April 29, 1980

Leibniz was no doubt the first to introduce into philosophy what we could call the theory of singularities. … The theory of singularities appears to me to have two poles for Leibniz, and one would have to say that it’s a mathematical-psychological theory. And our work today is: what is a singularity on the mathematical level, and what does Leibniz create through that? … Second question: what is the Leibnizian theory of psychological singularities? And the last question: to what extent does the mathematical-psychological theory of singularities, as sketched out by Leibniz, help us answer the question: what is the incompossible, and thus the question what is infinite analysis? What is this mathematical notion of singularity?

Seminar Introduction

5 seminars (11 hours): During academic year 1979-80, Deleuze undertakes a thirteen-session study of Apparatuses of State and War Machines (6 Nov 1979 - 25 March 1980).

At the start of the 26 February 1980 seminar, Deleuze explains, “some of you asked me to do something that would be a kind of presentation on a very great philosopher, one that is very difficult, named Leibniz. So, I could do so unless there are any… if you have subjects or problems connected to your own research, we could see. … This depends greatly on you, a certain number of whom have been working with me for… a long time, a lot of years, and all that we’ve done for four or five years, I think are some very different things, but these are things focusing on some of the same notions. So, it could be very useful again to take up certain notions that we have worked on over several years…. So anything is possible; it’s up to you, but as of now, or in a coming meeting, I will do something on Leibniz… a special request.”

This brief seminar clearly predates publication of his 1988 book on Leibniz, The Fold, Leibniz and the Baroque, by 6 years, as well as the twenty-session seminar undertaken in 1986-87.

English Translation

Edited

The third of five session on an introduction to Leibniz's philosophy, particularly emphasizing the role of singularities as both psychological and mathematical concepts for infinite analysis.

Poincare
Henri Poincaré

 

Gilles Deleuze

Seminar on Leibniz: Philosophy and the Creation of Concepts

Lecture 03, 29 April 1980

Translation and supplementary additions from transcript completed from the YouTube video,[1] Charles J. Stivale[2]

Part 1

So, today, our task is to look at some amusing and recreative, but also quite delicate, things. So, I need to have your complete attention for an extended period. First, I have just learned that one of you would like to ask a question on something. So, what is this little question?

A student: The question is when [indistinct word] at the end of the 19th century, infinitesimal calculus becomes known in France and in Europe in a general way, a certain number of objections were raised which related to this, that this calculation admittedly made it possible to solve in a simpler way a certain number of geometry problems, for example, to find the tangent of certain curves, the parabola, for example, but that this calculus was very suspicious because it made a certain [inaudible word] and quantity, it had no geometric existence and had only a virtual existence. To which the partisans of infinitesimal calculus, Leibniz supporters, the people like [two indistinct names] answer that what matters, it is not the quantity dx which was effectively a vanishing quantity (quantité évanouissante) with respect to x, or dy with respect to to y, but what mattered was the relation of dy to dx. So, the question I would like to ask is: do you see a relationship between this way of looking at a relation that involves unqualified variables, abstract variables? Did you say three months ago about axiomatization and differential calculus as resting on a function, that is, a functional relation which equally bears not on variables, but on relations between variables which in these relations are not qualified [indistinct words]. Is this clear?

Deleuze: The question is very clear, very clear. [Pause]

The student: If you like, I have the answer.

Deleuze: Ah, fine! [Laughter] Ah, fine! Ah, fine! So then, go ahead and answer first. [Pause] I have feeling that it won’t be the same as mine. We could answer simultaneously, each with a sentence, as you like, as you like. [Pause] So, you can answer so no one can say your answer isn’t correct. So, you go ahead.

The student: The answer is that I would say that, to a certain extent, yes, but what intervenes with what you have called axiomatic [indistinct words], something intervenes which does not intervene in infinitesimal calculus [indistinct words], which will be the identification or fusion of two things, the condition and the function, and which operate independently at the end of the 18th century, that for several authors [indistinct words], for two authors, [indistinct words], whatever he says about there being as many categories as there are judgments in understanding (l’entendement), and on the other hand, for Cuvier, the conception of function or the set of [indistinct words] as a condition for the existence of an element. That is to say, contrary to what has been said, Cuvier never believed that, never said that there are four planes in [indistinct words]; he always said that there is an abstract plane, this diversity between four modes [indistinct words], and this abstract plane is what is said about the function, unlike another plane that was [indistinct words] around the same time by other [indistinct words]. [4: 00] To me, it seems that there is something missing in infinitesimal calculus for that really to be a functional axiomatic, for that really to bear on variables [indistinct words], on relations between variables, this something that is missing being the fusion of [sneezing blocks words] as in transcendental philosophy, the function as unity [indistinct words], on the condition of experience. For this experience to be possible, for this experience to be possible, one must admit that there is this transcendental aspect which is defined by [indistinct words] and by a table of functions. [Pause] Is that clear?

Deleuze: Very clear, very clear, very clear. But your answer seems to me much broader than the question, because your answer consists in creating a very complex or mixed up concept of functions. On the concept of function itself, it’s very difficult because in your answer, you have at once a logical function of judgment in the Kantian manner, a certain biological function in the manner of Cuvier and the Naturalists, and with implicitly adding the underlying mathematical function. So that creates a very odd concept.

The student: [Inaudible answer]

Deleuze: Why not? Why not? [Deleuze says this in a doubtful tone] …  As for the question itself, I would say this. [Pause] You understand, it seems to me that one cannot say that at the end of the seventeenth century and in the eighteenth century, there were people for whom differential calculus is something artificial and others for whom it represent, in the general sense of representing, something real. We cannot say that because the division, it seems to me, is not there. It isn’t there; I am choosing a simple example, someone who believes, leaving this entirely vague, someone who really believe in differential calculus like Leibniz. Leibniz never stopped saying that differential calculus is pure artifice, that it’s a symbolic system. So, on this point, everyone is in strict agreement. Where the disagreement begins is in understanding what a symbolic system is, but as for the irreducibility – this, I attempted to say at the last meeting – as for the irreducibility of differential signs to any mathematical reality, that is, to geometrical, arithmetical and algebraic reality, everyone agrees.

Where a difference arises is when some people think that, henceforth, differential calculus is only a convention, a rather suspect one, and others think that its artificial character in relation to mathematical reality, on the contrary, allows it to be adequate to certain aspects of physical reality. Agreed?

The student: That really has some very important consequences because, here … [The comments are rather difficult to quote precisely; in general, the student indicates that Leibniz’s perspective in the end, over two centuries, blocked the possibility of thinking of the concept of the infinite in a more open way than according to infinitesimal calculus. The student cites several examples and models from a more current perspective in mathematics.]

Deleuze: One can imagine what Leibniz would say if he heard that, because Leibniz never – I am also stating a detail that seems to be a pure fact – Leibniz never thought that his infinitesimal analysis, his differential calculus, as he conceived them, sufficed to exhaust the domain of the infinite such as he, Leibniz, conceived it. For example, even at the level of calculus, there’s what Leibniz calls – we will consider this a bit today -- calculus of the minimum and of the maximum which does not at all depend on differential calculus. So, differential calculus for Leibniz corresponds to a certain order of infinity. When you demand an qualitative infinity or the possibility of a qualitative infinity by saying the Leibniz shut the door on such an analysis, that seems to be entirely incorrect, this since if it is true that a qualitative infinity cannot be grasped, in fact, by differential calculus, Leibniz is, on the other hand, so conscious of it that he initiates other modes of calculus relative to other orders of infinity. And a second comment that seems to be to be purely a fact, what eliminated this direction of the qualitative infinity, or even simply of actual infinity stated baldly, Leibniz wasn’t the one who blocked it off. According to the very examples that you cited, [Spinoza’s] “Letter to Meyer”, the history of the cone and the circle, the history of everything that could be called the history of the minimum and maximum, in all this history, what blocked this direction, for its own benefit and more, was the Kantian revolution. This was what imposed a certain conception of the indefinite and directed the most absolute critique of actual infinity. This was Kant’s fault, what you are saying; this is not at all Leibniz’s fault.

The student: [Inaudible]

Deleuze: … for the reason that has just been stated, the diabolical character of differential calculus. How can an artifice, how can a convention at the same time be what will allow us to penetrate the secrets of nature itself?

The student: [Inaudible]

Deleuze: Obviously not! Obviously not!

The student: [Inaudible]

Deleuze: You understand, it seems to me, one has to, in order to understand these problems, once again, it’s not that I feel myself in such disagreement with what you are saying; it’s that this immediately acquired a very, how to say this, a very abstract dimension, what you are saying. It seems to me that this is correct, not wrong, what you are saying. But we cannot understand this if we do not see at the same time what practical problem this underlies. So, when you ask the question, “what would [Girard] Desargues have said?”, a geometrist-mathematician who therefore preceded Leibniz, and who precedes the discovery of differential calculus, what would Desargues have said? First of all, differential calculus.

And historically, I expect this kind of question because there is no moment when there is no differential calculus and then the moment when it appears. When there isn’t…

The student: [He interrupts Deleuze; inaudible]

Deleuze: When there is no differential calculus, they have a calculus that is used for the same thing, without the symbolic perfection, and that has existed since the Greeks.

The student: [He continues to make comments while interrupting Deleuze; Deleuze answers him with a very low voice, but the student continues] … found the tangent of the parabola according to the Leibniz method, but I am persuaded that for Desargues, Pascal or [Philippe de] Lahire, it might have been possible to solve the same problem according to the Greek method by describing relations… [Inaudible]

Deleuze: No. [Pause] No. [Pause]. No. No, no, no. [The student continues, but Deleuze interrupts him] With what method? Listen, you are in the process of saying nonsense [n’importe quoi]. The geometry problems are very simple. You have two types of problem in the end, at this period, whether it’s in the Middle Ages, or with the Greeks. There are two kinds of problems, the problems in which it’s a question of finding so-called straight lines and so-called rectilinear surfaces. Classical geometry and algebra were sufficient. You have problems and you get the necessary equations; this is what is called, Leibniz speaks of this, if you will, it’s Euclidean geometry. Euclid, Apollonius, an entire direction of geometry. Geometry never stopped being found, already with the Greeks, then in the Middle Ages, also because that gets more and more complicates, confronting a type of problem of another sort: it’s when one must find and determine curves and curvilinear surfaces. Where all geometrists are in agreement is in the fact that classical methods of geometry and algebra no longer sufficed.

So, the Greeks, already who are going to deal with these problems, have to invent a special method; this is what has been maintained under the name of the method by exhaustion, this method of exhaustion that enables the determination of curves and curvilinear surfaces in so far as they yield equations of variable degrees, and infinite at the extreme, an infinity of varying degrees in the equation. It’s those problems that are going to make necessary and inspire the discovery of differential calculus and the way in which differential calculus takes up where the old method by exhaustion left off. If you already connect a mathematical system, a mathematical symbolism to a theory, if you don’t connect it to the problem for which it is created, then at that point, you can no longer understand anything. That’s why I insist enormously on the following point: differential calculus makes sense only if you have and if you place yourself before an equation in which the terms are raised to different powers. It is not a question of… If you didn’t have equations whose terms are of different powers, of the x squared y, if you don’t have that, then it’s nonsensical to speak of differential calculus. It’s not even a question of this symbolism being created; that would be non-sensical, that would be non-sensical.

And it’s very fine to consider the theory that corresponds to a symbolism, or is implied by a symbolism, but you must also completely consider the practice. What practice? When you refer to Desargues, it’s obvious that what does Desargues need and in relation to what? In fact, he already needs a symbolism that he is required to create. It’s because the method of exhaustion is not adequate for him. This is precisely for problems of stone carving, in general, problems of rounding off, problems of vaulting, how to make a vault from these? There is an entire practice there. And infinitesimal analysis, one can’t understand anything if one doesn’t see that precisely – this is why I am insisting enormously on this point – that all physical equations are by nature differential equations. A physical phenomenon can only be studied, and here, Leibniz will be very firm, you understand, because Leibniz’s entire topic will be: Descartes only had geometry and algebra, and what Descartes himself had invented under the name of analytical geometry, but however far he went in that invention, it gave him at most the means to grasp figures and movement, and yet, figures and movement, of a rectilinear kind.

And with the aggregate of natural phenomena being, after all, phenomena of the curvilinear type, that doesn’t work at all. Descartes remained stuck on figures and movement. Leibniz will translate: it’s the same thing to say that nature proceeds in a curvilinear manner or to say that, beyond figures and movement, there is something, namely, the domain of forces, and on the very level of the laws of movement, Leibniz is going to change everything, thanks precisely to differential calculus. When he will say – we will see this later – when he will say that what is conserved is not mv, not mass and velocity, but mv2. Were we only to understand that when this topic is discovered, the only difference in the formula is the extension of v to the second power. This is made possible by differential calculus because differential calculus allows the comparison of powers and of rejects [rejets]. So, that that point, one must not even say, why didn’t Descartes see that what was conserved was mv2? Why did he believe that it was mv? Obviously, Descartes didn’t have the technical means to say mv2. It wasn’t possible. From the point of view of language, both of geometry and of arithmetic and of algebra, mv2 is pure and simple non-sense.

So, today, everything changes. With what we know in science today, we can always explain that what is conserved is mv2 without appealing to any infinitesimal analysis. That happens in high school texts, but to prove it, and for the formula to make any sense, for the formula to be anything other than non-sense, an entire apparatus of differential calculus is required. But, then, there we are. Fine.

Georges Comtesse: [Inaudible intervention, from 20 :45-23 :20] [At the beginning, Deleuze tells him: Ah, right, I forgot that.]

Deleuze: Listen, why not? Why not ? But I kind of have to make the same demand that I made earlier. While you create a very interesting theoretical framework, you need to acknowledge that it’s a fact, in the domain of differential calculus and the axiomatic, the fact on which I need to insist, on an historical fact, which is this: differential calculus and the axiomatic certainly have a point of encounter, but this is one of perfect exclusion. I mean that, historically, what’s called, what certain historians of mathematics call the rigorous status of differential calculus arises quite belatedly. The rigorous status of differential calculus, what does that mean? It means that everything that is convention or at least, everything, no, let’s say, let’s keep the very vague word “convention,” is expelled from differential calculus. And what is convention even for Leibniz, what is artifice in differential calculus? What artifice is, is an entire aggregate of things: the idea of a becoming, the idea of a limit of becoming, the idea of a tendency to approach the limit, all these are considered by mathematicians to be absolutely metaphysical notions. The idea that there is a quantitative becoming, the idea that there is a limit of this becoming, the idea that an infinity of small quantities tends toward the limit, all these are considered as absolutely impure notions, thus as really non-axiomatic or non-axiomitizable.

So, from the start, I tell myself, whether in Leibniz’s work or in Newton’s and the work of his successors, the idea of differential calculus is inseparable and not separated from a set of notions judged not to be rigorous or scientific, and they themselves are quite prepared to recognize it. So, what happened? It happens that at the end of the nineteenth and the start of the twentieth century, differential calculus or infinitesimal analysis is said to receive a rigorously scientific status, but at what price? We hunt for any reference to the idea of infinity; we hunt for any reference to the idea of limit; we hunt for any reference to the idea of tendency toward the limit. Who does that? That is, an interpretation and a rather strange status of calculus will be given because it stops operating with ordinary quantities, and its interpretation will be purely ordinal. Henceforth, that becomes a mode of exploring the finite, the finite as such. The entire interpretation of calculus is changed. It’s a great mathematician, [Karl] Weierstrass, who did that, but it came rather late, to the point that, in an axiomatic then…  He creates an axiomatic of calculus, but at what price? He transforms it completely. To the point that, today, when we do differential calculus, there is no reference to the notions of infinity, of limit and of tendency of approaching the limit, no longer any reference to those things. There is a static interpretation. There is no longer any dynamism in differential calculus, but a static and ordinal interpretation of calculus. This is Weierstrass’s great victory, a static and ordinal interpretation of calculus. For those who might be interested in this, you’ll find there is a book that, at the end, includes appendices, there’s an entire appendix at the back of the book, on the way in which current interpretation of differential calculus does without any reference to notions of infinity or of the infinitely small. This is [Jules] Vuillemin’s book, La philosophie de l’algèbre.[3]

So, it seems to me that his fact is very important for us because it must certainly show us that the differential relations… -- Moreover, here, even before the axiomatization, all mathematicians agreed in saying that differential calculus, interpreted as a method for exploring the infinite, was an impure convention. And once again, I never stop saying this, Leibniz was the first to say that, but only, we still have to know then what the symbolic value is. But, from the point of view and in the new sense that the axiomatic gives to the symbolic, if this whole domain, this whole impure domain is expelled, I can then really say, the axiomatic, axiomatic relations and differential relations, well no. They absolutely have to… I recall a mathematician from the 19th century, for example, who again says, this is an expression that… He says, yes, differential calculus has always been a Gothic hypothesis, a Gothic hypothesis. There is no greater insult for a mathematician, a Gothic hypothesis, and on this point, until calculus receives… [Deleuze does not finish the sentence]

And in this sense, I am saying, there is an opposition, there is an opposition between differential relations such as they are interpreted at the end of the 19th century, and the requirements of an axiomatic. So, that does not prevent, in fact… why? Because infinity has completely changed its sense, its nature, and in the end, calculus is completely expelled. So, what you are saying is quite possible, but on the condition, almost that you manage to show, it seems to me, that point on which rests the opposition between an aggregate of axiomatic relations and differential relations.

So, I indeed, indeed, I just have here a vague idea, but finally… If you will, it seems to me that a differential relation of the type dy over dx is such that one extracts it from x and y. Fine. At the same time, dy is nothing in relation to y, it’s an infinitely small quantity; dx is nothing in relation to x, it’s an infinitely small quantity in relation to x. On the other hand, dy over dx is something, but it is something completely different from y over x. For example, if y over x – as you stated it very well – if y over x designates a curve, dy over dx designates a tangent. And what’s more, it’s not just any tangent. Fine.

I would say therefore that the differential relation is such that it no longer signifies anything concrete, it signifies nothing concrete in relation to what it’s derived from, that is, in relation to x and to y, but it signifies something else concrete (autre chose de concret), and that is how it assures passage to the limits. It assures something else concrete, namely a z.

The previous student: [Inaudible]

Deleuze: Certainly not. Oh, don’t complicate things. I am not saying that this is necessarily [indistinct word]. [Pause] Understand? It’s exactly as if I said that differential calculus is completely abstract in relation to a determination of the type a over b, but on the other hand, it determines a c. Whereas the axiomatic relation, no. The axiomatic relation is completely formal from all points of view, from all points of view. If it is formal in relation to a and b, it does not determine a c that would be concrete for it. So, it doesn’t assure a passage at all. This would be the whole classical opposition between genesis and structure. The axiomatic is really the structure common to a plurality of domains, a structure common to a multiplicity of domains. Differential calculus, in the old style… [Deleuze is interrupted]

The student: [Inaudible ; Deleuze answers while he speaks: Agreed, agreed.]

Deleuze: …  a bit like, but the difference is more important than the similarity, it seems to me. [Pause] Fine, so let’s go. [Pause]

Well then, well then, well then, the last time, you perhaps recall, we were considering my second topic heading, and this second heading dealt with “Substance, World, and Compossibility.” And we had seen the first part of this great heading. And in the first part, I tried to say, what does Leibniz call infinite analysis? And the answer was this – our answer, but we did a lot of searching – our answer was this: infinite analysis concerns this or else it fulfills the following condition: it appears to the extent that continuity and small differences or vanishing differences are substituted for identity. It’s when we proceed by continuity and vanishing differences that analysis becomes properly infinite analysis. So, we tried to explain why, and I won’t go back over that.

And I arrive at the second aspect of the question; henceforth, notice, there would be infinite analysis and there would be material for infinite analysis when I find myself faced with a domain that is no longer directly governed by the identical, by identity, but a domain that is governed by continuity and vanishing differences. We reach a relatively clear answer.

Hence the second aspect of the problem: what is compossibility? What does it mean for two things to be compossible or non-compossible? And there, we indeed see what that problem is connected to. Yet again, Leibniz tells us that Adam non-sinner, an Adam who might not have sinned, is possible in itself, but not compossible with the existing world. So, he makes a claim for a relation of compossibility that he invents, and you sense that it’s entirely linked to the idea of infinite analysis. Fine, but one would have to prove this, one would have to… Why? Where is the problem? The problem is that the incompossible, at first glance, cannot be the contradictory; it is not the same thing as the contradictory. [Pause] In fact, and however, and however, it’s complicated because, once again, you maintain the example. Adam non-sinner is incompossible with the existing world; another world would be required. Fine. I see only three possible solutions; if we say that, I only see three possible solutions for trying to characterize the notion of incompossibility.

First solution: we’ll say that, one way or another, incompossibility has to imply a kind of logical contradiction. In a pinch, you’ll grant me that, it’s necessary, yes, that means a contradiction would have to exist finally between Adam non-sinner and the existing world. [Pause] Can we indeed follow this path? Yes, at first glance, you can still grant me this, you can still grant me this, a contradiction would exist between Adam non-sinner and the existing world, only we could identify this contradiction only to infinity; it would be an infinite contradiction. Whereas there is a finite contradiction between circle and square, there is only an infinite contradiction between Adam non-sinner and the world. We can still say that.

Certain texts by Leibniz move in this direction. But, yet again, we know already that we have to be careful about the levels of Leibniz’s texts. In fact, everything we said previously implied that compossibility and incompossibility are truly an original relation, irreducible to identity and contradiction. Contradictory identity. Furthermore, we saw that infinite analysis, in accordance with our first part, we saw that infinite analysis was not an analysis that discovered the identical as a result of an infinite series of steps. In fact, the whole outcome the last time was that, far from discovering the identical at the end of a series, at the end of an infinite series – already, that means nothing; it’s non-sense -- at the limit of an infinite series of steps, far from proceeding in this way, infinite analysis substituted the point of view of continuity for that of identity. So, it’s another domain than the identity/contradiction domain.

Another solution – but then, I will state this rapidly because certain of Leibniz’s texts suggest it as well -- it’s that all this is beyond our understanding because our understanding is finite, and henceforth, compossibility, this time, would be an original relation, but we could not know what its roots are. The roots of this relationship would elude us. The basis of this relationship would elude us. Fine. Of course, neither of the two directions can satisfy us. So, it’s very simple. We demand a specificity of the relation of compossibility and incompossibility, a proper nature for this relation, which is linked at the same time to the nature of the infinite analysis, that is, to all that we have seen previously on the continuous and vanishing differences.

And I wonder -- and this is where I wanted to start from – we wonder which way to go? What is he going to provide us with? But it gets interesting, he invents a new type of relation, the compossible and the incompossible. It gets very rich because he can ... you see, henceforth, the whole range of objections, criticisms that he can give himself in relation to earlier philosophies. He said, oh yes, the others, what did they grasp? Some of them believed that everything was necessary; others saw that there was the possible and the necessary; but Leibniz says, I am bringing you a new domain. There is not solely the possible, the necessary and the real. There is the compossible and the incompossible. He was attempting to cover an entire region of being.

Discovering that, for a philosopher what does that mean? That implies at least that he is not satisfied to tell us, I don’t know where that comes from. He can say it without a text, ah well yes, that’s beyond our understanding; he can say this as if in passing. But he indeed has to take this on once and for all. So there, what bothers me is that… Here is the hypothesis that I’d like to suggest: that, on one hand, Leibniz is a busy man because he writes in all directions, all over the place, he does not publish at all or very little during his life. Leibniz has everything there, all the elements, all the material, all the details to give a relatively precise answer to this problem. Necessarily so since he’s the one who invented it, so it’s him who has the solution. So, what happened for him not to have put all of it together? What’s the cause of that?

