Gilles Deleuze

Seminar on Leibniz and the Baroque – Principles and Freedom

Lecture 08, 27 January 1987: Principles and Freedom (3) — Tales of the Compossible and the Incompossible; Invited Presentation on Neighborhoods and Singularities

Initial transcription by WebDeleuze; Augmented transcription and translation by Charles J. Stivale[1]

Part 1

We will have to work all the harder today since our session is short because I have some meetings that are indispensable for your future. The meetings start around noon. So this will be a shorter session.

So here’s where we are. The first thing I would like…  We find ourselves faced with three questions, three questions to specify. So we need to specify these so that I am happy. These three questions will serve as our conclusion.

The first question, we saw it the last time, is the notion and the extreme importance of the notion of singularity, and I think that singularity or singular point is a notion of mathematical origin and that appeared with the beginnings of the theory of functions. Historians of mathematics correctly consider that the theory of functions is, no doubt, the first great formulation on which what we call modern mathematics depends, the theory of analytical functions. And Leibniz is at the base of this theory of functions. Leibniz’s importance in mathematics is without doubt since, in his mathematical works, he elaborates a theory of function to which there will not be, I don’t say anything more to be developed, but in which there will be very little to change. So it’s a fundamental mathematical act that orients mathematics towards a theory of functions.[2]

And the singular points, or singularities, are the essential instrument of this theory; only Leibniz is not satisfied with being the first great mathematician to develop an entire theory of functions. I am not saying that he invents it since it’s in the seventeenth century that the rudiments of a great theory of functions is sketched out. But not only is Leibniz that [a great mathematician], the concept of singularity will be unleashed and becomes in his works a philosophical-mathematical concept, and in what sense? In the exact sense in which – generally – we can say: singularities – you would expect a lot of them; we have seen that there are several sorts — and this will be a topic for us, to sort out singularities, in the Leibnizian sense of the term singularity.

And in the first sense of the term singularity, what is a singularity for Leibniz? I would say very summarily that a singularity is an inflection, or if you prefer, a point of inflection, and the world is an infinite series of inflections. The world is the infinite series of possible inflections. All of this, we have seen. So my first question-conclusion is: what is a singularity, or what is a singular point, once it’s been said that – generally – we can say that a singularity is an inflection, or that a singularity is there where something happens in a curve? Thus, from the beginning, our idea of the surface with variable curvature that is the fundamental theme that seemed to us to be Leibniz’s, is inseparable from a technique and from a philosophy of singularities and of singular points.

I don’t need to insist, I think, on the novelty of the sense of such a notion, since certainly earlier, logic was familiar with the universal, the general, the particular, the singular. But singularity in the sense of a singular point or what happens has a line, that is something completely new, and in fact, it’s of mathematical origin. Starting at this level, I can then define an event philosophically as an aggregate of singularities. I would say at that moment that the notion is not even only of mathematical origin, but of physical origin. A critical point in physics, evaporization, crystallization, whatever you like, a critical point in physics presents itself as a singularity. All that, you grasp, is already an aggregate of problems, the arrival of this mathematical-physical-philosophical notion, the singular point, so let us give praise to Leibniz.

There you have a first group of questions that, for us, are well brought forth, but you understand that this is material under development and research.

Second question, or second foreshadowing (pressentiment) that we have: perhaps that, between two singularities, there is an entirely original type of rapport, and a logic of the event requires that this type of rapport be specified. What is a rapport, and what is the type of rapport between singularities? And the last time, I proposed a hypothesis starting from the following idea, a notion as bizarre as the one that Leibniz introduces in telling us: if you take an aggregate of possibles, they are not necessarily compossibles, so the relation of compossibility and incompossibility would be this type of relation between singularities. “Adam non-sinner” is incompossible with the world in which Adam sinned. Once again, this is what matters, understand well: “Adam non-sinner” is contradictory to “Adam sinner”, but it is not contradictory to the world in which Adam sinned. Simply, between the world in which Adam sinned and the world in which Adam does not sin, there is incompossibility.

So God’s situation when it created the world is very strange, you see, and that belongs to some of the most famous ideas of Leibniz. God’s situation when it created the world is that God finds itself in the situation in which it chooses between an infinity of possible worlds. It chooses between an infinity of equally possible worlds, but that are not compossible with one another. In God’s understanding, there is an infinity of possible worlds, and God is going to choose. Among the possible worlds, which are not compossible with each other, it is going to choose one among them.

Which one? Fortunately we don’t yet have to deal with this question, but it’s easy to guess Leibniz’s response: it [God] is going to choose the best, the best. It is going to choose the best of possible worlds. It can’t choose them all at once, they are incompossible. So it is going to choose the best of possible worlds, a very, very curious idea, but what does the best mean, and how does it choose the best? There has to be some kind of calculus! What will the best of possible worlds be, and how does he choose one? Isn’t Leibniz going to enlist in a long theory of philosophers for whom the superior activity is the game? Only to say that, for many philosophers, the superior or divine activity is the game, which isn’t saying much, because it’s a question of knowing which game we are talking about. And everything changes according to the nature of the game. It is well known that Heraclitus already invoked the game of the child-player, but everything depends on what game he is playing, this child-player. Does Leibniz’s God play the same game as Heraclitus’s child? Will this be the same game that Nietzsche invokes? Is it yet again the same game as Mallarmé’s?

Perhaps we’ll have to, and Leibniz will force us to create a theory of games, even not creating a theory of games, something that he found exciting. In the seventeenth century, the great theories of games begin. Leibniz will lend himself to this effort, and I add the following erudite comment: it’s that Leibniz knows the game of “go”, that’s really interesting [Laughter], he knows go, and in a quite astonishing little text, he makes a parallel between go and chess, and he says that, in the end, there are two kinds of games. He doesn’t call it “go”; he says “a Chinese game,” and he says that the great difference between go and chess – and he says something quite correct – chess belongs to games in which it’s a matter of taking. One takes pieces — You see the classification of games outlined here — one doesn’t take pieces in the same way as in chess and checkers, since there are several modes of capture; but these are games of capture. Whereas in go, it’s a question of isolating, of neutralizing, of surrounding, not at all taking, [but] of inactivating.

So I add the “scholarly remark”, that in the editions of Leibniz of the nineteenth century, the game of go is so little known that, in reference to this text by Leibniz, there is a note, for example in the Couturat edition, at the start of the twentieth century, Couturat who is a very good specialist both in mathematics and in Leibniz, there is a note by Couturat about Leibniz’s allusion to this Chinese game. He says that this refers to… He describes a little and says “according to what a China specialist has told us.” So, it’s very curious since according to Couturat’s note, go was not at all known at that time. It’s importation to France is quite recent. Anyway, in short, I’m wasting time. [Laughter] This was just to tell you … to tell you what? Oh right, as a result of what calculus, of what game, did God choose a determinable world as the best. Ok, we will leave that aside because, you understand, it’s not difficult, the answers aren’t difficult, and for the moment, we are swimming in what’s difficult.

What I’m saying is, what matters to us, and this is my second question, is this: what is the type of relation that allows us to define compossibility and incompossibility? At our last meeting, I was rather forced to say that Leibniz’s texts were somewhat lacking on this topic, but that we had the right to attempt an hypothesis, and the hypothesis that we attempted was the following: couldn’t one say that there is compossibility between two singularities when the prolongation (prolongement) of one into the neighborhood of another gives rise to a convergent series, or on the contrary, for incompossibility, when the series diverge? It’s therefore the convergence and divergence of series that would allow me to define the relation between compossibility and incompossibility. So compossibility and incompossibility would be the direct consequences of the theory of singularities. This is my second problem, and I insisted on this: these are problems. This is the second problem that we were able to derive from our previous meeting.

Third, and final, problem, is that, henceforth, I had at least – a considerable advantage, but we’ll see – I had at least a final hypothesis about this fundamental question for Leibniz: what is individuality or individuation? Why is this a fundamental question for Leibniz? We have already seen it, if it is true that any substance is individual, if it is true that the substance is the individual notion designated by a proper name, you, me, Caesar, Adam, etc. The question “what does individuation consist of ?”, “what individuates substance if all substance is individual?”, becomes fundamental. My answer or my hypothesis was this: can’t we say that the individual, the individual substance, is a condensation, a condensing (condensé) of compossible singularities, that is, convergent? In the end, this would be a definition of the individual; there is nothing more difficult to define than the individual. So we would have done… If we can say this, I would then say, almost, that individuals are singularities of a second type.

