousness of time, then, in fact, I am in conditions such that I can no longer convert temporal series into aggregates or spatial sets.

Fine, isn’t it the same thing, I mean, don’t we find… – with that, we will be able to finish for today – I was saying, there are two branches of mathematics, the magnitudes greater than the numbers, and on the contrary, the independent number compared to the magnitudes, roughly, what I called the Greek theme and then the Indian theme, and there, now, I would say, on the side tending toward the number being deeper than magnitude and, finally, controlling magnitude. Ultimately, this independence of number can only be based on a consciousness of time, because in fact, what is that the act of temporal synthesis or, even more, the act of the synthesis of time through which I produce an indefinite series? The act of the synthesis of time through which I produce an indefinite series is the number. This is the number with the simplest possibility — it gets complicated hereafter — but with the possibility of always adding a number to the previous number. It is the number which henceforth expresses the “I think” in a pure state, namely, the act of synthesis through which I produce the indefinite series within time.

On the other hand, the other branch is no doubt the most acute consciousness of space. This is undoubtedly the most acute consciousness of space that makes me say or that makes me live insofar as being a man existing in space, the one who is in space. At that point, — and time strictly is only an auxiliary, as they all said at that time, an auxiliary for the measurement of space — so there, that there was a mutation in thought, when thought was confronted no longer by its direct relationship with space, but with its direct relationship with time… And I mean that sometimes there are texts which seem to sit astride, but understand, in fact, this is very strange, these texts which seem to be straddling, because this depends a bit on our soul’s nuances, whether a modern soul or not. I would point out to you that everything is currently changing because, in a way, I wonder if we haven’t returned to a kind of 17th century, but via detours. I would almost say that if I then tried to situate [this], but really by undertaking a huge overview, the huge overview would be what? That was a period in which the main problem, how to say, putting aside every urgent matter, finally, putting aside the urgent matter, which what? It was my relation with time, and it’s that which defined modern thought for a very long time, the discovery of time, that is, the discovery of the independence of time, that I was a temporal being and not just a spatial being. It’s certain for the 17th century, I do not believe that I am basically a temporal being.

That implies choices; that implies, I don’t know, all kinds of things, but, when I say that starting from the 18th century, what causes the break, what causes the reaction against classical philosophy, that’s it. This is the discovery: I am a master… [Very brief side discussion, someone offers something to Deleuze, who thanks him] You understand, this is where there are actions as important as what is happening in art, because the same thing is occurring in art. 17th century literature, even among the so-called memorialist authors, for example, I think of Saint-Simon, it’s obviously not the problems of time that concern them. It’s in the 18th, 19th century in which they confront time.

Take a famous text from Pascal, on the two infinities. Pascal explains that man is trapped between two infinities; this text seems very typical to me, because it passes for an extremely modern text, in a sense, like Pascal’s first great existentialist text. Not at all. It does not strike us with this impact of very modern text – it’s brilliant, this text, that is…, I don’t want to say that it’s not brilliant… — but it only strikes us as a modern text because the reading is completely decentered. We spend our time — and there’s often nothing wrong here; we draw from a text the resonances it has with our own time –, but in fact, Pascal’s is not at all a modern text, it is a pure 17th century text, with its brilliance added on. In fact, it is a text which tells us: man is spatially wedged between two infinities, the infinitely large, which you can represent vaguely by the sky, and the infinitely minute, which you can represent vaguely as soon as you are looking through a microscope. And he tells us: these are two actual infinities. This is a text signed 17th in a pure state, I would say: what is the representative text of the 17th [century]? Pascal’s text on the two infinities.

And, as we say, there is a tragedy side of the text, but it’s in the manner [of] how to orient yourself in all this? That is, this is a space problem. What will be the space of man between these two spatial infinities? And there is everything you want, despair, faith, creeping in there, but not at all modern. What would a modern text be? It would be a temporal text. It would be how to orient yourself in time. And how to orient yourself in time, that’s the basis for all of Romanticism. And if Kant has something to do with the foundation of German Romanticism, it is because Kant was the first in philosophy to make this very, very strong kind of change in reference points, namely: making us pass from the space pole to the time pole, on the level of thought — since it was a question of philosophy — on the level of thought: the “I think” is no longer related to space, it is related to time. Fine.

And at that point, you can find despair, hope, for man, all the existential tones you want; it’s not the same depending on whether they are spatial tones or temporal tones. I believe that if a Classic and a Romantic do not understand each other or cannot understand each other, it is obviously because the problems undergo an absolute mutation when you make this change of reference point, when you are situated onto the time pole and not on the space pole. And I am saying: it’s the same in literature, in music, all that. Romanticism, was the discovery of time; at each time, it was the discovery of time as a force of art, or as a form of thought in the case of Kant, as a form of thought.

In music, whether it’s already, I don’t know… the first great one in order would be Beethoven, but then all Romanticism dealt with this kind of problem: how to make time sonorous. Time is not sonorous, so then, how does one make time sonorous? You cannot understand symphonic questions, you cannot even understand the question of melody in that way that Romanticism will reinterpret it, because melody, before, way back, was not at all about this problem of time. The melody in what we call a lied, for example, there you have the temporal problem in a pure state. And the spatial problem is closely subordinate to it, that is, it’s time for travel. I’m leaving, I’m leaving my homeland, etc., and it’s not at all thought of in terms of space; it’s thought of in terms of time, and the melodic line is the line of time. Okay, but… [Deleuze does not finish]

And that’s what literature will be — the novel, the novel, you understand, the act of the novel starting from the 18th century onwards, the novel that one perceives is temporal. And to create a novel is precisely, not to recount something about time, but to situate everything, and it is art that situates things as a function of time. There is no other novel than that of time. A very good critic, a very good critic of 20th century literature, whom we unfortunately no longer read, but I strongly advise you to read him if you find second-hand books at the secondhand booksellers, named Albert Thibaudet, said this very well — he was a disciple of Bergson, and he’s very, very wonderful, he was a very great critic — he says: well, yes, a novel, how should we define a novel? This isn’t difficult; it’s a novel from the moment something endures, as soon as there is duration, that something endures. A tragedy does not endure. He said a very simple thing: a tragedy is… But he said better than anyone [that] a tragedy always consists of peaks, critical moments, either as a basis or out front, etc. But the art of duration, of something that endures and, at the extreme, that unravels, a duration that unravels; that’s a novel. It’s a novel as soon as you describe a duration that unravels. Finally, the author who above all creates a manifesto of the time linked to his work is Proust. Fine, that whole era… When I say, we would have to see if we don’t have re-engagement with the 17th century…

Claire Parnet: I have a good example. There is an example in Debussy’s preludes, where he wrote at the very beginning: “Rhythm has the sound value of a sad and snowy landscape”. There, really, it’s an ethos. It’s a place that…

Deleuze: Yes, yes, this is very general, the return to space, but, then, obviously which will not be a return to the 17th century.

But if you will, in every domain, the rediscovery, I believe — I am using, I am saying that to connect things with what we will be doing later concerning painting [12]–, the birth of a new…, in art at the end of the 19th [century] and from the beginning of the 20th, the return to a kind of colorism, to extremely, then entirely new, formulations of colorism, but which break precisely, break with what had been explored for a rather long time concerning a painting of light. It seems to me that it’s through color that, in painting, space has returned to painting. In the painting of light, there is always an odd phenomenon that is as if they were capturing time pictorially. Notice, it’s no more difficult than capturing it musically. Time is not sonorous by itself; it is not visible either. In a certain way, the painting of light gives us as a pictorial equivalent of time, but the painting of color is something quite different, what we call colorism. What’s called colorism, that is, when the volumes are no longer created in chiaroscuro, but are made by color, that is, by pure relations of tonality between colors, there is a kind of reconquest of a space, of a direct pictorial space.

Oh, I also believe that all the… all the movements known as “informal” and even abstract, these are a reconquest precisely of a pure pictorial space. Well, suppose, but think of, for example, the importance to us… I would say: who are the key [figures]? A guy like [Maurice] Blanchot… I think [that] one of the important things about Blanchot was to recreate a kind of conversion to space. Blanchot is very striking in that he thinks very little in terms of time. His problem is really a problem of thought in relation to space. Think of his book The Space of Literature [1955]. The Space of Literature is like a manifesto that is opposed to literary time. In music, in painting, all that, it seems to me that there is a return, precisely, a kind of… [Deleuze does not finish]

Just like in mathematics, a theory called “set theory” has been reconstituted, and at the level of set theory, they have rejected — and this is what seems to me very, very striking –, the people who had succeeded in expelling infinity from everywhere in mathematics, it was at the level of the theory called “set theory” that they found an aporia, a difficulty relative to infinity. The infinite was reintroduced into mathematics through the angle (biais) — in a very special sense — through the angle of set theory. This is very, very curious. And there is also, in all disciplines, a kind of return to sets of coexistence, to sets of simultaneity.

So, I mean, these would perhaps be good conditions for us to feel precisely more familiar with this 17th century thought. These are people who think very spontaneously in terms of actual infinities. When they are presented with a finite thing, well, they immediately think that a finite thing is wedged between two actual infinities: the actual infinity of the infinitely large, and the actual infinity of the infinitely minute, and that a thing is only a bridge between these two infinities, if you will, a micro-infinity and a macro-infinity, and that the finite is precisely like the communication of these two infinities. Fine… And they think very spontaneously, I mean very naturally, such that objections like those of Kant, let’s understand what they mean: they cannot even conceive of them given that Kant’s objection only truly takes on meaning if all these coordinates of the 17th century world have already collapsed.

All that to make you feel that an objection, you cannot… You understand, an objection, in a sense, always comes from outside. Because people, they are not idiots; otherwise they would have already made the objections to themselves. They always come from a point of view irreducible to the system of coordinates in which you exist. So, in fact, it’s from an external point of view, namely the point of view of time, that Kant can say: “Ah no! Your actual infinity, not in the least…” But I cannot say that progress proves Kant right; it would have absolutely no idea. Once again, the idea of infinite collections returns to us, not in the manner of the 17th century, but via immense detours. There we have the idea of ​​infinite sets — infinite sets endowed with variable powers, with one power or another — returns to us all the more.

So, if we had to define the philosophers of the 17th century, I would say a very simple thing: these are people, these are men who think naturally, spontaneously, naturally, in the philosophical sense, in terms of actual infinity, that is, neither finitude, nor indefinite.

Well, well, we’ve had enough. There we are! So next time, anyway, [we will] have to… We’ll see what emerges from this for Spinoza’s theory of the individual. [Noises in the room; we hear Deleuze say to someone: Thank you, thank you, thank you very much …] [End of the session] [2:28: 04]


[1] Even from the context of what follows, it is unclear to whom this initial reference is.

[2] Victor Delbos, Spinozism: course taught at the Sorbonne in 1912-1913, (1916); Vrin (2005). However, in Spinoza: Practical Philosophy, Deleuze states that Delbos’s Le Problème moral dans la philosophie de Spinoza et dans l’histoire du spinozisme (Paris: Alcan, 1893) “is a much more important book than the academic work by the same author, Le Spinozisme”, i.e. the title provided in this session.

[3] On the individual, see Spinoza: Practical Philosophy, pp. 76-78.

[4] In concert with the translation in Spinoza: Practical Philosophy by Robert Hurley, I have chosen to translate Deleuze’s “rapport” as relation, since Deleuze is gradually developing an argument, from one lecture to the next, of the importance of differential relations in both philosophical and mathematical terms.

[5] This apparent slip, from sense 1 to sense 3, while inexplicable, has been verified on the recording.

[6] Martial Gueroult, Spinoza, Dieu (Ethique, I), and Spinoza, L’Âme (Éthique, II) (Paris : Aubier, 1968).

[7] This reference is supplied by the Paris 8 transcriber, Yann Girard, not by Deleuze: “L. II, Prop. XIII, Ax.I, II, Lem. I”.

[8] For consistency, I continue to translate “rapport” as relation, but in the mathematical context, this could also be read as ratio.

[9] See note 4.

[10] On this letter, see the session on Spinoza of 20 Jan 1981; see also Spinoza: Practical Philosophy, pp. 78-79.

[11] It’s not entirely clear to whom Deleuze refers here, perhaps to Comtesse or to the second interlocutor.

[12] The spring 1981 seminar continues, from 31 March onward, on the topic of painting and the question of concepts.

French Transcript


Conférence Spinoza 10, le 10 février 1981 : Après avoir discuté précédemment du monde des signes et d’une stratégie pour sortir de la « nuit noire » de l’envahissement par les signes, Deleuze déplace son attention vers les trois dimensions de l’individu et pose ensuite les bases pour comprendre la théorie de l’individuation de Spinoza en examinant la philosophie du XVIIe siècle, en particulier comment la conception spinoziste s’inscrit dans des explications concurrentes, notamment de l’infini, du fini et de l’indéfini ; espace contre temps conçu mathématiquement et philosophiquement ; et le cogito en extension (Descartes) en contraste avec les séries indéfinies dans la succession temporelle (Spinoza et Leibniz).

Gilles Deleuze

Séminaire sur Spinoza, Les Vitesses de la pensée

Séance 10, le 10 février 1981

Transcriptions: Partie 1 par Yann Girard (durée = 46:43); parties 2 (durée = 46:42), 3 (durée = 31:11) et 4 (durée = 23:05) par Jean-Charles Jarrell; transcription augmentée, Charles J. Stivale

[La transcription suivante se base sur l’enregistrement disponible sur YouTube attribué à WebDeleuze, malgré le fait que la transcription et la traduction ne se trouvent pas au site WebDeleuze. L’horodatage correspond forcément à cette version aussi parce que l’autre version de l’enregistrement, attribuée à SocioPhilosophy à YouTube, commence avec la troisième partie de la séance précédente ; puis vers la minute 41, l’enregistrement se lie enfin au début de cette séance. Pourtant, à la fin de cette première partie, l’enchaînement suivant ne correspond pas à la partie 2 mais à la partie 3, avec les 46 minutes de la partie 2 carrément omises.]

Partie 1

… Il admire profondément Rimbaud. [La référence n’est pas clair, malgré l’exemple qui suit à propos de Bergson] Mais les philosophes, on se dit [que] leurs activités, cela consiste à fuir, que l’activité de… je ne sais pas… Et pourtant, tout le dément parce que chaque fois qu’on ouvre un grand philosophe, on s’aperçoit que les auteurs, il parle de très peu d’auteurs d’abord, et ensuite ceux dont il parle, ce n’est, ce n’est pas tellement sûr que, qu’il les ait lus, ce n’est pas son problème.

Alors, si vous y réfléchissez, il n’y a rien de plus comique ! Enfin, c’est grotesque cette idée que… qu’on puisse emprunter des idées à un livre. Évidemment ça fait, c’est ça qui fait l’objet des thèses. Sinon, il n’y aurait pas de thèses. Une thèse, ça consiste à montrer — à la limite, pas toujours — mais, en gros, ça consiste à montrer à quel livre, tel auteur a emprunté les idées. Ça, c’est formidable ! Par exemple, [1 :00] l’idée de la vie chez Bergson, ça va être, par exemple, “est-ce que Bergson a emprunté son idée de la vie à Schelling ou à un autre ?” Alors dès qu’on, dès qu’on se lance dans cet élément, c’est curieux. On entre dans un élément qui est complètement inconsistant. Vous savez, moi, je crois que les livres, ça sert à tout, sauf précisément, à leur emprunter des idées. Je ne sais pas à quoi ça sert. Mais ça sert à quelque chose, ça, sûrement. On peut emprunter à un livre tout ce qu’on veut, y compris emprunter le livre lui-même, mais on ne peut pas lui emprunter la moindre idée. Ça ne va pas ça. Le rapport d’un livre avec “l’idée,” c’est quelque chose de tout à fait différent.