Here’s the hypothesis I’d like to suggest; I am stating it, I’m trying to hurry it up because we have to proceed in proper given that, once again, this story is so delicate and amusing. I think that what will provide an answer to this problem, at once about infinite analysis and about compossibility, is a very curious theory that Leibniz was no doubt, perhaps, the first to introduce into philosophy, that we could call the theory of singularities. For Leibniz’s work, the theory of singularities, which is scattered, which is everywhere – I cannot cite a single book where it’s doesn’t exist… it’s everywhere, it’s everywhere -- one even risks reading pages by Leibniz without seeing that one is fully in the midst of it, that’s how discreet he is or how much he inhabits it at certain moments.

The theory of singularities appears to me to have two poles for Leibniz, and one would have to say that it’s a mathematical-psychological theory, hence, you see, our purpose today, our work today that would be, if I try to enumerate fully, that would be: what is a singularity on the mathematical level? What is this strange notion, singularity, singularity for mathematicians? [Pause] And what does Leibniz manage to create in all this? What does he create in all that? Is it true that he creates the first great theory of singularities in mathematics? Second question: what is then that’s something absolutely new, the Leibnizian psychological theory of singularities, of psychological singularities? [Pause]

And the last question – so that gives us three questions for today, that’s a lot – the last question: to what extent does the mathematical-psychological theory of singularities, as sketched out by Leibniz, help us answer the question: what is the compossible, what is the incompossible, and definitively, what is infinite analysis? [Pause] There we are. Well then, that’s all that I’d like for us to do.

For, in fact then, I begin with the first point. What is this mathematical notion of singularity? And what makes it interesting, and why did it disappear? It seems to me, it’s too bad… we’d have to see; it’s often like that at times in philosophy: there is something that emerges at one moment and will be abandoned. It seems to me that this is the very beautiful case of a theory that was really more than outlined by Leibniz, and then there was no follow-up, as if there was a chance there, and then… Is there a way today to come back to it?  Wouldn’t it be interesting for us, and why would that be interesting?

I am saying here that I am still divided about two things in philosophy: the idea that philosophy does not require a special kind of knowledge, that really, in this sense, anyone is open to philosophy, and at the same time, that one can do philosophy only if one is sensitive to a certain terminology of philosophy, and that you can always create it -- good terminology is by nature always created, but you cannot create it by doing just anything. That’s why, in my view, what does not exists, although apparently that exists, a dictionary of philosophy would be a very, very important thing – I believe that it’s very difficult to create philosophy if you don’t know what terms like these are: categories, concept, idea, a priori, a posteriori, exactly like one cannot do mathematics if one does not know what a, b, x, y, etc., variables, constants, equations are; there is a minimum. And I notice that, perpetually, logic… But don’t be concerned; at the same time, you can learn it bit by bit. It’s just that you will not create philosophy if you do not attach importance to those points.

Singular, where does that come from? The singular has always existed in a certain logical vocabulary. Only, in what sort of relation is the singular? That’s already interesting; that’s something for you to consider. "Singular" designates through difference from and, at the same time, in relation to "universal." Why do I feel compelled to say that? Because there is another pair of notions, there is a doublet, there are a couple of notions, it’s "particular" that is stated with reference to what? Which is stated in relation to "general." If you confuse everything, you will employ “particular” and “singular” as equivalent, “general” and “universal” as equivalent. At that point, it’s not bad, it’s not bad, it’s not difficult, all that, but one must reflect on the singular and the universal. These are in relation with each other; the particular and the general are in relation. What is a judgment of singularity? It’s not the same thing as a judgment called particular, nor the same thing as a judgment called general.

There we have it, generally, no matter; I am not developing this because that’s not what concerns me. I am only saying, formally, "singular" was thought, in classical logic, with reference to "universal." And that does not necessarily exhaust a notion: when mathematicians use the expression "singularity," with what do they place it into relation? Here, we must be guided by words. [End of the cassette] [46:39]

Part 2

[Text furnished by Web Deleuze: There is indeed a philosophical etymology, or even a philosophical philology. "Singular" in mathematics is distinct from or opposed to] "regular." The singular is what is outside the rule. Fine, we don’t seem to be saying much of anything. There is another pair of notions used by mathematicians, and here, in contrast to what I just said, but for some obvious reasons, I am going to confuse them: it’s "remarkable" and "ordinary." [Pause] You have “singular”-“regular”, “remarkable”-“ordinary”. These are not entirely the same thing since mathematicians tell us that there are remarkable singularities and singularities that aren’t remarkable. But for us, out of convenience, grant me that because Leibniz does not yet make this distinction between the non-remarkable singular and the remarkable singular. Leibniz uses "singular," "remarkable," and "notable" as equivalents, such that when you find the word "notable" in Leibniz in a text, even quite rapid, tell yourself that necessarily there’s a wink, that it does not at all mean "well-known". When he says something is “notable”, he enlarges, he literally enlarges the word with an unusual meaning. You will ask me, why doesn’t he warn us? If he warned us from the start, this style would not exist; warning is not what concerns him. When he talks about a notable perception, tell yourself that he is in the process of saying something.

What interest does this have for us? You have to understand this: it’s that mathematics already represents a turning point in relation to logic. The mathematical use of the concept "singularity" orients singularity in relation to the ordinary or the regular, and no longer in relation to the universal. We are invited to distinguish what is singular and what is ordinary or regular. What interest does this have for us? Understand, if someone tells me one day, suppose someone – we might wonder, who could say that? – but suppose someone tells me: philosophy isn’t doing too well because the theory of truth in thought has always been wrong. We’ve always been wrong because, above all, we’ve always asked what in thought was true, what was false. And, you know, suppose there is this anonymous voice, filtered through my own, that’s not what matters; in thought, it’s not the true and the false that matter, it’s the singular and the ordinary.

What is singular, what is remarkable, what is notable in a thought? Or what is ordinary, and what does it meant that there would be something ordinary? I think of who had nothing to do with mathematics, who came much later, who was called Kierkegaard and who, much later, would say that philosophy has always ignored the importance of a category, that of the interesting! What is the interesting? [Pause] Suddenly, it’s perhaps not true that philosophy ignored it. There is at least a philosophical-mathematical concept of singularity that perhaps has something interesting to tell us about the concept of "interesting." Fine, it’s precisely that.

This great mathematical discovery is that singularity is no longer thought in relation to the universal, but is thought, rather, in relation to the ordinary or to the regular. The singular is what exceeds the ordinary and the regular. You will tell me, that does not go very far. Yes, it does. Saying this already takes us a great distance since saying it indicates that, henceforth, we wish to make singularity into a philosophical concept, even if it means finding reasons to do so in a favorable domain, namely mathematics.

And in which case does mathematics speak to us of the singular and the ordinary? [Pause] The answer is simple, immediately – I am saying some very, very simple things on purpose -- concerning certain points plotted on a curve. Not necessarily on a curve, we will see later, but notably, concerning certain points plotted on a curve or placed onto a curve, or else, let’s say, generally concerning any figure. A figure can be said quite naturally, I believe that it’s necessary, but one can say that a figure includes singular points and others that are regular or ordinary. Why a figure? Because a figure is something determined! So the singular and the ordinary would belong to the determination, and indeed, that would be interesting! You see that by dint of saying nothing and marking time, we make a lot of progress. Why not define determination in general? It’s very difficult to define determination in general. I tell myself, hey, can’t we define determination in general by saying that it’s a combination of singular and ordinary, and every determination would be like that? Fine, perhaps, right?

But then, in what… We are going very, very slowly. I take a very simple figure: a square. [Pause] Your very legitimate requirement would be to ask me: what are the singular points of a square? Not difficult, there are four singular points in a square, there are four. [Pause] You see, the four vertices a, b, c, d. [Pause] Fine, we are going to try to define a notion, to define singularity, but we remain with examples so that, really… Here, we are making a childish inquiry; I insist on this: we are talking mathematics, but we don’t know a word of it. We only know that a square has four sides, so there are four singular points that I can call, to use a more complicated term, that are the extremum, extremum. There are four extremum. – You are going to see why; I am acting like a clown in saying this because I need this term; you are going to see why -- These points are those marking precisely that a straight line is finite (finie), and that another begins, with a different orientation, at 90 degrees. What will the ordinary points be? This will be the infinity of points that compose each side of the square; but the four extremities will be what are called singular points. [Pause] All ok? Fine.

[Here’s a] question: How many singular points do you give to a cube? [Pause] I see your vexed amazement! [Laughter] [Someone responds, inaudibly] There we are! Very good! – I am disappointed; I was hoping you’d tell me twelve! [Laughter] -- There are eight singular points in a cube. There we are, if you have already understood that, you’ve understood a great deal. That is what we call singular points in the most elementary geometry: points that mark the extremity of a straight line. You sense that this is only a start.

I would therefore oppose singular points and ordinary points. [Pause] An effort: A curve. [Pause] Ah, good, a curve, a rectilinear figure – here is my question, and through it, we come back to a comments made earlier, about what was said in the introduction – a rectilinear figure, perhaps, we’d have to reflect, but perhaps can I say a rectilinear figure that singular points are necessarily the extremum? Maybe not; you’ll have to see; let us assume that at first sight, I can say something like that. For a curve, it’s ruined. Let’s take the simplest example: an arc of a circle -- There, I’ve had enough of the blackboard, so here I will just draw figures in the air; you can follow me fine -- I make an arc of a circle, like that; so, that depends on where I would place the ordinate, concave, as you wish, concave or convex. Underneath, I make a second arc, convex if the other is concave, concave if the other is convex. You see? You see, right? [Laughter] Both meet one another at a point. Underneath I trace a straight line that, in accordance with the order of things – I’ll drag myself to the blackboard I you wish, but it’s really a pain -- I call the ordinate. I am tracing the ordinate. [Deleuze turns to the blackboard] I draw my lines perpendicular to the ordinate, you see. … [Pause while Deleuze moves to the board; laughter from students] There’s no chalk! There’s no chalk! … Oh, là, là… [Pause]

So, I'm writing it very small, eh? I'm happy to make a drawing, but on condition that [inaudible because of the voices] [Pause] It's not bad, eh? [Deleuze draws while commenting] A-B, X-Y, you see? Understood? A-B there, X-Y there, there, there, there. [Pause] A-B, A-B, A-B, in relation -- follow me closely -- A-B, where is it? It’s at the encounter point between the two circles meet, the two arcs on the ordinate. A-B, this is the longest segment in relation to this arc, and it is the shortest in relation to the other. [Pause] Understand? Excellent. [Pause] Second point: this is the shortest or the longest, as you wish. It all depends on whether you took the concave arc or the convex arc. [Pause] Second characteristic: this is the only one that is unique, this is the only segment that is unique. It's simple, you can't say that, but it's interesting.

Here I have to indicate, just so I won’t appear to be wasting your time, that this is Leibniz’s example, in a text with the exquisite title, "Tentamen anagogicum",[4] a tiny little work seven pages which is a master work, and which means in Latin "analogical essays."

So, I am saying two things: Segment ab thus has two characteristics: it’s the only segment raised from the ordinate to be unique. Each of the others has, as Leibniz says, a double, its little twin, he even says this. In fact, xy has its mirror, its image in x’y’, and you can get closer through vanishing differences of ab, there is only ab that remains unique, without twin. Second point: ab can also be considered a maximum or a minimum, [Pause] maximum in relation to one of the arcs of the circle, minimum in relation to the other. Ouf, you’ve understood it all. I’d say that ab is a singularity.

Why have I introduced this example? To complicate matters a bit. I have introduced the example of the simplest curve: an arc of a circle. In what way have I complicated this a bit? Because what I showed was that a singular point is not necessarily connected, is not limited to the extremum. It can very well be in the middle, and in that case, it is in the middle. And it’s either a minimum or a maximum, or both at once. Hence the importance, perhaps you sense this, of a calculus that Leibniz will contribute to extending quite far, that he will call calculus of, in Latin as well, of maximis and of minimis, calculus of maximums and minimums, and then still today, this calculus has an immense importance, for example, in phenomena of symmetry, in physical and optical phenomena. In optical phenomena, calculus of maximums and minimums has a very, very great importance. I would say there we have a singular point; my point A is a singular point; all the others are ordinary or regular. They are ordinary and regular in two ways: [Pause] first, they are below the maximum and above the minimum, and second, they exist doubly. Thus, we can clarify somewhat this notion of ordinary. It’s another case. I started off from the square, there, and we are in arcs of the circle. It’s another case; it’s a singularity of another case.

A new effort: take a complex curve. A complex curve will be what? Here as well, this does not have to concern very, very difficult things. What will we call singularities? It has singularities; a complex curve is defined by its singularities. What are the singularities of a complex curve, in simplest terms? In simplest terms, these are neighboring points of which – hey, this is excellent! By saying some very simple and some very dim things, you understand? We are in the process of gathering lots of things as regards construction of a mathematico-philosophical concept – neighborhood, a singular point has a neighborhood. No matter how little you are familiar with mathematics, you know that the notion of neighborhood is very different from contiguity, is a key notion, for example, in the whole extremely rich domain of mathematics, namely, of topology, and it’s the notion of singularity that is able to help us understand what neighborhood is. Thus, in the neighborhood of a singularity, something changes, that is, the curve grows, or it decreases. [Pause] A curve has moments… You see, I am not creating the drawing; [the curve] grows or it decreases. These points of growth or decrease; I will call them singularities. The ordinary is what? It’s the series, that which is between – you see, we’re making progress – the ordinary is what is between two singularities; that goes from the neighborhood of one singularity the neighborhood of another singularity, of the ordinary or the regular. This seems essential to me.

Understand? This domain is completely, in relation to classical philosophy, completely … fine. I’ve already said to much about it; I will take advantage in order to say, suddenly, why? Henceforth, we grasp some of these relations, some very strange nuptials: isn’t "classical" philosophy’s fate relatively linked, and inversely, to geometry, arithmetic, and classical algebra, that is, to rectilinear figures? You will tell me that rectilinear figures already include singular points, agreed, but understand, once I discovered and constructed the mathematical notion of singularity, I can say that it was already there in the simplest rectilinear figures. Never would the simplest rectilinear figures have given me a consistent occasion, a real necessity to construct the notion of singularity. It’s simply on the level of complex curves that this becomes necessary. Once I found it on the level of complex curves, now there, yes, I back up and can say: ah, it was already an arc of a circle, it was already in a simple figure like the rectilinear square, but before you couldn’t.

The student in math [from the start of the session]: [Brief inaudible comment]

Deleuze [in a rasping voice] … Spare me (Pitié)… My God… He broke me since… [Laughter] You know, speaking is a fragile thing; speaking is a fragile thing. [Pause; Deleuze’s voice is almost at the level of a whisper; the class is extremely silent] Yes, in the end, one might as well answer that with the method of exhaustion and apply the method of exhaustion which was a pre-differential method. [Pause] No, it’s… I don’t know any more.

The student: [Inaudible; he tries to continue speaking but Deleuze stops him, yelling at him]

Deleuze [yelling]: Ah, spare me, spare me, spare me. [Pitié, pitié, pitié] Ah, no, listen, I’ll let you talk for an hour when you want, but not now… Oh, là, là… This is a hole [in memory] [Pause while Deleuze seems to regroup himself somewhat; someone says something to him, and he answer] Ah, no, ah, non, it’s what’s in my head…

Fine, listen. I will read to you a small, late text by a well-known mathematician named [Henri] Poincaré that deals extensively with this topic of the theory of singularities that will be developed during the entire eighteenth and nineteenth centuries. In scientific works, since there are two kinds of undertaking by Poincaré, logical and philosophical projects, and mathematical ones since he is above all a mathematician, there is an essay by Poincaré on differential equations. I am reading just a part of it because his essay addresses the kinds of singular points in a curve referring to a function or to a differential equation. He tells us that there are four kinds of singular points, four kinds of singular points; they’re very important, the names he will attribute to them: first, crests [cols], crests, a geographical term, crest. These are points through which two curves defined by the equation pass, and only two. Here, the differential equation is such that, in the neighborhood of this point, the equation is going to define or going to cause two curves and only two to pass; the crest, through which pass two curves defined by the equation, and solely two. That’s one kind of singularity.

The second type of singularity: knots, knots, in which an infinity of curves defined by the equation come to intersect. The third type of singularity: thresholds [foyers], around which these curves turn while drawing closer to them in the form of a spiral. [Pause] Finally, the fourth type of singularity: centers, around which curves appear in the form of a closed circle, centers around which curves appear in the form of a closed circle. And Poincaré explains in the sequel to the essay that, according to him, one great merit of mathematics is to have pushed the theory of singularities into relationship with the theory of functions or of differential equations.

Why do I quote this example from Poincaré? It’s because already, you could find equivalent notions in Leibniz’s works. Here an already very curious terrain appears, with crests, thresholds, centers, truly like a kind, we don’t know what to say, a kinf of astrology of mathematical geography. I am presenting this example because, you see that we went from the simplest to the most complex; I mean, on the level of a simple square, of a rectilinear figure, singularities were extremum; on the level of a simple curve, you have singularities that are even easier to determine, for which the principle of determination was easy. The singularity was the unique case that had no twin, or else was the case in which the maximum and minimum were identified. There you have more and more complex singularities when you move into more complex curves. Therefore, it’s as if the domain of singularities is infinite, strictly speaking.

What is the formula going to be? Here I request that we go quickly because you will see how this is constructed. I am returning to the topic from earlier. As long as you are dealing with problems considered as rectilinear, that is, in which it’s a question of determining right angles or rectilinear surfaces, you don’t need differential calculus. You need differential calculus when you find yourself faced with the task of determining curves and curvilinear surfaces. What does that mean? This is not by chance. It’s that the singularity – it’s the only thing that I am saying about differential calculus -- in what way is the singularity linked to differential calculus? It’s that the singular point is the point in the neighborhood of which the differential relation dy/dx changes its sign. For example: vertex, vertex relative to a curve before it decreases, before it descends, so you will say that the differential relation changes its sign. It changes its sign at this spot, but to what extent? Here, it’s very well explained in all the textbooks: to the extent that it becomes equal; in the neighborhood of this point, it becomes equal to zero or to infinity. It’s the theme of the minimum and of the maximum that you again find there. No matter.

I just want to say, here is the aggregate. This whole aggregate that I’ve just tried to present with this aggravating outpouring consists in saying: look at the kind of relationship that we have between singular and ordinary, such that you are going to define the singular as a function of curvilinear problems in relation to differential calculus, and in this tension or this opposition between singular point and ordinary point, or singular point and regular point. That’s it, let’s say, this is what mathematicians provide us with as basic material, and yet again if it is true that in certain cases, in the simplest cases, the singular is the extremity, in other simple cases, it’s the maximum or the minimum or even both at once. Singularities there develop more and more complex relations on the level of more and more complex curves.

There we are, let’s assume that there is nothing else; I retain the following formula: a singularity is a point in the neighborhood of which – this is, almost, yes, what one must retain – a singularity plotted or moved onto a curve, or determined on a curve, is point in the neighborhood of which the differential relation changes its sign, and the singularity, the singular point’s characteristic is to extend itself (se prolonger) over the whole series of ordinary points that depend on it all the way to the neighborhood of the subsequent singularity. So, I maintain that the theory of singularities is inseparable from a theory or an activity or a technique of extension.[5] So, understand, this is going to create a great step forward for us.

Wouldn’t these be henceforth a possible definition, or elements for a possible definition of continuity? It wouldn’t be easy to define continuity especially in relation with points. I’d say that continuity or the continuous – I’m saying this casually, to have… -- continuity or the continuous  is the extension of a remarkable point onto a series of ordinaries, of a singular point onto a series of ordinaries, all the way into the neighborhood of the subsequent singularity. Suddenly I’m very pleased! I’m extremely pleased because, at last, I have a kind of definition, even if it doesn’t satisfy us, even if we’re forced to revise it, I have an initial hypothetical definition of what the continuous is. And notice that it’s all the more bizarre since, in order to reach this definition of the continuous, I used what apparently introduces a discontinuity, notably a singularity in which something changes. And rather than being the opposite, it’s the discontinuity that provides me with this approximate definition. As long as I can extend a singularity, it’s continuous. Good, so here we are. That’s all for the mathematical domain.

I pass to the other domain because, while pretending that there is no relation, and you certainly sense that for Leibniz, things don’t work that way, that there are obviously relations between the two domains. This time, it’s the psychological domain. [Pause] And Leibniz tells us, in the end, he tells us something already very odd. He says, well yes, everyone, we all know that we have perceptions, that for example, I see red, it’s qualitative, I see red; I hear the sound of sea, a theme that returns constantly in his works, I hear the sound of the sea; seated on the beach, I hear the sound of the sea. And then, I see red, and there we are, all that, and these are perceptions. Moreover, he says, we should reserve a special name for them, we’ll see why, because they are conscious. This is perception endowed with consciousness, perception endowed with consciousness, that is, perception perceived as such by an "I"; we call it apperception, like a-perceiving (apercevoir). For, in fact, this is perception that I perceive. So, let’s reserve a special name for it, apperception; apperception signifies a conscious perception.

And Leibniz tells us the following, which at first glance nonetheless seem very strange, very… One tells oneself, why not, but why? There really have to – and again, this is the cry, so this is the cry that animates the concept -- henceforth there really have to be unconscious perceptions that we don’t perceive. These unconscious perceptions that we do not perceive will be called “small perceptions”, small perception; we don’t perceive them. You understand that this is very important because these are unconscious perceptions. Why is this necessary? Why necessary?

Oddly, Leibniz will give us two reasons; and these are two reasons, you see, that goes so much without saying, but I would like to do the same thing here, to state for singularities some things so obvious that… Sometimes in texts, he gives them together, but in fact, there are two reasons: it’s that we perceive our apperceptions, our conscious perceptions, these are always global. What we perceive is always a whole, whether this whole is relative, whether it is changing. What we grasp through conscious perception is relative totalities. And it is really necessary that parts exist since there is a whole, and that’s a line of reasoning that Leibniz constantly follows: there has to be something simple if there is something composite; he raises this into a grand principle; and still, it doesn’t go without saying; do you understand what he means? He means that there is no indefinite, and that goes so little without saying that it implies the actual infinite. There has to be something simple since there is something composite. There are people who will think that everything is composite to infinity, and they will be partisans of the indefinite, but for other reasons, Leibniz thinks that the infinite is actual, so he indeed has to say that. Henceforth, we have to, since we perceive the global noise of the waves when we are seated on the beach, we have to have small perceptions of each wave, as he says in summary form, and moreover, of each drop, each drop of water. You will ask me, why? It’s a kind of logical requirement, and we shall see what he means.

The same line of reasoning, and here I insist, on the level of the whole and the parts, he pursues it on the level, this time, not by invoking a principle of totality, but a principle of causality: what we perceive is always an effect, so there have to be causes. These causes themselves have to be perceived; otherwise the effect would not be perceived. In this case, the tiny drops are no longer the parts that make up the wave, nor the waves the parts that make up the sea, but they intervene as causes that produce an effect. You will tell me that there is no great difference here, but let me point out simply that in all of Leibniz’s texts, there are always two distinct arguments that he is perpetually trying to make coexist: an argument based on causality and an argument based on parts, not the same thing. A cause-effect relation and part-whole relation. These cannot at all be entirely the same; we are going to see the problems. Fine.