What would that mean, a condensing of singularities? For example, I defined Adam the individual through a primary singularity, and I return to the text of the Letters to Arnauld: “first man”; second singularity, “in the garden”; third singularity : “having a woman born from his own rib” ; fourth singularity : “having endured a temptation”. You see all kinds of [First gap in WebDeleuze transcript] problems  is it the case that in order to define an individual, an infinite number of singularities is required or not ? There we have a problem. Another problem: I can only define the individual as a condensing of singularities if the singularity does not already implicate the individual. About this point, I’m greatly interested. In fact, the singularity does not already implicate the individual. The individual is what? It’s the subject that envelops singularities; it’s the subject that includes singularities. As we’ve seen, it’s the soul. [Pause] But [End of first gap in WebDeleuze transcript] singularities pre-exist the subject, in what sense? A perfect expression exists for us; we will say of singularities that they are pre-individual.

Henceforth, there is no vicious circle, which would be quite vexing, of defining the individual as a condensing of singularities if singularities are pre-individual. “Condensing” (condensé) means what? All sorts of texts by Leibniz tell us and remind us that points have the possibility of coinciding, and it’s even for that reason that points are not constitutive parts of extension. If I have an infinite number of triangles, for example, or of angles, if I have an infinite number of angles, I can cause their vertices to coincide. I would say that “condensing of singularities” means that the singular points coincide. The individual is a point, as Leibniz says, but a metaphysical point; the metaphysical point is the coincidence of an aggregate of singular points. Hence the importance – but this is what we have done since the beginning, but I insist on justifying it perpetually –, it is well understood that Leibniz repeats to us constantly: there are only individual substances. In the end, the only thing real, understand the only thing real are individual substances. [Pause]

But that does not prevent… we have seen, and it’s what we have done, we had to begin from the world, that is: we had to begin from inflection. We had to begin from an infinite series of inflections. It’s only secondarily that we noticed that inflections, and the world itself, exist only in individual substances that express it [world]. [Pause] But that does not prevent individual substances from resulting from the world, which is what I told you. We had to maintain absolutely the two propositions at once: individual substances are for the world, and the world is in the individual substances. Or, as Leibniz says: God did not create “Adam sinner” – that’s the key text for me since, without this text, everything we have done, the order that we followed in the first trimester, that is, going from the world to the individual substance, would not be valid. — God did not create “Adam sinner”; it created the world in which Adam sinned, once it’s been said that the world in which Adam sinned exists only in individual notions that express it, the notion of Adam and the notions of all of us who live under original sin. Good.

So you see… My third point is this whole sphere of the problem of individuation in which I believe Leibniz, there as well, is the first. If I sum up the three points, I am saying that, among all the fundamental things that Leibniz brings to philosophy, there is first off the eruption of the mathematical-physical-philosophical notion of singularity, to which my problem responds, “but, in the long run, what is a singularity?” because we will never finish with the singularity as constitutive element of events. A logic of the event, a mathematics of the event, it’s a theory of singularities. And, in mathematics, that overlaps with the theory of functions, but we call not only for a theory of functions, but also for a logic of the event.

Second point: the types of relations from one singularity to another, compossibility, incompossibility, convergent series, divergent series, and what are the consequences of all that for the understanding of God, and for the creation of the world, and for the game of God, if God creates, that is, chooses the best of worlds through a kind of calculus or game? Third point: what is individuality if we start from the idea that it condenses a certain number of singularities, or an infinity of singularities, etc., these singularities being, henceforth, necessarily pre-individual?

That makes three tough problems. I would just like – before… here this is quite simple, before calling on those people who are more competent than me – I’d like to draw from this some restful consequences. You see this really curious situation, the compossible, the incompossible. In the understanding of God, an infinity of possible worlds is agitated. There Leibniz plunges in deeply. I apologize to those who were here two years ago; I already spoke about that regarding another matter, regarding the true and the false, and yet it seems that evidently I have to address it again, but I am going to go rather quickly. I am speaking for those who were not here. There are three fundamental texts that you must consider.[3]

There are three fundamental texts that you must consider. The first is quite famous, by Leibniz himself, the Theodicy. In the Theodicy, part 3, paragraphs 413 and after, it’s an eminently Baroque text, to return to our theme. What does one call a Baroque tale? For example, Gérard Genette and other critics considered this, and summarily, they agree in telling us this: at first glance, what characterizes Baroque texts is above all the nesting (emboîtement) of tales one within another, on one hand, and on the other hand, the variation of the relation of narrator and narration, both becoming but one. In each tale nesting into another corresponds, in fact, to a new type of narrator/narration rapport.

If you take, starting from paragraph 413, the very curious tale that Leibniz tells, and which is extremely beautiful – in the Theodicy – you will see that it’s a typically Baroque story since it begins from a dialogue between a Renaissance philosopher named [Laurentius] Valla…[4] , [Start of transcript gap 2 at WebDeleuze] a dialogue between Valla and Antoine [Antonio Glarea] on the theme, “Is God responsible for evil?” And in this dialogue [End of gap 2 WebDeleuze] a Roman character is evoked, Sextus, the last king of Rome who exhibited evil passions and, notably, raped Lucretia. Some say that it’s his father who raped Lucretia, ok, but in the tradition to which Leibniz refers, it’s Sextus who raped Lucretia. And the question is: is this God’s fault? Is God responsible for evil?

To this first tale, the dialogue between Valla and Antoine, this first tale nests into a second tale which is Sextus going to consult Apollo, to tell him, but really, Apollo, what is going to happen to me? Then a third tale is juxtaposed to this: Sextus is not satisfied with what Apollo tells him, and he seeks out Jupiter himself. He addresses himself directly to Jupiter to have a first-hand answer. [There are] variations of the tale. There, in the Sextus-Jupiter discussion, there is a new character named Theodorus, the High Priest, loved by Jupiter. And [in] a new tale, it’s Theodorus, observing the dialogue between Sextus and Jupiter, who says to Jupiter: but still, you didn’t answer him very well, to which Jupiter says: Go see my daughter, Pallas. So the last tale nests into the others: Theodorus goes to see Pallas, Jupiter’s daughter. You see that all this creates quite a nest of overlaps. And then! [Deleuze breaks out laughing], Theodorus falls asleep! [Laughter] This is typically Baroque. Baroque novels are just like that. So I cannot believe that Leibniz… He knows perfectly well what he is doing; in this ending of the Theodicy which is entirely crazy, he knows perfectly well what he is doing. It’s a grand Baroque imitation and, once again, he knows it.

So Theodorus falls asleep, but he dreams. He dreams that he speaks to Pallas, and there Pallas tells him: come follow me! It’s not over. She leads him to see a splendid transparent pyramid. This is Theodorus’s dream. It’s the palace of the fates, on which I stand guard, Pallas tells him. She says that Jupiter comes sometimes to visit these sites for the enjoyment of reviewing things and to renew his own choices. God comes to visit this architecture, this transparent architecture. What is this transparent architecture? It’s an immense pyramid, which indeed has a vertex, but that has no end.

You sense immediately that something is coming. This means that, in the infinity of possible worlds, there is indeed a world that is the best, but there aren’t any that are the worst. On the side of the depths, it extends to infinity, but not on the side of the heights. There is a maximum, but there is no minimum. That interests us because one must consider everything mathematically. In the lists of everything that is a singular point, we will see that there is a moment in which arises – not at all for the moment – the idea that there are maxima and minima. I believe the maxima and the minima are not of the same kind in Leibniz. On the level of worlds, there is indeed a world that is the best, but there is no world that would be the worst. There’s a maximum; there is no minimum.

So I have my endless pyramid with its vertex, and way up at the top… but notice that this poses a problem; the text is splendid, I hope you’ll read it, but that poses a problem because how do we organize it, even if I attempt to draw an illustration? I have my pyramid. Way up at the top there is an apartment – “apartment” is the word that Leibniz uses. You recall our stories, the upper floor, the lower floor, all that. You will see all that returning in this admirable text. — There is an apartment that culminates at in points, if I understand well; it occupies the whole upper region of the pyramid. And in this apartment, a Sextus lives. Fine. Below, Leibniz tells us, there are other apartments, and here it gets complicated. I consider all these apartments, and it’s not easy; how are they organized? In my view, it’s not possible that there are any with the top below; in other words, grasp this: how to fill a pyramid and with what figures? I would say, what is the figure of the apartments? It’s a problem that mathematicians know well and that’s an exciting problem.