Alors, dans le cas de Spinoza, on peut toujours trouver une tradition dans la philosophie du livre, ah oui, bon, elle se continue et passe par Spinoza, tout ça, mais, en un sens, il n’empruntait rien, [2 :00] rien, rien, rien. Bon, pour l’idée de Bergson : il y a un philosophe, il a une intuition, il ne cesse pas de la…, il essaie de l’exprimer, quoique… c’est vrai aussi de la musique. [Longue pause] Tout ceci pour vous dire que, qu’il faut vraiment que vous lisiez, sinon — j’ai tout d’un coup un soupçon affreux, si vous ne lisez pas…. [Longue pause] [3 :00]

Je n’ai pas donné de bibliographie, évidemment, parce que je ne crois pas que ce soit absolument nécessaire, mais s’il y en a, qui a une bonne volonté et lise l’Éthique, et se sente un peu perdu au premier livre, vous pouvez toujours faire – je ne crois pas que ce soit bon, mais si vous le sentez nécessaire, c’est vous qui avez raison — il y a un livre classique, qui s’appelle : le Spinozisme, d’un historien de la philosophie qui s’appelle Victor Delbos, [Le spinozisme : cours professé à la Sorbonne en 1912-1913, (1916); Vrin (2005)] qui est comme une espèce d’exposé très rigoureux, de résumé, quoi, de résumé commenté de l’Éthique. Evidemment c’est embêtant, je crois que… mais si vous en sentez le besoin, c’est ça qu’il faut prendre. [Pause] [4 :00]

Notre point essentiel, ce sera : essayer de tirer les conclusions concernant les rapports entre une éthique et une ontologie. Ce point où on arrive, c’est précisément la nécessité du point de vue de l’éthique, d’analyser la conception, dans le Spinozisme, de l’individu, et de l’individuation. Et vous voyez bien où on en est, [Deleuze déplace une feuille de notes] – où on en est : tout ce qu’on a dit précédemment nous amène donc à distinguer comme trois épaisseurs, trois épaisseurs de la vie, comme si l’individu se développait, se constituait sur trois dimensions.

Première dimension : il a un très grand nombre [5 :00] de “parties”. On n’en sait pas plus ! Un individu a un très grand nombre de parties. Qu’est-ce que ces parties ? là, il n’y a pas tellement de problèmes, ces parties. Quand même, Spinoza leur réserve un nom : il les appelle, les corps les plus simples. Un individu est donc constitué d’un grand nombre de parties nommées les corps les plus simples, corpora simplicissima. Question tout de suite : mais alors, ces corps les plus simples, envisagés chacun, c’est des individus ou pas ? Si un individu comporte un très grand nombre de parties de corps très simples, les corps simples, c’est des individus ou cela n’en n’est pas ? On laisse ça de côté, hein. [6 :00] Ben, il me semble — là je prends…- – il me semble que pour Spinoza, un corps simple, un corps très simple n’est pas à proprement parler un individu. Mais un individu, si petit qu’il soit, a toujours un très grand nombre de corps très simples qui constituent ses parties. Bon, on verra ! On verra si c’est bien ça chez Spinoza.

Ces parties, c’est donc vraiment, dans le cas des corps — et même dans tous les cas — c’est des parties extensives. Qu’est-ce que c’est les parties extensives ? C’est des parties soumises à la loi — toujours pour parler latin partes extra partes, c’est-à-dire des parties extérieures les unes aux autres. Vous me direz : “Ça, ça ne vaut pas pour le corps et l’étendue”. Oui et non. [7 :00] Vous vous rappelez peut-être que l’étendue, c’est un attribut de la substance. L’attribut de la substance, il n’est pas divisible ; l’étendue, elle est indivisible. Tout comme les autres attributs : la pensée, elle est indivisible.

Mais ce qui se divise, ce sont les modes. L’attribut est indivisible, mais les modes de l’attribut sont divisibles. Donc, un corps qui est un mode de l’étendue, l’étendue n’est pas divisible. Mais un corps, qui est un mode de l’étendue, est divisible. Il est divisible en un très grand nombre de parties. Tout corps est divisible en un très grand nombre de parties. Et on en dira la même chose de l’âme : l’âme est divisible en un très grand nombre de parties. Donc ce n’est pas propre à l’étendue. La pensée est indivisible, mais l’étendue aussi était indivisible. L’âme, qui est le mode de la pensée, elle est divisible en un très grand nombre de parties. Tout comme le corps, qui est mode de l’étendue… [8 :00] Bon ! Voilà notre première dimension de l’individu, constituée d’un très grands de parties extensives, extérieures les unes aux autres.

Deuxième dimension de l’individu, qui répond à la question : “Comment les parties extensives appartiennent-elles à un individu ?”. En effet, la question se pose parce que vous prenez un corps quelconque, vous pouvez toujours – [Bruit de Deleuze qui frappe sur sa table] par exemple, une table — vous pouvez lui ôter une partie et en mettre une autre, de même dimension, de même figure. Par exemple, une table, vous pouvez lui ôter un pied et puis mettre un autre pied. Est-ce que c’est la même, dans quelle mesure c’est la même et dans quelle mesure ce ne serait pas la même ? Si vous mettiez [9 :00] un pied plus grand, ce n’est pas la même. Si vous mettiez un pied de même longueur et de couleur différente, est-ce que c’est la même ? Qu’est-ce que ça veut dire cette question ? Ça veut dire : “Sous quelles raisons des parties quelconques appartiennent-elles à un corps donné” ?

C’est la seconde dimension de l’individu. L’individu n’a pas seulement un très grand nombre de parties, mais il faut bien que ces parties lui appartiennent sous une raison. Si la raison manque, ce n’est pas ses parties ; si la raison demeure, ce sont ses parties même si elles changent. C’est tout simple ça. Réponse de Spinoza : c’est sous un certain rapport de mouvement et de repos, de vitesse et de lenteur, que des parties appartiennent à un individu. Bon, vous voyez : seconde dimension [10 :00] de l’individu, le rapport de mouvement et de repos, le rapport de vitesse et de lenteur, qui caractérise ce corps par différence avec tout autre corps. Donc, ce n’est pas les parties qui définissent un corps. C’est le rapport sous lequel les parties lui appartiennent. Qu’est-ce que ça veut dire un rapport de mouvement et de repos, un rapport de vitesse et de lenteur, qui caractériserait un corps ? Donc, à chaque corps correspondrait un rapport. Un corps ? Qu’est-ce que c’est ça ? C’est la deuxième dimension.

Troisième dimension, enfin : le mode lui-même, l’individu lui-même “est” une partie. En effet, Spinoza le dit tout le temps : “l’essence de mode est [11 :00] une partie de la puissance divine, de la puissance de la substance.” C’est curieux puisque la puissance de la substance, elle est indivisible, ah oui, mais en tant que puissance de la substance. Mais le mode, lui, est divisible. Or le mode, dès lors, est une partie de la puissance indivisible. Voyez, ce qui se divise, c’est toujours le mode. Ce n’est pas la substance. Ça n’empêche pas que le mode, c’est précisément dans la mesure où il se divise, c’est une partie de la puissance divine. A ce moment-là, ce troisième niveau, dans cette troisième dimension, je ne dis plus : le mode a un très grand nombre de parties. Je dis : un mode est “une” partie. Une partie de quoi ? Voyez que le mot “partie” s’emploie évidemment en deux sens : au sens 1, avoir un très grand nombre de parties, au sens 3, être une partie. [La raison pour ce glissement de “sens 1” à “sens 3” n’est pas clair, mais a été vérifié sur l’enregistrement] [12 :00] Car enfin, j’ai précisé quand je disais un mode a un très grand nombre de parties, il s’agissait bien de parties extensives, extérieures les unes aux autres. Lorsque je dis le mode est une partie, “partie” a évidemment un tout autre sens. En effet c’est une partie de puissance. Une partie de “la” puissance, ce n’est pas la même chose qu’une partie extensive. Une partie de puissance, c’est quoi exactement ? Une intensité. Donc, le troisième niveau consiste à nous dire : l’essence de l’individu, c’est une intensité.

En quoi est-ce intéressant ? Sans doute parce que ça élimine déjà deux positions qui ont dû être tenues dans l’histoire de la pensée, à savoir c’est une conception intensive de l’individu [13 :00] qui, dès lors, se distingue, d’une part, d’une conception extensive, qui chercherait l’individualité dans une extension quelconque. Et ça s’oppose aussi à une conception qualitative, qui chercherait l’individualité, le secret de l’individualité dans une qualité. L’individuation pour Spinoza n’est ni qualitative, ni quantitative, au sens de quantité extensive. Elle est intensive.

Donc si j’essaie de grouper dans une même formule les trois dimensions de l’individualité, je dirais : Un individu, c’est une partie intensive, c’est-à-dire un degré de puissance, petit a ; petit b, en tant que ce degré de puissance s’exprime dans un rapport de mouvement et de repos, de vitesse et de lenteur ; [14 :00] petit c, un très grand nombre de parties appartenant à cet individu, sous ce rapport, un très grand nombre de parties extensives appartenant à cet individu, sous ce rapport.

Bon, vous voyez, vous, par exemple, chacun de vous, vous êtes constitués d’un très grand nombre de parties extensives mobiles, en mouvement ou en repos, par exemple, à telle vitesse et telle lenteur, etc. Ce qui vous caractérise, c’est un ensemble de rapports de vitesse ou de rep… un ensemble de rapport de mouvement et de repos, de vitesse et de lenteur, sous lequel ces parties vous appartiennent. Dès lors, elles peuvent changer. Du moment qu’elles effectuent toujours le même rapport de vitesse et de lenteur, elles vous [15 :00] appartiennent toujours. Et enfin, dans votre essence, vous êtes une intensité. Bon, c’est une vision intéressante, quoi !

Seulement, à partir de là, qu’est-ce qu’on peut dire ? Ben, on a déjà un problème. Je veux dire : tout individu est composé d’un très grand nombre de parties, qui sont les corps les plus simples. Donc là, immédiatement, on nous convie à distinguer des corps composés et des corps simples. Tout corps est un corps composé. Bon, d’accord. Tout corps est un corps composé. Et de composition en composition — c’est toujours l’idée de Spinoza qu’il y a une composition des rapports à l’infini — de composition en composition, on arrivera [16 :00] à la nature entière. La nature entière est un individu. C’est même, la nature entière, c’est l’individu des individus. La nature entière, c’est le corps composé de tous les corps, eux-mêmes composés, à l’infini. En effet, la nature entière, c’est l’ensemble de tous les rapports, de mouvement et de repos, de vitesse et de lenteur. Donc il y a bien un individu des individus, ou qui est le corps composé de tous les corps composés.

Et en effet, on peut concevoir une composition de proche en proche. Si je reprends l’exemple de Spinoza, le chyle et la lymphe, chacun sous leur rapport, chacun sous son rapport compose le sang. Le sang à son tour entre en composition avec autre chose pour former un tout plus vaste. [17 :00 Le tout plus vaste entre en composition avec autre chose pour former un tout encore plus vaste, etc., jusqu’à, à l’infini l’unité de toute la nature, l’harmonie de toute la nature, qui, elle, est composée de tous les rapports. Voyez donc, je peux aller vers un corps composé à l’infini, un corps composé de tous les corps composés.

Mais si je descends ? Qu’est-ce que c’est les corps les plus simples ? Or c’est là que,  pour se débrouiller dans cette question, donc, ce qu’il faut que nous fassions aujourd’hui, c’est presque une épreuve — alors là pour varier, je voudrais que… et bien entendu vous avez tout à fait le droit de partir si vous trouvez… — Mais là je voudrais qu’aujourd’hui on ait une séance extrêmement… très, très technique, très technique, parce qu’il y a un problème là. Je voudrais presque faire ça à titre [18 :00] d’exercices presque pratiques. Il y a un problème qui, pour moi, a relancé les choses. Mais il faut que je prenne certaines précautions pour mille raisons que… que vous allez comprendre. Et c’est pour dire que ça va être très technique. Donc, si vous en avez assez, vous partez… Voilà.

Les choses ont été relancées parce que – je n’en ai pas encore parlé — mais euh… un historien de la philosophie, très grand, je crois, très… un des plus grands historiens de la philosophie, qui s’appelle Martial Gueroult, a écrit un commentaire, un commentaire très, très détaillé de l’Éthique, aux éditions Aubier.[1] Il y a trois gros tomes, dont deux seulement ont paru, et euh… parce que, entre-temps, Martial Gueroult est mort. [19 :00] Alors euh… bon, alors, Martial Gueroult a eu beaucoup d’importance dans l’histoire de la philosophie française, je vous l’ai déjà montré ça, puisqu’il a commencé par des études sur la philosophie allemande, sur les philosophes post-kantiens, qui ont tout à fait renouvelé — notamment sur Fichte — qui ont tout à fait renouvelé euh… l’état de, euh… des études de philosophie allemande en France. Et puis il s’est tourné vers les Cartésiens — vers Descartes, Malebranche — et enfin Spinoza, en appliquant toujours sa même méthode, qui était une méthode structuraliste, avant même que le structuralisme ait du succès, hein. Il a fait une philosophie euh…une histoire de la philosophie structurale très, très curieuse à partir d’une idée très simple : c’est que pour lui, les “systèmes philosophiques” étaient des structures à proprement parler. Mais encore une fois, c’était bien avant l’élan du structuralisme linguistique, qu’il a fait ça.

Or dans ce [20 :00] Spinoza, il attache beaucoup d’importance, forcément, à la conception spinoziste de l’individu. Et il essaie, dans un domaine que les commentateurs avaient jusque-là laissé assez de côté — ils ne s’étaient pas trop frottés à cette question de l’individu chez Spinoza — il essaie d’y mettre une rigueur, une rigueur très grande. Voilà exactement la situation ; je m’étends là-dessus pour que vous compreniez que je veux prendre des précautions ensuite.

Ben, je suis à la fois extrêmement admiratif, surtout pour l’œuvre de Gueroult qui me paraît une très grande chose. Mais voilà que, quant à ce point précis de ce qu’il dit sur l’individu chez Spinoza, il n’y a aucune proposition de son commentaire, pourtant très, très précis, qui me semble fausse. Et alors, quelque chose me trouble énormément, parce que le savoir, l’érudition de Gueroult, est une chose énorme, sa rigueur [21 :00] de commentaire me paraît immense, tout ça. Et à la limite, je ne comprends pas pourquoi j’ai cette impression que… qu’il manque. Ça ne va pas du tout. Je vous ai dit tout ça pour que… quand… Ce que j’appelle une séance technique, c’est vraiment dans les choses au niveau presque des lois physiques, invoquées par Gueroult, invoquées, peut-être, par Spinoza lui-même, ou celles que, moi, j’invoquerai, les modèles mathématiques et physique, qu’on invoque, si bien que, si je me permets de dire tout le temps pour plus de rapidité que Gueroult se trompe, vous corrigez vous-même. Ça veut dire que je ne m’y reconnais pas, je me faisais une autre idée, une tout autre idée. Tout ça… pour ceux qui seraient vraiment spinozistes, vous irez voir dans Gueroult. [Il n’] y a aucune raison de me croire sur parole. Vous irez dans les livres de Gueroult, et puis ce sera à vous de choisir, ou bien de trouver encore d’autres solutions. [22 :00] Donc… ça, c’était un avertissement de précaution pour dire ce que je peux.