So, this is how our conscious perceptions bathe in a flow of small perceptions, of unconscious small perceptions. What can that mean? On one hand, this has to be this way, this has to be this way logically, in accordance with the requirement of principles, but the great moments occur when experience comes to confirm the requirement of great principles. When the coincidence, the very beautiful coincidence of principles and experience occurs, philosophy knows its moment of happiness, even if it’s personally the misfortune of the philosopher. And at that moment, the philosopher says: everything is fine, as it should be. So it is necessary for experience to show me that under certain conditions of disorganization in my consciousness, small perceptions force open the door of my consciousness and invade me. When my consciousness relaxes, I am thus invaded by small perceptions that do not become for all that conscious perceptions; they do not become apperceptions since they only invade my consciousness when my consciousness is disorganized.

At that moment, a flow of small perceptions invades me, unconscious small perceptions. It’s not that they stop being unconscious, but it’s me who ceases being conscious. But I live them, there is an unconscious lived experience. I do not represent them, I do not perceive them, but they are there, they swarm in these cases. I receive a huge blow on the head: dizziness is an example that recurs constantly in Leibniz’s work. I get dizzy, I faint, and a flow of small unconscious perceptions arrives: a buzz, a buzz in my head. These texts by Leibniz, obviously, refer to texts that they cannot be aware of, but it’s rather the reverse. Rousseau knew Leibniz, Rousseau who will undergo the cruel experience of fainting after having received a huge blow, and he relates his recovery – it’s the same thing, fainting or emerging from fainting -- and the swarming of small perceptions. It’s a very famous text by Rousseau in The Reveries of a Solitary Stroller, which is the return to consciousness, so this kind of swarming there, something like an itching of small perceptions. Fine.

Leibniz says “dizziness”, fine; let’s look, let’s look, we’re looking for what is called, or what some called at the end of the 19th century, experiences of thought. Experiences of thought, we don’t even need to pursue this, thank God; we know what it’s like, so through thought, we look for the kind of experience that corresponds to the principle: fainting. Leibniz goes much further; he asks himself: wouldn’t that be death? So, that will pose problems for theology. Leibniz’s hypothesis is that death would be that, death, that is, it would be the state of a living person who would not cease living; that is, death would be catalepsy, straight out of Edgar Poe, [Laughter] one is simply reduced to small perceptions.

And yet again, understand well, it’s not that they invade my consciousness, but it’s my consciousness that is extended, that loses all of its own power, that becomes diluted because it loses self-consciousness, but very strangely it becomes an infinitely tiny consciousness of small unconscious perceptions. This would be death. Very good, that it then; you cannot think… One mustn’t be contrary; one must agree, but that creates a load of problems. In other words, death is nothing other than an envelopment, perceptions cease being developed into conscious perceptions, they are enveloped into an infinity of small perceptions. Or yet again, he says, sleep without dreaming; sleep without dreaming is this kind, there are lots of small perceptions. Fine. Let’s continue some examples.

Do we have to say that only about perception? No. And there, once again, appears Leibniz’s genius. There is a Leibnizian psychology, a psychology with Leibniz’s name on it. That was one of the first great theories of the unconscious notably. I have already said almost enough about it for you to understand the difference and extent to which it’s a conception of the unconscious that has absolutely nothing to do with Freud’s. All this to say, to say to Freud’s great advantage, how much innovation one finds in Freud: it’s obviously not the hypothesis of an unconscious that has been proposed by very numerous authors, but it’s the way in which Freud conceived the unconscious. It’s obviously not at all the same way in which Leibniz conceives the unconscious. And, in the lineage from Freud, some very strange phenomena will be found, returning to a Leibnizian conception, but I will talk about that later.

Before we reach that point, understand that he simply cannot say that about perception since, in fact, according to Leibniz, the soul has two fundamental faculties: conscious apperception which is therefore composed of small unconscious perceptions, and what he calls "appetition", appetite, desire. And we are composed of desires and perceptions. And appetition is conscious appetite. If perceptions are made, if global perceptions are made up of an infinity of small perceptions, appetitions or gross appetites as is said, gross appetites are made up of an infinity of small appetitions. And appetitions are vectors corresponding to small perceptions, and that becomes a very strange unconscious with all these small appetitions and these small perceptions, the drop of the sea to which the droplet corresponds, to which a small appetition corresponds for someone who is thirsty. And when I say, "my God, I’m thirsty, I’m thirsty," when I say that, what am I doing? I grossly express a global outcome; ah, I grossly expression a global outcome. And when I say, “I am hungry, I am hungry”, I grossly express a global outcome; a global outcome of what? Of thousands of small perceptions working within me, and thousands of small appetitions that crisscross me. Ah, you will ask, how is that? What does that mean?

I’ll jump again across the centuries. In the beginning of the twentieth century, a great, great Spanish biologist fell into oblivion; his name was [Ramon] Turro [y Darder]. He wrote a book translated in French with the title: The Origins of Knowledge,[6] translated into French in 1914, and this book is extraordinary. Turro was greatly involved with considering hunger – how is this name pronounced in Spanish; it’s written T-u-r-r-o… How?... Anyway, I don’t know -- Turro said that when we say "I am hungry" – in my view, in my view, really, Turro’s background was entirely in biology; I don’t think that he read Leibniz; in any case, Turro isn’t… and this is all the more interesting because his texts could have been signed [Leibniz]… and it’s great when, without any direct influence, there is across a distance of centuries a page, and we might say, hey, we might say, what is someone’s actuality, meaning that two centuries later, someone writes a book in an entirely different domain, and we say, my God, it’s signed Leibniz, it’s Leibniz who has visited us, who has reawakened there, really, it’s strange --.

For Turro said that when one says, "I am hungry," it’s not going well there, because it’s really a global outcome, what he called a global sensation. Since, in the end, he says, he uses these concepts: global hunger and small specific hungers. He said that hunger as a global phenomenon is an effect, a statistical effect. What is… [End of the cassette] [93:12] [The BNF recording omits the whole text of the following paragraph; we benefit from the text furnished by Web Deleuze]

Part 3

[What is] hunger composed of as a global substance? Of thousands of tiny hungers: salt hunger, protein substance hunger, grease hunger, mineral salts hunger, etc. . . . When I say, "I’m hungry," I am literally undertaking, says Turro, the integral or the integration of these thousands of small specific hungers. The small differentials are differentials of conscious perception; conscious perception is the integration of small perceptions. Fine. You see that the thousand small appetitions are the thousand specific hungers. And Turro continues since there is still something strange on the animal level: how does an animal know what it has to have? The animal sees sensible qualities, it leaps forward and eats it, they all eat small qualities. The cow eats green, not grass, although it does not eat just any green since it recognizes the grass green and only eats grass green. The carnivore does not eat proteins, it eats something it saw, without seeing the proteins. The problem of instinct on the simplest level is: how does one explain that animals eat more or less anything that suits them? In fact, animals eat during a meal the quantity of fat, of salt, of proteins necessary for the balance of their internal milieu. And their internal milieu is what? It’s the milieu of all the small perceptions and small appetitions. What a strange communication between consciousness and the unconscious. Each species eats more or less what it needs, except for tragic or comic errors that enemies of instinct always invoke: cats, for example, who go eat precisely what will poison them, but quite rarely. That’s what the problem of instinct is. Return to BNF recording]

This Leibnizian psychology invokes small appetitions that invest small perceptions; the small appetition makes the psychic investment of the small perception, and what world does that create? We never cease passing from one small perception to another, even without knowing it. Our consciousness remains there at global perceptions and gross appetites, "I am hungry," but when I say, "I am hungry," in fact, there are all sorts of passages, metamorphoses. My little salt hunger that passes into another little hunger, a little protein hunger; a little protein hunger that passes into a little fat hunger, or everything mixed up, quite heterogeneously. And children who are dirt eaters, what do you think of that? By what miracle do they eat dirt when they need the vitamin that the earth contains? There we have the problem of instinct. It’s odd. These are monsters, we could say about children who eat dirt; yes indeed, they are monsters! But God even made monsters in harmony. There we are, there we are.

So then, what is the status of psychic unconscious life? It happened that Leibniz encountered the thinking – I don’t think that they met because the other one was dying – the thinking of an English philosopher, named [John] Locke, and Locke had written a book called An Essay Concerning Human Understanding. Leibniz had been very interested in Locke, especially when he discovered that Locke was wrong in everything. [Laughter] And he had fun preparing a huge book that he called New Essays on Human Understanding in which, chapter by chapter, he reviewed and showed that Locke was an idiot. He was wrong, but still it was a great critique of Locke. And then he didn’t publish it because it was quite honest for him, he had a very moral reaction, because Locke had died in the meantime. He told himself, to publish anyway – notice, I am saying this because, today, things don’t work that way anymore [Laughter] – to publish a book against some guy who is either ill or dead, who just dies, that’s not good, there’s something awful in that. So, he had a huge book; his huge book was completely finished, and he put it aside, he didn’t publish it, he wasn’t afflicted by it, he still sent it to some friends, [Laughter] you just can’t be perfect, right?

And I mention all this because Locke, in his best pages, constructs a concept for which I will use the English word, because I’m constrained and force to do so -- and as a result, you aren’t going to understand what the concept is – it’s the concept of "uneasiness." [Pause] That’s not bad… [One student, then another repeat the word to the others] He has a Pakistan accent so it’s not any better than mine… “Uneasy”, “uneasy” … “Uneasy”, what is that? And Leibniz is very clever here because he say “uneasy”, which means, to summarize, it’s unease (malaise), a state of unease, it’s unease, being ill at ease. And “uneasiness”, it’s a state of unease. And Locke tries to explain that it’s the great principle of psychic life. You see that it’s very interesting. Why is this interesting? Because this removes us from the banalities about the search for pleasure or for happiness. Locke says something; he says, generally, well yes, the search for pleasure, that someone seeks his pleasure, it’s quite possible to seek one’s pleasure, one’s happiness, it’s something else. Perhaps it’s possible, but that’s not all; there is a kind of anxiety (inquiétude) for a living person, anxiety. This is an anxiety, you see, it’s not distress either. He doesn’t say it’s distress. Anxiety is a concept. He proposes the psychological concept of anxiety. One is neither thirsting for pleasure, nor for happiness, nor distressed; that’s not it, no. He seems to feel that that’s not it. He thinks that we are, above all, anxious. We can’t sit still, we move around.

And in a wonderful text Leibniz says, you see, that we can always try to translate this concept, but Leibniz says, there is something, no, finally, it’s very difficult to translate because that works well in English, this word works well in English, and an Englishman immediately sees what it is. Ah, I would say it’s someone who can’t sit still. For us, we’d say that someone is nervous, nervous, that’s what “uneasy” would be. Good, that’s possible, what does that mean? You see how he borrows the concept from Locke and he is going to transform it: this unease of the living, what is it? It’s not at all the unhappiness of the living person. Rather, it’s when he is immobile, when he has his conscious perception well framed, it all swarms: small perceptions and small appetites, small appetitions invest the fluid small perceptions, fluid perceptions and fluid appetites ceaselessly move, and that’s it. So, of course, if there is a God, and Leibniz is persuaded that God exists, this uneasiness is so little a kind of unhappiness that it is just the same as the tendency to develop the maximum perception. And the development of the maximum perception will define a kind of psychic continuity. We again find the great theme of continuity, that is, an indefinite progress of consciousness. [Pause]

So, he combines that, simply, how is unhappiness possible? There can always be unfortunate encounters. He says, it’s like when a stone is likely to fall: it is likely to fall along a path that is the right path, for example, and then it can meet a rock that crumbles it or splits it apart. It’s really an accident connected to the law of the greatest slope. That doesn’t prevent the law of the greatest slope from being the best. We can see what he means.

So, there we have an unconscious defined by small perceptions, and small perceptions are at once infinitely small perceptions and the differentials of conscious perception. And small appetites are at once unconscious appetites and differentials of conscious appetition. You see? There is a genesis of psychic life starting from differentials of consciousness. Hence the Leibnizian unconscious is the set of differentials of consciousness. It’s the infinite totality of differentials of consciousness. There is a genesis of consciousness. So, I am saying, this is an unconscious. The idea of differentials of consciousness is fundamental: the drop of water and the appetite for the drop of water, specific small hungers, the world of fainting. All of that makes for a very odd world.

I am going to open a very quick parenthesis. So, what, that unconscious, that unconscious, you will find it in philosophy; it has a very long history in philosophy. Overall, we can say that in fact, it’s the discovery and the theorizing of a properly differential unconscious. You see that this unconscious has many links – this is why I was saying a psycho-mathematical domain – it has many links to infinitesimal analysis. Just as there are differentials for a curve, there are differentials for consciousness. The two domains, the psychic domain and the mathematical domain, project symbols. [Pause] So, fine, I am saying, if I look for the lineage – in my view, whatever they are, there are always predecessors -- but it’s Leibniz who proposed this great idea, the first great theory of this differential unconscious, and from there it never stopped. That will not stop; there is a very long tradition of this differential conception of the unconscious based on small perceptions and small appetitions. It culminates notably in a very great author who, strangely, has always been poorly understood in France, from whom we’ve only retained some very rudimentary things, namely a very strange German post-Romantic named [Gustav] Fechner who is a disciple of Leibniz and who developed the conception of differential unconscious.

I am saying, we say, well then, Freud, “what was Freud’s contribution?”, it’s obviously a non-sense. It’s obvious that the unconscious was already a very well-constructed notion before Freud. But what is also obvious is that Freud broke with this conception of the differential unconscious. And why? If I am trying to state this quite superficially, it’s not that, for Freud, there were no unconscious perceptions, [but] there were also unconscious perceptions, there are also unconscious desires. You recall that for Freud, there is the idea both that representation can be unconscious, and in another sense, affect also can be unconscious. That corresponds to perception and appetition.

But Freud’s innovation is that he conceived the unconscious in a relation -- and here, I am saying something very elementary to underscore a huge, huge difference -- he conceived of the unconscious in a conflictual or oppositional relationship with consciousness, and not in a differential relationship. This is completely different from conceiving of an unconscious that expresses differentials of consciousness or conceiving of an unconscious that expresses a force that is opposed to consciousness and that enters into conflict with it. In other words, for Leibniz, there is a relationship between consciousness and the unconscious, a relation of difference to vanishing differences, whereas for Freud, there is a relation of opposition of forces. I could say, in fact, that the unconscious attracts representations, it tears them from consciousness, and it’s really like two forces like that [Deleuze makes a gesture of opposition]. I could say that, philosophically, Freud depends on Kant and Hegel, that’s obvious. Those who explicitly oriented the unconscious, and who explicitly oriented it in the direction of a conflict of will, and no longer of differential of perception, were from the school of Schopenhauer that Freud knew very well and that descended from Kant. So, there is not basis for not we safeguarding Freud’s complete originality, except that in fact, Freud received his preparation in certain philosophical theories of the unconscious, but certainly not in the Leibnizian strain; it would be a Schopenhauerian strain. But anyway, there we are.

So, to finish with this finally, because… I would like to say this: fine, we have this outline. Our conscious perception is composed of an infinity of small perceptions. Our conscious appetite is composed of an infinity of small appetites. What does that mean? But this is completely different.  Leibniz is in the process of preparing a very strange operation; we have an urge to protest; and if we didn’t hold ourselves back, we would protest immediately. We could say to him, well fine, perception has causes, for example, my perception of green, or of any color, that implies all sorts of physical vibrations. And these physical vibrations are not themselves perceived. Even though there might be an infinity of elementary causes in a conscious perception, by what right does Leibniz conclude from this that these elementary causes are themselves objects of infinitely small perceptions? Why? And what does he mean when he says that our conscious perception is composed of an infinity of small perceptions, exactly like perception of the sound of the sea is composed of the perception of every drop of water? It’s still… yes.

And well, if you look at his texts closely, it’s very odd because these texts say two different things, one of which is manifestly expressed like that, by simplification and the other expresses Leibniz’s true thought. In fact, I am coming back to my topic. You can organize these texts, the aggregate of Leibniz’s texts on small perception, into two headings: some are under the part-whole heading, and in that case, it means that conscious perception is always perception of a whole, this perception of a whole assuming not only infinitely small parts, but assuming that these infinitely small parts are perceived. [Pause] Hence the formula: conscious perception is made of small perceptions, and I am saying that, in this case, "is made of" is the same as "to be composed of”, “to be composed of”, and Leibniz expresses himself in this way quite often.

I select a text that I’ll quote, like that, but there are a lot of them [Pause; Deleuze looks through the text]: "Otherwise we would not sense the whole at all" -- If there were not all these small perceptions, we would have no consciousness at all. I am not making this up here; he only says that – “The organs of sense operate a totalization of small perceptions.” The eye, for example, is what contracts, what totalizes an infinity of small vibrations, and henceforth composes with these tiny vibrations a global quality that I call green, or that I call red, or what I call… Here the text is clear, it’s a question of the whole-parts relationship.

But when Leibniz really wants to say… And understand, this isn’t a way of being suspicious. When Leibniz wants to move rapidly, when he wants to make himself understood quickly, he has every interest in speaking like that, but when he really wants to explain things, -- here, yes, this would be the opposition between making himself understood and explicating – when he wants to make himself understood, he says that; when he really wants to explicate, he says something else, he says that conscious perception is derived from small perceptions. It’s not the same thing, "is composed of" and "is derived from". In one case, you have the Whole-Parts relationship, in the other, you have a relationship of a completely different nature.

So, what different nature? The relation of derivation: that refers us to infinitesimal analysis, what we call a derivative. That also brings us back to infinitesimal calculus: conscious perception derives from the infinity of small perceptions. At that point, I would no longer say that the organs of sense totalize. Notice that the mathematical notion of integral links the two: the integral is what derives from, and the integral is also what operates an integration, a kind of totalization, but precisely, this is a very special kind of totalization; it’s not a totalization through additions; it’s a very special type of totalization. So here, this get interesting. We can say without risk of error that although Leibniz doesn’t indicate it, it’s even the second texts that have the final word. When Leibniz tells us, there is something that conscious perception is composed of small perceptions, this is not his true thinking. We have every reason to say this; I just explained this. On the contrary, his true thinking is that conscious perception derives from small perceptions. What does "derive from" mean?

Well, you recall the text that I just read about the whole. Here is an completely different text by Leibniz: “Otherwise” – this was “otherwise”, we wouldn’t perceive the whole – this is a different text: [Pause; Deleuze looks in the text while humming] "Perception of light or of color that we perceive” -- that is, conscious perception – “is composed of a quantity of small perceptions that we do not perceive, and a noise that we do not perceive but to which we give no attention becomes a-perceptible” -- i.e. passes into the state of conscious perception – “becomes a-perceptible through a tiny addition or augmentation."

Ahhh… you understand? Here, we take this literally: he doesn’t say “through a totalization”; [Pause] we no longer pass from small perceptions into conscious perception via totalization as the first version of the text suggested; we pass from small perceptions into global conscious perception via a tiny addition. We realize, suddenly, we thought we understood, and now we no longer understand a thing. A tiny addition is the addition of a small perception; so, we pass from small perceptions into global conscious perception via a small perception? [Pause; Deleuze gives an exasperates sigh] We tell ourselves that this isn’t right. [Another exasperated sigh] Suddenly, we tend to fall back on the other version of the text, at least that one was clearer. It was clearer, but it was insufficient. Sufficient texts are sufficient, but we no longer understand anything in them.

A wonderful situation, except if we recall or if we chance to encounter an adjoining text in which Leibniz tells us: "We must consider that we think a quantity of things all at once – it seems, for him, -- “we have to consider that we that we think a quantity of things all at once, but we pay attention only to thoughts that are the most distinguished”. Fine, you will tell me, so… and so… [Pause; Deleuze looks in the text] and so… we continue, and we come upon another little fragment.

« For what is remarkable must be composed of parts that are not remarkable” – aahh – “For what is remarkable must be composed of parts that are not remarkable” -- there, Leibniz is in the process of mixing up everything, but on purpose, on purpose. Excellent! We who are no longer innocent, we can situate the word "remarkable”, and we know that each time – once again, I am certain that I’m correct – each time that he uses "notable", "remarkable", "distinguished", it’s in a very technical sense, and at the same time, he creates a muddle everywhere, understand? He accomplished a diabolical master stroke. For the very idea that there is something clear and distinct, ever since Descartes, was an idea that circulated all over. Leibniz slides in his little "distinguished" in the preceding text: “but we pay attention only to thoughts that are the most distinguished”. He might have said, we pay attention only to the clear and to the distinct; he didn’t say that; he said: “we pay attention only to thoughts that are the most distinguished”. Understand "the distinguished”, “the notable”, “the remarkable”, “the singular”, there we are.

So, what does that mean? “We pass from small unconscious perceptions to global conscious perception through a tiny addition”, well yes, obviously. This is not just any tiny addition. That would be stupid if he meant through addition, through an equally unconscious perception, equally small perception. However, if he means something else, then he contradicts himself. For he can not say, in fact, we pass into conscious perception through the addition of a perception that would itself be conscious. So, what does he mean? He means that your small perceptions form a series of ordinaries or a series called regular: all the tiny drops of water, elementary perceptions, infinitesimal perceptions.

How do you pass into the global perception of the sound of the sea? First answer, if I summarize everything; first answer: via globalization-totalization. Commentator’s answer, that is, you and me: fine, it’s easy to say, easy to say, it’s fine. So, myself, I would never think of raising an objection to you. I cannot say that doesn’t work. You have to like an author just enough to know that he’s not mistaken, that if he speaks like that, he has the right to proceed quickly.

Second answer: I pass via a tiny addition. This cannot be the addition of an ordinary or regular small perception, nor can it be the addition of a conscious perception since at that point, consciousness would be presupposed. The answer is that I reach a neighborhood of a remarkable point, so I do not operate a totalization, but rather a singularization. This is through singularization. It’s when the series of tiny perceived drops of water approaches or enters into the neighborhood of a singular point, a remarkable point, that perception becomes conscious. It’s a completely different vision because at that moment, all objections, a great part of the objections made to the idea of a differential unconscious falls away. But you will ask me, what does that mean? That doesn’t mean anything. What does that mean? [Pause] There we are, have you understood? [Pause] Yes, what does that mean? It seems that we are not getting out of this, and at the same time, we are already out; it’s the simplest thing. What does that mean?

So, here arrive the texts by Leibniz that appear the most complete. You recall what we are bringing with us from the start, in fact, the idea that with small elements, this is a manner of speaking because what is differential are not elements, and here, you are fully correct to remind us of this earlier; but we can express it in this way through commodity, and it’s simpler to say this. In fact, what is differential is relations. What is differential is not dx in relation to an x, because dx in relation to an x is nothing. What is differential is not a dy in relation to a y because dy in relation to a y is nothing. What is differential is, and what works within the infinitely small, is dy over dx, it’s the relation.

But what relation? You recall that on the level of singular points, the differential relation changes its sign. That’s excellent! Leibniz is in the process of impregnating Freud without knowing it. On the level of the singularity, there are increases or decreases, the differential relation changes it sign, that is, the sign is inverted. In this case of perception, which is the differential relation? Why is it that these are not elements, but indeed relations? What we must see is that, in fact, what determines a relation is precisely a relationship between physical elements and my body. So, you have dy-dx. It’s the relation of physical excitation to my biological body. That’s the differential relation of perception. So, we will no longer say, at that level, you understand, we can no longer speak exactly of small perceptions. We will speak of the differential relation between physical excitation and the biological [Pause] state by assimilating it frankly to dy over dx, it matters little, by frankly assimilating it to dy over dx.