On the simplest level, given a surface… [Interruption of the BNF & YouTube recording; text continues thanks to the transcript from WebDeleuze] [36:14]

Part 2

… how does one divide it in such a way that there is no empty part? More simply, how does one pave a space? The problems of paving are also problems of architecture, but also problems of mathematics. For example, can you pave a circle with circles, or will there be empty parts? Given a surface, with what can you pave it? The tradecraft of a paver seems like nothing big, but it’s one of the most beautiful trades in the world, see? It’s a divine activity, paving. The proof is that [Continuation of the BNF & YouTube recording] Leibniz, in a famous text titled On the radical origin of things – he had a genius for creating titles; what is lovelier than a book titled On the radical origin of things, especially as this book is 15 pages long — [Laughter] and indeed Leibniz explicitly refers to it, paving, regarding the creation of the world by God. That is, he assumes – and this is something he does not believe, but it matters little – he assumes that space is assimilable to a given surface, and he says: God necessarily chooses the world that fills this space the best and to the maximum. In other words, God chooses the world that best paves the space of creation.

So how am I going to pave my pyramid of apartments in such a way that there is no empty space? It’s interesting. One must assume that, if these are little pyramids, no apartment has its point downward, otherwise that doesn’t work at all. You see, it’s in order to open you to immense problems that I tell you all this.

But then in the lower apartments… each apartment, Leibniz tells us, I’m not sure where, but believe me, each apartment is a world. [Deleuze looks through the text for the quote] No, hmm… Ah, hé, hé, I’ve located the text: “Thereupon the Goddess led Theodorus into one of the halls of the palace: when he was within, it was no longer a hall, it was a world” [Theodicy]. I have the impression that it’s the entryway in Baroque style. You enter into the Baroque room and, at the same time that you enter, it’s no long a room, it’s a world. You have a first apartment in which you have a Sextus, and then you have another apartment, below, there is not a floor sufficiently low, there are always lower floors, but there is a floor that is the highest. So, on the upper floor, you have a Sextus, in the following floors, you have other Sextuses. Consider the problem: why are these Sextuses? That’s going to be a problem for us.

So that’s where it gets complicated, but everything is important in this text which is so delightful (gai) ; he says : each of the Sextuses, in the apartments, has a number on his forehead, a number 3000, 10000, some as it’s infinite from the base, you have a Sextus that has the number 1,000,000. The Sextus in the apartment up above has number 1. Why does he have a number? It’s because at the same time – you recall the text I read to you[5] — the upper room was a reading chamber, in the Baroque style. In each apartment there is a great volume of writings. [Deleuze reads with great feeling] “Theodorus couldn’t keep from wondering what that meant? Why is there a great volume of writings? It’s the history of this world, Pallas answers. It’s the history of this world that we are visiting right now, the goddess tells him. This is the book of its fates. You have a number on the forehead of Sextus, look at the spot in this book that it marks. Theodorus looks for it and finds the story of Sextus, the entire story. However, I already saw Sextus in his transparent apartment,” yes indeed! Yes, I saw him, and he was imitating a sequence; for example, he was raping Lucretia, or something more acceptable, he was getting crowned king of Rome. I was noticing that; theater, theater. But it does not include everything. In other words, the entirety of the world to which that Sextus belongs, that is, the entirety of the world with which that Sextus, the one who raped Lucretia and was crowned the king of Rome, with which this Sextus is compossible, I didn’t see him, I read it in the book. You see the combination reading-seeing proper to the Baroque, there as well, what we called the last time the emblem, in saying that the Baroque is emblematic; we find it again here completely.

Let’s return [to the text]. I am wandering. So [there is] the Sextus up on top, good. But below, I see a Sextus who goes to Rome, but renounced being crowned. As Leibniz says, he buys himself a little garden and becomes a rich and respected man. It’s another Sextus, he has a different number on his forehead. I would say: This Sextus number two is incompossible with the apartment on top, with the world above, with the world 1. And then I see a third Sextus, who renounces going to Rome, and goes somewhere else, to Thrace, and he gets crowned king of Thrace. He doesn’t rape Lucretia. Let’s suppose etc. … etc. … to infinity. You see all these worlds are possible, but they are incompossible between themselves.

And what does that mean? That means that there is divergence, there is a moment in which it diverges. Why are they all Sextuses? We return to the problem because it’s very important, but one can assume that it’s because a small number of singularities are common to them. All are the sons of Tarquinius, and successors to the king of Rome; but in one case, he does in fact succeed his father, in another case he renounces the succession and leaves Rome, in another case he renounces the succession but stays in Rome. You see that the divergences do not pass from one world to another. The divergences that define incompossibility do not necessarily pass into the same spot. That’s what is very important: I have a network of divergences that do not begin in the same singularity, or that do not begin in the passage of the same singularity with another. You have this extremely joyful tableau of incompossible worlds. An aggregate of compossibility, an aggregate of compossible singularities defining a world, and God chooses, he chooses the best of possible worlds in all this.

So I was saying that, it’s here that very quickly I just want to allude to two fundamental texts, two typically literary Leibnizian texts.[6] One poses no problems since its author is extremely knowledgeable and created a typically Leibnizian version — it’s also very curious, without… but he has no need to cite [Leibniz] — it’s by Borges, Borges, with the title “The Garden of Forking Paths.” You see the compossible… [Laughter] What’s going on?

Hidenobu Suzuki (seated beside Deleuze): That it’s a brilliant text.

Deleuze: What?

Suzuki: Someone was saying that it’s a brilliant text.

Deleuze: Here, the incompossibility has become, under Borges’s pen, the bifurcation, paths that bifurcate. I’m just reading… You can refer to this; it’s in a volume titled Fictions, “The Garden of Forking Paths,” [Pause] and I’ll read a passage. He recounts a novel written by a mysterious Chinese writer: “Usually, in all fictions, when a man is faced with alternatives, he chooses one at the expense of the others” — notice that this exactly God’s situation in Leibniz: between incompossible worlds, he chooses one and eliminates the others. — “In the fiction of the almost unfathomable Ts’ui Pên, he chooses all of them simultaneously.” Imagine a perverse Leibnizian God, who would cause to come into existence all the incompossible worlds. What would Leibniz say? Leibniz would say this is impossible! But why is this impossible? Because in that case, God would renounce his favorite principle, which is the principle of the best, choosing the best. Supposing a God who cared not all about the best, which is clearly impossible, impossible, but suppose such God, then we slide from Leibniz to Borges. “He thus creates various futures, various times which start others that will in their turn branch out and bifurcate. From this comes the novel’s contradictions” [7] – by the tireless Ts’ui Pên – “From this comes the novel’s contradictions. Fang, let us say” — it’s a character like Sextus — “has a secret. A stranger knocks at his door. Fang makes up his mind to kill him. Naturally, there are several possible outcomes. Fang can kill the intruder, the intruder can kill Fang, both can be saved, both can die, and so on and so on. In Ts’ui Pên’s work, all the possible solutions occur, each one being the point of departure for other bifurcations.”

I would say that in the understanding of God, it’s exactly the same thing. In the understanding of God, all possible worlds are developed. There is simply a blockage: God only causes to pass into existence one of these worlds. But in his understanding, all the bifurcations are there; this is a vision of the understanding of God that has never been seen. It’s very interesting, but this is how…  I just wanted to state the way in which Borges creates a pure application, an exercise of style, that comes directly from the Theodicy. But what interests me more is this novel that I mentioned and that I wanted you to read, and that is even more Leibnizian, literally Leibnizian. This novel comes from someone that we wouldn’t expect and who reveals himself as a great philosopher, Maurice Leblanc, a great popular novelist of the nineteenth century, well known as the creator of Arsène Lupin. But besides Arsène Lupin, he wrote some admirable novels, and better than the Lupin [novels], and notably one that has been re-edited – it’s marvelous! — in the Livre de poche series, called: La Vie extravagante de Balthazar [Balthazar’s Extravagant Life]. You are going to see the extent to which this is important for us that I will rapidly summarize.

This is a very convoluted novel: Balthazar is the hero, and he’s a young man working as a professor of daily philosophy, and daily philosophy is a very special philosophy, very interesting, that consists of saying: nothing is extraordinary, everything is regular, ordinary. Everything that happens is ordinary; in other words, there are no singularities; that’s quite important. During the novel, all sorts of frightening misfortunes befall Balthazar, and each time, he his pursued by a timid sweetheart named Coloquinte. And Coloquinte tells him: But Monsieur Balthazar, what does the daily philosophy say, because this is not banal what’s happening to us? And Balthazar scolds her saying: Coloquinte, you don’t understand, all that is quite ordinary as well shall soon see. And the singularities dissolve. You recall my entire theme: how do singularities develop? By extending themselves over a series of ordinaries, into the neighborhood of another singularity.