Il y a un point sur lequel Gueroult a évidemment raison, je veux dire, pour vous donner un avant goût du genre de technique que je souhaite. La plupart des commentateurs ont toujours dit — la grande majorité, presque tous à ma connaissance — on dit qu’il n’y avait pas tellement de problème de la physique spinoziste, que c’était une physique tout à fait cartésienne. Tout le monde reconnaît que Leibniz a complètement mis en cause les principes de physique cartésienne, mais on accorde que Spinoza, il serait resté cartésien. Or c’est effarant ! Là alors Gueroult a absolument raison. Gueroult est quand même le premier — ça, ça veut dire quelque chose quant à l’état des études en histoire de la philosophie, quand on ne fait [23 :00] pas très attention — Gueroult est le premier à signaler un petit point très précis.

À savoir, il est bien connu que Descartes insiste énormément sur l’idée que quelque chose se conserve dans la nature, et notamment quelque chose concernant “le mouvement”. Donc considérant les problèmes de communication du mouvement dans le choc des corps — lorsque les corps se rencontrent — Descartes insiste — et ça va être la base, ou une des bases de sa physique — sur ceci : quelque chose se conserve dans la communication du mouvement. Et qu’est-ce que c’est qui se conserve dans la communication du mouvement ? Descartes nous dit : c’est “mv”, c’est-à-dire, ce qu’il appelle [24 :00] “quantité de mouvement”. Et la quantité de mouvement, c’est le produit de la masse par la vitesse — mv, petit m, petit v. Spinoza, dans sa théorie des corps, dans le livre II de l’Éthique, nous dit, “ce qui se conserve, c’est un certain rapport de mouvement et de repos, de vitesse et de lenteur”. [Référence non fournie par Deleuze : L. II, Prop. XIII, Ax.I, II, Lem. I] Un lecteur rapide se dira : c’est une autre manière d’exprimer la quantité de mouvement “mv”. En effet, “m”, la masse, pour Descartes même, implique une force de repos, “v” implique une force de mouvement.

Donc il semble que le passage, ça passe [25 :00] tout naturellement de l’idée “que se conserve la quantité de mouvement” dans le choc des corps, et qu’on passe tout naturellement à l’idée que : “se conserve le rapport du mouvement et du repos”. Je veux dire, la force de Gueroult, c’est quand même le premier à dire : mais enfin quoi, est-ce qu’on lit les textes ou pas ? Parce que c’est évident que ce n’est pas du tout la même chose. En quoi ce n’est pas du tout la même chose ? Si je développe la formule cartésienne, ce qui se conserve dans le choc des corps, c’est “mv”. Comment se développe la formule ? [26 :00] J’appelle : deux corps se rencontrent, a et b. — Il faut que vous me suiviez bien, ce serait au tableau, mais enfin j’ai la force de noter… — allez euh… J’ai mes deux corps. J’appelle “m”, la masse du premier corps ; “m prime”, la masse du second corps ; “petit v”, la vitesse du premier corps avant le choc ; “petit v prime”, la vitesse du second corps avant le choc. J’appelle “grand V”, la vitesse du premier corps après le choc ; “grand V prime”, la vitesse du second corps après le choc. D’accord ?

Je dirais la formule : “ce qui [27 :00] se conserve, c’est mv”, donne pour Descartes le développement suivant : mv + m prime v prime = mV + m prime V prime. Voyez, ce qui se conserve, entre l’avant choc et l’après choc, c’est “mv”. En d’autres termes, ce qui se conserve, c’est une somme. En effet, Descartes le dira explicitement, ce qui se conserve, c’est une somme. Or, là [il ne] faut pas être fort, quand on s’occupe de ces questions, [28 :00] pour constater que la critique de Leibniz contre Descartes, la manière dont Leibniz va miner, faire sauter la physique cartésienne, c’est sur ce point. Il est bien connu, il est célèbre que Leibniz va “substituer” — comme on dit dans les manuels — à la formule cartésienne une autre formule, à savoir, il va dire : “Non, ce qui se conserve, ce n’est pas “mv”, c’est “mv²”. Seulement quand on a dit ça, on n’a strictement rien dit, parce que l’opération intéressante, c’est la nécessité où est Leibniz d’élever “v” au carré. Ça veut dire quoi, considérer la puissance, élevée au carré [“v²”] ? C’est simple ! Ce n’est pas à cause de l’expérience, l’expérience ce n’est pas… ça ne marche pas comme ça, la physique. Ce n’est pas l’expérience [29 :00] qui le force à… on ne découvre pas v² dans l’expérience. Ça ne veut rien dire. C’est qu’en fait, il change la nature des quantités. Pour une raison simple, c’est que v², c’est toujours positif, déjà. En d’autres termes, on ne peut pas arriver à v² si on n’a pas substitué aux quantités dites “scalaires” des quantités dites “algébriques”. C’est donc un changement dans le registre, dans les coordonnées quantitatives elles-mêmes. C’est un changement de coordonnées. Bon, on en reste là.

Je dis juste… parce que c’est Spinoza qui m’intéresse. Spinoza nous dit : “ce qui se conserve, c’est un certain rapport de mouvement et de repos”. Bon, admirez-la parce que c’est quand même… Qu’est-ce que ça peut bien vouloir dire que Spinoza reste cartésien ? [C’est] idiot ! [30 :00] Encore une fois, Descartes – là, je ne transforme pas et à plus forte raison, là, je dis quelque chose ; Gueroult, c’est même le seul point qui paraisse absolument convaincant dans le commentaire de Gueroult — ça veut dire que si je développe tout quand je viens d’essayer de développer la formule cartésienne, en disant : la formule cartésienne, ce qui se conserve, c’est mv, ça revient à dire que la formule de conservation, c’est mv + m prime v prime = mV + m prime V prime, c’est donc une somme qui se conserve. Lorsque quelqu’un vient me dire, au contraire, « ce qui se conserve, c’est un rapport de mouvement et de repos », je peux le développer sous quelle forme ? Ce n’est pas difficile : [31 :00] mv / m prime v prime = mV / m prime V prime. Vous me suivez ? Si vous avez à recopier, je veux bien ; si ce n’est pas clair, je veux bien aller jusqu’au tableau. Tu veux les… attends ! [Pause]

[On entend Deleuze qui se déplace] “Ah … Ah lala !… Il n’y en a pas ! Zut ! Personne n’a un bout de craie ? Ça arrive qu’on ait un bout de craie dans sa poche ? [32 :00] [Propos inaudibles ; Deleuze s’est éloigné du micro. Apparemment, c’est Georges Comtesse qui écrit au tableau, et Deleuze lui donne des précisions pour inscrire les formules] Non, non, non, c’est avant le choc, Georges… Alors mv + m prime v prime = mV + m prime V prime, c’est-à-dire la quantité de mouvement avant le choc = la quantité de mouvement après le choc. Voyez, c’est une somme. La formule de Spinoza, ce qui se conserve, c’est un rapport, ça va être mv sur m prime v prime… [Pause] [33 :00] Voilà. Merci infiniment.

Eh ben, il n’y a pas besoin d’avoir fait beaucoup de mathématiques pour comprendre que vous ne passez pas d’une formule à l’autre. Ce n’est pas la même ! Ce n’est pas la même ! En d’autres termes, lorsque Descartes dit : “Ce qui se conserve, c’est la quantité de mouvement”, et lorsque Spinoza dit : “Ce qui se conserve, c’est un certain rapport de mouvement et de repos”, ben, c’est deux formules qui… Vous me direz : “Mais alors d’où vient l’équivoque ? Et l’équivoque, elle ne serait pas difficile à démontrer. C’est que dans certains cas — là je n’ai pas le temps de tout développer — dans certains cas singuliers, vous avez équivalence, c’est-à-dire, vous pouvez passer de l’une à l’autre pour certains cas, pour certains cas exceptionnels.

Bon, d’accord ! A la limite, admettons. Tout comme Leibniz reconnaissait lui-même [34 :00] que, dans certains cas exceptionnels, mv² = mv. D’accord, oui ! Et c’est comme ça que Leibniz expliquait ce qu’il appelait “les erreurs de Descartes”. Descartes avait pris des situations exceptionnelles. Ça l’avait empêché de voir v². En fait, ce n’est pas ça qui l’avait empêché de voir v², c’est que Descartes ne voulait pas tenir compte des quantités algébriques.

Alors, et Spinoza, c’est aussi nouveau ! Ce n’est sûrement pas un grand physicien que… euh… mais il n’est absolument pas cartésien ! Alors là, je crois que c’est un des points où Gueroult a évidemment raison de dire : non, on n’a jamais… on n’a même pas… on n’a rien compris à ce qu’il nous dit sur l’individu, parce qu’on n’a pas lu quoi ! On ne lit pas. C’est un bon exemple de ne pas lire. Vous me direz : “ce n’est pas grave ça, [35 :00] ça ne change rien quant à la compréhension du spinozisme en général.” Voir d’abord si ça ne change rien. Mais quand, en effet, quand on lit tellement vite, qu’on ne voit pas la différence entre quantité de mouvement et rapport de mouvement et de repos, ça peut être embêtant à la fin quand on fait souvent ça. Là, ça devient très, très fâcheux. Bon.

C’est pour dire que là, il y a vraiment des problèmes. Que cette histoire de rapport de mouvement et de repos pour définir l’individu, c’est déjà un coup de force par rapport à Descartes puisque Descartes, en effet, définissait l’individu par mv, à savoir, il le définissait par la masse. Or comprenez que là, au contraire, qu’est-ce qu’il va faire ? C’est très important pour nous puisque la masse, une masse, même abstraitement, c’est une certaine détermination [36 :00] substantielle quand vous définissez un corps par une masse. Qu’est-ce que c’est qu’une masse ? Une masse, au 17e siècle, c’est très précis — chez Descartes c’est très précis — c’est la permanence d’un volume sous des figures variées, c’est-à-dire la possibilité que le volume reste constant des figures variantes. Donc, toute la conception cartésienne des corps, elle repose sur la masse. Et dans la formule mv, c’est précisément la masse qui est le facteur fondamental, à savoir le mouvement, lui, il rendra compte de quoi ? De la variété des figures. Mais la masse, [37 :00] elle est censée rendre compte de l’identité du volume à travers la variation des figures. En d’autres termes, c’est la conception substantielle du corps, et les corps sont des substances, substance corporelle définie par la permanence de la masse.

Et c’est pour ça que — alors on avance un peu — que réflexion faite, Spinoza ne pouvait pas accepter une pareille conception, de l’individu massif. Il ne pouvait pas, précisément parce que, pour lui, les corps ne sont pas des substances. Alors, c’était comme forcé. Il allait être donc forcé, lui, de définir les individus par des rapports, et non pas comme substance. Il va définir [38 :00] un individu dans l’ordre du rapport ou de la relation, et pas dans l’ordre de la substance. Donc, quand il nous dit : “ce qui définit un individu, c’est un certain rapport de mouvement et de repos”, il ne faut pas en rester… Si vous restez à la surface des choses, vous vous direz dans les deux cas, chez Descartes comme chez Spinoza, [que] c’est toujours du mv. Mais ça ne veut rien dire, “c’est toujours du mv”. Bien sûr, c’est toujours du mv, masse-vitesse. Mais ce n’est jamais ça qui définit l’individu. Ce qui compte, c’est le statut de m et le statut de v. Or je peux dire que chez Descartes, c’est un statut additif, pas du tout parce que m+v, ce qui n’aurait aucun sens, mais, bien plus, parce que mv + m prime v prime, [39 :00] c’est une somme. Les masses entrent dans des rapports additifs.

Chez Spinoza, les individus, c’est des rapports, ce n’est pas des substances. Dès lors, il n’y aura pas addition ! Il n’y aura pas sommation ! Il y aura composition de rapports, ou décomposition de rapports. Vous aurez mv sur… et mv n’existe pas indépendamment. Mv, c’est le terme, c’est un “terme” d’un rapport. Un terme d’un rapport, il n’existe pas indépendamment du rapport. En d’autres termes, je peux dire que déjà chez Leibnitz — ou plutôt, autant que chez Leibniz, chez Spinoza autant que chez Leibniz – [40 :00] il y a évidemment un abandon des quantités scalaires. Simplement, ça ne va pas être de la même manière, chez Spinoza et chez Leibniz. Il y a autant de critiques de Descartes chez Spinoza que chez Leibniz, d’où une histoire très bizarre. Parce que qu’est-ce que c’est cette histoire de la visite un peu mystérieuse que Leibniz a faite à Spinoza ?

Voilà que Spinoza, qui sortait très peu, n’est-ce pas, reçoit la visite de Leibniz. On ne sait pas très bien ce qu’ils se sont dit. Leur entretien dura — après tout, c’est aussi important que la rencontre entre deux hommes politiques, c’est même plus important pour la pensée — Qu’est-ce que Leibniz a dit à Spinoza ? Bon, je dis ça parce que vraisemblablement, j’imagine en face de Spinoza… il ne devait pas parler énormément. On venait le voir, il devait attendre, prudent comme il était. Il disait toujours : ” [Il ne] faut pas que je me mette dans cette sale situation !” Leibniz, [41 :00] il n’était pas tellement rassurant avec sa manie d’écrire partout, alors… [Rires]

Imaginons, on peut imaginer : là, il entre dans la boutique de Spinoza, il s’assied. Spinoza, très poli, très poli Spinoza, “qu’est-ce qu’il me veut, celui-là ?”. Et Leibniz raconte sa visite en disant…, il a donné plusieurs versions, il était menteur comme tout, Leibniz, hypocrite, quoi, [Rires] grand philosophe mais très hypocrite, mais toujours dans une magouille, il était dans des magouilles. Alors, et puis ça variait : quand Spinoza… quand il n’y avait pas trop de réactions politiques, Leibniz disait :”ah, c’est bien Spinoza !”. Et quand ça allait mal pour Spinoza, Leibniz disait : “moi, je l’ai vu ? Vous dites que je l’ai vu ? Oh, peut-être, je l’ai croisé, comme ça. [Je ne le] connais pas. Vous savez, il est athée ce type-là !”. Leibniz ce n’était pas bon [42 :00] de l’avoir comme ami. Les philosophes, c’est comme tout le monde !

Alors, qu’est-ce qu’ils ont pu se dire ? Dans une des versions de Leibniz, Leibnitz dit : Eh ben, je lui ai montré que les lois de Descartes, concernant le mouvement, étaient fausses. Oh, il y a quelque chose de sûr, c’est qu’en effet, Leibniz est un beaucoup plus grand physicien que Spinoza. Il y a quelque chose de sûr aussi, c’est que, avant la visite de Leibniz, il n’y a aucun texte de Spinoza qui récuse en bloc les lois cartésiennes. Il est sûr aussi que, après la visite de Leibniz, dans une lettre, Spinoza dit : “Toutes les lois de Descartes sont fausses.” Il ne l’avait jamais dit avant. Il ne l’avait jamais dit avant, en tout cas, avec cette violence. [43 :00] Avant, il a pris à parti telle ou telle loi, disant : “Ça ne marche pas, il faut la corriger”. Il n’a jamais dit avant, « elles sont toutes fausses ». Donc il y a un problème.

Moi, je penserais plutôt que… oui, on pourrait prendre une solution tempérée parce que, étant beaucoup moins spécialiste de certaines questions de physique, notamment concernant le mouvement, Spinoza quand même a été très frappé par l’attaque en règle contre le cartésianisme, l’attaque en règle de Leibniz, et que lui, ça lui a donné alors une raison de revenir à sa conception du rapport. [Pause] Sur le rapport, en quoi il y a quelque chose de commun ? Les deux, [44 :00] ça implique la vitesse multipliée par elle-même. Ça passe aussi par des rapports, hein. Pour obtenir la mise au carré, il vous faut des rapports. C’est le rapport qui vous ouvre à la multiplication. Donc Spinoza finalement est beaucoup plus près qu’il ne le sait lui-même, d’une physique du type Leibniz.