And perception becomes conscious when the differential relation corresponds to a singularity, that is, changes its sign. In other words, for example, when excitation gets sufficiently closer, [Pause] I would say that, literally to make like Leibniz – he wouldn’t say this -- it’s the molecule of water closest to my body that is going to define the minute increase through which the infinity of small perceptions becomes conscious perception. It’s no longer a relation of whole-parts at all; it’s a relation of derivation. It’s the differential relation between that which excites and my biological body that is going to permit the definition of the singularity’s neighborhood. Notice in which sense Leibniz could say that inversions of signs, that is, passages from consciousness to the unconscious and from the unconscious to consciousness, the inversions of signs refer to a differential unconscious and not to an unconscious of opposition.

Think about when I alluded to Freud’s posterity, in Jung, for example, with the great Freud-Jung rupture, I am not at all saying that’s all there is in Jung because it’s such a mixture, Jung, but Jung has an entire Leibnizian side, and besides, Jung knows Leibniz well, and what he reintroduces, to Freud’s greatest anger -- and it’s in this that Freud judges that Jung absolutely betrayed psychoanalysis -- is an unconscious of the differential type. And he owes that to whom? He owes it to the tradition of German Romanticism; the unconscious of the German Romantics is closely linked also to the unconscious of Leibniz.

So see, I was able to provide a rigorous meaning to Leibniz’s very statement: we pass from small perceptions to unconscious perception through addition of something notable, that is, when the series of ordinaries reaches the neighborhood of the following singularity, such that psychic life, just like the mathematical curve, will be subject to a law which is that of the composition of the continuous. And why is the continuous the object of a composition? There is composition of the continuous since the continuous is a product: the product of the act by which a singularity is extended into the neighborhood of another singularity. And that this works not only upon the universe of the mathematical symbol, but also upon the universe of perception, of consciousness, and of the unconscious, and from this point onward, we have but one question: what are the compossible and incompossible? These derive directly from all this. [Pause] What time is it? [Inaudible answer] Fine, so I will end on this. There we are. Can you go some more? Because if you are done, it would be better to stop. You can? Well, I don’t know what you’re feeling… [ce que vous avez…]

There we are, we possess the formula for compossibility, we possess it. Suppose that I say this: you have a singularity. Now I can say: you take the simplest case; I return to my example of the square with its four singularities. You take a singularity, [Pause] and you trace… you take a singularity, this singular point, it’s a point; you take it as the center of a circle. Are you following me? I am no longer doing the drawing. You take is as the center of a circle. Which circle? All the way into the neighborhood of the other singularity. In other words, you take *a*, you take large A, in the square ABCD, you take large A as center of a circle that stops within the periphery in the neighborhood of singularity B. [With] B, you do the same thing: you take, you trace a circle that stops in the neighborhood of the singularity A and you trace another circle that stops in the neighborhood of singularity C. You see, these circles intersect. [Pause]

So, you go on like that constructing, from one singularity to the next, what you will be able to call a continuity. The simplest case of a continuity is a straight line, but there is also precisely a continuity of non-straight lines. Into what? You see, you have your system of circles that intersect, you will say that there is continuity when [Pause] the values of two ordinary series, those of A to B, those of B to A, coincide. When there is a coincidence of values of two ordinary series encompassed in the two circles, you have a continuity. So, you can construct a continuity made from continuity. You can construct a continuity of continuity. The square would be a continuity of continuity. If the series of ordinaries that derive from singularities diverge, then you have a discontinuity. Fine, that becomes quite simple.

You will say that a world is constituted by a continuity of continuity, first definition. A world is constituted by a continuity of continuity, it’s the composition of the continuous. A discontinuity is defined when the series of ordinaries or regulars deriving from two points diverge. Third definition: the existing world is the best? Why? Because it’s the world that assures the maximum of continuity. Fourth definition: what is the compossible? An aggregate of composed continuities. Final definition: what is the incompossible? When the series diverge, when you can no longer compose the continuity of this world with the continuity of this other world. Divergence in the series of ordinaries that depend on singularities: at that moment, it can no longer belong to the same world.

You have a law of composition of the continuous that is, really, I’m returning here, psycho-mathematical. Why isn’t that evident? Why is all this exploration of the unconscious necessary? Why isn’t that evident? Because, yet again, God is perverse. God’s perversity lies in having chosen the world that implicates the maximum of continuity – you see, calculus of the maximum – he chose the world and caused to pass into being, into existence the world that implied the maximum of continuity. Only, here we are, he composts the chosen world in this form, only he dispersed the continuities since these are continuities of continuities. God dispersed them.

What does that mean? It seems that there are, says Leibniz, in our world, it seems that there are discontinuities, leaps, ruptures as he says with an admirable term, it seems that there are musical descents (chutes de musique), there are musical descents. But in fact, there are none. It’s simply that, for example, it seems there is a gap… or to some among us, it seems – on the contrary, there are certain people to whom it seems there is not – but to some among us, it seems that there is a gap between man and animal, a rupture. This is necessary because God, with his/her extreme malice, conceived of the world to be chosen in the form of the maximum of continuity, so there are all sorts of intermediary degrees between animal and man, but God held back from making these visible to us. If the need arose, God placed them on other planets of our world. Why? Because finally, it was good, it was good for us to be able to believe in the excellence of our domination of nature. If we had seen all the transitions between the worst animal and us, we would have been less vain.

So, this vanity is still quite good because it allows man to establish his power over nature. In the end, it’s not a perversity of God; it’s that God never ceased breaking continuities that God had constructed. Why? In order to introduce variety in the chosen world, in order to hide the whole system of tiny differences, of vanishing differences. So, God proposed to our sensory organs and to our feeble thinking, presented on the contrary a very divided world. We spend our time saying that animals have no soul, as Descartes would say, or else that they do not speak, or else all of that. But not at all, not at all: there are all sorts of transitions, there are always all sorts of tiny differences, etc.

So, you see, the definition at which we’ve arrived, and where I want to stop, here we grasp something, a specific relation that is compossibility or incompossibility. I would say yet again that compossibility is when series of ordinaries converge, series of regular points that derive from two singularities and when their values coincide, otherwise there is discontinuity. In one case, you have the definition of compossibility, in the other case, the definition of incompossibility. Question, once again: why did God choose this world rather than another, when another was possible? Leibniz’s answer which, in my view, becomes splendid: it’s because it is the world that mathematically implicates the maximum of continuity, and it’s uniquely in this sense that it is the best, that is the best of possible worlds.

There we are, finally, I’d just like you to retain this: everything is constructed around what? If you will, that’s what a concept is; it becomes very, very… You see? A concept is always a complex. A concept is always something very complex. We can situate our session today under the sign of the concept of singularity. And the concept of singularity has all sorts of languages that intersect within it. A concept is always, literally, polyvocal; it is necessarily polyvocal since you can grasp the concept of singularity only through a minimum of mathematical apparatuses: singular points in opposition to ordinary or regular points, on the level of thought experiences of a psychological type: what is dizziness, what is a murmur, what is a hum, etc. [Pause] And on the level of philosophy as concept, in Leibniz’s case, the construction of this relation of compossibility.

And the three will have to… It’s not a mathematical philosophy, no more than mathematics becomes philosophy, but in a philosophical concept, there are all sorts of different orders that necessarily symbolize. And already here, I would say, it’s true for any philosophical concept that it is a philosophical concept that it has a philosophical heading, it has a mathematical heading, and it has a heading for an experience of thought. And it’s true of all concepts, it’s true for all.

So, I believe that it was a great day for philosophy when someone brought this odd couple to general attention, and that’s what I call a creation in philosophy. I call it this “odd couple”; I mean, well yes, when Leibniz proposed this topic – you know, the singular, there precisely is the act of creation -- when Leibniz tells us, you know, the singular, think about this well, there is no reason for you simply to oppose it to the universal. It’s much more interesting if you listen a bit to what mathematicians say, who for their own reasons think, on the contrary, of "singular" not in relation to "universal," but in relation to "ordinary" or "regular." So, Leibniz isn’t doing mathematics at that point.

I would say that his inspiration is mathematical, and he goes on to create a philosophical theory, notably a whole conception of truth that is radically new since it’s going to consist in saying: don’t pay too much attention to the matter of true and false; you don’t ask in your thinking what is true and what is false, because what is true and what is false in your thinking always results from something that is much deeper. What matters in thinking is what is remarkable, these are remarkable points and ordinary points. Both are necessary: if you only have singular points in thinking, you have no method of extension, it’s worthless; if you have only ordinary points, it’s in your interest to think something else, it’s all the same, all that. And the more you believe yourself [to be] remarkable (special), the less you think of remarkable points, necessarily, necessarily.

In other words, the thought of the singular is the most modest thought in the world. It’s there that the thinker necessarily becomes modest, because the thinker is the extension onto the series of ordinaries, and thought itself explodes in the element of singularity, and the element of singularity is the concept. There we are. [End of the recording] [2:17:37]

 

Notes

[1]  Cf. https://www.youtube.com/watch?v=70-oa98QgvI

[2] We have to indicate that this translation is based on a transcript that we have completely transformed from the text that has been available for some twenty years on Web Deleuze, since we have scrupulously followed here, without edits or unforeseen omissions, the audio recording available on several platforms (YouTube, Web Deleuze, Paris 8, and here on The Deleuze Seminars). We have therefore expanded the text of this second session on Leibniz by approximately forty minutes, that is, in addition to the approximate equivalent of about ninety minutes contained on the earlier transcript. We have benefitted, however, from Web Deleuze’s alternate transcription in order to fill in two specific gaps that occurred when the recording was interrupted for cassette changes, at the end of parts 1 and 2.

[3] Jules Vuillemin’s, La philosophie de l’algèbre (Paris: PUF, 1960, 1962).

[4] The complete title is "Tentamen Anagogicum. Anagogical Essay on Research into Causes." See https://fr.wikisource.org/wiki/Essai_anagogique_dans_la_recherche_des_causes, for an image Leibniz’s drawing within this small work.

[5] Deleuze will develop these reflections on perception, tiny perceptions, and differentials in chapter 7 of The Fold. Leibniz and the Baroque, cf. pp. 85-99; Le Pli, pp. 113-132.

[6] Ramon Turry y Darder, Les origines de la connaissance (1914 ; Paris : Hachette Livre-BNF, 2018).

French Transcript

Edited

 

La troisième séance de cinq consacrées à la philosophie de Leibniz, à la lumière des questions suivantes : qu'est-ce que c'est qu'une singularité au niveau mathématique, et qu'est-ce que Leibniz crée là-dedans ? … Deuxième question : qu'est-ce que c'est que la théorie leibnizienne des singularités psychologiques? Et dernière question : en quoi est-ce que la théorie mathématico-psychologique des singularités, telle qu'elle est esquissée chez Leibniz nous donne-t-elle une réponse à la question : qu'est-ce que l'incompossible, et donc à la question qu'est-ce que l'analyse infinie ? Qu'est-ce que c'est que cette notion mathématique de singularité ?

Gilles Deleuze           

Leibniz : La Philosophie et la Création des Concepts, 1980-3

3ième séance, 29 avril 1980

Transcription originale et augmentée, à partir du vidéo YouTube,[1] par Charles J. Stivale

 

Partie 1

Aujourd'hui, alors, nous avons à faire des choses à la fois amusantes, récréatives, mais aussi tout à fait délicates. Donc il me faut toute votre attention pendant un certain temps. D’abord, on vient de me dire que l’un d’entre vous souhaitait poser une question sur quelque chose. C’est quoi, la petite question ?

Un étudiant : La question, c’est lorsque [mot indistinct] à la fin du 19ème siècle, on connaît le calcul infinitésimal en France et en Europe d’une manière générale, on a élevé un certain nombre d’objections qui portaient sur ceci, que certes ce calcul permettait de résoudre d’une manière plus simple à un certain nombre de problèmes de géométrie, par exemple, trouver la tangente à certaines courbes, [1:00] le parabole, par exemple, mais que ce calcul était très louche parce qu’il faisait un certain [mot inaudible] et quantité, il n’avait pas d’existence géométrique et n’avait qu’une existence virtuelle. A quoi les partisans du calcul infinitésimal, les partisans de Leibniz, les gens comme [deux noms indistincts] répondent que ce qui importe, ce n’était pas la quantité dx qui était effectivement une quantité évanouissante par rapport à x, ou dy par rapport à y, mais que ce qui importait, c’était le rapport dy sur dx. Alors, la question que je voudrais poser, c’est : est-ce que vous voyez un rapport entre cette manière de considérer un rapport qui porte sur des variables non-qualifiées, des variables abstraites ? Est-ce que vous avez dit il y a trois mois sur l’axiomatisation et le calcul différentiel comme reposant sur une fonction, c’est-à-dire une relation fonctionnelle qui porte également non pas sur des variables, mais sur des rapports entre variables qui dans ces rapports ne sont pas qualifiées [mots indistincts]. Est-ce que [2 :00] c’est clair ?

Deleuze : Très claire, la question est très claire, [Pause]

L’étudiant : Si vous voulez, j’ai la réponse.

Deleuze : Ah bon ! [Rires] Ah, bon ! Ah, bon ! Eh ben, si tu répondais d’abord. [Pause] Je sens que ça ne va pas être la même. On pourrait répondre en même temps, chacun une phrase, comme tu veux, comme tu veux. [Pause] Alors, tu réponds, pour qu’on ne puisse pas dire que ta réponse n’était pas juste. Alors, tu réponds.

L’étudiant : La réponse, c’est que, moi je dirais que, dans une certaine mesure, oui, mais qu’intervient avec ce que vous avez appelé axiomatique [mots indistincts], intervient quelque chose qui n’intervient pas dans le calcul infinitésimal [mots indistincts], qui sera identification ou fusion de deux choses, la condition [3 :00] et la fonction, et qui s’opèrent à la fin du 18ème siècle de manière indépendante, que chez plusieurs auteurs [mots indistincts], chez deux auteurs, [mots indistincts], quoi qu’il dit qu’il y a autant de catégories qu’il y a de jugements dans l’entendement, et d’autre part, chez Cuvier, la conception de la fonction ou l’ensemble des [mots indistincts] comme condition d’existence d’un élément. C’est-à-dire, contrairement à ce qu’on raconte, Cuvier n’a jamais cru que, n’a jamais dit qu’il y a quatre plans dans [mots indistincts] ; il a toujours dit qu’il y a un plan abstrait, cette diversité entre quatre modes [mots indistincts], et ce plan abstrait, ça se dit de la fonction, contrairement d’un autre plan qui était [mots indistincts] à la même époque par d’autres [mots indistincts]. [4 :00] Moi, je dis qu’il manque quelque chose au calcul infinitésimal pour que ça soit vraiment un axiomatique fonctionnel, pour que ça porte vraiment sur variables [mots indistincts], sur des rapports entre variables, le quelque chose qui manque, c’est la fusion de [éternuement bruyant] comme dans la philosophie transcendentale, la fonction comme unité [mots indistincts], sur la condition de l’expérience. Pour que cette expérience est possible, pour que cette expérience soit possible, il faut admettre qu’il y a cet aspect transcendental qui est défini par [mots indistincts] et par une table des fonctions. [Pause] Est-ce que c’est clair ?

Deleuze : Très claire, très claire, très claire. Mais ta réponse me paraît plus large que la question, parce que ta réponse consiste à faire un concept très complexe ou très mélangé [5 :00] de fonctions. Sur le concept des fonctions lui-même, il est très difficile puisque tu as dans ta réponse à la fois une fonction logique du jugement à la manière de Kant, une certaine conception biologique de la fonction à la manière de Cuvier et des naturalistes, et tu sous-entends la fonction mathématique. Alors ça fait un drôle de concept.

L’étudiant : [Réponse inaudible en gros, 5 :25-5 :55]

Deleuze : Pourquoi pas ? Pourquoi pas ? [Deleuze dit cela d’une manière peu convaincue]… Quant à la question même, je dirais ceci… [Pause] Tu comprends… il me semble qu'on ne peut pas dire, à la fin du 17ème [6 :00] siècle et au 18ème siècle il y a des gens pour qui le calcul différentiel est un artifice et des gens pour qui le calcul différentiel représente, au sens quelconque de représenter, quelque chose de réel. On ne peut pas dire ça parce que la coupure, il me semble, n'est pas là. Elle n’est pas là ; je prends un exemple simple, quelqu’un qui croit que, en laissant dans le vague tout à fait, quelqu’un qui croit vraiment au calcul différentiel comme Leibniz. Leibniz n'a jamais cessé de dire que le calcul différentiel est un pur artifice, c'est un système symbolique. Donc sur ce point tout le monde est strictement d'accord. Là où commence le désaccord, c'est dans la compréhension de ce qu'est un système symbolique, [7 :00] mais quant à l'irréductibilité – ça, j’ai essayé de le dire la dernière fois -- quant à l'irréductibilité des signes différentiels à toute réalité mathématique, c'est-à-dire à la réalité géométrique, arithmétique et algébrique, tout le monde est d'accord.

Là où se fait une différence c'est lorsque les uns pensent que, dès lors, le calcul différentiel n'est qu'une convention, et une convention très louche, et ceux qui pensent que, au contraire, son caractère artificiel par rapport à la réalité mathématique lui permet d'être adéquat à certains aspects de la réalité physique. D’accord ?

L’étudiant : Ça, c’est très lourd de conséquence parce que, alors là… [les propos sont parfois difficiles à citer de manière juste ; en gros, l’étudiant indique la perspective de Leibniz a finalement bloqué pendant deux siècles la possibilité de penser le concept d’infini de manière plus ouverte que selon le calcul infinitésimal. L’étudiant cite quelques exemples et modèles d’une perspective plus actuelle en mathématiques.] [7 :45-9 :42]

Deleuze : On peut imaginer ce que Leibniz dirait s’il entendait ça, parce que jamais Leibniz – je fais aussi cette précision qui paraît un pur fait – jamais Leibniz n'a pensé que son analyse infinitésimale, son calcul différentiel, à lui, tels qu'il les concevait, suffisaient à épuiser [10 :00] le domaine de l'infini tel que lui, Leibniz, le concevait. Par exemple, même au niveau du calcul, il y a ce que Leibniz appelle – on en parlera un peu aujourd’hui -- le calcul du minimum et du maximum qui n'est pas du tout une dépendance du calcul différentiel. Donc le calcul différentiel chez Leibniz correspond à certains ordres d'infini. Quand tu réclames un infini qualitatif ou la possibilité d’un infini qualitatif en disant que Leibniz a fermé la porte à une telle analyse, ça me paraît tout à fait inexact, ça, car s’il est vrai qu'un infini qualitatif ne peut pas être saisi, en effet, par le calcul différentiel, en revanche, Leibniz est tellement conscient de ça qu'il instaure d'autres modes de calcul relatifs à d'autres ordres d'infini. Et seconde remarque qui me semble purement de fait, ce qui a liquidé cette direction [11 :00] de l'infini qualitatif, ou même de l'infini actuel tout court, ce n'est pas Leibniz qui l'a bouché. D’après les exemples même que tu cites, la « lettre à Meyer » [de Spinoza], l’histoire du cône et du cercle, l’histoire de tout ce qu’on peut appeler l’histoire du minimum et du maximum, dans toute cette histoire, ce qui a bouché cette voie, c’est… au profit et davantage, c'est la révolution kantienne; c'est la révolution kantienne qui a imposé une certaine conception de l'indéfini et qui a mené la critique la plus absolue de l'infini actuel. Ça c'est la faute de Kant, ce que tu dis ; c’est n’est pas du tout la faute de Leibniz.

L’étudiant : [Inaudible]

Deleuze : … pour la raison qu’on vient de dire, le caractère diabolique du calcul différentiel. Comment est-ce qu’un artifice, comment est-ce qu’une convention peut être en même temps ce qui va [12 :00] nous permettre de pénétrer les secrets de la nature elle-même ?

L’étudiant : [Inaudible]

Deleuze : Évidemment, non ! Évidemment, non !

L’étudiant : [Inaudible]

Deleuze : Tu comprends, il faut, il me semble, pour comprendre ces problèmes, une fois de plus, ce n’est pas que je me sens tant en désaccord avec ce que tu dis, c’est que ça prend tout de suite une dimension très, comment dire, abstraite ce que tu dis. Il me semble que c’est juste, pas faux, là, ce que tu viens de dire. Mais, on ne peut pas le comprendre si on ne voit pas en même temps [13 :00] quel problème pratique ça sous-tend. Alors, quand tu poses la question, « qu’est-ce que [Girard] Desargues aurait dit ? », un mathématicien-géomètre qui a précédé donc Leibniz, et qui précède la découverte du calcul différentiel, qu’est-ce que Desargues aurait dit ? D’abord, le calcul différentiel.

Et historiquement, j’attends ce genre de question parce qu’il n’y a pas le moment où il n’y a pas de calcul différentiel et le moment où il y en a un. Quand il n’y a pas…

L’étudiant : [Il interrompt Deleuze ; inaudible]

Deleuze : Quand il n’y a pas le calcul différentiel, ils ont un calcul qui sert la même chose, qui n’a pas la perfection symbolique, et qui existe depuis les Grecs.

L’étudiant : [Il continue à faire des remarques en interrompant Deleuze ; Deleuze lui répond à voix très basse, mais l’étudiant continue] … a trouvé la tangente de la parabole selon la méthode leibnizienne, mais je suis persuadé que Desargues, Pascal ou [Philippe de] Lahire aurait eu la possibilité [14 :00] de résoudre le même problème suivant la méthode grecque en décrivant des rapports… [Inaudible]

Deleuze : Non. [Pause] Non. [Pause] Non. Non, non, non. [L’étudiant continue, mais Deleuze l’interrompt] Avec quelle méthode ? Ecoute, tu es en train de dire n’importe quoi. C’est très simple, les problèmes de géométrie. Vous avez deux types de problème, enfin, à cette époque, qu’ils soient au Moyen Age, qu’ils soient chez les Grecs. Il y a deux types de problèmes, les problèmes où il est question de trouver des lignes dites droites et des surfaces dites rectilignes. La géométrie et l'algèbre classiques suffisent. Vous avez des problèmes, et vous obtenez les équations nécessaires; c'est ce qu’on appelle, Leibniz en parle, c’est la géométrie, si vous voulez, d'Euclide. Euclide, Apolonius, toute une direction [15 :00] de la géométrie. La géométrie n’a pas cessé de se trouver, déjà chez les Grecs, puis au Moyen-Age aussi parce que ça se complique de plus en plus, devant un type de problème d'une autre nature : c'est lorsqu'il faut chercher et déterminer des courbes et des surfaces curvilignes. Là où tous les géomètres sont d'accord : les méthodes classiques de la géométrie et de l'algèbre ne suffisent plus.

Les Grecs, donc, déjà qui vont traiter ces problèmes, doivent inventer une méthode spéciale ; c’est ce qu'on a retenu sous le nom de la méthode d'exaustion, cette méthode d’exhaustion qui permet de déterminer les courbes et les surfaces curvilignes en tant qu'elles donnent des équations de degrés variés, à la limite infinie, une infinité de degré variés dans l'équation. C'est ces problèmes-là qui vont rendre nécessaire et qui vont inspirer [16 :00] la découverte du calcul différentiel, et la manière dont le calcul différentiel prend le relais de la vieille méthode d'exaustion. Si vous rattachez un système mathématique, un symbolisme mathématique à, déjà, une théorie, si vous ne le rattachez pas au problème pour lequel il est fait, alors à ce moment-là, on ne peut plus rien comprendre. C’est pour ça que j’insiste énormément sur le point suivant : le calcul différentiel n'a de sens que si vous avez et si vous vous trouvez devant une équation dont les termes sont à des puissances différentes. Il n’est pas question que si vous n’aviez des équations dont les termes sont à des puissances différentes, de type x2y, si vous n'avez pas ça, non seulement c'est un non sens de parler de calcul différentiel, il n’est même pas question que ce symbolisme [17 :00] soit créé ; ça serait un non-sens, ça serait un pur non-sens.