And what carries it along? Do the ordinaries depend on singularities, or do singularities depend on ordinaries? A text by Leibniz that really appeals to me, in the New Essays, and that I quoted the last time, would have us believe that the answer is complex since Leibniz tells us: what’s remarkable (understand: the singularity) must be composed of parts that are not remarkable. What is remarkable must be composed of parts that are not remarkable, in other words, a singularity is composed of ordinaries. What does that mean? I was telling you that it’s not very complicated. Take a figure like the square which has four singularities, its four vertices, anyway its four I don’t know what, its four thingies where that changes direction, its four singular points. I can say A, B, C, and D; I can say that each of these singularities is an ordinary double point since the singularity B is the coincidence of an ordinary that belongs to AB, and another ordinary that belongs to BC. Fine. Should I say that everything is ordinary, even the singularity, or should I say that everything is singular, even the ordinary? Balthazar has chosen the first viewpoint and says: Everything is ordinary, even singularities.[8]

However, some strange things befall Balthazar, since it so happens that he does not know who is father is. And as it happens, he could care less; contrary to the hero of modern novels, Balthazar has no interest in knowing who his father is, [Laughter] but it happens that there is an inheritance problem for which he has to learn it. And Leblanc, the immortal author of this beautiful book, of this great novel, provides three singularities that define Balthazar: he has fingerprints, it’s a singularity since his prints do not resemble those of anyone else. First singularity, his fingerprints. Second singularity, a tattoo that he wears on his chest made of three letters: m Maurice, t Theodore, p Paul, MTP. And a third singularity, a clairvoyant that he visited, despite himself, told him: your father has no head. [Laughter] So Balthazar’s three singularities are: having a headless father, having his very own fingerprints, and having a tattoo as mtp. That corresponds to Adam’s three singularities – being the first man, being in a garden, and having a woman born from his rib. We can start from there.

There follows a whole series of fathers who arrive. First father, the Count de Coucy-Vendôme answers the conditions well since he died by having his throat being cut, by a bandit, the head mostly cut off. Is Balthazar his son? Starting from three given singularities, are they extended out and into the neighborhood of that singularity: being the son of an assassinated Count? No doubt, yes, in one world. In one world, that’s it, that works very well. But from that point, at the moment that Balthazar is going to receive the inheritance of the Count de Coucy, he gets kidnapped by a bandit who tells him:[9] “you are the son our former boss,” who was called Gourneuve. It was a notorious bandit, and not only a notorious bandit, but also the one who cut off the count’s head. So, this second father assassinated the first one, and thus he complicated the network because henceforth, both of them are going to belong to a compossible world, and yet they are going to be incompossible.

But we’re not done, ok? This is a long calculation. But finally Gourneuve has no head; he meets the necessary condition because he lost his head by being guillotined. And he offers a supplementary advantage since, you may have noticed that mtp hasn’t yet been justified, whereas Gourneuve, in the first case, he was the boss of the Mastropieds gang, which is the gang M-T-P, thus justifying the tattoo. [Pause] So, there where we have incompossibility, we cannot have for father both the assassin and the one assassinated. [Laughter] So this is another world, as it diverges. And yet, the two fathers belong to the same compossible world, but at the same time, it’s incompossible.

But there’s no reason for too much concern because at the same time that Balthazar is going to be integrated into the Mastropieds gang, he is kidnapped, kidnapped by an Englishman who takes him to the Far East, where there’s a war, and gives him over to a leader named Revade Pacha. And Revade Pacha tells him, “you are my son; you’re my son. You are Mustapha,” M-T-P, Mustapha. [Laughter] This is a third world. What a great Baroque novel this is, the very example of the Baroque novel, with travel, everything! So… Then, shortly thereafter, Revade Pacha gets decapitated, so everything is there: he too is without head, mtp is justified, all is well.

But at the point when everything is going wrong for Balthazar, here comes a poet named Beaumesnil, and this poet saves him. He says to Balthazar, “you’re my son!” So this is the fourth one. Only Balthazar had stolen something from his previous father, Revade Pacha, taking off with Revade Pacha’s treasury. And so we have the new father, Beaumesnil the poet, who goes mad! That is, he loses his head! [Laughter] He loses his head, and he runs off after stealing the money from his son, [Pause] and crying out, “It’s counted, weighed, divided!” You have all recognized the famous expression, “Mane Thecel Phares”. Mane Thecel Phares is M-T-P, a new world that diverges. So here we have four worlds that are all possible, but at the same time, are incompossible with one another.

So at this point, everything will then be explained to us. Everything here is a swindle. This is the problem: Is the Leibnizian God a swindler? And in this, what I’d like you to understand is that, in fact, Leibniz escapes the critique, but that his God would be a swindler if it were like Borges or like Leblanc. That is, if God caused incompossible worlds to come into existence, there we would really have a fraud.

Fortunately, the Leibnizian God is moral, that is, doesn’t cause these incompossible worlds to come into existence. Why? Because the fraud is the following: a hobo arrives who is the fifth father, a hobo named Vaillant-Dufour. And Vaillant-Dufour had an idea when he was quite young. It was to create a boarding home for rich young boys who were far from their parents. You see? He had a little boarding home for rich boys, four of them, four rich boys as well as his own. So, in fact, he had the count’s son, the bandit’s son, the rich bandit, Revade Pacha’s son, and the poet’s son, as well as his own son. So the boarding home consisted of five children. And then there’s a flood, and only one of the sons survived. And the hobo doesn’t even know which one is his son; he doesn’t know if he survived. And he tells himself, well, this is quite annoying because what can he do to keep the money and keep the families paying? So he creates a document with the fingerprints of the survivor, and he sends it to the four parents saying, “Your son survived; yours is the one that survived.” You see? This isn’t a dumb idea! [Pause] So, at the same time, he doesn’t know, and in the end, is the hobo the real father? Is he the fifth father that would make… and that would unify all the incompossible worlds? Well, not even, because he doesn’t know. He doesn’t know if he’s the father. So, in his own turn, he only belongs to one of the worlds, and he is unable to say it except through fraud. And finally, in the end, he is such an alcoholic that he had also lost his head. [Laughter] So this is fine. Each time there are series that swerve off, divergent series, etc. It’s the mystery of incompossible worlds, or as Leibniz says, the ballet of fates.

So, I come back to this. I would like everything to be much more concrete, and I return to my question, or rather my three questions, my three questions being: up to what point could we develop a mathematico-philosophical theory of singular points? Second question: up to what point can we develop the idea of original relation, that is, irreducible to any other type of relation that would unify, positively or negatively, one singularity to another, positively in the case of compossibility or the convergent series, negatively, exclusion from the point of view of divergent singularities, or of divergent series? Third question: is it possible to define the individual as a condensing of convergent singularities, and what is the consequence for the very notion of the individual or for the principle of individuation?

So it’s on this point that, if you allow, [Deleuze speaks to his mathematician colleague, Marcel Maarek] I would like to ask you about these three questions, or about others, I’d like to ask you if you see some research directions for all of us, for… ? [Pause]

Maarek:[10] I had prepared a presentation based on your last class, but since then, you have bifurcated so much that…

Deleuze: Oh, no, no, no, we can certainly return to earlier points, eh?

Maarek: So I will have to bifurcate, and so I am asking you for great indulgence. Let’s say that my presentation is likely to be lateral, in principle, or if it comes back to the center, that will be fine.

I’d like to go back to a notion that is essential, that refers us to another one that we have spoken about on occasion, that you [Deleuze] have spoken about at one time, which is central in my opinion. It’s the notion of singularity. So I would like to say this: singularity, how might we define something of this sort? A possible definition – I approach it as did [René] Thom, but why not? – this would be something that would occur differently than in any possible neighborhood, that is, as if something different suddenly happens from anything occurring all around. I am voluntarily using vague words because, as you will see, there lays the difficulty: it’s how to define the neighborhood (voisinage)? So, singularity refers to neighborhood, that is, refers to the relations between the singular point and everything near it, everything immediate to it. Something different has to happen, however near that it might be. This is perhaps the problem about which mathematicians are the most deeply concerned. Earlier you were giving an utterly striking example of the problematic for mathematicians at the end of the nineteenth century of the problem of singularity.

So, in short, if you will, the singular event must be – perhaps we have to say it this way; sometimes mathematicians say it – isolated, that is, at heart, being different from its neighborhood, and perhaps even it would have to be isolated in space, that is, having no neighborhood, no one in the neighborhood. It’s interesting that you spoke about Borges earlier, etc., because I can cite a perspective of this sort. At bottom, [Henri] Poincaré said that a singularity is a deformation; this is Poincaré’s point of view, and this can be shown rather simply in the example – then, I would like, nonetheless, excuse me, since Leblanc, Maurice Leblanc… — This passage is a bit brutal, — [He goes to the board] but I would like to remind you precisely why an inflection is a singularity.