Bon, supposons tout ça. Donc, c’est à partir de là que je voudrais vraiment commenter, en commençant par le plus simple. Ben, alors, si c’est vrai, si c’est quand même des choses relativement importantes quant au statut des corps qui se passent à ce niveau, s’il ne faut pas dire des bêtises, ni aller très vite, s’il faut aller au contraire très lentement, même si ça vous embête sur ce point. Eh ben, il faut comme tout reprendre à zéro parce qu’on fera peut-être des découvertes aussi importantes, relativement importantes que… pour la différence Descartes euh… [45 :00] Encore une fois, cela revient à des découvertes simples : “un rapport”, ce n’est pas la même chose que “somme”. Et il faut y penser quand on lit un texte.

Maintenant il faut repartir à zéro : qu’est-ce c’est, qu’est-ce que c’est un corps simple ? Un corps a un très grand nombre de corps, euh, de parties. Un corps a un très grand nombre de parties qu’on appelle les corps simples. Ces corps simples appartiennent au corps composé, sous un certain rapport. Ça n’est absolument pas cartésien. Bon, on peut s’en tirer, et à partir de là, je ne peux plus suivre, vraiment, je ne peux plus suivre la moindre, le commentaire de Gueroult. Mais encore une fois, ça me paraît très curieux. Je veux dire, c’est presque à vous de [le lire]. C’est ça que je voudrais vous raconter aujourd’hui. Pourquoi… ? Eh ben, ces corps simples, dans le livre II, Spinoza les définit, [46 :00] et il dit ceci : “Ils se distinguent par le mouvement et le repos, par la vitesse et la lenteur” [Référence non fournie par Deleuze : L. II, Prop. XIII, Ax. I, II, Lem. I]. “Ces corps très simples se distinguent par le mouvement et par le repos, par la vitesse et la lenteur”. [Pause] Sous-entendu, “et même ils ne se distinguent que par là.” Les corps les plus simples n’ont entre eux… [Interruption de l’enregistrement] [46 :43]

Partie 2

… [les corps] les plus simples. Spinoza nous dit plus, mais ça ne change rien. La distinction des [47 :00] corps simples entre eux, c’est : vitesse et lenteur, mouvement et repos, un point, c’est tout. C’est même par là qu’ils sont très simples. Car les corps composés, eux, vous les reconnaissez à quoi ? C’est qu’ils se distinguent par et sous d’autres aspects. Quels sont ces autres aspects ? A commencer par les plus simples aspects : ils se distinguent par la figure et par la grandeur. Les corps les plus simples ne se distinguent que par mouvement et repos, lenteur et vitesse. C’est là-dessus que je voudrais qu’on réfléchisse. Car je prends – là, il faudrait peut-être faire des cas ; je voudrais vous donner tous les éléments –, je prends le commentaire de Gueroult.

Gueroult nous dit, dans [48 :00] le tome II de son Spinoza, qui donc est un commentaire à la lettre de l’Éthique, il nous dit : « sans doute, ils ne se distinguent que par le mouvement et le repos » — là, il est d’accord puisque c’est la lettre du texte –, « ça n’empêche pas qu’ils ont des figures et des grandeurs différentes ». [Pause] Bon. Pourquoi est-ce qu’il dit ça ? Parce que Spinoza ne le dit pas ; il ne dit pas le contraire. Gueroult veut dire : attention, ces corps très simples ne se distinguent que par le mouvement et le repos, mais ça ne veut pas dire qu’ils aient même figure et même grandeur. Cela veut dire, tout au plus, que leurs différences de figure [49 :00] et de grandeur ne servent pas, ne sont pas opératoires au niveau des corps très simples. Elles ne prendront de l’importance que par rapport aux corps composés. Mais ils ne peuvent pas, dit Gueroult, ils ne peuvent pas avoir même figure et même grandeur.

Et pourquoi, selon Gueroult, ils ne peuvent pas avoir même figure et même grandeur ? Là l’argument de Gueroult est très étrange, parce qu’il nous dit — je vous donne le raisonnement de Gueroult avant de vous dire tout ce qu’il trouve déjà là-dedans –, il nous dit en effet, s’ils n’avaient pas même figure et même… s’ils n’avaient… — non, pardon, euh — s’ils n’avaient pas des figures et des grandeurs différentes, [50 :00] nécessairement ils auraient alors même grandeur et même figure. S’ils n’avaient pas des figures et des grandeurs distinctes, ils auraient donc même figure et même grandeur, dit Gueroult. Vous comprenez ? Tout de suite, quelque chose me saute dans la tête, je me dis : mais pourquoi il dit ça ? Est-ce qu’il n’y a pas une troisième possibilité ? Si des corps ne se distinguent pas par la figure et par la grandeur, est-ce que ça veut dire qu’ils ont même figure et même grandeur dès lors, ou est-ce que ça veut dire qu’ils n’ont ni l’un ni l’autre, ni figure ni grandeur ? Pourquoi éliminer cette possibilité ? Pourquoi faire comme si cette possibilité était impossible ? Pour une raison évidente ! On me dira : [51 :00] un corps qui n’a ni figure ni grandeur, ce n’est pas un corps. Je n’en sais rien !

Attendons… Je dis juste : il y a bien une troisième possibilité à côté de laquelle Gueroult passe, il me semble, complètement… Il pense, il se donne tout fait – là, il préjuge de quelque chose chez Spinoza –, il considère que tout corps, quel qu’il soit, simple ou composé, a nécessairement une figure et une grandeur, et à ce moment-là, en effet, si un corps, quel qu’il soit, même un corps simple, a figure et grandeur, eh bien, à ce moment-là, s’il n’a pas des figures et des grandeurs distinctes de l’autre, c’est que tous ont même grandeur et même figure. Je dis : non, ça ne marche pas, parce que tant qu’on ne m’aura pas montré qu’il est contradictoire qu’un corps soit sans figure et sans grandeur, il y a une autre possibilité, [52 :00] à savoir : que les corps simples, et seuls les corps simples, n’aient ni grandeur ni figure. A ce moment-là, il faudrait prendre à la lettre l’idée Spinoziste « les corps simples ne se distinguent que par le mouvement et le repos, la vitesse et la lenteur », ils ne se distinguent que par là pour une raison simple, c’est qu’ils n’ont ni grandeur ni figure. Mais difficulté pour mon côté, si vous voulez, à savoir : qu’est-ce que cela peut bien être des corps sans grandeur ni figure ?

Mais enfin, Gueroult j’ai l’air de le traiter à mon tour très mal, c’est-à-dire comme s’il n’avait pas lu les textes, car pourquoi est-ce que Gueroult nous dit : « bien que les corps les plus simples ne se distinguent pas par là, ils ont quand même des grandeurs et des figures distinctes » ? Eh bien, il nous le dit en invoquant un texte [53 :00] de Spinoza. Et vous allez voir que, au niveau-là, je détaille ça parce que c’est… quitte à prendre du temps, mais ça ne fait rien, c’est… Voilà le texte : « Définition »: — je lis lentement… – « Quand quelques corps de la même grandeur ou de grandeurs différentes… Lorsque quelques corps de la même grandeur ou de grandeurs différentes subissent de la part des autres corps une pression qui les maintient appliqués les uns sur les autres, » etc., etc.  « Quand quelques corps de la même grandeur ou de grandeurs différentes subissent de la part des autres corps une pression qui les maintient appliqués les uns sur les autres ». Axiome suivant : « Plus sont grandes ou petites [54 :00] les surfaces, les superficies suivant lesquelles les parties d’un individu ou d’un corps composé sont appliquées les unes sur les autres… » Voyez ce que nous dit Spinoza, je retiens… : les parties d’un corps composé s’appliquent les unes sur les autres d’après des surfaces plus ou moins grandes. Or les parties d’un corps composé, ce sont les corps simples. Donc les corps simples s’appliquent les uns sur les autres d’après des surfaces plus ou moins grandes. [55 :00] Je me dis, ça semble, en effet, donner raison à Descartes, pardon, à Gueroult. Voyez, les parties d’un corps composé… – il n’a rien dit, il a traité d’abord les corps simples, il a dit « ils ne se distinguent que par vitesse et lenteur, mouvement et repos. » Bon.

Ensuite, il étudie les corps composés, et il nous dit « les parties des corps composés » –c’est-à-dire les corps simples — « s’appliquent les unes aux autres par des surfaces plus ou moins grandes ou petites », « Plus sont grandes ou petites les superficies suivant lesquelles les parties d’un individu ou d’un corps composé sont appliquées… » Alors, comment ? Au point qu’il y a un commentateur [56 :00], un autre commentateur que Gueroult, qui dit qu’il y a une petite… — c’est un Anglais, il emploie alors un mot, c’est très joli : une petite inconséquence, une petite inconséquence de Spinoza. Gueroult répond : pas du tout, inconséquence, que sans doute les corps simples ne se distinguent que par mouvement et repos, ils n’en ont pas moins des grandeurs et des figures distinctes, simplement ces grandeurs et ces figures distinctes ne vont développer leur effet qu’au niveau des corps composés. Vous comprenez ? Voilà, c’est bien curieux, ça… Alors on a le choix, comment s’en tirer ? Ou bien dire : non, il faut maintenir la lettre du texte, les corps simples ne se distinguent que par mouvement et repos, c’est-à-dire ils n’ont [57 :00] ni figure, ni grandeur ; et il y aurait une petite inconséquence, comme dit l’autre… Ou bien il faut dire comme Gueroult « Ah ben oui, les corps simples ont bien une figure et une grandeur distinctes, mais… »

Eh bien, c’est très bizarre, ça. C’est d’autant plus bizarre que… Bon, enfin, alors moi, il me semble que c’est ça qu’il faut chercher, quoi. Qu’est-ce que c’est, ça ? Ce statut-là… Les corps simples… Ma question, c’est exactement ceci : moi je parie qu’il faut prendre à la lettre, mais que, en plus, il n’y a pas d’inconséquence. C’est-à-dire, ce que je voudrais montrer, c’est comment à la fois il faut maintenir que [58 :00] les corps les plus simples n’ont ni grandeur, ni figure, et que pourtant, ils s’appliquent les uns sur les autres, ou les uns aux autres, par des surfaces plus ou moins grandes. Ce qui veut dire que ce n’est évidemment pas leurs surfaces à eux, ils n’en ont pas. Alors ce serait quoi ?

Eh bien, je reviens alors presque au point de départ, lorsque Spinoza nous dit : un corps a un très grand nombre de parties, un corps composé a un très grand nombre de parties, « plurime partes », qu’est-ce que veut dire « un très grand nombre » ? Je vous dis tout de suite mon idée parce qu’elle est enfantine en un sens, mais il me semble qu’elle change tout. Pour moi, [59 :00] si on prend à la lettre « plurime partes », « un très grand nombre de parties », ça veut dire déjà qu’il y a une formule qui est un non-sens. Le non-sens, c’est chaque corps simple, chaque corps simple, je veux dire : « un très grand nombre de parties », ça veut dire, en fait, que tout nombre assignable est dépassé. C’est ça le sens de « plurime », « plurime partes ». Un très grand nombre veut dire en fait : « qui dépasse tout nombre assignable ». De quel droit je dis ça, sans forcer ? Parce que c’est courant au dix-septième siècle. A savoir, le dix-septième siècle est plein d’une réflexion sur quoi ? Les grandeurs [60 :00] qui ne peuvent pas s’exprimer par des nombres, à savoir des grandeurs géométriques, des grandeurs géométriques qui ne peuvent pas s’exprimer par des nombres.

Bon, qu’est-ce que ça veut dire, ça ? Je dis, en d’autres termes, je dis les corps simples, ils vont par infinités. C’est tout simple, ce que je veux dire vraiment, c’est une chose très, très simple. Les corps simples vont par infinités. Mais si c’est vrai, réfléchissez à la formule… Il me semble que ça va nous sortir d’affaire. Les corps simples vont… – [Deleuze parle un étudiant] tu diras tout à l’heure, parce que si je perds mon… –, les corps simples vont par infinités, ça veut dire : vous ne pouvez pas parler de « un corps simple », sauf par abstraction, une abstraction [61 :00] dénuée de toute raison. La formule « un corps simple » est dénuée de tout sens. Or c’est en supposant la légitimité de la formule « un corps simple » que Gueroult conclut : si l’on peut parler d’un corps simple, il faut bien que le corps simple ait figure et grandeur. « Les corps simples vont par infinités » signifie suffisamment qu’on ne peut pas parler d’un corps simple. On ne peut jamais parler que d’une infinité de corps simples. Si bien que, qu’est-ce qui a figure et grandeur ? Ce n’est pas tel corps simple, c’est telle infinité de corps simples. Oui ça, oui, d’accord. Telle infinité de corps simples a une figure et une grandeur, attention : plus ou moins [62 :00] grande… Qu’est-ce que ça veut dire ? Une infinité de corps simples a une figure plus ou moins grande, ça veut dire quoi ? Mais alors, plus ou moins grande, comment ? Si c’est toujours une infinité de corps simples… Mais l’infini, c’est plus grand que toute quantité, donc comment est-ce que… [Deleuze ne finit pas]

Eh bien voilà, c’est tout simple, du coup, on est en train de, oui, de faire un progrès. D’accord, une infinité, c’est toujours plus grand que tout nombre, mais, dit Spinoza, et c’est sans doute le point de géométrie sur lequel il tient le plus, c’est la géométrie qui nous apprend qu’il y a des infinis doubles, [63 :00] triples, etc., plein d’autres, d’autres. En d’autres termes, c’est la géométrie qui nous impose l’idée de rapport, de rapport quantitatif entre infinis, au point qu’on puisse parler d’un infini double d’un autre, et d’un infini moitié d’un autre. Tout infini est irréductible aux nombres, ça, Spinoza le maintiendra toujours, c’est un géométriste. Ça veut dire quoi ? Que pour lui, la réalité des mathématiques, elle est dans la géométrie, que l’arithmétique et l’algèbre ne sont que des auxiliaires, que des moyens d’expression, et encore c’est des moyens d’expression extrêmement équivoques. [64 :00]

Il y a toujours eu dans l’histoire des mathématiques, il y a eu toujours un courant géométriste, contre les courants arithmétistes, contre les courants algébristes. Bien plus, toute l’histoire des mathématiques, c’est comme la philosophie : les mathématiques, c’est très, très compliqué cette histoire. Il y a comme à l’origine des mathématiques, si loin qu’on puisse remonter, si on fait, quand on fait l’histoire des mathématiques, on voit très bien deux courants. On voit un courant qu’on appelle, en gros, le courant grec, et le courant grec, ça a toujours été, si loin qu’ils aillent pourtant dans le développement de l’étude du nombre — et vous allez voir pourquoi ils vont très loin — si loin que les Grecs soient allés dans les développements du nombre, leur conception des mathématiques est fondamentalement géométriste, à savoir : le nombre est subordonné. [65 :00] Le nombre est subordonné à la grandeur, et la grandeur est géométrique. Et toutes les mathématiques grecques sont fondées là-dessus.

Loin d’étouffer le nombre, c’est très important, ça oriente le nombre vers quoi ? La subordination du nombre à la grandeur géométrique, c’est quoi ? Ça ouvre aux mathématiques une espèce d’horizon fantastique, qui est quoi ? Que les nombres, ça ne vaut pas en soi, ça vaut par rapport à tel ou tel domaine de grandeur. Finalement, les domaines de grandeur ont besoin, ils s’expriment par des systèmes de nombres, mais il n’y a pas d’indépendance du système de nombre. Ce n’est pas le nombre qui détermine la grandeur, c’est la grandeur qui détermine le nombre. En d’autres termes, les nombres sont toujours des nombres locaux. Les nombres, les systèmes de nombres sont toujours affectés à tel ou tel type de grandeur. [66 :00] Primat de la grandeur sur le nombre. Si vous voulez comprendre quelque chose, par exemple, dans les problèmes de l’infini dans les mathématiques, il faut partir de choses très, très simples comme ça. Le primat de la grandeur sur le nombre, dès lors le caractère local du nombre — j’appelle caractère local la dépendance du nombre par rapport à tel domaine de grandeur — est fondamental.