Or, c'est très bien de considérer la théorie qui correspond à un symbolisme, ou est impliqué par un symbolisme, mais vous devez aussi considérer complètement la pratique. Quelle pratique ? Quand tu invoques Desargues, c’est évident que Desargues, il a besoin de quoi et par rapport à quoi ? Il a besoin, en effet, déjà d’un symbolisme que, lui, il est forcé de créer. C’est que la méthode d’exhaustion ne lui suffit pas. C’est précisément pour des problèmes de taille de pierres, des problèmes de, en gros, d’arrondissement, des problèmes de voûte, comment en faire une voûte ? Il y a toute une pratique, là. L’analyse infinitésimal aussi, on ne peut rien comprendre si on ne voit pas que précisément – c’est pour ça que j’essaie d’insister énormément là-dessus -- que toutes les équations physiques [18 :00] sont par nature des équations différentielles. Un phénomène physique ne peut être étudié, et là, Leibniz sera très fort, vous comprenez, parce que tout le thème de Leibniz, ce sera : Descartes ne disposait que de la géométrie et de l'algèbre et de ce que Descartes lui-même avait inventé sous le nom de géométrie analytique. Mais si loin qu'il ait été dans cette invention, ça lui donnait à la rigueur le moyen de saisir les figures et le mouvement, et encore, les figures et le mouvement sous l'espèce rectiligne.

Or l'ensemble des phénomènes de la nature étant finalement des phénomènes de type curviligne, ça ne marche pas. Descartes en reste aux figures et au mouvement. Leibniz traduira : c'est la même chose de dire que la nature procède de façon curviligne, ou de dire qu'au-delà des figures et du mouvement, [19 :00] il y a quelque chose, à savoir le domaine des forces, et au niveau même des lois du mouvement, Leibniz va tout changer, grâce précisément au calcul différentiel. Quand il dira – on verra ça plus tard – quand il dira que ce qui se conserve ce n'est pas MV, ce n'est pas masse et vitesse, ce qui se conserve, c'est MV2. A ne rien comprenez que là quand on retrouvera ce thème, la seule différence dans la formule, c'est l'érection de v à la puissance 2, c'est rendu possible par le calcul différentiel parce que c'est le calcul différentiel qui permet la comparaison des puissances et des rejets. Donc, il ne faut même pas dire à ce moment-là, pourquoi Descartes n'avait pas vu que ce qui se conservait, c’était MV2 ? Pourquoi est-ce qu’il avait cru que c’était MV ? Descartes, évidemment, n’avait pas le moyen technique de dire MV2. Ce n’était pas possible. MV2, du point de vue du langage, [20 :00] et de la géométrie, et de l'arithmétique et de l'algèbre est un pur et simple non-sens.

Alors aujourd’hui, tout change. Avec ce qu'on sait en science aujourd'hui, on peut toujours expliquer que ce qui se conserve, c'est MV2 sans faire aucun appel à l'analyse infinitésimale. Ça se fait dans les manuels de lycée, mais pour le prouver, et pour que la formule ait un sens, pour que la formule soit autre chose qu’un non-sens, il faut tout l'appareil du calcul différentiel. Mais, enfin, voilà, bon.

George Comtesse : [Intervention inaudible, 20 :45-23 :20] [Au début, Deleuze lui dit : Ah, oui, j’ai oublié ça]

Deleuze : Ecoute, pourquoi pas ? Pourquoi pas ? Mais je fais un peu la même réclamation que tout à l’heure. C’est que tu fais un schéma théorique très intéressant, mais à charge pour toi de tenir compte que c’est un fait, dans le domaine du calcul différentiel et axiomatique, le fait sur lequel j’aurais tendance à insister, sur un fait historique, c’est ceci : c’est que le calcul différentiel et l'axiomatique ont bien un point de rencontre, mais ce point de rencontre est de parfaite exclusion. [24 :00] Je veux dire que, historiquement, c'est très tardivement que se fait ce qu’on appelle, ce que certains historiens des mathématiques appellent le statut rigoureux du calcul différentiel. Le statut rigoureux du calcul différentiel, ça veut dire quoi ? Ça veut dire que tout ce qui est convention ou du moins, tout ce qui, non, mettons, gardons le mot très vague de « convention », est expulsé du calcul différentiel. Or, qu’est-ce qui est convention, même pour Leibniz, qu'est-ce qui est artifice dans le calcul différentiel ? Ce qui est artifice, c'est tout un ensemble de choses : l'idée d'un devenir, l'idée d'une limite du devenir, [25 :00] l'idée d'une tendance à approcher de la limite, tout ça, c'est considéré par les mathématiciens comme des notions absolument métaphysiques. L'idée qu'il y a un devenir quantitatif, l'idée qu’il y a une limite de ce devenir, l’idée qu'une infinité de petites quantités s'approchent de la limite, tout ça c'est considéré comme des notions absolument impures, donc comme réellement non axiomatiques ou non axiomatisables.

Donc, dès le début, je me dis, l'idée du calcul différentiel, que ce soit chez Leibniz, que ce soit chez Newton et chez leurs successeurs, n'est pas séparable et pas séparée d'un ensemble de notions jugées non rigoureuses et non scientifiques, et eux-mêmes sont tout prêts à le reconnaître. Alors, qu’est-ce qui se passe ? [26 :00] Il se passe qu'à la fin du 19ème siècle et au début du 20ème, le calcul différentiel ou l'analyse infinitésimale est dit de recevoir un statut rigoureusement scientifique. À quel prix ? On en chasse toute référence à l'idée d'infini; on chasse toute référence à l'idée de limite ; on chasse toute référence à l'idée de tendance à la limite. Qui c’est qui fait ça ? C’est-à-dire on va donner une interprétation et un statut du calcul qui est très curieux parce qu'il cesse d'opérer avec des quantités ordinaires, et on en donne une interprétation purement ordinale. Dès lors, ça devient un mode d'exploration du fini, du fini comme tel. Toute l’interprétation du calcul est changée. C'est un très grand mathématicien qui fait ça : c’est [Karl] Weierstrass. Mais c'est très tardif. [27 :00] Au point que, dans une axiomatique alors… Lui, il fait une axiomatique du calcul, mais à quel prix ? Il le transforme complètement. Au point que, aujourd'hui lorsque l'on fait du calcul différentiel, il n'y a plus aucune référence aux notions d'infini, de limite et de tendance à s'approcher de la limite, plus aucune référence à ces choses-là. Il y a une interprétation statique. Il n'y a plus aucun dynamisme dans le calcul différentiel. C’est la grande conquête de Weierstrass, une interprétation statique et ordinale du calcul. Vous trouverez, pour ceux que ce point intéresserait, il y a un livre qui, à la fin, comporte des appendices, il y a tout un appendice à la fin de ce livre, sur la manière dont l’interprétation actuelle du calcul différentiel se passe de toute référence aux notions d’infini ou d’infiniment petit. C’est le livre de [Jules] Vuillemin [Deleuze l’épèle] Philosophie de l'algèbre (1962). [28 :00]

Alors, là, il me semble que ce fait est très important pour nous parce que ça il doit bien nous montrer que les rapports différentiels… Bien plus, ça, tous les mathématiciens étaient d'accord, même avant l'axiomatisation, pour dire que le calcul différentiel interprété comme méthode d'exploration de l'infini était une convention impure. Et encore une fois, je ne cesse pas de le dire, Leibniz était le premier [à dire ça], mais seulement, il faut savoir quelle est alors la valeur symbolique. Mais, du point de vue et dans le nouveau sens que l’axiomatique donne à symbolique, si on expulse tout ce domaine, tout ce domaine impur, je peux dire alors vraiment, l’axiomatique, les relations axiomatiques et les rapports différentiels, bien non. Ils doivent absolument… Je me souviens d’un mathématicien du 19ième siècle, par exemple, [29 :00] qui dit encore, c’est une expression qui… Il dit, oui, le calcul différentiel, ça a toujours été une hypothèse gothique, une hypothèse gothique. Il n’y a pas de pire injure pour un mathématicien, une hypothèse gothique, et sur ce point, jusqu’à ce que le calcul reçoive… [Deleuze ne termine pas la phrase]

Or, en ce sens, je dis, il y a opposition. Il y a opposition entre les rapports différentiels tels qu’ils sont interprétés jusqu’à la fin du 19ième [siècle], et les exigences d’une axiomatique. Alors, ça n’empêche pas qu’en effet,… pourquoi ? Parce que l'infini a complètement changé de sens, de nature et finalement, il est complètement expulsé, le calcul. Alors ce que tu dis est très possible, mais à condition, presque, que tu arrives à montrer, il me semble, le point sur lequel porte l’opposition entre un ensemble de relations axiomatiques et les rapports différentiels.  

Alors, moi, j’ai bien, j’ai bien [30 :00] juste là une vague idée, mais enfin… Si tu veux, il me semble qu’un rapport différentiel du type dy sur dx est tel qu'on l'extrait de x et y. Bon. En même temps, dy, ce n'est rien par rapport à y, c'est une quantité infiniment petite, dx, ce n'est rien par rapport à x, c'est une quantité infiniment petite. En revanche, dy sur dx, c'est quelque chose, mais c'est quelque chose de tout à fait autre que y sur x. Par exemple, si y sur x – comme tu as très bien dit – si y sur x désigne une courbe, dy sur dx désigne une tangente, et encore pas n'importe quelle tangente. Bon.

Je dirais donc que le rapport différentiel est tel qu'il ne signifie plus rien de concret,  [31 :00] il ne signifie rien de concret par rapport à ce dont il est dérivé, c'est dire par rapport à x et à y, mais il signifie autre chose de concret -- et c'est par là qu'il assure le passage aux limites -- il assure autre chose de concret, à savoir un z.

L’étudiant : [Inaudible]

Deleuze : Bien sûr que non. Oh, ne complique pas les choses. Je ne dis pas que c’est forcément [mot indistinct]. [Pause] Comprenez ? C'est exactement comme si je disais que le calcul différentiel est complètement abstrait par rapport à une détermination du type a sur b, mais en revanche, il détermine un c. Tandis que la relation axiomatique, non. La relation axiomatique est complètement formelle de tous les points de vue, de tous les points de vue. Si elle est formelle par rapport à a et b, elle ne détermine pas un c qui lui serait concret. [32 :00] Donc elle n'assure pas du tout un passage. Ce serait toute l'opposition classique entre genèse et structure. L'axiomatique, c'est vraiment la structure commune à une pluralité de domaines, une structure commune à une multiplicité de domaines. Le calcul différentiel, ancienne manière… [Deleuze est interrompu]

L’étudiant : [Inaudible ; Deleuze répond pendant qu’il parle : D’accord, d’accord]

Deleuze : … un peu comme, mais la différence est plus importante que la ressemblance, il me semble. [Pause] Bon, allez. On y va. [Pause]

Eh bien, eh bien, eh bien, la dernière fois, vous vous rappelez, peut-être on en était juste à mon second grand titre, et ce second grand titre portait sur : Substance, Monde, et Compossibilité. [33 :00] Et on avait vu la première partie de ce grand titre. Et la première partie essayait de dire, qu’est-ce que c’est que Leibniz appelle l'analyse infinie ? Et la réponse était ceci – notre réponse, mais on avait cherché beaucoup – notre réponse était ceci : l'analyse infinie a trait à ceci, ou bien remplit la condition suivante, elle apparaît dans la mesure où la continuité et les petites différences ou différences évanouissantes se substituent à l'identité. C'est lorsque l'on procède par continuité et différences évanouissantes que l'analyse devient proprement analyse infinie. Donc on avait essayé [34 :00] d’expliquer pourquoi et je ne reviens pas dessus.

Et je tombe sur le deuxième aspect de la question ; dès lors, voyez, il y aurait analyse infinie, il y aurait matière à analyse infinie lorsque je me trouve devant un domaine qui n'est plus directement régi par l'identique, par l'identité, mais un domaine qui est régi par la continuité et les différences évanouissantes. On arrivait à une réponse relativement claire.

D'où deuxième aspect du problème : qu'est-ce que c'est que la compossibilité ? Qu'est-ce que ça veut dire que deux choses sont compossibles ou non compossibles ? Et là, on voit bien en quoi le problème est lié. Encore une fois, Leibniz nous dit que Adam non-pécheur, un Adam qui n’aurait pas péché, c'est possible en soi mais ce n'est pas compossible [35 :00] avec le monde existant. Donc il se réclame d'une relation de compossibilité qu'il invente, et vous sentez que c'est très lié à l'idée d’analyse infinie. Bon, mais il faudrait le montrer, il faudrait … pourquoi, où est le problème ? Le problème c'est que l'incompossible à première vue, ça ne peut pas être le contradictoire ; ce n'est pas la même chose que le contradictoire. [Pause] En effet, et pourtant, et pourtant c'est compliqué parce que, encore une fois, vous retenez l’exemple. Adam non-pécheur, c'est incompossible avec le monde existant, il aurait fallu un autre monde. Bien. Je ne vois que trois solutions possibles ; si on dit ça, je ne vois que trois solutions possibles pour essayer de caractériser la notion [36 :00] d'incompossibilité.

Première solution : on dira qu'il faut bien que d'une manière ou d'une autre, l'incompossibilité implique une espèce de contradiction logique. A la rigueur, on me consentira que, il faut bien, oui, ça veut dire qu’il faut qu'il y ait contradiction finalement entre Adam non-pécheur et le monde existant. [Pause] Est-ce qu’on peut bien aller dans cette voie ? Oui, à première vue, on peut toujours me consentir ceci, on peut toujours me consentir ceci, il y aurait contradiction logique entre Adam non-pécheur et le monde existant, seulement cette contradiction, on ne pourrait la dégager qu'à l'infini; ce serait une contradiction infinie. Alors qu'il y a une contradiction finie entre cercle et carré, il n'y a qu'une contradiction infinie entre Adam non-pécheur et le monde. [37 :00] On peut toujours dire ça.

Certains textes de Leibniz vont dans ce sens. Mais encore une fois nous savons déjà qu'il faut se méfier des niveaux des textes de Leibniz. En fait, tout ce qu'on a dit précédemment impliquait que la compossibilité et l'incompossibilité soient vraiment une relation originale irréductible à identité/contradiction, identité contradictoire. Bien plus, on a vu, en vertu de notre première partie, on a vu que l'analyse infinie, ce n'était pas une analyse qui découvrait l'identique à l'issue d'une série infinie de démarches. En effet, tous nos résultats de la dernière fois c'était que, loin de découvrir l'identique à la fin d'une série, à la fin d’une série infinie, -- déjà, ça ne veut rien dire, c’est un non-sens -- à la limite d'une série infinie de démarches, loin de procéder ainsi, l'analyse infinie [38 :00] substituait le point de vue de la continuité à celui de l'identité. Donc c'est un autre domaine que le domaine identité/contradiction.

Une autre solution -- mais alors que je dis très rapidement parce que là aussi certains textes de Leibniz aussi la suggèrent -- c'est que ça dépasse notre entendement parce que notre entendement est fini, dès lors la compossibilité, cette fois-ci, serait bien une relation originale, mais on ne saurait pas quelle est sa racine. La racine de cette relation nous échapperait. Le fondement de cette relation nous échapperait. Bon. Il va de soi que ni l’une ni l’autre des deux directions ne peuvent nous satisfaire. Donc, c’est très simple. Nous réclamons une spécificité de la relation de compossibilité et d’incompossibilité, une nature propre pour cette relation, qui soit liée en même temps à la nature de l’analyse infinie, c’est-à-dire à tout ce qu’on a vu précédemment sur le continu et les différences évanouissantes. [39 :00]  

Or, je me demande -- et c’est là, c’est là d’où je voulais partir -- on se demande dans quelle voie aller ? Qu’est-ce qu’il va nous fournir ? Mais ça devient intéressant, il invente un nouveau type de relation, le compossible et l’incompossible. Ça devient très riche parce qu’il peut … vous voyez, dès lors, tout l’éventail d’objections, de critiques qu’il peut se donner par rapport à les philosophies antérieures. Il dit, oh oui, les autres, qu’est-ce qu’ils ont vu ? Les uns, ils ont cru que tout était nécessaire ; les autres, ils ont bien vu qu’il y avait le possible et le nécessaire ; mais Leibniz, il dit, je vous apporte un nouveau domaine : il n'y a pas seulement le possible et le nécessaire et le réel. Il y a le compossible et l'incompossible. Il prétendait couvrir toute une région de l'être.

Découvrir ça pour un philosophe, ça veut dire quoi ? Ça implique au moins que  [40 :00] il ne se contente pas de nous dire, je ne sais pas d’où ça vient. Il peut le dire sans un texte, ah ben oui, ça dépasse notre entendement ; il peut le dire comme ça en passant. Mais il faut bien qu’il s’y mette pour une bonne fois. Alors là, ce qui me trouble, c’est que …voilà l'hypothèse que je voudrais faire : que, d’une part, Leibniz est un homme pressé parce qu’il écrit dans tous les sens, partout, il ne publie pas ou très peu de choses de son vivant. Leibniz a toute là, tous les éléments, toute la matière, tous les matériaux pour donner une réponse relativement précise à ce problème. Forcément puisque c'est lui qui l'invente, c'est lui qui a la solution. Et puis qu'est-ce qui a fait qu'il n'ait pas regroupé tout ça ? D’où est-ce que ça vient ?

Voila l’hypothèse que je voudrais faire ; je le dis, j’essaie de la dépêcher parce qu’il faut procéder par ordre tellement c’est, encore une fois, délicate et amusante, cette histoire. Je crois que ce qui va donner une réponse à ce problème, [41 :00] et à la fois de l'analyse infinie et de la compossibilité, c'est une théorie très, très curieuse que Leibniz est sans doute, peut-être, le premier à introduire en philosophie, et qu'on pourrait appeler la théorie des singularités. Chez Leibniz, la théorie des singularités, qui est éparse, qui est partout – je ne peux pas vous citer un livre où elle ne soit … elle est partout – elle est partout ; on risque même de lire des pages de Leibniz et ne pas voir qu'on est en plein dedans tellement il est discret ou tellement qu’il l’habite à certains moments.

La théorie des singularités me paraît avoir deux pôles chez Leibniz : il faudrait dire que c'est une théorie mathématico-psychologique d’où, vous voyez, notre objet aujourd’hui, notre travail aujourd'hui, ce serait, si j’essaie de bien numéroter, ce serait : qu'est-ce que c'est qu'une singularité au niveau mathématique ? [42 :00] Qu’est-ce que c’est que ce drôle de notion, singularité, singularité pour les mathématiciens ? [Pause] Et qu'est-ce que Leibniz vient faire là-dedans, qu’est-ce qu’il crée là-dedans ? Est-ce que c'est vrai qu'il fait la première grande théorie des singularités en mathématiques ? Deuxième question : qu'est-ce que c'est que, alors quelque chose d’absolument nouveau, la théorie leibnizienne psychologique des singularités, des singularités psychologiques? [Pause]

Et dernière question – ça nous fait donc trois questions pour aujourd’hui, c’est beaucoup – dernière question : en quoi la théorie mathématico-psychologique des singularités, telle qu'elle est esquissée chez Leibniz, nous donne-t-elle une réponse à la question : qu’est-ce que le compossible, qu'est-ce que l'incompossible, et en définitif, qu'est-ce que l'analyse infinie ? [Pause] [43 :00] Voilà. Eh bien, c’est tout ça que je voudrais bien qu’on fasse.

Car en effet, donc, je commence par le premier point. Qu'est-ce que c'est que cette notion mathématique de singularité ? Et en quoi est-ce que c’est intéressant, et pourquoi est-ce que c'est tombé ? Il me semble, c’est dommage… Il faudrait voir ; en philosophie, c'est tout le temps des occasions comme ça : il y a quelque chose qui pointe à un moment, et puis ce sera lâché. Il me semble que c'est le très beau cas d'une théorie qui a été vraiment plus que esquissée par Leibniz, puis il n'y a pas eu de suite, comme si il y a eu une chance là, et puis… Est-ce qu’il y a un moyen aujourd’hui de la reprendre ; est-ce que… est-ce que ce serait intéressant pour nous, et pourquoi ça serait intéressant ?

Je dis là que, moi, je suis toujours partagé entre deux choses quant à la philosophie : l'idée que la philosophie ne présuppose pas un savoir spécial, [44 :00] que vraiment en ce sens n'importe qui est apte à la philosophie, et en même temps que on ne peut pas en faire si l'on n'est pas sensible à une certaine terminologie de la philosophie, et que la terminologie vous pouvez toujours la créer, -- la bonne terminologie, elle est par nature créée, mais vous ne pouvez pas la créer n’importe comment. C’est pour ça que ce qui n’existe pas, à mon avis, bien qu’il y en ait en apparence, un dictionnaire de philosophie serait une chose très, très importante. -- Je crois que c’est très difficile de faire de la philosophie si vous ne savez ce que c'est que des termes comme : catégories, concept, idée, a priori, a posteriori, exactement comme on ne peut pas faire de mathématiques si on ne sait pas ce que c'est que a, b, x, y, etc., variables, constantes, équations; il y a un minimum. Or, je remarque que, de tout temps, la logique… Mais, il ne faut pas vous inquiéter ; en même temps, vous pouvez l’apprendre à fur et à mesure. C’est simplement [45 :00] vous ne ferez pas de la philosophie si vous n’attachez pas de l'importance à ces points-là.

Singulier, ça vient d’où ? Singulier, ça existe de tout temps dans un certain vocabulaire logique. Seulement, ça se dit par rapport à quoi, singulier ? C’est déjà intéressant, là ; c’est à vous de réfléchir là-dessus. Singulier se dit par différence et, en même temps, en relation avec universel. Pourquoi j’éprouve le besoin de dire ça ? Parce qu’il y a un autre couple de notions, il y a un autre doublet, il y a un autre couple de notions, c'est particulier, qui se dit en référence à quoi ? Qui se dit en référence à général. Si vous confondez tout, vous emploierez particuler et singulier comme se valant, général et universel comme se valant. A ce moment-là, ce n’est pas mal, ce n’est pas mal, ce n’est pas difficile, tout ça, mais il faut y réfléchir sur [46 :00] le singulier et l’universel. C'est un rapport l'un avec l'autre; le particulier et le général, c'est en rapport. Qu'est-ce que c'est qu'un jugement de singularité, ce n'est pas la même chose qu'un jugement dit particulier, ce n'est pas la même chose qu'un jugement dit général.

Voilà, en gros, peu importe ; je ne développe pas parce que ce n’est pas mon affaire, là. Je dis juste que, formellement, singulier était pensé, dans la logique classique, en référence avec universel. Et ça n'épuise pas forcément une notion ; quand les mathématiciens emploient l'expression de singularité, eux, ils la mettent en rapport avec quoi ? Là, il faut se laisser guider par les mots. [Fin de la cassette] [46 :39]

Partie 2

[Texte fourni par Web Deleuze : Il y a bien une étymologie philosophique, ou bien une philologie philosophique. Singulier en mathématique se distingue ou s'oppose à] régulier. Le singulier, c'est ce qui sort de la règle. Bon, on n’a pas l’air de dire grand-chose. Il y a un autre couple de notions employées par les mathématiciens, et là, contrairement à ce que je viens de dire, [47 :00] mais pour des raisons évidentes, je vais les confondre : c'est remarquable et ordinaire. [Pause] Vous avez singuler-régulier, remarquable-ordinaire. Ce n’est pas tout à fait la même chose puisque les mathématiciens nous disent qu'il y a des singularités remarquables et des singularités qui ne sont pas remarquables. Mais nous, par commodité, accordez-moi ça parce que Leibniz ne fait pas encore cette distinction entre le singulier non remarquable et le singulier remarquable ; Leibniz emploie comme équivalents singulier, remarquable et notable. Si bien que quand vous trouverez le mot notable chez Leibniz dans un texte, même très rapide, dites-vous que nécessairement il y a un clin d'oeil, que ça ne veut pas dire bien connu. [48 :00] Quand il dit quelque chose de « notable », il engrosse, à la lettre, il engrosse le mot d'une signification insolite. Vous me direz, pourquoi il ne prévient pas ? S’il prévenait d’abord, il n’y aurait pas ce style ; ce n’est pas son affaire, prévenir. Quand il parlera d'une perception notable, dites-vous qu'il est en train de dire quelque chose.