Inflections – I am not drawing, but… — An inflection is what would be like this. [Pause, while he moves toward the board] Here’s the inflection, it’s there. Why is this a bifurcation without seeming to be? Because, I want to say, if everything went well, the curve should go like this, that is, it should have behaved here like this, that is, being in a tangent and climbing to the complement, and there, it should have continued like that, without this direction entirely. It’s not an angular bifurcation; a bifurcation is not necessarily angular, but as soon as I draw this part, we understand why the inflection is a singularity because, at bottom, suddenly, something happened; the function has moved into another direction. [He sits back down] There’s an example of the notion of bifurcation, that is, Poincaré, at that moment, when the discussion unfolds, that is, at the end of the nineteenth, beginning of the twentieth century, he proposes this idea that the singularity is a bifurcation.

So, for singularity to be defined – and here I return to the neighborhood – for singularity to be defined, all that’s around – and here, we come back [unclear words] – all that’s around would have to be regular, that is, as close as I might be in the area – and there, we see Leibniz return – as close as I might be in the area around this point, that is, in the neighborhood – I am avoiding the term “neighborhood” because it has a very precise mathematical sense; this is why I am using the rather poorly chosen term “in the area”, which isn’t very clear, because the term “neighborhood” does not have a similar sense; in the end, it has a precise definition. So, all around there must be a certain regularity. And this is perhaps anecdotic, but it nonetheless is perhaps fundamental: one of the ideas that bothered mathematicians a lot at the end of the nineteenth century, is: could there be a system in which there are only singularities, and how would we recognize such a system? That is, can we describe a situation in which, at bottom, all the points are singular, and how would they be singular definitively if they are themselves alongside a thing that is itself singular? Logically, my definition doesn’t work well because singularity, meaning having a different behavior from what’s happening all around, provided that the behavior of what’s happening all around is itself regular. If it’s not, we are in a strange singularity.

So one of the examples, one of the greatest creators of strange objects in this period, has to be [Georg] Cantor, to whom we can render…  He is the one who produced a singular object, around singulars, and at the same time maintaining certain regularities. I am describing for you what is called Cantor’s discontinuum; it’s a strange aggregate, but that’s quite interesting. The system is very simple, so I can describe it to you. Now, as for analyzing it more closely, unfortunately it’s a bit difficult technically. But by thinking about this, you can perhaps imagine some aspects.

The technique is simple. Cantor takes a segment, [He returns to the board] he divides it into three, and he takes out the central part. It remains two pieces, dividing it into three, dividing it into three and taking out the central part. That’s continued indefinitely. Each time, the central part is removed. In the holes, the space, one does surgery… as Deleuze said, and at that point, one obtains a set that, at the limit of this infinite production of singularities, all the edges become singular points, everything that is on the edge of a hole. At the end of this technique, what remains is this when one follows this procedure indefinitely. It’s that all the points are singular, and they are at the edge of a regularity because each one is located at the edge of something, the points that remain; in some ways, they are all potentially singular. That is, we obtain a kind of situation of singular points at the edge of regular points, and in fact, they are all singular because at every instant they will become so at each instant along the edge of something. The complete pieces of this system are more complex. We’re forced to pursue a small technical presentation, so if you will excuse me, I couldn’t do so because… [He doesn’t complete the sentence]

Cantor’s discontinuum leaves one perplexed (fait rêver). There followed another entirely astonishing example of regularities and singularities that is quite strange, and that cannot be completely described either. It’s a curve known as the Peano curve, but there are two or three examples. The Peano curve is a kind of… it’s an entirely classic curve; it’s continuous. It’s drawn inside a square, but if you draw it all the way to the end, it entirely fills the square. That is, in some ways, if you try to draw it, if you try to trace it point by point, one obtains the following thing, at bottom, some kinds of arabesques which, if pushed all the way to the end, fill the whole square.

Deleuze: But that’s the same thing as Mandelbrot.

Maarek: Yes, Mandelbrot made use of that. At the moment when the Peano curve was published, around the year 1900, at that moment, this is the central problem of the singularity in the world of singularities.

Isabelle Stengers: [A barely audible comment, regarding the introduction of a text by Jean Perrin, The Atoms, that Mandelbrot will quote][11]

Deleuze: He even says – so we’re going to be finishing for each other, [Laughter] which is great, it’s so Leibnizian what you are saying that it’s astonishing. That gives Leibniz such a presence in modern mathematics – that before the Perrin text that Isabelle mentioned, the words are “infinitely cavernous” or “spongy”. He says that matter is not at all continuous, the new vocabulary of discontinuity. We can always create holes, and it’s the idea of an infinitely cavernous form, it’s the same thing as the curve of “corles”, infinitely cavernous, infinitely spongy. So he takes “corles” as an example, like charcoal. In fact, for those who are interested in this, this is in a book by Mandelbrot, published by Flammarion, called L’objet fractal [The Fractal Object]. And Mandelbrot has a long quote from a text by Perrin, who is a great physicist and starts off from this quotation.[12]

Maarek: I’d like to go back a bit. That is, let’s leave aside momentarily these objects, these singular points that would themselves be immediate neighbors of points [that are] themselves singular. Let’s place ourselves momentarily in the good situation that is a bit like the one you were describing in the last class. That is, the singular point is surrounded by regular points; if all goes well, an event is isolated – the word “isolated” in fact belongs to math vocabulary, but its interpretation is entirely simple, as able to be situated precisely.

However, we still have a problem in this case that we have to consider. It’s this: how are the neighborhoods of a singular point constructed? So this refers us into the heart of the notion of neighborhood, of what happens immediately after, that is, to the heart – and here, we must refer to the Leibniz of differential calculus, that is, to the notion of the infinite – because you inevitably notice as well that in the past classes Deleuze as well as me right now in the examples I am going to provide, we always necessarily use a measured procedure, such as Deleuze the last time alluding to convergent and divergent series going from one singularity to the other – the notion of series refers us to the infinite in a certain sense. That is, it’s not a question of making [inaudible], but of speaking about what is infinite in this area (alentour). Later we will try to give a definition of what Deleuze has used for quite some time, in any case, he used it in his own way, the notion of convergent series and divergent series, around or toward or between singularities. For the moment, we are staying with the area (alentour).

So, the principal adventure is what to do, how, and why, and under what form do we need the infinite? So if you allow me, I am going… This is how I have a little… I think that this will be clearer and easier. I am going to move us very quickly through time and reach 1934 and then return to Leibniz afterwards, because the adventure that is to unfold begins in 1934 and will end with Leibniz like a flashback.

At the start of the… In the first decade of the twentieth century, there was a mathematician – this is an adventure that everyone know, but I am going to recount it very quickly so that there won’t be any problems – there was this kind of axiomatizing fever – for a pile of reasons that are historical and that are based on the crisis of geometry and on a series of events like that – there was a terrible axiomatizing fever. That is, people wanted to axiomatize theories. Axiomatizing meant giving the fundamental, indispensable rules allowing one theory or another to be built… [Interruption of the recording] [1:22:51]

Part 3

… that is, whole numbers. Of course, let’s be clear, people knew for a long time how to count, that is, in a daily basis, they didn’t axiomatize a theory – in the end, we already have… Look closely at the situation as it unfolds: there is a universe that is, for example, a universe of numbers. They already know how to use them, they’ve known how to count for twenty-five centuries — and Bourbaki claimed there were even mor — so they knew counting, they knew lots of things in arithmetic, and in 1910, they axiomatize. The axiomatization of geometry dates from 1890 when they already were able to draw and teach courses of geometry. Thus, axiomatizing is giving rules to the set allowing defining to happen in an explicit way what one needs. We’ll see later an entirely surprising theory from Leibniz.

So then, there is this long, long work of axiomatization. It’s a complex problem – in the end, everyone who knows the history of math knows about all this work that unfolds very, very precisely and that arrive at 1930 or 1932 with a book by [David] Hilbert, that is Grundlagen der Mathematik [1928] which is the great axiomatization of the set, the same edifice at that moment as the one… it was indisputable. At that time, a mathematician named [Thoralf] Skolem posited an astounding problem; he says… he sets forth the inverse problem. If you will, I will recount this as an anecdote.