Et en effet, réfléchissez à ce qu’on peut dire, par exemple, sur les nombres à cet égard — j’essaie de gonfler un peu cette thèse. Les nombres… Comment est-ce qu’ils se développent, les nombres ? C’est très intéressant quand vous regardez l’histoire des nombres, et la multiplication, la prolifération des systèmes de nombres. Lorsque vous regardez ça — oh, pas de près, hein… –, vous voyez quoi ? Que le nombre s’est développé toujours [67 :00] pour répondre à des problèmes que lui posaient — enfin pas toujours, je supprime mon toujours — le nombre s’est souvent développé pour répondre à des problèmes que lui posaient des grandeurs hétérogènes, aux nombres. Par exemple, comment est-ce qu’on est arrivé à former le domaine des nombres fractionnels, qui est un domaine de nombre ? Comment est-ce qu’on est arrivé à développer un autre système de nombres, le système des irrationnels, des nombres irrationnels ? Pas compliqué… Chaque fois, on pourrait dire, ça ce serait la loi géométriste du nombre : chaque fois que la géométrie nous présentait, nous imposait une grandeur, [68 :00] qui ne pouvait pas être exprimée dans le système précédent du nombre.

Et les derniers nombres extraordinairement complexes des mathématiques qui, à la fin du 19eme et au début du 20eme siècle se forment, c’est quoi ? C’est lorsque les mathématiques se heurtent à quelque chose de très bizarre qui appartient à la ligne, à savoir, ce qu’ils appelleront, ce que les mathématiciens appelleront la puissance du continu. Si vous voulez, je veux dire une chose très simple pour que vous compreniez alors : une fraction, c’est quoi ? Ce n’est pas un nombre, une fraction, c’est absurde, ce n’est pas un nombre… Vous écrivez 1/3, une fraction, ce n’est pas un nombre, par définition. Ça deviendra un nombre lorsque vous aurez les fractions. [69 :00] Vous vous mettez devant votre série, là, de nombres entiers, naturels, tout ce que vous voulez, et vous voyez un mathématicien qui écrit 1/3… C’est une ineptie, c’est un non-sens 1/3. 1/3, ce n’est pas un nombre, pourquoi ? Ben, écrivez, dans votre tête : 1/3 = x. Il n’y a aucun nombre, il n’y a pas de x qui multiplié par 3 donne 1. 1/3 serait un nombre si vous pouviez écrire 1/3 = x. Vous ne pouvez pas écrire 1/3 = x puisqu’il n’y a pas de x, il n’y a pas de nombre qui multiplié par 3 égale 1. Vous me suivez ? Donc, une fraction, ce n’est évidemment pas un nombre, c’est un complexe [70 :00] de nombres que vous décidez arbitrairement de traiter comme un nombre, c’est-à-dire auquel vous décidez arbitrairement d’appliquer les lois — d’associativité, etc. etc. — du nombre. Ce n’est pas un nombre.

Un nombre irrationnel, ce n’est pas un nombre non plus. Donc, je dirais, tous les développements du nombre, et le nombre, ne se seraient jamais développés sinon, je dirais — d’un certain point de vue –, je dirais que les nombres et les systèmes de nombres ne sont jamais que des traitements symboliques, des manières symboliques de traiter, de traiter quoi ? De traiter des grandeurs irréductibles aux nombres. Alors là, vous fabriquez des complexes de nombres, mais vous voyez que les complexes de nombres — ou les nombres complexes, [71 :00] ça revient au même –, les complexes de nombres sont éminemment relatifs aux types de grandeurs irréductibles aux nombres que la géométrie vous impose. Donc le primat de la grandeur sur le nombre est un élément fondamental. Au 20ème siècle, un grand logicien mathématicien qui s’appelait [Louis] Couturat, dans un livre qui s’appelait De l’infini mathématique (1896), développait encore cette thèse, sur laquelle il allait revenir quelques années plus tard, car c’est très curieux l’histoire de Couturat. Et Couturat, dans ses livres De l’infini mathématique, fondait toute sa thèse sur précisément le primat de la grandeur par rapport au nombre. Et, dès lors, l’infini nous paraissait [72 :00] la réalité géométrique elle-même, et le nombre est toujours subordonné à la découverte non seulement de la grandeur, mais de l’infini dans la grandeur. Bon. Mais il y a une autre tradition mathématique.

Georges Comtesse : Dans la mathématique grecque, sur le point que tu soulèves, peut-être dans la mathématique grecque, il y a eu ce problème de la subordination du nombre à la grandeur géométrique qui provoque des crises, par exemple, l’impossibilité d’une mesure exacte de la diagonale d’un carré parfait [Deleuze : oui], la crise provoquée par Philolaos [de Crotone] dans l’école de Pythagore, par exemple. Donc là, au niveau de la mathématique, des mathématiciens, il y a effectivement cette subordination du nombre à la grandeur [73 :00] géométrique et les crises que cela peut engendrer, les mutations que cela peut engendrer à partir de là. Seulement, dans la philosophie de Platon, par exemple, il y a un renversement de cette position du nombre qui est subordonné à la grandeur géométrique, parce que Platon, lorsqu’il dit que… finalement lorsqu’il y a crise, il faut nécessairement qu’il y ait carré, et pour qu’il y ait carré, il faut nécessairement qu’il y ait des droites, et pour qu’il y ait des droites, il faut des points, et comment définir un point sauf par l’intersection de deux droites, mais comment dire qu’un point, c’est l’intersection de deux droites si on n’a pas déjà le nombre 1 ? Donc il faut que l’arithmétique soit première par rapport à toute grandeur géométrique. Ça c’est un problème de Platon, et Platon [74 :00] en ajoute un autre concernant le langage des mathématiciens : pourquoi dites-vous 1, finalement ? Pourquoi 1, avant de dire une, un point ; ça va encore plus loin. Donc c’est là qu’il introduit le problème de l’hypothétique, et de l’anhypothétique… [Deleuze : Je vais te dire…] Ensuite, s’il est vrai que dans le discours mathématique grec, il y a cette subordination, et encore il faudrait poser la question de la curieuse théorie des nombres chez Pythagore, c’est une théorie très mystérieuse… Alors s’il y a, dans les mathématiques grecques en tout cas, une subordination de l’arithmétique à la grandeur géométrique, peut-être qu’il y a une aporie de la mathématique grecque dans la philosophie de Platon au niveau justement, non seulement du renversement de cette [75 :00] perspective, mais l’aporie même de la pensée qu’il y aurait un premier nombre d’une série, qui sera dite ensuite naturelle, et qui serait un.

Deleuze : Ouais… C’est lié. [Deleuze parle à un autre étudiant] Qu’est-ce que tu as à dire ? Alors dis…

Un autre auditeur : [Inaudible]

Deleuze : Oui, ça, tout à fait, que Spinoza soit profondément Euclidien, et que on puisse définir Euclide — alors là, Comtesse serait d’accord lui-même, compte tenu de ce qu’il vient de dire—, qu’on puisse définir Euclide par une subordination, non pas en général du nombre à la grandeur encore une fois, mais des systèmes de nombres – car [76 :00] il n’y a jamais que des systèmes de nombres de ce point de vue, des systèmes de nombres — au domaines de grandeurs, ça, Spinoza a gardé ce géométrisme absolu. Alors, pour répondre un peu à ces deux remarques, je dirais que, oui… qu’est-ce qui se passe ? En effet lorsque Comtesse dit « attention, mais Platon… » … Mais Platon, vous comprenez…

Interruption du deuxième auditeur : [Inaudible] [77 :00]

Deleuze : Ouais, ouais… j’ai peut-être autre chose encore… Mais, en effet ce que tu as dit d’important, il me semble, c’est que ça se réfère à un point d’Euclide, pas à Euclide en général, mais ce que tous les mathématiciens grecs ont considéré d’ailleurs comme étant le sommet d’Euclide, à savoir la théorie des rapports et des proportions. Et c’est [78 :00] au niveau d’une théorie géométrique des proportions et des rapports que s’affirme cette subordination du nombre. Là, il y aurait un point alors complètement spinoziste.

Quant à la question, alors, de l’infini, on la met… Il faudrait voir, d’abord, ce statut très particulier de la théorie des rapports chez Euclide. Ce que je veux dire, là, pour le moment, c’est juste quant à ce que vient de dire Comtesse : « attention, Platon, c’est beaucoup plus compliqué dans l’histoire grecque ». C’est beaucoup plus compliqué, pourquoi ? Parce que, autant qu’on comprenne, je dirais… Ça, c’est un pôle de la géométrie, et ça a été vraiment la grande tradition de la géométrie grecque, et je crois que… ils ne démordront pas de cette tradition, les Grecs.

Mais, il y a une autre tradition. Pour les communications, non seulement à courtes, mais à très longues distances, on n’a pas [79 :00] attendu maintenant pour qu’il y ait ces communications. Il y a une tradition que l’on appelle, enfin que les historiens des mathématiques appellent, à l’autre pôle de la tradition grecque, la tradition hindou-arabe. Or cette tradition hindou-arabe, elle est non moins fondamentale. Et elle consiste, elle, et c’est ça son coup de force après sa création, pas un coup de force, mais c’est comme ça que chez eux… Tout se passe comme si, si vous voulez, il y avait cette espèce de différenciation : eh bien, oui, en Grèce, ça passe par là, en Inde, ça passe par là ! C’est au contraire l’indépendance, et le caractère législateur du nombre par rapport à la grandeur. Et l’acte de naissance de l’algèbre, qui précisément [80 :00] est comme l’expression de cette conception du nombre indépendant de la grandeur, de telle manière que c’est lui qui va déterminer et régler, et commander au rapport de grandeur, expliquera pratiquement par exemple le rôle de la pensée arabe dans la formation de l’algèbre, et là, vous avez tout un courant arithmético-algébriste.

Or c’est très vite que, en Grèce même, les courants dits « orientaux », les courants dits « indiens », « hindous », et le courant géométrique grec s’affrontent. Et précisément, et c’est par là que les remarques de Comtesse sont très justes. Le Pythagorisme, avec son caractère pour nous extrêmement mystérieux [81 :00] — parce que c’est assez compliqué, et que les textes nous manquent –, le Pythagorisme semble bien être l’espèce de première rencontre fondamentale entre une conception indienne et une conception grecque des mathématiques. Là alors se joue, se joue très, très vivement une histoire qui quand même, je dirais, moi… je ne sais pas, là, ce que tu en penses, toi, Comtesse, mais moi, je serais quand même plus prudent que toi, parce que ce que les Pythagoriciens appellent le nombre, même quand on le ramène à un système de points, ils l’appellent le nombre, et quel est le rapport exact entre le nombre et la figure, c’est quelque chose de très… Ou le nombre et la grandeur chez Pythagore, ce serait, ce serait, il me semble… alors là…certainement en tout cas, ça, [82 :00] ça me dépasse de loin.

Je remarque juste que lorsque, dans la dernière, dans ce qu’on appelle la dernière philosophie de Platon, nous sommes sûrs que, à la fin de sa vie, Platon a développé une théorie que l’on connaît sous le nom, en gros, de « théorie des nombres idéaux ». Les nombres idéaux, chez Platon, qu’est-ce que c’est ? On n’a aucun texte direct. On sait que ça a pris dans la dialectique platonicienne une importance de plus en plus grande. On n’a aucun texte direct sur ces nombres idéaux, aucun texte de Platon. On connaît cette théorie dernière de Platon par Aristote. Or ces nombres idéaux sont pour Platon, d’après le témoignage d’Aristote, comme complémentaires — alors dans quel ordre ? dans quel sens ? qu’est-ce qui est… ? — de figures idéales. [83 :00] C’est en quelque sorte des nombres méta-arithmétiques, au-delà de l’arithmétique, qui n’ont pas la même loi d’engendrement que les nombres arithmétiques, et en corrélation avec des figures méta-géométriques, c’est-à-dire les figures qui n’ont pas, qui ne sont pas justifiables ou qui ne renvoient pas à la possibilité d’un tracé dans l’espace.

Alors à ce niveau, là, où vraiment, je suppose, les deux grands courants, le courant algébriste et le courant géométriste, se rencontrent, quelle est la part des nombres idéaux, des figures idéales, etc. ? À quel point ici précisément même on est sorti, à ce niveau là, on est sorti des mathématiques à proprement parler, puisque Platon en fait l’objet de sa dialectique, de sa dialectique finale, de sa dialectique dans sa dernière philosophie ? [84 :00] Or, lui-même distingue complètement le mouvement mathématique et le mouvement dialectique, donc ces nombres supérieurs, qui viennent de la tradition indienne, n’arrivent pas à être définis simplement arithmétiquement ; ils sont définis dialectiquement, indépendamment d’une genèse arithmétique, mais par une espèce de mode de constitution dialectique.

Donc je précise là juste quant à l’intervention de Comtesse que de toute évidence, il me semble, c’est vrai, c’est vrai qu’au niveau de la Grèce, c’est beaucoup plus compliqué qu’un simple courant géométriste, mais que le courant géométriste et le courant algébriste venu de l’Inde se rencontrent à un niveau qui finalement, dépasse la géométrie, mais dépasse également l’arithmétique. Je crois que ça va, en effet, être un moment très, très fondamental dans l’histoire des… [Deleuze ne termine pas]

Mais alors, revenons plus à l’histoire [85 :00] de la géométrie euclidienne. Pour le moment, j’en suis seulement à … C’est que Spinoza pour son compte, là, je crois, il n’y a pas de problème chez lui. Il ne retient, pour des questions que — allez savoir pourquoi au juste — mais il se trouve que vraiment, il est pur géométriste.

Je parlais de Couturat, c’est bizarre, vous voyez que même ces changements, c’est des changements qu’il faudrait évaluer… Donc, un logicien mathématicien comme Couturat, dans mon souvenir De l’infini mathématique, c’est un livre qui paraît vers 1905 [1896], il écrit après Les Principes des mathématiques, vers 1900 [1905], je ne sais pas quoi, 11 ou 12, je suppose, et là, il a complètement changé. Sous l’influence d’un… finalement d’un arithméticien, logicien, algébriste, à savoir sous l’influence [86 :00] de [Bertrand] Russel, il dénonce son livre sur l’infini mathématique, et il dit qu’il renonce au principe du primat de la grandeur sur le nombre. Tout se passe comme s’il passait d’un pôle à l’autre, et il refait toute sa théorie des mathématiques. Or je ne sais pas, moi, je ne suis pas sûr qu’il ait eu raison ; on ne peut pas dire forcément qu’il avait raison. Je ne suis pas sûr que ce ne soit pas le premier livre qui ait été le plus loin ; on ne sait pas, on ne sait pas bien.

En tout cas, je veux dire quoi, là ? Je veux dire, comprenez, qu’entre nous, lorsque Spinoza nous dit « chaque corps composé a un très grand nombre de corps simples comme parties », je dis : ça veut dire une infinité de parties. Pourquoi ? Parce que les corps simples, ils vont nécessairement par infinités. Seulement, les corps simples, vous vous rappelez, [87 :00] ils n’appartiennent à un corps composé que sous tel rapport qui exprime le corps composé. Ils n’appartiennent à un corps composé que sous un rapport de mouvement et de repos, qui caractérise le corps composé. Bien. Dès lors, vous tenez tout. Un rapport de mouvement et de repos, accordez-moi : on ne comprend pas encore très bien ce que ça veut dire mais, ce n’est pas très compliqué. Il peut être le double d’un autre. [Pause] Si le double, ou la moitié, c’est le rapport de mouvement et de repos, le rapport de mouvement et de repos qui caractérise le corps petit a est le double du rapport de mouvement et de repos qui caractérise [88 :00] le corps petit b, c’est tout simple ; je peux écrire : mv = 2 m prime v prime. Ça veut dire : le rapport de mouvement et de repos est le double. Bon.