Quel intérêt pour nous ? Il faut que vous compreniez : voilà que les mathématiques représentent par rapport à la logique déjà un tournant. L'usage mathématique du concept de singularité oriente la singularité sur un rapport avec l'ordinaire ou le régulier, et non plus avec l'universel. On nous convie à distinguer ce qui est singulier et ce qui est ordinaire ou régulier. Quel intérêt pour nous ? [49 :00] Comprenez, si quelqu’un me dit un jour, supposez quelqu'un – on pourra se demander, qui peut dire ça ? – mais supposez quelqu’un qui dise : dans la philosophie, ça ne va pas fort parce que la théorie de la vérité s'est toujours trompée. On s’est toujours trompé parce qu’on s'est avant tout demandé dans une pensée qu'est-ce qui était vrai et qu'est-ce qui était faux. Or, vous savez, suppose là cette voix anonyme, qui passe par la mienne, ce n’est pas ça qui compte. Ce n'est pas le vrai et le faux dans une pensée qui comptent, c'est le singulier et l'ordinaire.

Qu'est-ce qui est singulier, qu'est-ce qui est remarquable, qu'est-ce qui est notable dans une pensée ? Ou bien qu'est-ce qui est ordinaire, [50 :00] et qu’est-ce que ça veut dire qu’il y aurait quelque chose d’ordinaire ? Je pense qui, lui, n’a rien à voir avec les mathématiques, qui vient bien plus tard, qui s’appelle Kierkegaard et qui, bien plus tard, dira que la philosophie a toujours ignoré l'importance d'une catégorie qui est celle de l'intéressant. Qu’est-ce qui est intéressant ? [Pause] Du coup, ce n'est peut-être pas vrai que la philosophie l'ait toujours ignoré. Il y a au moins un concept philosophico-mathématique de la singularité qui a peut-être quelque chose d'intéressant à nous dire sur le concept d'intéressant. Bon, c’est juste ça.

Ce grand coup de mathématiques, [c’est que] la singularité n'est plus pensée par rapport à l'universel, elle est pensée par rapport à l'ordinaire ou au régulier. Le singulier, c'est ce qui sort de l'ordinaire et du régulier. Vous me direz, ça ne va pas loin. [51 :00] Si, le dire, ça va déjà très loin, puisque le dire indique que, dès lors, on veut faire de la singularité un concept philosophique, quitte à trouver les raisons de le faire dans un domaine qui est favorable, à savoir les mathématiques.

Or, dans quel cas les mathématiques nous parlent-elles du singulier et de l'ordinaire ? [Pause] La réponse est simple, immédiatement -- je dis des choses très, très simples exprès -- à propos de certains points pris dans une courbe. Pas forcément dans une courbe, on va voir, tout à l’heure, mais notamment, à propos de certains points pris dans une courbe ou prélevés sur une courbe, ou bien, mettons, à propos de toute figure beaucoup plus généralement. [52 :00] Une figure pourra être dite, je crois que c’est nécessaire, mais on peut dire qu’une figure comporte par nature des points singuliers et d'autres qui sont réguliers ou ordinaires. Pourquoi ça, une figure ? Parce que une figure, c'est quelque chose de déterminé! Alors le singulier et l'ordinaire ça ferait partie de la détermination, tiens ça serait intéressant! Vous voyez qu'à force de ne rien dire et de piétiner, on avance beaucoup. Pourquoi pas définir la détermination en général ? C’est très difficile de définir la détermination en général. Je me dis, tiens, est-ce qu’on ne pourrait pas définir la détermination en général en disant que c'est une combinaison de singulier et d'ordinaire, et toute détermination serait comme ça ? Bon, peut-être, hein ?

Mais alors en quoi… On va très, très doucement. Je prends une figure très simple : un carré. [Pause] [53 :00] Votre exigence légitime serait de me demander, qu'est-ce que c'est les points singuliers d'un carré ? Pas difficile, les points singuliers d'un carré, il y en a quatre, il y en a quatre. [Pause] Voyez, c'est les quatre sommets a, b, c, d. [Pause] Bon, On va chercher à définir une notion, à définir la singularité, mais on en reste à des exemples, pour que, vraiment… Là, on fait une recherche enfantine ; j’insiste là-dessus : on parle de mathématiques, mais on n'en sait pas un mot. On sait juste qu'un carré a quatre côtés, donc il y a quatre points singuliers que je peux appeler, pour employer un mot plus compliqué, qui sont des extremum, extremum. Il y a quatre extremum. -- Vous allez voir pourquoi ; je ne fais pas le clown [54 :00] en le disant parce que j’ai besoin de ce terme ; vous allez voir pourquoi -- C'est les points qui marquent précisément que une ligne droite est finie, et que une autre, d'orientation différente, à 90° commence. Qu'est-ce que ce sera, les points ordinaires ? Ce sera l'infinité des points qui composent chaque côté du carré; mais les quatre extrémités seront à ce qu’on dit des points singuliers. [Pause] D’accord ? Bon.

Question : un cube, combien lui donnez-vous de points singuliers ? [Pause] Je vois votre stupeur peinée! [Rires] [55 :00] [Quelqu’un répond, inaudible] Voilà ! Très bien. – Je suis décu ; j’espérais que vous alliez dire douze – [Rires] Il y a huit points singuliers dans un cube. Voilà, si vous avez déjà compris ça, vous avez compris énormément. Voilà ce que, en géométrie la plus élémentaire, on pourra appeler les points singuliers : les points qui marquent l'extrémité d'une ligne droite là. Vous sentez que ce n'est qu'un début.

J'opposerais donc les points singuliers et les points ordinaires. [Pause] Un effort : une courbe. [Pause] Ah bon, une courbe, une figure rectiligne – voilà ma question, et par là, on retrouve une remarque qu’on faisait [56 :00] tout à l’heure de ce qu’on disait en introduction -- une figure rectiligne, peut-être, il faudrait réfléchir, mais peut-être est-ce que je peux en dire d’une figure rectiligne que les points singuliers sont nécessairement des extremum ? Peut-être pas ; à vous de voir ; supposons, à première vue, je peux dire quelque chose comme ça. Pour une courbe, ça se gâte. Prenons l'exemple le plus simple : un arc de cercle, -- Là, j’en ai assez du tableau, je fais là, je fais les figures dans l’air… Vous me suivez bien. -- Je fais un arc de cercle, comme ça ; alors, ça dépend de où [57 :00] je placerais l’ordonnée, concave, à votre choix concave ou convexe. Et je fais un deuxième arc en dessous, convexe si l'autre est concave, concave si l'autre est convexe. Voyez ? Voyez, hein ? [Rires] Les deux se rencontrent en un point. Je trace une ligne droite en dessous que j'appelle, conformément à la nature des choses, -- je me trainerai jusqu’au tableau si vous voulez, mais c’est très cassant -- l'ordonnée. Je trace l'ordonnée. [Deleuze se tourne quand même au tableau] [58 :00] J'élève mes perpendiculaires à l'ordonnée, voyez.  … [Pause, lorsque Deleuze se met au tableau ; commentaires et rires des étudiants] Il n’y pas de craie ! Il n’y a pas de craie… Oh, là, là… [Pause]

Alors je l’écris en tout petit, hein ? Je veux bien faire un dessin mais à condition que [inaudible à cause des voix] [Pause] C’est pas mal, hein ? [59 :00] [Deleuze dessine en commentant] A-B, X-Y, vous voyez ? Compris ? A-B là, X-Y là, là, là, là. [Pause] A-B, A-B, A-B, par rapport – suivez-moi bien – A-B, où c’est ? C’est au point de rencontre des deux cercles [60 :00], des deux arcs de cercle à l’ordonnée. A-B, c’est le plus long segment par rapport à cet arc de cercle, et c’est le plus court par rapport à l’autre. [Pause] Comprenez ? Formidable. [Pause] Deuxième point : ça, c’est le plus court ou le plus long, au choix. Tout dépend de si vous avez pris l’arc concave ou l’arc convexe. [Pause] Deuxième caractère : c’est le seul qui soit unique, c’est le seul segment qui soit unique. [61 :00] C’est simple, on ne peut pas dire, mais c’est intéressant.

Ici je précise, autrement j’aurais l’air de perdre votre temps, c'est un exemple de Leibniz, dans un texte dont le titre est exquis: “Tentamen Anagogicum”, un petit opuscule de sept pages qui est un chef d’oeuvre, et qui veut dire en latin « essais analogiques ».[2]

Alors, je dis deux choses : AB a donc deux caractéristiques : c'est le seul segment élevé à partir de l'ordonnée à être unique ; tous les autres ont, comme dit Leibniz, un double, un petit jumeau, il va jusqu’à dire. En effet, xy a son miroir, son image dans x'y', [62 ;00] et vous pourrez vous rapprocher avec des différences évanouissantes de AB, il n'y a que AB qui soit unique, sans jumeau. Deuxième point : AB peut être dit également un maximum ou un minimum, [Pause] maximum par rapport à l’un des arcs de cercle, minimum par rapport à l'autre. Ouf, vous avez tout compris. Je dirais que AB est une singularité.

Pourquoi est-ce que j’ai introduit cet exemple ? Pour compliquer un peu. J'ai introduit l'exemple de la courbe la plus simple : un arc de cercle. J’ai compliqué un peu en quoi ? Parce que ce que j'ai montré, [63 :00] c'est que point singulier n'est pas nécessairement lié, n'est pas restreint à l'extremum ; il peut très bien être au milieu, et dans ce cas-là il est au milieu, et c'est soit un minimum, soit un maximum, soit les deux à la fois. D'où l'importance, peut-être sentez-vous, d'un calcul que Leibniz contribuera à pousser très loin, et qu'il appellera le calcul des, en latin aussi, des maximis et des minimis, le calcul des maximum et des minimum, et puis encore aujourd'hui, il a une importance immense, par exemple, dans les phénomènes de symétrie, dans les phénomènes physiques, dans les phénomènes optiques. Dans les phénomènes optiques, le calcul des maximum [64 :00] et des minimum a une très, très grande importance. Je dirais donc voilà un point singulier ; mon point A est un point singulier; tous les autres sont ordinaires, déjà, ou réguliers. Ils sont ordinaires ou réguliers de deux manières : [Pause] c'est qu’ils sont en dessous du maximum et au-dessus du minimum, et enfin ils existent en double. Donc on précise un peu cette notion d'ordinaire. C'est un autre cas. J’étais parti du carré, là, et on est dans des arcs de cercle ; c’est un autre cas ; c'est une singularité d'un autre cas.

Nouvel effort : prenez une courbe complexe. Une courbe complexe, ça sera quoi ? Là, aussi, [65 :00] il ne faut pas que cela concerne des choses très, très difficiles. Qu'est-ce qu'on appellera des singularités ? Elle a des singularités ; une courbe complexe se définit par ses singularités. Les singularités d'une courbe complexe, c'est quoi au plus simple ? Au plus simple, c’est les points au voisinage desquels – tiens, c’est formidable ; à force de dire des choses simples et de dire des choses débiles, vous comprenez ? On est en train d’engranger quant à la construction d’un concept mathématico-philosophique beaucoup de choses – voisinage, un point singulier a un voisinage. Même si peu que vous connaissez en mathématiques, vous savez que la notion de voisinage est très différente de la notion de contiguïté, [66 :00] est une notion clé, par exemple, dans tout le domaine de mathématiques extrêmement riche, à savoir la topologie, et c'est la notion de singularité qui est capable de nous faire comprendre ce que c'est que le voisinage. Donc au voisinage d'une singularité quelque chose change, c’est-à-dire que la courbe croît ou décroît. [Pause] Une courbe a des moments… Vous voyez, je ne fais pas le dessin, elle croît ou elle décroît. Ces points de croissance ou de décroissance, je les appellerai des singularités. L'ordinaire, c’est quoi ? C'est la série, c'est ce qui est entre – vous voyez, on progresse – l’ordinaire, c’est ce qui est entre deux singularités; ça va du voisinage d'une singularité au voisinage d'une autre singularité, [67 :00] c'est de l'ordinaire ou du régulier. Essentiel, il me semble.

Comprenez ? C’est un domaine complètement, par rapport à la philosophie classique, complètement … bon. J’en ai déjà trop dit ; j’en profite pour dire, du coup, pourquoi ? Dès lors, on saisit comme des rapports, comme des épousailles très étranges : la philosophie dite classique, est-ce qu’elle n'a pas son sort relativement lié, et inversement, avec la géométrie, l'arithmétique et l'algèbre classique, c'est-à-dire avec les figures rectilignes. Vous me direz, mais les figures rectilignes comprennent déjà des points singuliers, d'accord ; mais comprenez : une fois que j'ai découvert et construit la notion mathématique de singularité, je peux dire que c'était déjà là dans les figures rectilignes les plus simples. Jamais les figures rectilignes les plus simples ne m'auraient donné une occasion consistante, une nécessité réelle de construire la notion de singularité. C'est simplement au niveau des courbes complexes que ça s'impose. [68 :00] Une fois que je l'ai trouvé au niveau des courbes complexes, alors là oui, je reviens en arrière et je peux dire : ah, mais c'était déjà dans un arc de cercle ; ah, mais c'était déjà dans une figure simple comme le carré rectiligne, mais avant vous ne pouviez pas.

L’étudiant en maths [du début de la séance] : [Bref commentaire inaudible]

Deleuze [dans une voix qui râle] : ... pitié... mon Dieu ... il m'a cassé, puisque… [Rires] Vous savez, c’est fragile, parler, c'est fragile. [Pause ; la voix de Deleuze est presque au niveau d’un chutotement ; les étudiants sont très silencieux] Oui, enfin, autant répondre à ça avec la méthode d’exhaustion, et d’appliquer la méthode d’exhaustion qui était une méthode pré-différentielle. [Pause] [69 :00] Non, c’est … je ne sais plus.

L’étudiant essaie de continuer, mais Deleuze l’arrête, en hurlant : Ah, pitié, pitié, pitié. Ah non, écoute, je te laisserai parler une heure quand tu veux, mais pas maintenant ... oh là, là … C'est le trou. [Pause, Deleuze doit se remettre un peu ; quelqu’un lui parle et il répond] Ah, non, ah, non, c’est ce qu’il y a dans ma tête …

 

Deuxième type de singularité: les nœuds, les nœuds, où viennent se croiser une infinité de courbes définies par l'équation. Troisième type de singularité : les foyers autour desquels ces courbes tournent en s'en rapprochant [72 :00] à la façon d'une spirale. [Pause] Enfin quatrième type de singularité : les centres autour desquels les courbes se présentent sous forme de cycle fermé, les centres autour desquels les courbes se présentent sous forme de cycle fermé. Et Poincaré dans la suite du mémoire explique, et c’est un de ses grand mérites mathématiques selon lui, est d'avoir poussé la théorie des singularités en rapport avec la théorie des fonctions ou des équations différentielles.

Pourquoi est-ce que je cite cet exemple de Poincaré ? C’est que déjà, les notions équivalentes, vous les trouveriez chez Leibniz. Là se dessine déjà tout un très curieux paysage, avec les cols, les foyers, les centres. C'est vraiment comme une espèce, on ne sait pas quoi vraiment dire, d'astrologie de géographie mathématique. Je cite cet exemple [73 :00] parce que, vous voyez, on est allé du plus simple au plus complexe : je veux dire, au niveau d'un simple carré, d'une figure rectiligne, les singularités c'étaient des extremum; au niveau d'une courbe simple, vous aviez des singularités encore très faciles à déterminer, dont le principe de détermination était facile, la singularité c'était le cas unique qui n'avait pas de jumeau, ou bien c'était le cas ou maximum et minimum s'identifiaient. Là vous avez des singularités de plus en plus complexes quand vous passez à des courbes plus complexes. Donc le domaine des singularités est à proprement parler comme infini.

Quelle va être la formule ? Là, je supplie qu’on aille vite parce que vous allez voir en quoi c’est fait. Je reprends le thème de tout à l’heure. Tant que vous avez à faire à des problèmes dits rectilignes, c'est-à-dire où il s'agit de déterminer des droites ou des surfaces rectilignes, vous n'avez pas besoin du calcul [74 :00] différentiel. Vous avez besoin du calcul différentiel lorsque vous vous trouvez devant la tâche de déterminer des courbes et des surfaces curvilignes. Ça veut dire quoi ? Ce n’est pas par hasard. C’est que la singularité – c’est la seule chose que je dise quant au calcul différentiel -- en quoi est-ce que la singularité est liée au calcul différentiel ? C'est que le point singulier, c'est le point au voisinage duquel le rapport différentiel dy sur dx change de signe. Par exemple : sommet, sommet relatif d'une courbe avant qu'elle ne décroisse, avant qu’elle ne descende. Donc vous direz que le rapport différentiel change de signe. Il change de signe à cet endroit, dans quelle mesure ? Là, c’est très bien expliqué dans tous les manuels : dans la mesure où il devient égal, au voisinage de ce point, il devient égal à zéro ou à l'infini. C'est le thème du minimum et du maximum que [75 :00] vous retrouvez là. Peu importe.

Je veux dire juste, voilà un ensemble, tout cet ensemble que je viens d’essayer de dire avec cet écoulement si fâcheux, consiste à dire : voyez l'espèce de relation qu’on a entre singulier et ordinaire, tel que vous allez définir le singulier en fonction des problèmes curvilignes en rapport avec le calcul différentiel, et dans cette tension ou cette opposition entre point singulier et point ordinaire, ou point singulier et point régulier. C'est ça, mettons, c’est ça que les mathématiques nous fournissent comme matériau de base, et encore une fois, si il est vrai que dans certains cas, les cas les plus simples, le singulier c'est l'extrémité, dans d'autres cas simples, c'est le maximum ou le minimum ou même les deux [76 :00] à la fois; les singularités-là développent des rapports de plus en plus complexes au niveau des courbes de plus en plus complexes.

Voilà, supposons qu’il n’y ait rien d’autre, je retiens la formule suivante : une singularité est un point au voisinage duquel – ça, c’est presque, oui, ce qu’il faut en retenir – une singularité prise ou prélevée sur une courbe, ou déterminée sur une courbe, est un point au voisinage duquel le rapport différentiel change de signe, et la singularité, le point singulier a pour propriété de se prolonger sur toute la série des ordinaires qui en dépendent jusqu'au voisinage de la singularité suivante. Donc je dis que la théorie des singularités est inséparable d'une théorie ou d'une activité [77 :00] ou technique de prolongement.[3] Alors, comprenez, ça va peut-être nous faire un grand pas en avant.

Est-ce que ce ne serait pas dès lors une définition possible, ou des éléments pour une définition possible de la continuité ? Il ne serait pas facile de définir la continuité surtout en rapport avec des points. Je dirais que la continuité ou le continu – je dis ça comme ça, d’avoir … -- la continuité ou le continu, c'est le prolongement d'un point remarquable sur une série d’ordinaires, d’un point singulier sur une série d’ordinaires, jusqu'au voisinage de la singularité suivante. Du coup, je suis très content ! Je suis extrêmement content parce que j'ai enfin une espèce de définition, même si elle ne nous satisfait pas, même si on est amené à la remanier, j’ai une première définition hypothétique de ce qu'est le continu. [78 :00] Et remarquez que c'est d'autant plus bizarre que pour obtenir cette définition du continu, je me suis servi de ce qui en apparence introduit une discontinuité, à savoir une singularité où quelque chose change; or loin que ça s'oppose, c'est elle qui me permet cette définition approximative. Tant que je peux prolonger une singularité, c’est du continu. Bon, voilà. C’est tout pour le domaine mathématique.

Je passe à l’autre domaine parce que, et en faisant semblant qu’il n’y a aucun rapport, et vous sentez bien que chez Leibniz, ce n’est pas comme ça, qu’il y a évidemment rapports entre les deux domaines. C’est le domaine cette fois-ci psychologique. [Pause] Et Leibniz nous dit, il nous dit finalement une chose déjà très curieuse. Il nous dit, ben oui, tout le monde, nous savons tous que [79 :00] nous avons des perceptions, que par exemple je vois du rouge, c’est du qualitatif, je vois du rouge ; j'entends le bruit de la mer, un thème qui revient constamment chez lui, j’entends le bruit de la mer ; assis sur la plage, j’entends le bruit de la mer. Et puis, je vois du rouge, et puis voilà, tout ça, quoi, et ce sont des perceptions. Bien plus, dit-il, on devrait leur réserver un nom spécial, on verra pourquoi, parce qu'elles sont conscientes. C'est la perception douée de conscience, la perception douée de conscience, c'est-à-dire la perception perçue comme telle par un moi, nous l'appelons aperception, comme apercevoir. Car en effet c'est la perception que j'aperçois. Donc réservons-lui un nom spécial, aperception ; [80 :00] une aperception, ça signifie une perception consciente.

Et Leibniz nous dit la chose suivante, qui à première vue paraît quand même très bizarre, très… on se dit pourquoi pas, mais pourquoi : il faut bien -- et encore c’est le cri, c’est le cri qui anime alors le concept – il faut bien dès lors qu’il y ait des perceptions inconscientes dont nous ne nous apercevons pas. Ces perceptions inconscientes dont nous ne nous apercevons pas, on va les appeler « petites perceptions », petites perceptions ; nous ne nous en apercevons pas. Vous comprenez, c’est important, parce qu’alors, c’est des perceptions inconscientes. Pourquoi le faut-il ? [81 :00] Pourquoi est-ce qu’il faut ?

Bizarrement, Leibniz va donner deux raisons ; or c’est deux raisons, vous voyez, ça va tellement de soi, mais je voudrais faire la même chose, là, que pour les singularités, dire des choses tellement évidentes que… dans les textes parfois, il les donne ensemble, mais en fait, il y a deux raisons : c'est que nous nous apercevons, nos aperceptions, nos perceptions conscientes, sont toujours globales. Ce dont nous nous apercevons, c'est toujours d'un tout, que ce tout soit relatif, qu’il soit changeant. Ce que nous saisissons par la perception consciente, c'est des totalités relatives. Or il faut bien qu'il y ait des parties puisqu'il y a du tout, et ça c'est un raisonnement que Leibniz fait constamment, il faut bien qu'il y ait du simple [82 :00] si il y a du composé ; il l'érige à la hauteur de principe; et ça ne va pas de soi d’ailleurs ; vous comprenez ce qu'il veut dire ? Il veut dire qu'il n'y a pas d'indéfini, et ça va si peu de soi que ça implique l'infini actuel. Il faut qu'il y ait du simple puisqu'il y a du composé. Il y a des gens qui penseront que tout est composé à l'infini, ce seront les partisans de l'indéfini, mais Leibniz pour d'autres raisons pense que l'infini est actuel, donc il faut bien qu'il y ait dit ça. Dès lors, il faut bien, puisque nous percevons le bruit global de la mer quand nous sommes assis sur la plage, il faut bien que nous ayons des petites perceptions de chaque vague, comme il dit sommairement, et bien plus de chaque goutte, de chaque gouttelette d'eau. Vous me direz, pourquoi ? C'est une espèce d'exigence logique, et on va voir ce qu'il veut dire.