Imagine that you have axiomatized a theory and that a Martian arrives, who knows nothing of this theory, nor about axiomatization – we are assuming it’s a Martian or any other extraterrestrial knowing how to read. So he’s going to follow what you say within the axiomatic; he’s going to apply it and regularize it. He’s going to apply them (rules), entirely regularly. He knows how to read, and he knows how that functions, and suddenly he is going to engender, he must engender the model that you’ve axiomatized from the start, that is, he must uncover – perhaps… let’s say, let’s do this experience because [Thoralf] Skolem did it. His article is all about this point. Let’s imagine that we have the axiomatization of arithmetic, that is, we have all the axioms of arithmetic. Little by little, the extraterrestrial in question, who knows how to read this axiomatization, is going to create some numbers. Perhaps he will give them different names than those you are used to giving them in your language. But after all, this is not upsetting because from one individual to the other on earth, we already give them different names. But counting in English, Arabic, or in Chinese, or in French, never caused problems; the two sets of numbers, belonging to the Chinese, Arabs, etc. are isomorphic, as mathematicians say. They have the same forms, and they have the same composers. So, they differ only by their names, and this is what happens in our universe.

But Skolem posits the following problem: doesn’t he [the extraterrestrial] risk finding another universe of numbers, one that is completely different and that obeys the same axiomatic? And so, you imagine the strange result of this order; this is effectively what Skolem shows in this 1934 article I mentioned. He shows that he can find many other systems of numbers that are not at all similar to the preceding one, to those with which they were familiar. He pushes this undertaking further by showing that we cannot axiomatize a set like that of numbers in such a way that the model obtained might always be the one that we thought of previously. Logicians use an expression; they say that a system of axioms that would only produce a single model is a categorical system of axioms, and a system of axioms that would not always produce the same model is [unclear word], so Skolem demonstrates in this article that it’s not possible to create a categorical axiomatization.

And here we are going to see the problem of finite and infinite appear in a strict way because we are thinking of, and at bottom, what Skolem describes is the following situation: if the model from which you started in order to axiomatize was itself infinite, there is no categorical axiomatization. There is categorical axiomatization only if the starting model is a finite model, and at that moment, the axiomatization is not at all a learned operation. It comes down to naming persons, that is, it says, I would only receive this person, Mr. So, and Mr. Such, and Mr. So, and at that point, it’s not an axiomatization, but rather an entirely simple restrictive rule. And most of the time, the world of which we’re speaking and the world of singularities and neighborhoods, is a necessarily infinite world, thus not axiomatizable, in any case, not axiomatizable in a categorical way.

So, where is the problem? You are going to see why Leibniz is going to come back into this story. Skolem says this definitively: it’s that in the model that my extraterrestrial will have produced, what happens, and that I cannot prevent him from doing in the axiomatic? It’s that outside of numbers – call them (in French), zero, un, deux, trois, quatre, cinq, etc., that you know – he can introduce some new ones, others, that obey the same rules as ordinary arithmetic. Of course – here I am situating this precisely because you will yet see that it’s important; excuse me for making this a bit technical – of course, there is one of the Peano axioms that says that zero is a number that has no predecessors, so it’s the first among numbers. Then, obviously, since there’s an axiom that says that, my extraterrestrial cannot create a new first number. He is entirely forced to take the same one as us. Only, the new numbers, if he wants to, he can place them after all the others – not after zero since there will be 1, not after 1 since there will be [inaudible] than us, but he can place one of them quite far, and nothing in the axiomatic forbids him doing this and nothing can state that he is forbidden from introducing a new number because imagine what would happen: in order to introduce a new number, you would have to know an axiom saying, “I forbid having any number entered from outside the ones that I stating and these are the following.” And how would you state them since there is an infinity? You are incapable of stating them.

You therefore see why: if the number is infinite, you cannot make axioms that forbid numbers, foreign ones. And what is going to happen is this: imagine how my extraterrestrial, by placing one more of them, this 1 is going to have successors, and is going to have predecessors; nothing forbids it, to the contrary. The axiomatic allows him to do this, and he is going to proliferate [numbers], and there will be 1 double, 1 triple, and so on. Why try to prevent him doing so? It’s going to proliferate. Consequently, at that point we will see numbers appear that are larger than all the numbers that we already know, and these numbers that are larger than the ones we already know, these will already by infinite numbers.

But careful: it’s not at all a question – for those thinking there might be a misunderstanding – it’s not at all a question of Cantor’s infinites; it’s an entirely different problematic. It’s a question of numbers that have the same arithmetic properties as everyone. That means that it’s where we are, we stay in the universe of arithmetic, and there will be evens, there will be odds, after an even, there’s an odd, after an odd, there’s an even, etc. etc. So here we are in a universe in which there are new numbers that are larger than all others – let’s call them infinite in quotes – but that are whole numbers like everyone. Later we will see – I will tell you about the text because it interests me greatly – you will see that the first one who had the idea was Leibniz, textually, [several inaudible words].

So we will be in an entirely proliferating universe, but one that we cannot forbid, that can be very vast, or quite reduced. That will depend on my extraterrestrial and his desire, etc. So there we have something that we can construct which is – logicians call it this way, but the notion is quite simple to understand – an extension of the set of whole numbers (entiers); [Sounds of cassettes being changed in several recorders]; so it’s a vaster set in which obviously one can discover [unclear word] of whole numbers, and this extension itself is going to include a certain number of numbers, in the most banal sense of the term, but that have the property of being infinite like [inaudible].

So there we have the first article, the one by Skolem. From that point onward and into the 1960s, an American mathematician by the name of Abraham Robinson, who died in 1974, tells himself: couldn’t we do the same thing, not only on the wholes numbers (entiers) because the properties described by Skolem never cease being equally applied in real numbers, that is, in numbers that you know, that is, the total set. In mathematics, we call these real numbers, that is, the set of all there are, decimal numbers, rational numbers, irrationals, etc., the complete set of numbers, what are usually called the number set (l’ensemble de nombres). The work is relatively delicate because the theory of real numbers is an axiomatic a bit more complicated, as you might suspect, than the axiomatic of whole numbers, — and we’ll be coming back to this later — but Robinson does the work and shows that it’s possible. At that point, we are going to obtain a set of numbers in which there will be infinite numbers as in arithmetic; there will be their inverses that will be infinitely small insofar as they are numbers this time. That is, these are not infinitely smalls as I was using the term earlier for the series. These are infinitely small insofar as they are… they become very small; these are not infinitely small limits, as mathematics is used to designate them. These are veritable numbers that are infinitely small perhaps quite simply because these are the “un-sure” inverses, an infinitely large, an infinite in quotes. So if you take an infinite in quotes, you are going to have, by taking its inverse, a number that will be smaller than all others.

Faced with this difficulty, if you will, of this extension, a name was needed for these old numbers. So Skolem found the name “standard”. We call standard the usual numbers, and we call the others “non-standard”. “Non-standard” has such a vague interpretation in English that perhaps you’ll allow me this [gap]. So this theory will be called – so it’s developed around the 1960s – this theory will be called “non-standard analysis.”

I’d like to recall a point that I said in passing earlier, but that’s entirely fundamental. It’s that this new universe with the infinitely large and the infinitely small strictly respects all the axioms and all the rules of the traditional real (number) set. That is, every theorem that has been demonstrated in the set of real [numbers] is a theorem in this new universe. We push farther by showing – but this is a tiny bit more complicated a problem – that this extension is conservative. That is, everything that can be shown in this new universe is equally true in the limited universe. Currently, mathematicians are considering a special little case, a theorem that Robinson was to prove about this extended universe in the 1970s. We ought to be able to find a proof in this limited universe. It’s a theorem – here I give a small anecdote – that up to now has not been found, which is somewhat embarrassing. In the end, theoretically, that should be possible. This theorem known as Bernstein-Robinson for the moment has no equivalent, at least so far, no equivalent yet in the real universe.