Qu’est-ce que je dirais, si je me trouve devant ce cas simple : le rapport de mouvement et de repos d’un corps est le double de celui d’un autre corps ? Je dirais : chacun des deux corps a une infinité de parties, de corps simples. Mais : l’infini de l’un est le double de l’infini de l’autre. C’est très simple. [89 :00] En d’autres termes, c’est un infini de grandeur, et pas de nombre. C’est un infini de grandeur, et pas de nombre, ça veut dire quoi ? La grandeur, elle n’est pourtant pas infinie. Le rapport mv, il n’est pas infini. D’où l’importance de l’exemple de Spinoza dans la lettre XII [à Louis Meyer ; voir la séance de 20 Jan 1981]. Vous vous rappelez peut-être, puisqu’on en avait parlé un peu, de ça.

Dans la lettre XII, Spinoza considère deux cercles non concentriques, intérieurs l’un à l’autre et non concentriques. Et il dit : « Prenez l’espace entre les deux cercles ». Nous, alors, on prend un exemple simplifié, précisément celui dont, euh, auquel Spinoza ne voulait pas parce que, vu le but qu’il avait dans cette lettre, il lui fallait un exemple plus complexe. Mais je dis juste : [90 :00] prenez un cercle, et considérez les diamètres. Il y a une infinité de diamètres, puisque de tout point de la circonférence, vous pouvez mener un diamètre, à savoir la ligne qui unit le point de la circonférence, un point de la circonférence quelconque, au centre. Un cercle a donc une infinité de diamètres. Si vous prenez une moitié de cercle –l’exemple de Spinoza est aussi simple que ça –, si vous prenez un demi-cercle, il a une infinité de diamètres aussi, puisque vous avez une infinité de points possibles sur la demi-circonférence autant que sur la circonférence entière. Dès lors, vous parlerez bien d’un infini double d’un autre, puisque vous direz [91 :00] que dans un demi-cercle, il y a une infinité de diamètres autant que dans le cercle entier, mais que cette infinité est la moitié de celle du cercle entier. En d’autres termes, là vous avez défini un infini qui est double ou moitié, en fonction de quoi ? En fonction de l’espace occupé par une figure, à savoir, la circonférence entière ou la moitié de cette circonférence. Vous n’avez qu’à transposer au niveau des rapports. Vous considérez deux corps : l’un a un rapport caractéristique qui est le double de l’autre, donc tous les deux, comme tous les corps ; tous les corps ont une infinité de parties. Et dans un cas, c’est un infini qui est le double de celui de l’autre cas. [92 :00] Vous comprenez ce que veut dire : « les corps simples vont nécessairement par infinités ».

Dès lors, j’ai réponse, il me semble, à mon problème, là, concernant Gueroult. Comment Spinoza peut-il dire : « les corps simples s’appliquent suivant des surfaces plus ou moins grandes » ? Ça ne veut pas dire du tout que chaque surface a une grandeur puisque, encore une fois, ils n’ont pas de grandeur. Pourquoi est-ce que les corps simples — du coup, maintenant, je ne sais pas, on est presque en état, j’espère, de tout comprendre –, pourquoi est-ce qu’ils n’ont pas de grandeur, les corps simples ? Parce que quand je disais ils vont par infinités, ça voulait dire quoi ? Ça voulait dire justement : qu’est-ce qui va par infinité ? Ce n’est pas n’importe quoi qui va par infinité. [93 :00] Je veux dire : qu’est-ce qui est de telle nature que ça ne peut aller que par infinité, si ça existe ? Et bien, évidemment, il n’y a qu’une chose, c’est : des termes infiniment petits. Des termes infiniment petits, ils ne peuvent aller que par infinités. En d’autres termes, un infiniment petit, là encore, est une formule strictement dénuée de sens. [Interruption ; fin de la cassette] [93 :38]

Partie 3

C’est comme si vous disiez un cercle carré ; il y a contradiction. Vous ne pouvez pas extraire un infiniment petit de l’ensemble infini dont il fait partie. En d’autres termes, et ça, le 17ème siècle l’a compris, il me semble, merveilleusement, et c’est ça, je voudrais en arriver là ; c’est pour ça que je passe par tous ces détours un peu… un peu sévères. C’est ça [94 :00] que le 17ème siècle savait et nous — je ne veux pas dire qu’on ait tort –, que nous, on ne sait plus du tout et qu’on ne veut plus. Pourquoi on ne veut plus, ça, il faudra se le demander. C’est curieux, mais pour le 17ème siècle, toutes les bêtises qu’on dit sur leur conception du calcul infinitésimal, on ne les dirait plus si on était même sensible à ce truc très simple. On leur reproche d’avoir cru aux infiniment petits. Ils n’ont pas cru aux infiniment petits, c’est idiot, c’est complètement idiot. Ils n’ont pas plus cru aux infiniment petits qu’à autre chose. Ils ont cru que les infiniment petits allaient par ensembles infinis, par collections infinies. Il n’y a que comme ça que je peux croire aux infiniment petits : si je crois aux infiniment petits, je crois forcément à des collections infinies.

Nous, on fait comme s’ils croyaient que les collections infinies avaient un terme, qui était l’infiniment petit. Ils ne l’ont jamais cru, c’est même contradictoire. [95 :00] Un infiniment petit, ce n’est pas un terme puisqu’on ne peut pas y arriver. Puisqu’il n’y a pas de fin. Dans l’analyse d’infini, on fait comme s’il y avait une fin à l’infini. Mais c’est complètement grotesque. Dans l’analyse d’infini, il n’y a pas de fin à l’infini puisque c’est de l’infini. Il y a simplement des infiniment petits allant par collections infinies. Si je dis : « Ah mais, [il] faut bien que j’arrive jusqu’à l’infiniment petit », pas du tout, [il] ne faut pas que j’arrive jusqu’à l’infiniment petit. Il faut que j’arrive jusqu’à l’ensemble infini des infiniment petits. Et l’ensemble infini des infiniment petits, il n’est pas du tout infiniment petit, lui. Les infiniment petits, vous ne les extrairez pas de leur ensemble infini, au point que pour quelqu’un du 17ème siècle, ou même déjà de la Renaissance, il n’y a [96 :00] absolument rien de bizarre à dire « ben oui, chaque chose est un ensemble infini d’infiniment petits, évidemment… ». C’est un mode de pensée très curieux. Je veux dire « très curieux », à la fois, en même temps, qui va complètement de soi.

Pourquoi est-ce que c’est très curieux ? Moi, je veux dire, voilà : Spinoza, j’essaie de retenir ce qu’on peut en garder, là, pour Spinoza directement. Spinoza nous dit, « les corps les plus simples n’ont ni grandeur ni figure », évidemment, puisque ce sont des infiniment petits, et un infiniment petit n’a pas de grandeur ou de figure. Si vous lui donnez une grandeur ou une figure, vous en faites un fini. [97 :00] Vous en faites quelque chose de fini. Un infiniment petit n’a ni grandeur ni figure, ça va trop de soi. Un infiniment petit n’existe pas indépendamment de la collection infinie dont il fait partie. En d’autres termes, les infiniment petits sont des éléments, ils correspondent à l’expression parce que c’est la meilleure, il me semble, et les infiniment petits sont des éléments non formés. Ils n’ont pas de forme. C’est des éléments informels, comme on dit aujourd’hui. Ils se distinguent par vitesse et lenteur, et pourquoi ? Vous devez déjà sentir, parce que vitesse et lenteur, c’est des différentiels. Or ça peut se dire de l’infiniment petit. Mais forme et figure, ça ne se dit pas de l’infiniment petit sans le transformer en quelque chose de fini.

Alors bon, ce sont des éléments informels qui vont par collections infinies. Ça revient à dire : [98 :00] vous ne les définirez pas par figure et grandeur, vous les définirez par : un ensemble infini. Or bon, mais quel ensemble infini ? Comment définir l’ensemble infini ? Là on retombe tout à fait dans ce qu’il disait, lui, tout à l’heure … un ensemble infini, vous ne le définirez pas par des termes, vous le définirez par un rapport. En effet, un rapport, quel qu’il soit, est justifiable d’une infinité de termes. Le rapport est fini, lui… un rapport fini a une infinité de termes. Si vous dites « plus grand que… », je prends l’exemple le plus bête qui soit, si vous dites « plus grand que… » il y a une infinité de termes possibles. Qu’est-ce qui ne peut pas être « plus grand que… » ? Que quoi ? Eh bien, tout dépend : que quoi ? [99 :00]

Donc « plus grand que » subsume une infinité de termes possibles ; c’est évident. Donc, un ensemble infini sera défini par un rapport. Quel rapport ? Réponse de Spinoza : rapport de mouvement et de repos, de vitesse et de lenteur ; ce rapport, il est lui-même fini, il a une infinité de termes. Dernier point : un rapport définit un ensemble infini ; dès lors, les ensembles infinis peuvent entrer dans des rapports quantitatifs, double, moitié, triple, etc. En quel sens ? Si un rapport — tout rapport définit un ensemble infini — si un rapport est le double d’un autre rapport, [100 :00] si je peux dire « le rapport deux fois plus grand que, une fois plus grand que, deux fois plus grand que » — et je peux, puisque les rapports sont finis, ils correspondent à des ensembles infinis qui sont eux-mêmes doubles, moitiés, ou plus.

Qu’est-ce que ça veut dire, ça ? Oh, eh bien, c’est tout simple, si vous comprenez un petit peu, ça va nous lancer dans la proposition à mon avis la plus étrange — pour nous –, de la philosophie du 17eme siècle, à savoir : l’infini actuel existe. L’infini actuel existe, et je crois que on peut, on peut vraiment, oui — j’ai l’air de révéler comme un secret, mais ça me semble, oui, c’est une espèce de secret parce qu’il me semble que c’est la proposition de base, le sous-entendu de base de toute la philosophie au 17eme siècle — il y a de l’infini actuel. [101 :00] Qu’est-ce que ça veut dire, cette proposition en apparence étrange, l’infini actuel ? Il y a de l’infini en acte. Eh bien, ça s’oppose à deux choses : l’infini en acte, c’est ce qu’il faut à la fois distinguer du fini, et de l’indéfini. L’indéfini, ça veut dire qu’il y a de l’infini, mais seulement en puissance. On ne peut pas s’arrêter, il n’y a pas de dernier terme. Il n’y a pas de dernier terme, c’est l’indéfini. Le finitisme, c’est quoi ? Il y a un dernier terme. Il y a un dernier terme, et vous pouvez arriver à ce dernier terme, [102 :00] ne serait-ce que par la pensée.

Or ça, c’est deux thèses relativement intelligibles, en tout cas, on y est habitué. Les thèses finitistes et les thèses indéfinitistes, pour nous, c’est aussi simple, une proposition que l’autre : il y a un dernier terme, ou bien il n’y a pas de fin. Dans un cas, vous direz : il y a un dernier terme, c’est quoi ? C’est la position d’une analyse finie, c’est le point de vue de l’analyse finie ; il n’y a pas de dernier terme : vous pouvez aller à l’indéfini, vous pourrez toujours diviser le dernier terme auquel vous êtes arrivé. C’est donc la position d’un infini en puissance, [103 :00] uniquement en puissance. On peut toujours aller plus loin. Cette fois-ci, c’est la position d’une synthèse infinie. La synthèse infinie, ça veut dire : le pouvoir de l’indéfini, pousser toujours plus loin l’analyse.

Or le 17ème siècle, bizarrement, ne se reconnaît ni dans un point ni dans l’autre. Je dirais que les thèses de la finitude, c’est quoi ? Elles sont bien connues ; de tout temps, ça a été ce qu’on a appelé les atomes. Vous pouvez aller jusqu’au dernier terme de l’analyse. C’est l’analyse finie. Le grand théoricien de l’atome, dans l’antiquité, c’est Epicure, puis c’est Lucrèce. Or le raisonnement de Lucrèce est très strict. Lucrèce dit : [104 :00] l’atome dépasse la perception sensible, il ne peut être que pensé. Bon. Il ne peut être que pensé. Mais il marque comme… — pas exactement de lui-même, mais de même — il y a un raisonnement de Lucrèce très curieux, qui consiste à nous dire : il y a un minimum sensible. Le minimum sensible, c’est celui… Vous pouvez faire l’expérience facilement, vous prenez un point lumineux, vous le fixez, et ce point lumineux est reculé, jusqu’au point où il disparaît à votre vue. Peu importe que vous ayez la vue bonne ou pas bonne, il y aura toujours un point où, il y aura toujours un moment où le point lumineux disparaît, n’est plus vu. Très bien, appelons ça le minimum sensible. C’est le minimum perceptible, le minimum sensible, il a beau varier pour chacun, [105 :00] pour chacun il y a un minimum sensible. Eh bien, de même, dit-il, de penser l’atome — puisque l’atome est à la pensée ce que la chose sensible est aux sens –, si vous pensez l’atome, vous arriverez à un minimum d’atome. Le minimum d’atome, c’est le seuil au-delà duquel vous ne pensez plus rien.

Tout comme il y a un seuil sensible au-delà duquel vous ne saisissez plus rien, il y a un minimum pensé au-delà duquel vous ne pensez plus rien. Il y a donc un minimum pensable, autant qu’un minimum sensible. A ce moment-là, l’analyse a fini. Et c’est ça que Lucrèce appelle d’une expression très, très bizarre, non pas l’atome simplement, mais « le sommet de l’atome ». Le sommet de l’atome, c’est ce minimum au-delà duquel il n’y a plus rien. C’est le principe [106 :00] d’une analyse finie. L’analyse indéfinie, on sait aussi ce que c’est. L’analyse indéfinie, c’est quoi ? Évidemment, c’est beaucoup plus compliqué que… Sa formulation, elle est très simple : aussi loin que vous alliez, vous pouvez toujours aller plus loin. C’est-à-dire je dis, c’est un point de vue de la synthèse puisqu’on se réclame d’une synthèse par laquelle je peux toujours continuer ma division, continuer mon analyse… C’est la synthèse de l’indéfini. [Pause] Bien.

Je voudrais vous lire un texte après le 17ème siècle, [107 :00] un texte très curieux. Ecoutez-le bien parce que vous allez voir, je crois, que ce texte est très important. Je ne dis pas encore de qui, je souhaiterais que vous deviniez vous-même de qui il est. [Pause] « Dans le concept d’une ligne circulaire, dans le concept d’une ligne circulaire », c’est-à-dire dans le concept d’un cercle, « on ne pense à rien de plus que ceci, à savoir : que toutes les lignes droites tirées de ce cercle à un point unique appelé centre sont égales les unes aux autres ». En d’autres termes, le texte nous dit : dans un cercle, tous les diamètres sont égaux. Tous les diamètres. Et [108 :00] le texte se propose de commenter ce que signifie « tous les diamètres ». Donc, dans un cercle, tous les diamètres sont égaux, d’accord.