Le même raisonnement, et voilà j’insiste, au niveau du tout et des parties, il le fait aussi bien au niveau, cette fois-ci, en invoquant [83 :00] non pas un principe de totalité, mais un principe de causalité : ce que nous percevons c'est toujours un effet, il faut bien qu'il y ait des causes. Et il faut bien que les causes soient elles-mêmes perçues sinon l'effet ne serait pas perçu. Cette fois-ci les gouttelettes ne sont plus les parties qui composent la vague, et les vagues les parties qui composent la mer, mais interviennent comme les causes qui produisent un effet. Vous me direz qu'il n'y a pas grande différence, mais je remarque juste que dans tous les textes de Leibniz, il y a toujours deux arguments distincts qu'il est amené perpétuellement à faire coexister : un argument fondé sur la causalité et un argument fondé sur les parties, pas la même chose. Rapport cause-effet et rapport partie-tout. Ça ne peut pas être tout à fait pareil ; on va voir les problèmes. Bien.

Voilà donc que nos perceptions conscientes baignent dans un flux de petites perceptions, de petites perceptions inconscientes. [84 :00] Qu’est-ce que ça peut vouloir dire ? D'une part, il faut que ce soit comme ça, il faut que ce soit comme ça logiquement, en vertu de l’exigence des principes, mais les grands moments c'est lorsque l'expérience vient confirmer l'exigence des principes. Lorsque se fait la coïncidence, la très, très belle coïncidence des principes et de l'expérience, la philosophie connaît le moment de son bonheur, même si c'est le malheur du philosophe personnellement. Et à ce moment-là, le philosophe dit : tout est bien, tout est comme il faut. Alors il faudrait que l'expérience me montre que dans certaines conditions de désorganisation de ma conscience, les petites perceptions forcent la porte de ma conscience et m'envahissent. Quand ma conscience se relâche, je suis donc envahi par [85 :00] les petites perceptions qui ne deviennent pas pour ça des perceptions conscientes, elles ne deviennent pas aperceptions puisqu’elles n’envahissent ma conscience que lorsque ma conscience est désorganisée.

A ce moment-là, un flot de petites perceptions m’envahissent, des petites perceptions inconscientes. Ce n'est pas qu’elles cessent d'être inconscientes, c'est moi qui cesse d'être conscient. Mais je les vis, il y a un vécu inconscient. Je ne les représente pas, je ne les perçois pas, mais elles sont là, elles fourmillent. Dans quels cas ? On me donne un grand coup sur la tête : l'étourdissement, c'est un exemple qui revient tout le temps chez Leibniz. Je suis étourdi, je m'évanouis, et un flot de petites perceptions inconscientes arrive : une rumeur, une rumeur dans ma tête. Ces textes de Leibniz, évidemment, ils font signe à des textes qu’ils ne peuvent pas connaître, mais [86 :00] c’est plutôt l’inverse. Rousseau connaissait Leibniz, Rousseau qui fera la cruelle expérience de s'évanouir ayant reçu un gros coup, raconte son retour – c’est la même chose, s’évanouir ou sortir de l’évanouissement -- et le fourmillement de petites perceptions. C'est un texte très célèbre de Rousseau dans les "Rêveries [d'un promeneur solitaire]", qui est le retour à la connaissance, alors cette espèce de fourmillement, là, un truc comme un gratouillement de petites perceptions. Bon.

Leibniz, il dit l’étourdissement, bien ; cherchons, cherchons, on cherche ce qu’on appelle, ou ce que certains appelaient à la fin du 19ième siècle, des expériences de pensée. L’expérience de pensée, c’est qu’il n’y a même pas besoin de la faire, Dieu merci, on sait que c'est comme ça, alors on cherche par la pensée le type d'expérience qui correspond au principe : l'évanouissement. Leibniz va beaucoup plus loin ; il se dit : est-ce que ce ne serait pas ça la mort ? Alors, ça va faire des problèmes en théologie. [87 :00] L’hypothèse de Leibniz, c’est que ça serait ça, la mort, ça serait ça, la mort, c’est-à-dire ce serait l'état d'un vivant qui ne cesserait pas de vivre, c’est-à-dire la mort ce serait une catalepsie, c'est du plein Edgar Poe, [Rires] simplement on est réduit aux petites perceptions.

Et encore une fois, comprenez bien, non pas qu'elles envahissent ma conscience, mais c'est ma conscience qui s'étend, qui perd tout son pouvoir propre, qui se dilue parce qu'elle perd conscience de soi, mais elle devient très bizarrement conscience infiniment petite des petites perceptions inconscientes. Ce serait ça la mort. Très bien, c’est ça alors ; vous ne pouvez pas penser… Il ne faut pas contrarier ; il faut qu’on soit d’accord, mais ça pose de sacrés problèmes. En d'autres termes, la mort ce n'est rien d'autre qu'un enveloppement, [88 :00] les perceptions cessent d'être développées en perceptions conscientes, elles s'enveloppent en une infinité de petites perceptions. Ou bien, dit-il, encore le sommeil sans rêve ; le sommeil sans rêve est de ce type, il y a plein de petites perceptions. Bon. Continuons des exemples.

Est-ce qu'il faut dire ça seulement de la perception ? Non. Et là à nouveau, le génie de Leibniz. Il y a une psychologie leibnizienne, une psychologie signée Leibniz. Ça a été une des premières grandes théories de l'inconscient, notamment. J'en ai presque assez dit pour que vous compreniez la différence et en quoi c'est une conception de l'inconscient qui n'a strictement rien à voir avec celle de Freud. Tout ça pour dire, pour dire tout à fait à l’avantage de Freud, qu’est-ce qu'il y a de nouveau dans Freud : ce n'est évidemment pas l'hypothèse d'un inconscient qui a été faite par de très nombreux auteurs, [89 :00] mais c'est la manière dont Freud conçoit l'inconscient. Ce n’est évidemmement pas du tout la même manière dont Leibniz conçoit l’inconscient. Or, dans la descendance de Freud se trouvera des phénomènes très bizarres de retour à une conception leibnizienne ; enfin ça je le dirai tout à l'heure.

Avant qu’on en arrive là, comprenez qu'il ne peut pas simplement dire ça de la perception, car en fait, l'âme selon Leibniz a deux facultés fondamentales : l'aperception consciente qui est donc composée de petites perceptions inconscientes, et ce qu'il appelle l'appétition, l'appétit, le désir. Et nous sommes faits de désirs et de perceptions. Or, l'appétition c'est l'appétit conscient. Si les perceptions sont faites, si les perceptions globales [90 :00] sont faites d'une infinité de petites perceptions, les appétitions, les gros appétits comme on dit, les gros appétits sont faits d'une infinité de petites appétitions. Et les appétitions, ce sont les vecteurs correspondant aux petites perceptions, ça devient un inconscient très bizarre avec toutes ces petites appétitions et ces petites perceptions, la goutte de la mer à laquelle correspond la goutte d'eau, à laquelle correspond une petite appétition chez celui qui a soif. Et lorsque je dis "mon Dieu, j'ai soif, j'ai soif", lorsque je dis ça, qu'est-ce que je fais ? J'exprime grossièrement un résultat global ; ah, j’exprime grossièrement un résultat global. Et quand je dis, « j’ai faim, j’ai faim », j’exprime grossièrement un résultat global ; résultat global de quoi ? [91 :00] Des mille et mille petites perceptions qui me travaillent, et des mille et mile petites appétitions qui me traversent. Ah, direz vous, comment ça ? Qu'est-ce que ça veut dire ?

Je saute encore les siècles. Au début du vingtième siècle, un grand, grand biologiste espagnol, je crois, tombé dans l'oubli, s'appelait [Ramon] Turro [y Darder], il fit un livre traduit en français intitulé: "Les origines de la connaissance",[4] traduit en français en 1914, et ce livre est extraordinaire. Il s’occupait beaucoup de la faim, Turro – comment prononce en espagnol ; ça s’écrit T-u-deux r-o… Comment ? … Enfin, je ne sais pas – [92 :00] Turro, il disait ceci : que quand on dit "j'ai faim" – à mon avis, à mon avis, vraiment, Turro, c’est de formation purement biologique ; je ne pense pas qu’il ait lu Leibniz ; Turro, en tout cas, ce n’est pas… et c’est d’autant plus intéressant parce que les textes pourraient être signés… c’est bien quand il y a sans influence directe, à des siècles de distance, une page, et on se dit, tiens, quand on se dit, quelle est l’actualité de quelqu’un, ça veut dire ça : deux siècles après, quelqu’un écrit un livre dans un tout autre domaine et on se dit, bon Dieu, c'est signé, c’est Leibniz qui a fait une visite, qui s'est réveillé, là, c’est bizarre, ça --.

Car Turro dit que quand on dit "j'ai faim", ça ne va pas fort, tout ça, parce que c'est vraiment un résultat global, c'est ce qu'il appelle une sensation globale. Car enfin, dit-il, la faim globale, il emploie ces concepts, la faim globale et les petites faims spécifiques, les petites faims spécifiques. [93 :00] Il dit que la faim comme phénomène global c'est un effet, c’est un effet statistique. De quoi est… [Fin de la cassette] [93 :12]  [L’enregistrement BNF omet tout le texte du paragraphe suivant ; nous profitons donc du texte fourni par Web Deleuze :

Partie 3

[De quoi est] composée la faim comme substance globale ? De mille petites faims : faim de sels, faim de substances protéiques, faim de graisse, faim de sels minéraux, etc. ... Quand je dis "j'ai faim", je fais, à la lettre, dit Turro, l'intégrale ou l'intégration de ces mille petites faims spécifiques. Les petites différentielles sont les différentielles de la perception consciente ; la perception consciente est l'intégration des petites perceptions. Très bien. Vous voyez que les mille petites appétitions, c'est les mille faims spécifiques. Et Turro continue car il y a tout de même quelque chose de bizarre au niveau animal : comment l'animal sait-il ce qu'il lui faut ? L'animal voit des qualités sensibles, il se précipite dessus et mange ça ; on mange tous des qualités sensibles. La vache mange du vert. Elle ne mange pas de l'herbe, pourtant elle ne mange pas n'importe quel vert puisqu'elle reconnaît le vert de l'herbe et qu'elle ne mange que le vert de l'herbe. Le carnivore ne mange pas de protides, il mange le truc qu'il a vu, il ne voit pas des protides. Le problème de l'instinct, au niveau le plus simple, c'est : comment est-ce que ça s'explique que les bêtes mangent à peu près ce qui leur convient ? En effet, les bêtes dans un repas mangent la quantité de graisses, la quantité de sel, la quantité de protides nécessaire à l'équilibre de leur milieu intérieur. Et leur milieu intérieur c'est quoi ? Le milieu intérieur c'est le milieu de toutes les petites perceptions et petites appétitions. Quel drôle de communication entre la conscience et l'inconscient. Chaque espèce mange à peu près ce qu'il lui faut, sauf les erreurs tragiques ou comiques qu'invoquent toujours les ennemis de l'instinct: les chats, par exemple, qui vont juste manger ce qui va les empoisonner, mais c'est rare. C'est ça, le problème de l'instinct. Retour à l’enregistrement BNF]

Cette psychologie à la Leibniz invoque les petites appétitions qui investissent des petites perceptions; la petite appétition, c’est l'investissement psychique de la petite perception, et ça va faire quel monde ? On ne cesse de passer d'une petite perception à une autre, même sans le savoir. Nous, notre conscience en reste aux perceptions globales et aux gros appétits, "j'ai faim", mais lorsque je dis "j'ai faim", en fait, il y a toutes sortes de passages, de métamorphoses; ma petite faim de sel qui passe à une autre petite faim, petite faim de protides; petite faim de protides qui passe à petite faim de graisses, ou tout ça qui se mélange, c'est des hétérogènes. [94 :00] Et les enfants mangeurs de terre, qu’est-ce que vous en pensez, des enfants mangeurs de terre ? Par quel miracle est-ce qu'ils mangent de la terre alors qu'ils ont besoin de la vitamine que cette terre contient ? C’est ça, le problème de l'instinct. C’est curieux, ça. C'est des monstres, on dirait des enfants qui mangent de la terre ; mais oui, c’est des monstres ! Mais même Dieu a fait les monstres en harmonie. Voilà, voilà.

Alors quoi, qu'est-ce que c'est que le statut de la vie psychique inconsciente ? Il est arrivé à Leibniz de rencontrer la pensée – je ne crois pas qu’ils se soient rencontrés parce que l’autre était en train de mourir – la pensée d’un philosophe anglais, qui s’appelait [John] Locke, et Locke avait écrit un livre intitulé "Essai sur l'entendement humain". Leibniz avait été très intéressé par Locke, surtout qu'il trouvait que Locke se trompait en tout. [Rires] Et lui s'était amusé à faire un gros livre qu'il [95 :00] avait appelé "Nouveaux essais sur l'entendement humain", et où, chapitre par chapitre, il reprenait et il montrait que Locke était un débile. Il avait tort, mais c'était une grande critique donc de Locke. Et puis il ne l'a pas publié parce que c’était très honnête de sa part, il a eu une réaction morale, parce que Locke est mort entre temps. Il s’est dit, publier quand même – voyez, je dis ça parce que, aujourd’hui, ça ne se fait plus, ça [Rires] – publier un livre contre un type qui est ou bien malade, ou bien mort, qui vient de mourir, ce n’est pas bien, ça, il y a quelque chose de moche là-dedans. Alors, il avait un gros livre ; il était fini, tout son gros livre-là, et il l'a laissé de côté, il ne l’a pas publié, il n’en a pas de maladie, il l'a envoyé à des copains, quand même, mais enfin, [Rires] on ne peut pas être parfait, quoi.

Or, je raconte tout ça parce que Locke, dans ses pages les meilleures, construit un concept dont je vais dire le nom anglais, parce que je suis contraint et forcé, si bien que vous n’allez pas comprendre quel concept c’est, c’est le concept de "uneasyness". [96 :00] [Pause] Ce n’est pas mal… [Une étudiante, puis une autre répètent le mot pour les autres] Lui, il a un accent pakistanais, donc ce n’est pas mieux que moi… « Uneasy », « uneasy »… « Uneasy », c’est quoi ? Et Leibniz, là, est très malin parce qu’il dit, « uneasy, » c'est, sommairement, on dirait, c’est le malaise, c’est le malaise, mal à l’aise. Et « uneasiness », c’est l'état de malaise. Et Locke essaie d'expliquer que c'est ça le grand principe de la vie psychique. Vous voyez que c'est très intéressant. Pourquoi c’est très intéressant ? Parce que ça nous sort des banalités sur la recherche du plaisir ou du bonheur. Locke, il dit quelque chose ; il dit, en gros, ben oui, recherche du plaisir, que l’on cherche son plaisir, c'est bien possible, que l’on cherche son bonheur, c’est autre chose. Peut-être que c'est possible, mais que ce n'est pas ça; il y a une espèce d'inquiétude du vivant. [97 :00] Inquiétude. C’est une inquiétude, vous voyez, ce n'est pas l'angoisse non plus. Il ne dit pas, c’est l’angoisse. L’inquiétude ; c’est un concept. Il lance le concept psychologique, l’inquiétude. On n’est ni assoiffé de plaisir, ni assoiffé de bonheur, ni angoissé, ce n’est pas ça, non. Lui, il a l'impression que ce n’est pas ça. Il pense qu'on est avant tout inquiet. On ne reste pas en place, on bouge.

Et Leibniz, dans une très belle page, dit, vous voyez, on peut toujours essayer de traduire ce concept, mais Leibniz dit, il y a quelque chose de, non, c’est très difficile à traduire parce que ça marche bien en anglais, ce mot marche bien en anglais, un Anglais voit tout de suite ce que c'est. Ah, je dirais, quelqu’un qui ne se tient pas en place. Nous, on dirait quelqu'un de nerveux, un nerveux, qui serait « uneasy ». Bon, possible, [98 :00] qu’est-ce que ça veut dire ? Vous voyez comment, lui, il emprunte le concept à Locke et il va le changer complètement en se disant, évidemment, ce malaise du vivant, c'est quoi ? qui n'est pas du tout le malheur du vivant. C'est que, même quand il est immobile, qu’il a sa perception consciente bien cadrée, ça fourmille : les petites perceptions et les petits appétits, les petites appétitions qui investissent les petites perceptions fluentes, perceptions fluentes et appétits fluents ne cessent pas de bouger, et c'est ça. Alors, bien sûr, s’il y a un Dieu, et Leibniz est persuadé qu'il y a Dieu, cette « uneasyness » est si peu un malheur qu'elle ne fait qu'un avec la tendance à développer le maximum de perception, et le développement du maximum de perception [99 :00] définira une espèce de continuité psychique. On retrouve là le grand thème de la continuité, c'est-à-dire un progrès indéfini de la conscience. [Pause]

Donc, il combine ça, simplement, en quoi est-ce qu'il y a malheur ? C'est qu'il peut toujours y avoir de mauvaises rencontres. Il dit, c'est comme la pierre lorsqu'elle tend à tomber: elle tend à tomber suivant une voie qui est la voie droite, par exemple, et puis elle peut rencontrer un rocher qui l'effrite ou qui la fait éclater. C'est vraiment un accident lié à la loi de la plus grande pente. Ça n'empêche pas que la loi de la plus grande pente, c'est le meilleur. On voit bien ce qu'il veut dire.

Voilà donc un inconscient défini par les petites perceptions, et les petites perceptions, c'est à la fois des perceptions infiniment petites et les [100 :00] différentielles de la perception consciente. Et les petits appétits, c'est à la fois des appétits inconscients et les différentielles de l'appétition consciente. Vous voyez ? Il y a une genèse de la vie psychique à partir des différentielles de la conscience. D'où l'inconscient leibnizien, c'est l'ensemble des différentielles de la conscience. C'est la totalité infinie des différentielles de la conscience. Il y a une genèse de la conscience. Je dis alors, c’est vraiment un inconscient. L'idée des différentielles de la conscience, c'est fondamental. La goutte d'eau et l'appétit pour la goutte d'eau, les petites faims spécifiques, le monde de l'étourdissement, tout ça, ça fait un drôle de monde.

J'ouvre une parenthèse très rapide. Alors, quoi, cet inconscient-là [101 :00], cet inconscient-là, vous le trouverez dans la philosophie ; il a une longue histoire. En gros on peut dire que c'est en effet la découverte et la mise en théorie d'un inconscient proprement différentiel. Vous voyez que cet inconscient est très lié – c’est pour ça que je disais un domaine psycho-mathématique – il est très lié à l'analyse infinitésimale. De même qu'il y a des différentielles de la courbe, il y a des différentielles de la conscience. Les deux domaines, le domaine psychique et le domaine mathématique symbolisent. [Pause] Alors, bon, je dis, si je cherche la lignée, -- à mon avis, quel qu’ils soient, il y a toujours des antécédents -- mais c'est Leibniz qui lance la première grande théorie de cet inconscient différentiel, [102 :00] ensuite ça ne cessera pas. Ça ne cessera pas, il y a une très longue tradition de cette conception différentielle de l'inconscient à base de petites perceptions et petites appétitions. Ça culminera notamment avec un très grand auteur qui a été toujours bizarrement méconnu en France, dont on n’a retenu que des choses très rudimentaires, à savoir un post-romantique allemand très bizarre qui s'appelle [Gustav] Fechner qui est un disciple de Leibniz et qui développera la conception de l'inconscient différentiel.

Je dis, si on dit, eh ben, alors, Freud, « qu'est-ce qu’il apporté ? », c’est évidemment un non-sens. C’est évident que l’inconscient était une notion déjà très bien construite avant Freud. Mais ce qui est évident aussi, c’est que Freud rompt avec cette conception de l’inconscient [103 :00] différentiel. Et pourquoi ? Si j’essaie de le dire très grossièrement, ce n'est pas que pour Freud il n'y ait pas de perceptions inconscientes, il y a aussi des perceptions inconscientes, il y a aussi des désirs inconscients. Vous vous rappelez, dans Freud, il y a l'idée à la fois que la représentation peut être inconsciente et, en un autre sens, l'affect peut être inconscient. Ça répond à perception et appétition.

Mais la nouveauté de Freud c'est qu'il conçoit l'inconscient dans un rapport -- et je dis là vraiment une chose élémentaire pour marquer une grosse, grosse différence --, il conçoit l'inconscient dans un rapport de conflit ou d'opposition avec la conscience, et non pas dans un rapport différentiel. C'est complètement différent de concevoir un inconscient qui exprime des différentiels de la conscience ou de concevoir un inconscient [104 :00] qui exprime une force qui s'oppose à la conscience et qui entre en conflit avec elle. En d'autres termes, entre la conscience et l'inconscient chez Leibniz, il y avait un rapport de différence à différences évanouissantes ; chez Freud il y a un rapport d'opposition de forces. Je pourrais dire, en effet, que l'inconscient attire des représentations, il les arrache à la conscience, c'est comme deux forces comme ça [Deleuze fait un geste d’opposition]. Je pourrais dire que philosophiquement Freud dépend de Kant et de Hegel, c'est évident. Ceux qui avaient orienté explicitement l'inconscient, et qui l’avaient orienté explicitement, dans le sens d'un conflit de volonté, et non plus de différentiel de la perception, c'était l'école de Schopenhauer que Freud connaît admirablement et qui descendait de Kant. Donc il n’y a aucun lieu de ne pas sauvegarder [105 :00] l'originalité complète de Freud, sauf qu'en effet Freud a bien une préparation dans certaines théories philosophiques de l'inconscient, mais ce n'est certainement pas le courant leibnizien ; ce serait le courant schopenhauerien. Mais enfin, voilà.

Alors, pour en finir enfin, parce que… je voudrais dire ceci : bien, on a ce schéma. Notre perception consciente est composée d'une infinité de petites perceptions. Notre appétit conscient est composé d'une infinité de petits appétits. Qu’est-ce que ça veut dire? Mais c’est complètement différent. Il est en train de faire une opération très bizarre, Leibniz ; on a envie de protester ; si on ne se retenait pas, on protesterait tout de suite. On pourrait lui dire, mais d'accord, la perception a des causes ; par exemple, ma perception du vert, [106 :00] ou ma perception d'une couleur quelconque, elle implique toutes sortes de vibrations physiques. Mais ces vibrations physiques ne sont pas elles-mêmes perçues. Qu'il y ait une infinité de causes élémentaires dans une perception consciente, de quel droit Leibniz en conclut-il que ces causes élémentaires soient elles-mêmes objets de perceptions infiniment petites, pourquoi ? Et qu'est-ce qu'il veut dire quand il dit que notre perception consciente est composée d'une infinité de petites perceptions, exactement comme la perception du bruit de la mer est composée de la petite perception de toutes les gouttes d'eau ? C’est quand même… oui…

Eh ben, si vous regardez de près les textes, c'est très curieux car ces textes disent deux choses très différentes, dont l'une est manifestement dite comme ça, par simplification [107 :00] et l'autre exprime la vraie pensée de Leibniz. En effet, je reprends mon thème. Vous pouvez regrouper ces textes, l’ensemble des textes sur la petite perception chez Leibniz, en deux rubriques : les unes sont sous la rubrique partie-tout, et à ce moment-là, ça veut dire que la perception consciente est toujours celle d'un tout ; cette perception d'un tout suppose non seulement des parties infiniment petites, mais suppose que ces parties infiniment petites soient elles-mêmes perçues. [Pause] Donc la formule : la perception consciente est faite de petites perceptions, je dis que dans ce cas-là, "être fait de" égale "être composé de", [108 :00] "être composé de", et Leibniz s'exprime très souvent ainsi.