So, if you will, now I am going to come back to Leibniz. Here we are now facing a new universe in which, without any new incoherence, we have a language in which there are infinites, infinitely smalls that behave like numbers and have exactly the same properties as them without any differences, that is, we are going to be able to define and say what needs to be said in these universes that are vast universes. [Pause] And it’s here that Robinson realizes that in the end, this is Leibniz’s idea, one that he had. In the final chapter of his book – because I believe that this construction is written in a book published in 1966 in Amsterdam called Nonstandard Analysis – in the final chapter of his book, chapter 10, Robinson comes to cite the reference of origin, and at bottom, he cites Leibniz’s theory of infinitesimals. Because this might be of interest, I point out that a short while ago at Blanchard press, there appeared the entire collection of Leibniz’s works on the calculus of infinitesimals. So I am going to be returning to Leibniz shortly, and will do so almost right now. But Robinson cites a letter, from 1701, no, a report (mémoire) by Leibniz dealing with his feelings about differential calculus. It’s a report that he wrote in 1701, that is, rather late in his life, and later I will tell you why I’m insisting on that fact that a report written late. And Leibniz writes, the text is in French; he’s cited in French in the book:

“There is no need to take the infinite here rigorously, but only as when we say in optics that the sun rays come from a point infinitely distant, and thus are regarded as parallel. And when there are more degrees of infinity, or infinitely small, it is as the sphere of the earth is regarded as a point in respect to the distance [of the sphere] of the fixed stars, and a ball which we hold in the hand is also a point in comparison with the semi-diameter of the sphere of the earth. And then the distance to the fixed stars is infinitely infinite or an infinity of the infinite in relation to the diameter of the ball. For in place of the infinite or the infinitely small, we can take quantities as great and as small as necessary in order that the error will be less than any given error. In this way, we only differ from the style of Archimedes in the expressions which are more direct in our Method and better adapted to the art of inventing.”[13] [Pause]

A little bit farther on, in another text, no, in the same one: “And it happens that the rules of the finite succeed in the infinite as if there were atoms, although there are none at all, matter actually being subdivided without end; and that vice versa, the rules of the infinite succeed in the finite as if there were infinitely small metaphysics, although there need be none; and that the division of matter never achieves infinitely small parcels: this is because everything is governed by reason and, were it otherwise, there would be no science nor rules, which would not at all conform with the nature of the sovereign principle.” Same text by Leibniz.[14]

Finally, I will quote for you a final statement from Leibniz, as I will come back to this passage. It’s a letter from Leibniz to Varignon, in 1702: “Between you and me, I believe that Monsieur de Fontenelle, who is of a courteous and beautiful spirit, wanted to make fun of us when he said that he wanted to make elements of metaphysics out of our calculus. To speak frankly, I am not so persuaded myself that one must consider our infinites and infinitely small other than as ideal things and as well-founded fictions. [While] I believe that there is no creature beneath which there would be an infinity of creatures, I don’t at all believe that there would be, nor even that there could be any infinitely small, and this is what I believe myself able to prove.”[15]

Notice that Leibniz is uncomfortable in this text. This is why I insist on the fact that these texts come from the end of Leibniz’s life. In Leibniz’s first texts on differential calculus, at heart Leibniz thinks that it is possible for there to be some infinitely smalls in a strict sense. You know that differential calculus had been invented almost simultaneously by Newton and Leibniz – I won’t insist on this, but it was perhaps Newton who did so a bit earlier — but the two presentations are, let us say, they entered however into a long dispute that didn’t unfold very elegantly. Outside the problem of primacy [who invented first] which is secondary, what is interesting to note from a strict viewpoint is that when he presents differential calculus, Leibniz would like… he seems to say, his vocabulary is different, that there are infinitely small objects, infinitely small meaning smaller than any assignable finitude – it’s in this way that he defines it – and these infinitely small objects are useable because they function as functional numbers. These are some infinitely small that can be used clearly. Earlier I wanted to present another quote from the same report. Newton has a more complex presentation because he uses alternatively sometimes a language in which he suggested there are some infinitely small, sometimes a language in which he says that this is a limit, or sometimes a language that is closer to the classical description.

In the universe of mathematicians, in 1790 as in 1987, the reaction is the same, that is, introducing new numbers is very disturbing, and even unacceptable, and mathematicians pretend they might be somewhat sympathetic, and yet even with Robinson’s work, they feel uncomfortable. As an example, I will cite a talk by an entirely well-established mathematician called [Jean] Dieudonné, in a talk from 1980 or 1982 more or less, in which he says that introducing new numbers results in making mathematics empty and insignificant. And Dieudonné was a founder of the Bourbaki group. In passing, I point out that another Bourbaki member, Claude Chevalley – a former professor in this very university – wrote in a text saying that, at heart, doing a kind mathematics, a bit like [René] Thom, doing an absolutely rigorous kind of mathematics is to make it insignificant. I was able to ask Chevalley about his ideal viewpoint, the opposite of the text I was discussing earlier.

The central question… At that time, Leibniz encounters the same difficulty; that is, to say that there could be some infinitely small as object and they would obey the same modes of calculus, the same approaches, as the other numbers appeared quite unacceptable. And thus there immediately was a polemic. This is the allusion he made to Fontenelle; this is even an allusion to the Marquis de l’Hôpital shortly thereafter who had been rather won over by the infinitely small.[16] So, in this 1702 text, Leibniz says, I am returning to this; it’s a polemical position, one that is a retort, “[one must say] I am not so persuaded myself that one must consider our infinites and infinitely small other than as ideal things and as well founded fictions.” But outside of his doubts, Leibniz continues to defend his idea of infinitely small because it’s the only way to speak about neighborhood. And here, I return to the [inaudible] comment.

What has Robinson proven? Quite simply that this idea is not logically untenable, that there is no possible contradiction between it and the current idea of real-ism. At bottom, he simply did this – and I believe this to be the essential point of this work – it’s to have shown – a series of projects about which I am speaking– that we can have a language including these objects, these “well founded fictions” as Leibniz says, and that causes absolutely no contradiction. That version of infinitesimal calculus will never gain prominence. In his book Nonstandard Analysis, in its central chapters, Robinson presents a veritable course on mathematics, that is, he describes what would be the description of a course on ordinary analysis in the other universe. There is a point that is entirely appealing in this text; it’s that all notions become perfectly simple thanks to the infinitely small. For example, if some among you have ever had to suffer through the definition of a derivative, read it in Robinson, and you will understand it completely. You will wonder how it was that you didn’t understand it before. This is a notion that becomes immediately simple in this [other] universe because instead of having – you remember the derivative perhaps in secondary school. […][17] This definition will take centuries to arrive. Creating a relatively precise definition in terms of limits will take centuries to arrive. And since Deleuze mentioned him the last time, I point out that the edifice is crowned by Weierstrass, a mathematician who you mentioned in the last session, who creates a very complex definition of pure angles.

If we have the infinitely small, then the definition of the derivative, of the limit, of a convergent series, all that is quite simple. What would happen then? Quite simply this: every point is found to be surrounded by a zone of infinitely small situated infinitely close to it, in the sense of infinitely small. That is, it will be situated with, all around it, a small halo, a small cloud, and this cloud surrounding it is formed by those that are infinitely close to it. To this set “point plus its surrounding little cloud”, Robinson will give the name “monad”. And at bottom – and reading Robinson’s text shows this very well, and of everything done afterward because there were works obviously based on Nonstandard Analysis… — Reading this text show this: that the relations of a point and what surrounds it is a relation of this monad with the universe that surrounds it. I will later give an example that, in my view, goes in the direction of what Deleuze was saying. [Pause]

The monad therefore is a universe formed of points and of that which is infinitely small for it. This requires logically that we undertake a somewhat complex little task of defining equality. We can no longer have in a theory of this kind, in a universe of this kind, a sole notion of equality, as there was in the classical universe. That is, we could have two definitions of equality when it’s strictly the same object or when these are two objects that differ by an infinitely small. Notice that this example is not prohibited from classical mathematics, right? I would point out in passing that without any risk, we can write – I will write this out; it will be easier for you to see – A = 0.99999 … because there is no difference between 0.9999 – if you take my elliptical points out to the end – and 1; the two numbers do not differ at all. These are two ways to write out the same number. One is presented as an infinite approach, that is, if you are lazy and you stop writing the nines at some point, the equality is false. But if you follow this through to the end, it’s the same number. Thus, even in the matter of equality, we have a problem. So obviously, in the Leibnizian universe of the infinitely small, one has to distinguish between the two aspects. In that universe – I’d like to answer your question – to say in passing that Leibniz gives an example of the same thing that I do, in the same text cited earlier from 1702.

I would now like to describe in that case what the notion of convergent series can be. So I am choosing only one example in this description, that is, I am rather quickly going to draw a parallel between the notion of convergent series in the classical mathematical universe and the notion of convergent series in the universe of the infinitely small. A convergent series is what? A series of triangles tending – or rather, Deleuze often uses the term “convergent series”, even in Logic of Sense long ago; I think that for mathematicians, it would be more correct to say “convergent succession,” (suite convergente) but in that case, it’s not at all serious, not at all serious. Let us call it “series” if you will.