Le texte continue : « En fait lorsque je dis cela » — tous les diamètres sont égaux – « il s’agit simplement, il s’agit simplement ici d’une fonction logique de l’universalité du jugement ». Ça se complique. Ceux qui savent un peu ont déjà reconnu l’auteur ; il n’y a qu’un philosophe qui s’exprime comme ça. « Il s’agit seulement » — lorsque je dis tous les diamètres sont égaux – « il s’agit seulement de la fonction logique de l’universalité du jugement » — l’universalité du jugement : tous les diamètres. Jugement universel : tous les diamètres du cercle — « Il s’agit seulement de la fonction logique [109 :00] de l’universalité du jugement, dans laquelle » — dans laquelle fonction logique – « le concept d’une ligne constitue le sujet, et ne signifie rien de plus que chaque ligne, et non pas le tout des lignes », qui peuvent sur une surface être tirées à partir d’un point donné. Ça devient très, très… C’est curieux tout ça… Sentez que quelque chose se passe… C’est comme si, à partir d’un tout petit exemple, c’est une mutation de pensée assez radicale. C’est à partir de là le 17ème siècle s’écroule, enfin si j’ose dire. « Lorsque je dis tous les diamètres sont égaux, c’est simplement une fonction logique de l’universalité du jugement, dans laquelle le concept d’une ligne constitue le sujet » — le sujet du jugement –, « et ne signifie rien de plus que chaque ligne, [110 :00] et pas du tout : le tout des lignes. Car autrement » — le raisonnement continue –, « car autrement chaque ligne serait avec le même droit une idée de l’entendement » — c’est-à-dire un tout –, « car autrement chaque ligne serait avec le même droit une totalité, en tant que contenant comme parties toutes les lignes qui peuvent être pensées entre deux points simplement pensables entre elles, et dont la quantité va précisément à l’infini. » C’est essentiel parce que ce texte est tiré d’une lettre, une lettre, hélas, pas traduite en français ; c’est bizarre parce que c’est une lettre très importante.

C’est une lettre de Kant, c’est une lettre de Kant où Kant répudie d’avance — je dis les motifs, les circonstances de la lettre –, répudie d’avance ses disciples [111 :00] qui tentent de faire une espèce de réconciliation entre sa propre philosophie et la philosophie de 17ème siècle. Bon, ça nous concerne étroitement. Et Kant dit cela : ceux qui tentent cette opération qui consiste à faire une espèce de synthèse entre ma philosophie critique et la philosophie de l’infini du 17ème siècle, ceux-là se trompent complètement et gâchent tout. C’est important, parce qu’il en a, à son premier disciple post-ancien Kant, qui s’appelait [Salomon] Maimon, mais ensuite, cette grande tentative de faire une synthèse entre la philosophie de Kant et la philosophie de l’infini du 17ème siècle, ce sera l’affaire de Fichte, de Schelling, de Hegel. Et il y a une espèce de malédiction de Kant [112 :00] sur une telle tentative, et cette malédiction consiste à dire quoi au juste ?

Je reviens… Vous avez un cercle, il vous dit : tous les diamètres sont égaux. Et je dis : il y a une infinité de diamètres ; un homme du 17ème siècle dirait ça, il y a une infinité de diamètres, et tous les diamètres — le mot « tous » signifie « l’ensemble infini », « tous » commenté par un homme du 17ème siècle, ce serait : tous les diamètres = l’ensemble infini des diamètres traçables dans le cercle. C’est un ensemble infini, infini actuel. [113 :00] Kant arrive, et il dit : pas du tout, c’est un contresens. Tous les diamètres du cercle, c’est une proposition, là encore, vide de sens. Pourquoi ? En vertu d’une raison très simple : les diamètres ne préexistent pas à l’acte par lequel je les trace, c’est-à-dire : les diamètres ne préexistent pas à la synthèse par laquelle je les produis. Et en effet, ils n’existent jamais simultanément car la synthèse par laquelle je produis les diamètres, c’est une synthèse successive. Comprenez ce qu’il veut dire ; ça devient très fort : c’est une synthèse du temps. Il veut dire : le 17ème siècle n’a jamais compris ce qu’était la synthèse du temps, et pour une raison très simple, c’est qu’il s’occupait des problèmes d’espace, et la découverte du temps c’est précisément la fin du 17ème siècle.

En fait, « tous les diamètres » est une proposition vide de sens, [114 :00] je ne peux pas dire « tous les diamètres du cercle », je ne peux que dire « chaque diamètre », « chaque » renvoyant simplement à une fonction quoi ? [À une fonction] distributive du jugement, une fonction distributive du jugement, à savoir chaque diamètre en tant que je le trace ici maintenant, chaque diamètre en tant que je le trace ici maintenant, et puis il me faudra du temps pour passer au tracé de l’autre diamètre, c’est une synthèse du temps. C’est une synthèse, comme dit Kant, de la succession dans le temps. C’est une synthèse de la succession dans le temps qui va à l’indéfini, c’est-à-dire elle n’a pas de terme, en vertu même de ce qu’est le temps. Je pourrais, si nombreux soient les diamètres que j’ai déjà tracés, je pourrais toujours en tracer un encore, et puis un encore, et puis un encore. Ça ne s’arrêtera jamais. C’est une synthèse de la production de chaque diamètre que je [115 :00] ne peux pas confondre avec une analyse. C’est exactement : une synthèse de la production de chaque diamètre dans la succession du temps, que je ne peux pas confondre avec une analyse de tous les diamètres supposés donnés simultanément dans le cercle.

L’erreur du17ème siècle, ça a été de transformer une série indéfinie propre à la synthèse du temps en un ensemble infini coexistant dans l’étendue. Alors, sur cet exemple, en effet, il s’agit simplement c’est fondamental. Voyez, le coup de force de Kant, ce sera de dire : finalement, il n’y a pas d’infini actuel ; ce que vous prenez pour l’infini actuel, c’est simplement… Vous dites qu’il y a de l’infini actuel parce que vous n’avez pas vu, en fait, que l’indéfini renvoie [116 :00] à une synthèse de la succession dans le temps, alors quand vous vous êtes donné l’indéfini dans l’espace, vous l’avez déjà transformé en infini actuel ; mais en fait l’indéfini est inséparable de la synthèse de la succession dans le temps, et à ce moment-là, il est indéfini, il n’est absolument pas l’infini actuel. Mais la synthèse de la succession dans le temps, ça renvoie à quoi ? Ça renvoie à un acte du moi, un acte du « je pense », c’est en tant que « je pense » que je trace un diamètre du cercle, un autre diamètre du cercle, etc., en d’autres termes, c’est le « je pense » lui-même, et ça va être la révolution kantienne par rapport à Descartes.

Qu’est-ce que c’est que le « je pense » ? Ça n’est rien d’autre que [117 :00] l’acte de synthèse dans la série de la succession temporelle. En d’autres termes, le « je pense », le cogito, est mis directement en relation avec le temps, alors que pour Descartes, le cogito était immédiatement en relation avec l’étendue. Alors, voilà, voilà ma question, c’est presque… Ça revient un peu au même que de dire que, aujourd’hui, les mathématiciens ne parlent plus d’infini. La manière dont les mathématiques ont expulsé l’infini — peut-être qu’on le verra la prochaine fois si on a le temps –, ça, s’est fait comment ? Partout, ça, s’est fait de la manière la plus simple, et presque pour des raisons arithmétiques. A partir du moment où ils ont dit : « mais, une quantité infiniment [118 :00] petite », ça commence, si vous voulez, à partir du 18eme siècle. À partir du 18ème siècle, il y a un refus absolu des interprétations dites infinitistes, et toute la tentative, à partir du 18ème siècle, des mathématiciens, à commencer par d’Alembert, et puis Lagrange, et puis tous, tous, pour arriver jusqu’au début du 20ème siècle, où là ils décident qu’ils ont tout gagné, c’est quoi ? C’est montrer que le calcul infinitésimal n’a aucun besoin de l’hypothèse des infiniment petits pour se fonder.

Bien plus, il y a un mathématicien du 19ème qui emploie une pensée, un terme qui rend très bien compte, il me semble, de la manière de penser des mathématiciens modernes. Il dit : mais l’interprétation infinie de l’analyse infinitésimale, c’est une hypothèse gothique ; ou bien ils appellent ça le stade « pré-mathématique » [119 :00] du calcul infinitésimal. Et ils montrent simplement qu’il n’y a pas du tout dans le calcul infinitésimal des quantités plus petites que toute quantité donnée ; il y a simplement des quantités qu’on laisse indéterminées. En d’autres termes, c’est toute la notion d’axiome qui vient remplacer la notion d’infiniment petit. Vous laissez une quantité indéterminée pour la rendre — c’est donc la notion d’indéterminé qui vient remplacer l’idée de l’infini –, vous laissez une quantité indéterminée pour la rendre, au moment que vous voulez, plus petite qu’une quantité donnée bien précise. Mais de l’infiniment petit, là-dedans, il n’y en a plus du tout. Et le grand mathématicien qui va donner son statut définitif au calcul infinitésimal, c’est-à-dire [Karl] Weierstrass, à la fin du 19ème et au début [120 :00] du 20ème, il aura réussi à en expulser tout ce qui ressemble à une notion quelconque d’infini.

Bon, alors, je dirais, nous, on est formé comment ? Eh bien, je dirais qu’on oscille entre un point de vue finitiste et un point de vue indéfinitiste. Si vous voulez, on oscille entre — et ces deux points de vue, on les comprend très bien –, je veux dire on est tantôt Lucrétien, et tantôt on est Kantien. Je veux dire : on comprend relativement bien l’idée que les choses soient soumises à une analyse indéfinie, et l’on comprend très bien que cette analyse indéfinie, qui ne rencontre pas de terme ; forcément elle ne rencontre pas de terme puisqu’elle exprime une synthèse de la succession dans le temps. Donc, en ce sens, [121 :00] l’analyse indéfinie en tant que fondée sur une synthèse de la succession dans le temps, on comprend ça même si on n’a pas lu Kant. Et on voit, on s’y reconnaît dans un tel monde. L’autre aspect, on le comprend aussi, l’aspect finitiste, c’est-à-dire l’aspect atomiste au sens large, à savoir : il y aurait un dernier terme, et si ce n’est pas l’atome, ce sera une particule, ce sera un minimum d’atome, ou bien une particule d’atome, n’importe quoi. Donc, il y a un dernier terme.

Ce qu’on ne comprend plus du tout, c’est ça… à moins que…qu’il y ait… je voudrais que ça vous fasse le même effet parce que, sinon, ça m’inquiète… Ce que, à première vue, on ne comprend plus, c’est l’espèce de pensée, la manière dont au 17ème siècle, ils pensent [122 :00] l’infini actuel, à savoir : ils estiment légitime la transformation d’une série indéfinie en ensemble infini. Nous, on ne comprend plus du tout ça.

Je prends un texte — et presque, ce dont je parle, c’est les lieux communs du 17ème siècle –, je prends un texte célèbre de Leibniz, qui a un titre admirable : De l’origine radicale des choses. C’est un petit opuscule. Il commence par l’exposé pour mille fois fait, ce n’est pas nouveau chez lui, il ne le présente pas comme nouveau, l’exposé de la preuve de l’existence de Dieu dite cosmologique. Et la preuve de l’existence de Dieu dite « preuve cosmologique », elle est toute simple ; elle consiste à nous dire ceci. Elle consiste à nous dire : [123 :00] Eh bien, vous voyez, une chose, elle a bien une cause. Bon. Cette cause, à son tour, elle est un effet, elle a une cause, à son tour. La cause de la cause, elle a une cause etc., etc., à l’infini, à l’infini. Il faut bien que vous arriviez à une cause première, qui ne renvoie pas elle-même à une cause, mais qui soit cause de soi. C’est la preuve, vous voyez, à partir du monde vous concluez à l’existence d’une cause du monde. Le monde, c’est la série des causes et des effets, c’est la série des effets et des causes. Il faut bien arriver à une cause qui soit comme la cause de toutes les causes et effets. Inutile de dire que cette preuve, elle n’a jamais convaincu personne. Mais enfin, [124 :00] on l’a toujours donnée, c’est la preuve cosmologique de l’existence de Dieu. Elle a été débattue, elle a été contredite de deux manières. Les finitistes vont nous dire : ben non, pourquoi vous n’arriverez pas, dans le monde même, à des causes dernières, c’est-à-dire à des derniers termes. Et puis les indéfinitistes nous disent « ben non, vous remonterez d’effet en cause à l’infini, vous n’arriverez jamais à un premier terme de la série ». [Interruption ; changement de cassette ; 2 :04 :48]

Partie 4 (durée = 23 :05)

…fini à un ensemble infini qui réclame lui-même une cause. C’est uniquement sous cette forme que la preuve cosmologique [125 :00] serait concluante. Si je peux — le monde est une série indéfinie de causes, d’effets et de causes — si je peux légitimement conclure de la série indéfinie des effets et des causes à une collection, à un ensemble des causes et des effets, que j’appellerai le monde, cet ensemble de causes et d’effets doit lui-même avoir une cause. Bon. Kant va critiquer la preuve cosmologique, il va dire : « mais enfin, c’est une pure erreur logique, cette preuve, c’est une pure erreur logique parce que jamais vous ne pouvez considérer une série indéfinie comme si c’était un ensemble — une série indéfinie [126 :00] successive –, comme si c’était un ensemble infini de coexistence. Bon… Ma question, alors, vous comprenez ma question : nous, on est convaincu d’avance, je suppose. On dit : mais c’est évident que je ne peux pas, de quel droit est-ce qu’en effet… Si une série est indépendante — vous voyez la valorisation du temps que ça implique, cette découverte de l’indéfini — parce que si la série indéfinie des causes et des effets ne peut pas être assimilée à une collection infinie, c’est uniquement parce que la série indéfinie est inséparable de la constitution de la synthèse dans le temps. C’est parce que le temps n’est jamais donné, c’est parce qu’il n’y a pas une collection du temps, tandis qu’il y a des collections spatiales, c’est parce que le temps ne fait pas de collections que l’indéfini est irréductible à l’infini. [127 :00] Si bien que ce n’est pas étonnant que ce point de vue de l’indéfini, qui nous paraît très simple, en fait, il implique une valorisation étonnante de la conscience du temps. Il implique que la philosophie ait fait cette mutation qui fait passer tout le cogito, c’est-à-dire le « je pense », dans une espèce de « je pense le temps » au lieu de « je pense l’espace ».

Or c’est vrai que la philosophie du 17ème siècle, c’est un « je pense l’espace ». Et que c’est au nom de l’espace qu’ils se donnent le droit de considérer que le temps, finalement, est très secondaire et que, dès lors, je peux constituer une série indéfinie dans le temps en une collection de simultanéités dans l’espace. En d’autres termes, ils croient à un espace infini. [128 :00] Dès lors, ils pensent à la possibilité d’un infini actuel et, en quelque sorte, ils se battent sur deux fronts. Vous comprenez ? Ils se battent contre le finitisme, d’où tous ces auteurs, que ce soit Descartes, que ce soit Malebranche, que ce soit Spinoza, que ce soit Leibniz, vont refuser, là, vont refuser tout le temps l’hypothèse des atomes. Ça va être leur ennemi. Ça, ils dénoncent, il n’y a pas un de ces auteurs qui ne s’en prennent… « surtout ne croyez pas que ce dont je vous parle, ce soient des atomes ». Leibniz, tout le temps, quand il parle de ces infiniment petits, il dit : « les infiniment petits, rien à voir avec les atomes ». Vous voyez pourquoi… Un atome, ce n’est pas du tout un infiniment petit. Et d’autre part, c’est eux, si vous vous mettez à leur place, c’est pour eux que [129 :00] tout se renverserait, si on se met à leur place. C’est-à-dire, je veux dire… c’est pour eux que l’argument de Kant, c’est complètement des médisances. Quelqu’un dirait à un homme du 17ème siècle : « Mais voyons, tu n’as pas le droit de convertir une succession dans le temps en une collection dans l’espace… », eh bien, cette formule, elle-même, elle est vide, parce qu’elle ne prend un sens, cette formule « je n’ai pas le droit de convertir une succession dans le temps en une coexistence dans l’espace, en une simultanéité dans l’espace », ça n’a de sens que si j’ai dégagé, encore une fois, une forme du temps qui ne fait pas ensemble, une forme du temps immédiatement [130 :00] et irréductiblement sérielle, une conscience sérielle du temps, telle que l’ensemble du temps soit une notion dénuée de sens. Si j’ai dégagé dans une conscience du temps une réalité sérielle et irréductiblement sérielle du temps, à ce moment-là, en effet, je suis dans des conditions telles que je ne peux plus convertir des séries temporelles en agrégats ou en ensembles spatiaux.