Je prends un texte que je cite, comme ça, mais il y en a beaucoup, [Pause ; Deleuze cherche dans le texte] "Autrement on ne sentirait point le tout" -- si il n'y avait pas toutes ces petites perceptions, on n'aurait pas conscience du tout. Là, je n’invente pas ; il ne dit que ça. – « L'organe des sens » -- vous voyez, c’est une approximation de l’organe des sens – « L’organe des sens opère une totalisation des petites perceptions. » L'œil, par exemple, c’est ce qui contracte, c'est ce qui totalise une infinité de petites vibrations, et dès lors compose avec ces petites [109 :00] vibrations une qualité globale que j'appelle le vert, ou que j'appelle le rouge, ou que j’appelle… Là, le texte est net, il s'agit du rapport tout-parties.

Mais quand Leibniz veut vraiment dire… Et comprenez, ce n’est pas une manière d’être sournois. Quand il veut aller vite, quand il veut se faire comprendre vite, il a tout intérêt à parler comme ça, mais quand il veut vraiment expliquer les choses, -- voilà, oui, ça serait l’opposition entre se faire comprendre et expliquer – quand il veut se faire comprendre, il dit ça ; quand il veut vraiment expliquer, il dit autre chose, il dit que la perception consciente dérive des petites perceptions. Ce n'est pas la même chose « est composé de » ou « dérive de ». Dans un cas, vous avez le rapport [110 :00] parties-tout, dans l'autre cas, vous avez un rapport d'une toute autre nature.

Alors, quelle autre nature ? Le rapport de dérivation : ça nous renvoie à l’analyse infinitésimal, ce qu'on appelle une dérivée. La perception consciente dérive de l'infinité des petites perceptions. A ce moment-là je ne dirais plus que l'organe des sens totalise. Remarquez que la notion mathématique d'intégrale réunit les deux : l'intégrale, c'est ce qui « dérive de », et l’intégrale, c'est ce qui opère une intégration, une espèce de totalisation, mais justement, c’est une espèce de totalisation très spéciale ; ce n'est pas une totalisation par additions ; c’est une totalisation d’un type très particulier. Alors là, ça devient intéressant. On peut dire sans risque de se tromper, que même, bien que Leibniz ne le signale pas, ce sont les seconds textes qui ont [111 :00] le dernier mot. Lorsque Leibniz nous dit, il y a là que la perception consciente est composée de petites perceptions, ce n'est pas sa véritable pensée. On a toute raison de le dire ; je viens de l’expliquer. En revanche, sa véritable pensée c'est que la perception consciente dérive des petites perceptions. Qu'est-ce que ça veut dire "dérive de " ?

Ben, vous vous rappelez le texte que je viens de lire sur le tout. Voilà un tout autre texte : « Sinon » -- c’était sinon, on ne percevrait pas le tout – voilà un texte différent : [Pause ; Deleuze cherche dans le texte en chantonnant] [112 :00] "La perception de la lumière ou de la couleur dont nous nous apercevons » -- c’est-à-dire la perception consciente – « est composée de quantités de petites perceptions dont nous ne nous apercevons pas, et un bruit dont nous avons perception mais où nous ne prenons point garde devient aperceptible » - c’est-à-dire passe à l'état de perception consciente – « devient aperceptible par une petite addition ou augmentation".

Ahhh… Vous comprenez ? Là, on prend à la lettre : il ne dit pas « par une totalisation » ; [Pause] On ne passe plus des petites perceptions à la perception consciente par totalisation comme le suggérait la première sorte de texte ; on passe [113 :00] des petites perceptions à la perception consciente globale par une petite addition. On se dit, du coup, on croyait comprendre et on ne comprend plus rien. Une petite addition, c'est l'addition d'une petite perception; alors on passe des petites perceptions à la perception globale consciente par une petite perception ? [Pause ; soupir d’exaspération] On se dit que ça ne va plus. [Soupir d’exaspération] Du coup, on a tendance à se rabattre sur l'autre sorte de texte, au moins c'était plus clair. C'était plus clair, mais c’était insuffisant. Les textes suffisants sont suffisants mais on n'y comprend plus rien.

Situation délicieuse, sauf si on se rappelle ou si on tombe par hasard sur un texte voisin où Leibniz nous dit :"il faut considérer que nous pensons à quantité de choses à la fois » -- il paraît, pour lui – « il faut considérer que nous pensons à quantité [114 :00] de choses à la fois, mais nous ne prenons garde qu'aux pensées qui sont les plus distinguées ». Bon, vous me direz, alors… et alors… [Pause ; Deleuze cherche dans le texte] et alors… on continue, et on tombe sur un autre petit fragment.

« Car ce qui est remarquable doit être composé de parties qui ne le sont pas » -- ahh -- « Car ce qui est remarquable doit être composé de parties qui ne le sont pas » -- là [Leibniz] est en train de tout mélanger, mais exprès, exprès. Formidable ! Nous qui ne sommes plus innocents, [115 :00] on a repéré le mot "remarquable", et on sait que chaque fois – encore une fois, je suis sûr d’avoir raison – chaque fois qu'il emploie « notable », « remarquable », « distingué », c'est en un sens très technique, et en même temps, il met de la bouillie partout, comprenez ? Il fait un coup diabolique. Car l'idée meme qu'il y a du clair et du distinct, depuis Descartes, c'était une idée qui courait partout. Lui, glisse son petit "distingué", dans le texte précédent : « nous ne prenons garde qu'aux pensées qui sont les plus distinguées ». Il aurait dit, nous ne prenons garde qu’au clair et au distinct ; il ne dit pas ça, il dit : « nous ne prenons garde qu'aux pensées qui sont les plus distinguées ». Comprenez « le distingué », « le notable », « le remarquable », [116 :00] « le singulier », voilà.

Qu'est-ce que ça veut dire alors ? « Nous passons des petites perceptions inconscientes à la perception consciente globale par une petite addition », eh oui, évidemment. Ce n'est pas n'importe quelle petite addition. Ça serait stupide s’il voulait dire par l’addition… par une perception également inconsciente, également petite perception. Pourtant, s’il veut dire autre chose, alors il se contredit. Il ne peut pas dire non plus, en effet, on passe à la perception consciente par l’addition d’une perception qui serait elle-même consciente. Alors qu'est-ce qu'il veut dire ? Il veut dire que vos petites perceptions forment une série d'ordinaires ou une série dite régulière : toutes les petites gouttes d'eau, perceptions élémentaires, [117 :00] perceptions infinitésimales.

Comment est-ce que vous passez à la perception globale du bruit de la mer ? Première réponse, si je récapitule tout ; première réponse : par globalisation-totalisation. Réponse du commentateur, c’est-à-dire de vous et moi : d'accord, c'est commode à dire, facile à dire, c’est bien. Alors, moi, je ne penserais jamais à vous faire une objection. Je ne veux pas dire, ça ne va pas. Il faut aimer juste assez un auteur pour savoir qu'il ne se trompe pas, que s’il parle comme ça, il a le droit d’aller vite.

Deuxième réponse : je passe par une petite addition. Ça ne peut pas être l'addition d'une petite perception ordinaire ou régulière, ça ne peut pas être non plus [118 :00] l'addition d'une perception consciente puisque la conscience serait présupposée à ce moment-là. La réponse, c'est que j'arrive à un voisinage d'un point remarquable, donc je n'opère pas une totalisation, j'opère une singularisation. C’est par singularisation. C'est lorsque la série des petites gouttes d'eau perçues s'approche ou entre dans le voisinage d'un point singulier, d'un point remarquable que la perception devient consciente. C'est une vision tout à fait différente parce qu'à ce moment, toute les objections, une grande partie des objections qu'on fait à l'idée d'un inconscient différentiel tombe. Mais, vous me direz, qu'est-ce que ça veut dire ? Ça ne veut rien dire. Qu’est-ce que ça veut dire, ça ? [Pause] [119 :00] Voilà, vous avez compris ? [Pause] Oui, qu’est-ce que ça veut dire ? Il semble qu’on ne s’en sort pas, et en même temps, on est déjà sorti ; c’est le plus simple. Qu’est-ce que ça veut dire ?

Alors, viennent les textes qui paraissent les plus complets de Leibniz. Vous vous rappelez ce qu’on traine depuis le début, en fait, l'idée que de petits éléments, c'est aussi une manière de parler car ce qui est différentiel, ce n'est pas les éléments, et là, vous avez trop raison de le rappeler tout à l’heure ; mais on peut s’exprimer comme ça par commodité, et c’est plus simple de le dire. En fait, ce qui est différentiel, c’est les rapports. Ce qui est différentiel, ce n'est pas dx par rapport à x, car dx par rapport à x, ce n'est rien. Ce qui est différentiel ce n'est pas dy par rapport à y car dy par rapport à y, [120 :00] ce n'est rien. Ce qui est différentiel, c’est… et ce qui travaille dans l’infiniment petit, c'est dy sur dx, c'est le rapport.

Mais, quel rapport ? Vous vous rappelez qu'au niveau des points singuliers, le rapport différentiel change de signe. Formidable, ça ! [Leibniz] est en train d'engrosser Freud sans le savoir. Au niveau de la singularité, il y a des croissances ou des décroissances, le rapport différentiel change de signe, c'est-à-dire que le signe s'inverse. Dans ce cas de la perception, quel est le rapport différentiel ? Pourquoi est-ce que ce n'est pas des éléments mais bien des rapports ? Ce qu’il faut voir, c’est qu’en effet, ce qui détermine un rapport, c'est précisément un rapport entre les éléments physiques et mon corps, les vibrations et les molécules de mon corps. [121 :00] Vous avez donc dy-dx. C'est le rapport de l'excitation physique à mon corps biologique. C'est ça le rapport différentiel de la perception. Donc, on ne parlera plus, à ce niveau, vous comprenez, on ne peut plus parler exactement de petites perceptions. On parlera du rapport différentiel entre l'excitation physique et l'état biologique [Pause] en l'assimilant franchement à dy sur dx, peu importe, en l'assimilant franchement à dy sur dx.

Or la perception devient consciente quand le rapport différentiel correspond à une singularité, c'est-à-dire change de signe. En d’autres termes, par exemple, quand l'excitation se rapproche suffisamment, [Pause] [122 :00] je dirais que, à la lettre pour faire du Leibniz – il ne dirait pas ça --, c'est la molécule d'eau la plus proche de mon corps qui va définir la petite augmentation par laquelle l'infini des petites perceptions devient perception consciente. Ce n'est plus du tout un rapport de tout-parties ; c'est un rapport de dérivation. C'est le rapport différentiel de l'excitant et de mon corps biologique qui va permettre de définir le voisinage de la singularité. Voyez en quel sens Leibniz pourrait dire que les inversions de signes, c'est-à-dire les passages du conscient à l'inconscient et de l'inconscient au conscient, les inversions de signes renvoient à un inconscient différentiel et [123 :00] pas à un inconscient d'opposition.

Pensez à quand je faisais allusion à la postérité de Freud, dans Jung par exemple, avec la grande rupture Freud-Jung, je ne dis pas du tout qu’il n’y ait que ça dans Jung parce que c’est un tel mélange, Jung, mais Jung a tout un côté leibnizien, d’ailleurs, il connaît bien Leibniz, Jung, et ce qu'il réintroduit pour la plus grande colère de Freud, et c'est par là que Freud estime que Jung trahit absolument la psychanalyse, c'est un inconscient de type différentiel. Et ça, il le doit à qui ? Il le doit à la tradition du romantisme allemand ; l’inconscient des romantiques allemands est très lié aussi à l'inconscient de Leibniz.

Voyez donc, j’ai pu donner un sens rigoureux à la phrase même de Leibniz : on passe des petites perceptions à la perception inconsciente par addition d'un [124 :00] quelque chose de notable, c'est-à-dire lorsque la série des ordinaires arrive au voisinage de la singularité suivante, si bien que la vie psychique tout comme la courbe mathématique sera soumise à une loi qui est celle de la composition du continu. Et pourquoi le continue est-il l’objet d’une composition ? Il y a composition du continu puisque le continu est un produit : le produit de l'acte par lequel une singularité se prolonge jusqu'au voisinage d'une autre singularité. Et que ceci travaille, non seulement l'univers du symbole mathématique, mais l'univers de la perception, de la conscience et de l'inconscient, et à partir de là, on n'a plus qu'une seule question : qu'est-ce que le compossible et l'incompossible ? Ça en dérive tout droit. [Pause] Quelle heure il est ? [Réponse inaudible] Bon, [125 :00] alors je termine là-dessus. Voilà. Vous en pouvez encore, parce que si vous ne pouvez plus, il vaut mieux arrêter. Vous pouvez ? Ben, je ne sais pas ce que vous avez…

Voilà, la formule de la compossibilité, on la tient, on la tient. Supposez que je dise ceci : vous avez une singularité. Maintenant je peux dire : vous prenez le cas le plus simple ; je reviens à mon exemple du carré avec ses quatre singularités. Vous prenez une singularité, [Pause] et vous tracez… vous prenez cette singularité, ce point singulier, c'est un point; vous le prenez comme centre d'un cercle. Vous me suivez ? Je ne fais pas le dessin. Vous le prenez comme centre d'un cercle. Quel cercle ? Jusqu'au voisinage de l'autre singularité. En d'autres termes, vous prenez a, vous prenez grand A, dans le [126 :00] carré ABCD, vous prenez grand A comme centre d'un cercle qui s'arrête dans la périphérie au voisinage de la singularité B. [Avec] B, vous faites la même chose: vous prenez, vous tracez un cercle qui s'arrête au voisinage de la singularité A et vous tracez un autre cercle qui s'arrête au voisinage de la singularité C. Voyez, ces cercles se coupent. [Pause]

Alors, vous allez comme ça construire, de singularité en singularité, ce que vous pourrez appeler une continuité. Le cas la plus simple d'une continuité, [127 :00] c'est une ligne droite, mais justement il y a aussi continuité des lignes non droites. En quoi ? Voyez, vous avez votre système de cercles qui se coupent, vous direz qu'il y a continuité lorsque [Pause] les valeurs des deux séries ordinaires, celles de A à B, et celles de B à A, coïncident. Lorsqu'il y a coïncidence des valeurs des deux séries ordinaires comprises dans les deux cercles, vous avez une continuité. Donc vous pouvez construire une continuité faite de continuité. [128 :00] Vous pouvez construire une continuité de continuité. Le carré serait une continuité de continuité. Si les séries des ordinaires qui dérivent des singularités divergent, alors vous avez une discontinuité. Bon, ça devient tout simple.

Vous direz, un monde est constitué par une continuité de continuité, première définition. Un monde est constitué par une continuité de continuité, c'est la composition du continu. Une discontinuité est définie lorsque les séries d'ordinaires ou de réguliers [129 :00] qui dérivent de deux points singuliers divergent. Troisième définition : le monde existant est le meilleur. Pourquoi ? Parce que c'est le monde qui assure le maximum de continuité. Quatrième définition : qu'est-ce que le compossible ? Un ensemble de continuités composées. Dernière définition : qu'est-ce que l'incompossible ? Lorsque les séries divergent, lorsque vous ne pouvez plus composer la continuité de ce monde avec la continuité de cet autre monde. Divergence dans les séries d'ordinaires qui dépendent des singularités, à ce moment-là ça ne peut plus faire partie du même monde.

Vous avez une loi de composition du continu [130 :00] qui est, vraiment, je reprends, psycho-mathématique. Pourquoi on ne le voit pas ? Pourquoi faut-il toute cette exploration de l'inconscient ? Pourquoi on ne le voit pas ? Parce que, encore une fois, Dieu est pervers. La perversité de Dieu, c'est que il a choisi le monde qui impliquait le maximum de continuité – voyez, calcul du maximum -- il a choisi le monde et fait passer à l’être, à l'existence le monde qui impliquait le maximum de continuité. Seulement, voilà, il a composé le monde choisi sous cette forme, seulement il a dispersé les continuités puisque c'est des continuités de continuités. Il les a dispersées.

Ça veut dire quoi ? On a l'impression qu'il y a, dit Leibniz, dans notre monde, on a l’impression qu’il y a des discontinuités, des sauts, des ruptures, comme il dit dans un terme admirable, on a l'impression qu'il y a des chutes de musique, il y a des chutes de musique. [131 :00] Mais en fait il n'y en a pas. C’est simplement que, par exemple, on a l’impression qu’il y a un fossé… ou certains d'entre nous ont l'impression – au contraire, il y a certains qui ont l’impression qu’il n’y en a pas – mais certains d'entre nous ont l'impression qu'il y a un fossé entre l'homme et l'animal, une rupture. C'est forcé parce que Dieu, dans sa malice extrême, a conçu le monde à choisir sous la forme du maximum de continuité, donc il y a toutes sortes de degrés intermédiaires entre l'animal et l'homme. Mais il s'est bien gardé de les mettre sous nos yeux. Au besoin il les a mis dans d'autres planètes de notre monde. Pourquoi ? Parce que finalement c'était bon, c'était bon pour nous que nous puissions croire à l'excellence de notre domination sur la nature. Si on avait vu toutes les transitions entre la pire bête et nous, on aurait été moins vaniteux.

Alors cette vanité est quand même bonne parce qu'elle permet à l'homme d'asseoir [132 :00] son pouvoir sur la nature. Finalement ce n'est pas une perversité de Dieu, c'est que Dieu n'a pas cessé de casser les continuités qu'il avait construites, pourquoi ? Pour introduire de la variété dans le monde choisi, pour cacher tout le système des petites différences, des différences évanouissantes. Alors il a proposé à nos organes des sens et à nos pensées débiles, il a présenté un monde au contraire très tranché. On passe notre temps à dire que, ah, les bêtes n'ont pas d'âme, comme dirait Descartes, ou bien qu'elles ne parlent pas, ou bien tout ça. Mais rien du tout, rien du tout : il y a toutes les transitions, il y a toujours toutes les petites différences, etc.

Voyez, donc, la définition à laquelle on arrive, sur quoi je voulais terminer, là on tient quelque chose, une relation spécifique qui est la compossibilité ou l'incompossibilité. Je dirais encore une fois que la compossibilité, [133 :00] c'est lorsque convergent les séries d'ordinaires, les séries de points réguliers qui dérivent de deux singularités et lorsque leurs valeurs coïncident, sinon il y a discontinuité. Dans un cas vous avez la définition de la compossibilité ; dans l'autre cas, la définition de l'incompossibilité. Question, encore une fois : pourquoi Dieu a-t-il choisi ce monde plutôt qu'un autre, alors qu'un autre était possible ? Réponse de Leibniz qui, à mon avis, devient splendide : c'est parce que c'est le monde qui mathématiquement implique le maximum de continuité, et c'est uniquement en ce sens qu'il est le meilleur, qu’il est le meilleur des mondes possibles.

Voilà, je voudrais juste que vous reteniez finalement : tout est construit autour de quoi ? Si vous voulez, voilà ce que c’est qu’un concept ; ça devient très, très… Vous voyez ? [134 :00] Un concept c'est toujours un complexe ; un concept c'est toujours quelque chose de très complexe. Notre séance d'aujourd'hui, on la met sous le signe du concept de singularité. Or le concept de singularité a comme toutes sortes de langages qui se réunissent en lui. Un concept est toujours, à la lettre, polyvoque ; il est polyvoque nécessairement puisque le concept de singularité, vous ne pouvez le saisir qu’à travers d'un minimum d'appareils mathématiques : les points singuliers par opposition aux points ordinaires ou réguliers, au niveau d'expériences de pensée de type psychologique : qu'est-ce que l'étourdissement, qu'est-ce qu'un murmure, qu'est-ce que la rumeur, etc. [Pause] Et au niveau de la philosophie comme concept, dans le cas de Leibniz, la construction [135 :00] de cette relation de compossibilité.

Et il faudra que les trois… Ce n'est pas une philosophie mathématique, pas plus que les mathématiques ne deviennent philosophie, mais dans un concept philosophique, il y a toutes sortes d'ordres différents qui nécessairement symbolisent. Et déjà là, je dirais, c’est vrai pour tout concept philosophique, que c’est un concept philosophique qu’il a une tête philosophique, il a une tête mathématique, et il a une tête d'expérience de pensée, une tête psychologique. Et c'est vrai de tous [les concepts], c’est vrai pour tous.

Alors je crois que ce fut un grand jour pour la philosophie lorsque quelqu'un a attiré son attention sur ce couple insolite, et c'est ça que j'appelle une création en philosophie. Je l’appelle « ce couple isolite, » je veux dire, ben oui, lorsque Leibniz a lancé ce truc -- vous savez, singulier, voilà exactement l'acte de création -- lorsque Leibniz nous dit [136 :00] vous savez, singulier, réfléchissez bien, il n'y a pas de raison que vous l'opposiez simplement à l'universel. C'est beaucoup plus intéressant si vous écoutez un peu ce que disent les mathématiciens qui eux, pour des raisons qui sont les leurs, au contraire pensent singulier non pas en rapport avec universel, mais en rapport avec ordinaire ou régulier. Alors [Leibniz] ne fait pas des mathématiques à ce moment-là.

Je dirais que son inspiration est mathématique, et il va faire une théorie philosophique, notamment toute une conception de la vérité qui est radicalement nouvelle puisque ça va consister à dire : ne faites pas trop attention à l'histoire du vrai et du faux ; vous ne demandez pas dans votre pensée ce qui est vrai et ce qui est faux, parce que ce qui est vrai et ce qui est faux dans votre pensée, ça découle toujours d’autre chose de beaucoup plus profond. Ce qui compte dans une pensée, c'est ce qui est remarquable, c’est les points remarquables et les points ordinaires. Il faut les deux : [137 :00] si vous n'avez que des points singuliers dans une pensée, vous n'avez pas de méthode de prolongement, c'est zéro; si vous n'avez que des points ordinaires, vous avez intérêt à penser autre chose, ça se vaut, tout ça. Et plus vous vous croyez vous-mêmes remarquable, moins vous pensez de points remarquables, forcément, forcément.

En d'autres termes, la pensée du singulier, c'est la pensée la plus modeste du monde, c'est là que le penseur devient nécessairement modeste, parce que le penseur, c'est le prolongement sur la série des ordinaires, et la pensée elle, elle éclate dans l'élément de la singularité, et l'élément de la singularité, c'est le concept. Voilà. [Fin de l’enregistrement] [2 :17 :38]

 

Notes

[1] https://www.youtube.com/watch?v=70-oa98QgvI

[2] Le titre entier est « Tentamen Anagogicum. Essai anagogique dans la recherche des causes ». Voir https://fr.wikisource.org/wiki/Essai_anagogique_dans_la_recherche_des_causes pour une image du dessin de Leibniz dans cet opuscule.

[3] Deleuze va développer ces réflexions sur la perception et les différentiels dans le chapitre 7 de Le Pli, Leibniz et le Baroque, pp. 113-132.

[4] Ramon Turro y Darder, Les origines de la connaissance (1914 ; Paris : Hachette Livre-BNF, 2018).

Notes

For archival purposes, an initial version of this translation was prepared based on the available transcript at Web Deleuze and posted there in 1997, then prepared for addition to this site in February 2019. Additional revisions to both the French transcript and the English translation occurred in April 2019 based on access to the YouTube video of the seminar. Final revisions of the transcript, based on close review of the audio recording, occurred in October 2020.