Bon, est-ce que ça n’est pas la même chose, je veux dire, est-ce qu’on ne retrouve pas… — comme ça, ça nous permettra d’en finir pour aujourd’hui — Je disais, il y a deux branches des mathématiques, les grandeurs supérieures aux nombres, [131 :00] et au contraire, le nombre indépendant par rapport aux grandeurs, en gros, ce que j’appelais le thème grec et puis le thème indien, et là, maintenant, je dirais, du côté de la tendance où le nombre est plus profond que la grandeur, et finalement pilote la grandeur. A la limite, cette indépendance du nombre, elle ne peut se fonder que sur une conscience du temps, car en effet, qu’est-ce que c’est que l’acte de la synthèse temporelle ou, bien plus, l’acte de la synthèse du temps par lequel je produis une série indéfinie ? L’acte de la synthèse du temps par lequel je produis une série indéfinie, [132 :00] c’est le nombre. C’est le nombre, avec la possibilité la plus simple — ça se complique ensuite — mais avec la possibilité toujours d’ajouter un nombre au nombre précédent. C’est le nombre qui exprime dès lors le « je pense » à l’état pur, à savoir l’acte de la synthèse par lequel je produis la série indéfinie dans le temps.

Au contraire, l’autre racine, c’est la conscience sans doute la plus aiguë de l’espace. C’est la conscience sans doute la plus aiguë de l’espace qui me fait dire ou qui me fait vivre en tant qu’homme comme l’être dans l’espace, celui qui est dans l’espace. A ce moment-là — et le temps [133 :00] n’est strictement qu’un auxiliaire, comme ils disent tous à ce moment-là, un auxiliaire pour la mesure de l’espace — alors là, qu’il y ait eu une mutation dans la pensée, lorsque la pensée s’est confrontée non plus à son rapport direct avec l’espace, mais avec son rapport direct avec le temps… Or je veux dire que parfois, il y a des textes qui sont comme à cheval, mais comprenez, en fait, c’est très bizarre, ces textes qui paraissent à cheval, parce que c’est un peu suivant la teinte de notre âme, âme moderne ou pas. Je vous ferai remarquer que tout change actuellement, parce que d’une certaine manière, je me demande si on n’est pas revenu à une espèce de 17ème siècle, mais par des détours. Je dirais que, presque, si j’essayais de situer alors, mais vraiment en faisant du grand vol d’oiseau… Le grand vol d’oiseau, c’est quoi ? Ça a été une période où le problème principal, comment dire, [134 :00] cessant toute affaire urgente, cessant, finalement, l’affaire urgente, c’était quoi ? C’était : mon rapport avec le temps, et c’est ça qui a défini la pensée moderne pendant très longtemps, la découverte du temps, c’est à dire la découverte de l’indépendance du temps, que j’étais un être temporel et pas simplement un être spatial. C’est certain, je ne crois pas que, pour le 17ème siècle, je sois fondamentalement un être temporel.

Ça implique des choix ; ça implique, je ne sais pas, toutes sortes de choses, mais, quand je dis à partir du 18ème siècle, ce qui fait la rupture, ce qui fait la réaction contre la philosophie classique, c’est ça. C’est la découverte : je suis un maître… [Très brève discussion à côté, quelqu’un offre quelque chose à Deleuze, et il l’en remercie] [135 :00] Vous comprenez, c’est là qu’il y a des actes aussi importants que ce qui se passe en art, parce que c’est la même chose qui se passe en art. La littérature du 17ème siècle, même chez des auteurs dits mémorialistes, par exemple, je pense à Saint Simon, ce n’est évidemment pas les problèmes de temps qui les concernent. C’est 18ème, 19ème siècle où là on affronte le temps.

Prenez un texte célèbre de Pascal, sur les deux infinis. Pascal explique que l’homme est coincé entre deux infinis ; ça me paraît très typique, ce texte, parce que ça passe pour un texte extrêmement moderne, en un sens, comme le premier grand texte existentialiste de Pascal. Rien du tout. Il ne nous fait cet effet de texte très moderne [136 :00] — il est génial, ce texte, ça c’est…, je ne veux pas dire qu’il n’est pas génial…  — mais il ne nous fait l’effet d’un texte moderne que parce qu’on décentre complètement la lecture. On passe notre temps — et ce n’est pas un tort, souvent, on tire d’un texte les résonances qu’il a avec le nôtre –, mais en fait, Pascal, ce n’est pas du tout un texte moderne, c’est un texte pur 17ème siècle, génie en plus. En effet, c’est un texte qui nous dit : l’homme est coincé spatialement entre deux infinis, l’infiniment grand, que vous pouvez vous représenter vaguement par le ciel, et l’infiniment petit, que vous pouvez vous représenter vaguement dès que vous regardez un microscope. Et il nous dit : ce sont deux infinis actuels. C’est un texte signé 17ème à l’état pur, je dirais : quel est le texte représentatif du 17ème ? Le texte de Pascal sur les deux infinis.

Et, comme on dit, il y a bien un tragique du texte, mais c’est du mode : comment s’orienter, là-dedans ? C’est-à-dire, c’est un problème d’espace. [137 :00] Quel va être l’espace de l’homme entre ces deux infinis spatiaux ? Et il y a tout ce que vous voulez, le désespoir, la foi qui s’introduit là-dedans, mais pas du tout moderne. Un texte moderne, ce serait quoi ? Ce serait un texte temporel. Ce serait : comment s’orienter dans le temps. Et comment s’orienter dans le temps, et c’est là-dessus que tout le romantisme s’est fondé. Et si Kant a quelque chose à voir dans la fondation du romantisme allemand, c’est parce que Kant a été le premier en philosophie à faire cette espèce de changement d’aiguillage très, très fort, à savoir : nous faire passer du pôle espace au pôle temps, au niveau de la pensée — puisqu’il s’agissait de philosophie – [138 :00] au niveau de la pensée : le « je pense » n’est plus mis en rapport avec l’espace, il est mis en rapport avec le temps. Bon.

Or à ce moment-là, vous pouvez trouver désespoir, espoir pour l’homme, toutes les tonalités existentielles que vous voulez, ce n’est pas les mêmes suivant que c’est des tonalités spatiales ou des tonalités temporelles. Je crois que si un classique et un romantique ne se comprennent pas ou ne peuvent pas se comprendre, c’est évidemment parce que les problèmes subissent une mutation absolue quand vous faites ce changement d’aiguille, quand vous mettez sur le pôle temps et pas sur le pôle espace. Et je dis : la littérature, c’est pareil en littérature, en musique, tout ça, ça a été la découverte du temps, le romantisme, à chaque fois, ça a été la découverte du temps comme force de l’art, ou comme forme de la pensée dans le cas de Kant, comme forme de la pensée.

Dans la musique, que ce soit déjà, je ne sais pas, moi… le grand premier dans l’ordre ce serait Beethoven, mais ensuite tout le romantisme, [139 :00] ça a été cette espèce de problème, là : comment rendre le temps sonore ? Le temps, il n’est pas sonore, et bien, comment rendre le temps sonore ? Vous ne pouvez pas comprendre les questions de symphonie, vous ne pouvez même pas comprendre la question de la mélodie telle que le romantisme la réinterprètera… — parce que la mélodie, avant, dans le temps, ce n’était pas du tout ce problème du temps. La mélodie dans ce qu’on appelle un lied, par exemple, alors là c’est le problème temporel à l’état pur. Et le problème spatial y est étroitement subordonné, à savoir, c’est le temps du voyage. Je pars, je pars de ma terre natale, etc., et ce n’est pas du tout pensé en termes d’espace ; c’est pensé en termes de temps, et la ligne mélodique, c’est la ligne du temps. Bon, mais… [Deleuze ne termine pas]

Et la littérature, ce sera ça — le roman, le roman, vous comprenez, l’acte du roman à partir du 18ème siècle, c’est que le roman qu’on perçoit, il est temporel. Et que faire un roman, c’est, précisément, non pas raconter [140 :00] quelque chose sur le temps, mais tout situer, et que c’est l’art qui situe les choses en fonction du temps. Il n’y a pas d’autre roman que celui du temps. Un très bon critique, un très bon critique de littérature du 20ème siècle, qu’on ne lit plus hélas, mais je vous conseille vivement d’en lire si vous en trouvez des livres d’occasion chez les bouquinistes, qui s’appelle Albert Thibaudet, le disait très bien — c’était un disciple de Bergson, et c’est très, très merveilleux, c’était un très grand critique. Il dit : ben, oui, un roman, comment il faudrait définir un roman, ce n’est pas difficile, c’est un roman à partir du moment où ça dure, dès qu’il y a de la durée, ça dure… Une tragédie, ça ne dure pas. Il disait une chose très simple : une tragédie c’est… Mais il disait mieux que personne, une tragédie, c’est toujours des sommets, des moments critiques, soit [141 :00] dans le fond soit au-dessus, etc. Mais l’art de la durée, de quelque chose qui dure et, à la limite, qui se défait, une durée qui se défait : c’est ça, un roman. C’est un roman dès que vous décrivez une durée qui se défait. Enfin, l’auteur qui le plus fait un manifeste du temps lié à son œuvre, c’est Proust. Bon, toute cette époque… Quand je dis, il faudrait voir si on n’a pas des re-fiançailles avec le 17eme siècle…

Claire Parnet : J’ai un bon exemple. Il y a un exemple dans les préludes de Debussy, où il écrit tout à fait en début : « le rythme a la valeur sonore d’un paysage triste et enneigé ». Là, vraiment, c’est de l’ethos, quoi. C’est un lieu qui…

Deleuze : Oui, oui, c’est très général, le retour à l’espace, mais, alors, évidemment qui ne sera pas un retour au 17ème siècle.

Mais si vous voulez, dans tous les domaines… [142 :00] la redécouverte, je crois — j’emploie, je dis ça pour relier les choses avec ce qu’on fera plus tard sur la peinture –, la naissance d’un nouveau, dans l’art de la fin du 19ème et à partir du début du 20ème, le retour à une espèce de colorisme, à des formules de colorisme extrêmement — alors tout à fait nouvelles, mais — qui précisément rompent, rompent avec ce qui avait été cherché assez longtemps concernant une peinture de lumière. Il me semble que c’est par la couleur que, dans la peinture, l’espace est revenu à la peinture. Dans la peinture de lumière, il y a toujours un drôle de phénomène qui est comme s’ils captaient picturalement le temps. Remarquez, ce n’est pas plus difficile que de le capter musicalement. Le temps, il n’est pas sonore par lui-même, il n’est pas visible non plus. D’une certaine manière, la peinture de lumière, elle nous donne comme un équivalent pictural du temps, mais la peinture de couleur, c’est tout à fait autre chose, ce qu’on appelle le colorisme. [143 :00] Ce qu’on appelle le colorisme, c’est-à-dire lorsque les volumes ne sont plus faits en clair-obscur, mais sont faits par la couleur, c’est-à-dire par les purs rapports de tonalité entre couleurs, là il y a une espèce de reconquête d’un espace, d’un espace pictural direct.

Oh je crois aussi que tous les… tous les mouvements dits « informels » et même abstraits, c’est une reconquête précisément d’un espace pictural pur. Bon, supposons, mais pensez à, par exemple, l’importance pour nous… Je dirais : qui c’est, les clefs ? Un type comme Blanchot… Je crois qu’une des importances de Blanchot, ça a été de refaire une espèce de conversion à l’espace. Blanchot, c’est très frappant qu’il pense très peu en termes de temps. Son problème, c’est vraiment un problème de la pensée par rapport à l’espace. Pensez à son livre L’espace littéraire. L’espace littéraire, c’est comme un manifeste qui s’oppose [144 :00] au temps littéraire. En musique, en peinture, tout ça, il me semble qu’il y a un retour, précisément, une espèce de … [Deleuze ne termine pas]

Tout comme en mathématiques, s’est reconstituée une théorie dite « des ensembles », et que, au niveau de la théorie des ensembles, ils ont rebuté — et c’est ça qui me paraît très, très frappant –, eux qui avaient réussi à expulser l’infini de partout dans les mathématiques, c’est au niveau de la théorie dite « théorie des ensembles » qu’ils ont retrouvé une aporie, une difficulté relative à l’infini. L’infini s’est réintroduit dans les mathématiques par le biais — en un sens, très spécial –, par le biais de la théorie de ensembles. C’est très, très curieux. Et il y a aussi, dans toutes les disciplines, une espèce de retour aux ensembles de coexistence, aux ensembles de simultanéité. [145 :00]

Alors, je veux dire, ce serait peut-être pour nous des conditions bonnes pour précisément nous sentir plus familiers avec cette pensée du 17ème siècle. C’est des gens qui pensent très spontanément en termes d’infinis actuels. Quand on leur présente une chose finie, eh bien, ils pensent tout droit qu’une chose finie est coincée entre deux infinis actuels : l’infini actuel de l’infiniment grand, et l’infini actuel de l’infiniment petit, et qu’une chose n’est qu’un pont entre ces deux infinis, si vous voulez, un micro-infini et un macro-infini, et que le fini, c’est précisément comme la communication comme de ces deux infinis. Bon… Et ils pensent très spontanément, je veux dire très naturellement, si bien que des objections comme celles de Kant, [146 :00] comprenons bien ce qu’elles veulent dire : ça ne peut pas leur venir à l’esprit, dans la mesure où l’objection de Kant ne prend un sens, véritablement, que si toutes ces coordonnées du monde du 17ème siècle se sont déjà écroulées.

Tout ça pour vous faire sentir qu’une objection, on ne peut pas… Vous comprenez, une objection, en un sens, elle vient toujours du dehors. Parce que les gens, ils ne sont pas idiots, sinon les objections, ils se les seraient déjà faites à eux-mêmes. Elles viennent toujours d’un point de vue irréductible au système de coordonnées dans lequel vous êtes. Alors en effet : c’est d’un point de vue extérieur, à savoir le point de vue du temps, que Kant peut dire : « Ah non ! Votre infini actuel, rien du tout… ». Mais je ne peux pas dire que le progrès donne raison à Kant, ça n’aurait strictement aucune idée. Encore une fois, l’idée des collections infinies nous revient, pas à la manière du 17ème siècle, [147 :00] mais par d’immenses détours. Voilà que l’idée d’ensembles infinis — des ensembles infinis doués de puissances variables, de telle ou telle puissance — nous revient plus.

Donc, s’il fallait définir les philosophes du 17ème siècle, moi je dirais une chose très simple : c’est des gens, c’est des hommes qui pensent naturellement, comme spontanément, naturellement, au sens philosophique, en termes d’infinis actuels, c’est à dire : ni finitude, ni indéfini.

Bon, ben, on en a assez… Voila ! Donc, la prochaine fois, quand même, [il] faudra… On verra ce qu’il en sort pour la théorie de l’individu chez Spinoza. [147 :43 ; Bruits dans la salle ; on entend Deleuze dire à quelqu’un : Merci, merci, merci beaucoup…] [Fin de la séance] [148 :04]


[1] Il s’agit de Spinoza, Dieu (Ethique, I), et Spinoza, L’Âme (Éthique, II) (Paris : Aubier, 1968).


For archival purposes, Yann Girard and Jean-Charles Jarrell developed the superb transcript from which the translation was prepared, work that took place during March 2020, with additions and a new description completed in September 2023.

Lectures in this Seminar

Reading Date: January 24, 1978
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