This is a series the terms of which are going to come close to a given point; that is, we will have a point [He goes to the board] – that I draw like this – that will probably be outside the series, but the series will come close to it. What does “come close to” mean? Here I am speaking in classical terms. In classical terms, “to come close to” means that each time that I situate a circle near the series, there is an intimacy of terms in the circle and finite number of terms that are outside it. If I take a still smaller circle, there will be more of them there [He points to the drawing] than for the rest, that is, there will be an infinity. That’s what the idea of converging is, that is, if you will, coming close indefinitely, or as the mathematical treatises said at the start of the [twentieth] century, being as close to the limit as one would like. When we read these texts, they always perplexed mathematicians: who is this “one”, what does it “want”? Anyway, this is parenthetical. But in the end, within the doxa of the old treatises, it was written that one goes as close to the limit as one would like. That means, as close to the limit as the circle that I indicated. This is how Weierstrass sums up the problem by making smaller and smaller circles, by showing that the series is convergent if there are an infinite number of terms in the circle and a finite number of terms outside. This is the rather complex definition, you see, because it requires that we create circles. The solution, there’s a choice; I draw it for you here: it states that each time that you will provide a circle, I would find an infinite number of points in the circle if it’s convergent, and a finite number outside the circle. So, the solution that Weierstrass proposes is [He cites a formula], that can be found.

So let’s now place ourselves in the Leibnizian universe of the infinitely small. The convergent series is one that crashes, that enters at one moment into Leibniz’s monad, that is, whose difference of terms with the limits will become infinitely small at a certain moment and at the end of a finite number of steps, and thus it enters at that moment into the monad. This doesn’t mean that it is then… If you will, at that moment, I have a tool to describe this hole, it’s the monad, this kind of reflection of the universe around this point. That is, at bottom, there is going to be – and here we see the relation between finite and infinitely small, between infinity and infinitely small – at bottom, the monad is a kind of reflection of the outside universe, at the interior of the area (alentour) around the point, and if this is a singularity, around the center. Robinson demonstrates in fact – it’s quite astonishing, he was answering the question that Deleuze asked at the last class. He shows that there is only one case in which this procedure would not work: it’s if the point in question is isolated, because if it is isolated, I mean if there is no one around it, the monad would be reduced to itself, and this is an entirely special case.

Deleuze: Leibniz said this as well, precisely.

Maarek: Leibniz said it as well. It’s a theorem, if you will, in Robinson’s book. So, if you will, here is what that universe would yield. This description is rather odd because in reading the books, if one were doing a math course with Non-Standard Analysis, these notions would seems really simple [several unclear words] because we have a set of words in able to speak of the limit. And this idea that is found in Leibniz’s 1701 report, that is, when he says it’s an ideal set, it’s a “well founded fiction,” I would say that I almost want to say, if we could, that he didn’t show that it was well founded, but the proof would take a lot of time. In any case, an idea is located there. This whole 1701 report, which is called – it’s in the book published with Blanchard – “A report by Monsieur Leibniz stating his feelings on differential calculus” is there in the Guérard edition, page 350.

Deleuze: In the mathematical [works]?

Maarek: Yes, and there one finds a French translation. In fact, it’s written in French. We would have to read in depth the whole of this construction.

So, to close, I want to mention something: that in history, before Leibniz, there was only one mathematician who came close to this idea. This mathematician – it’s not at random since Leibniz cites him in his text – is Archimedes. And Archimedes, with extreme care as well, came to this idea, but I almost want to say, he did so in a negative way. That is, at the moment he came toward it, he rejects it, quite clearly. So I want to close by speaking about Archimedes. Where can we situate this rejection? In one of Archimedes’s texts concerning the calculation of lengths, of volume, and of surface. He found himself faced with this situation: if you take a small line and you add a point, do you increase the line’s length? Let’s take that differently: if you were given some points, could you make a line with them? The answer is no; in any case, Archimedes’s answer is no. That is, the infinitely small cannot create a line of infinitely small points. Just as in stacking up lines one beside the other, you cannot obtain surfaces; something will always be missing. There will be holes all the time; there will be singularities all the time. For example if you were given some segments and you had to make a square, a triangle, I don’t know, by stacking them… Just as with surfaces, you couldn’t create volumes. In saying this, I am almost quoting Archimedes textually because he takes up the three examples one after another. Consequently, he collides with a difficulty that is: what does one do to stack up points to create lines? And he decides to adopt the position to reject this, that it cannot be done. With points, one cannot obtain lines, Archimedes says textually; with lines, one doesn’t get surfaces, and with surfaces, one doesn’t get volumes. He insists on this, repeating it several times.

What would we do then with the infinitely small, well, provided that we also have infinites, if we have infinites, that is, if I can grasp an infinity? So the fiction is located at both ends in order for that to function. I have to be able to grasp an infinity of infinitely smalls in order to locate a classically standard object, [several unclear words]. And all through the text, Leibniz indeed senses this difficulty because each time there is an imbalance of infinitely smalls. And I believe that one of the ideas that would be, probably, acceptable (tenable) and attractive is this: what Robinson calls the monad around a point – and this will be interesting to see at the level of the singularity — it seems to me personally to be acceptable for this idea to govern the relations between the singular point and everything that’s around it. The example of the convergent series is entirely indicative. That this would be a divergent series – I am going to close with this – that would be a series that doesn’t enter into the monad, the monad in Robinson’s sense. So there we are. I can answer questions… I don’t know if what I said is very lateral.

Deleuze: Oh, not at all, not at all. So this, I find this magnificent. I find it magnificent for us because of all that it brings to us. You understand, I am picking up on one of the topics he discussed: here we have a modern mathematician who is led to use mathematically the notion of the monad. So that enlightens me as well because, well, he belongs to your department, Gilles Châtelet never stops his mathematical work, in which he needs the notion of monad, that is, a disciple of Robinson. And what interests me is the mathematical definition of the monad in Leibniz. And he tells us, if I followed correctly, the monad is formed by singular points with what happens around, once it’s said – with what you called the “cloud” around – once it’s said that the “cloud” and “around” are strictly defined mathematically. So if I’m told and if I learn that it’s a mathematical notion and that there is an actual value there, notice immediately what I have there: I say, such mathematical monads are precisely individuals because the definition – I don’t know if you are feeling this – coincides completely with what I wanted to say: a condensing of singular, prolongable points, that is, with [unclear word] around, defined by the prolongation in all directions, this is exactly Robinson’s definition. I didn’t know about it, but this a pure joy.[18]

So I would almost say, no, for me, this is a presentation with extraordinary richness that you have generously offered thanks to all that you have taught us. I would just like to come back to one point, the only point where I would have problems after having listened closely. It’s the point on what you were saying about Leibniz’s texts around 1700 because – I’m opening a parenthesis before moving quickly to this point – you show very well that in Skolem, infinite numbers submit exactly to the same rules, that is, the axiomatic. So you say, especially one must not confuse them with the transfinites, if I understand this well.

Maarek: That’s right.

Deleuze: One must especially not confuse them with Cantor’s transfinites, because the transfinites don’t belong to the same axiomatic as… That’s it, right?

Maarek: Yes.

Deleuze: So the numbers, didn’t he have a special name to prevent confusion? He says infinite numbers.

Maarek: He says nonstandard infinite numbers.

Deleuze: Ah yes, there’s nonstandard. I didn’t know about that. How do you spell Skolem. [Maarek spells it out for Deleuze] What years was he writing?

Maarek: His writings are especially from around 1924. As an aside, the same year I mentioned, one I didn’t discuss, he’s an author of a paradox, known as Skolem’s paradox …

Deleuze: Ah, I don’t know about that.

Maarek: … that is really astonishing because one of the ideas located in Skolem’s article, it’s to tell himself – you remember earlier I said that an extraterrestrial could have learned arithmetic; so obviously, the mathematical model that we have in our head – 0, 1, 2, 3, 4, 5 – is smaller because what I’ve said, the extraterrestrial can extend this system. So one of the responses that have been given by Skolem is: yes, fine, but the model we have in our head is always the smallest, and there where the system is paradoxical – and this is what’s called Skolem’s paradox – is that if an extraterrestrial were given the axiomatic of set theory, the model he would create would not be the smallest. The model he would create can be smaller than the one we have in our heads. That is, there is the smaller model than the one we know, [Deleuze: Yes, yes, yes] that is, in the end, there are models, I would go even farther, there are non-countable models that contain non-countable sets, it’s what we currently call the minimal model. So this is paradoxical, it’s paradoxical; the solution to Skolem’s paradox is not simple. In passing, I will suggest that in the book La théorie axiomatique des ensembles, Jean-Louis Krivine – who is writing, as it happens, a very, very beautiful book[19] – resolves Skolem’s paradox with a pirouette. It’s yet another paradox.

Deleuze: What language does Skolem write in?

Maarek: Skolem writes in German. The 1934 article is in German, but he is Scandinavian [Norwegian].

Deleuze: So concerning the texts from around 1700, I’d like to present things like this. The texts you referred to, Leibniz constantly says, or seems to say: you know, one must not exaggerate, especially against Fontenelle. The question is not of knowing if the infinitely small exist or not. The question is by what mode of calculation the infinitesimals work, function. [End of the recording; Deleuze may well continue his response] [2:09:18]

 

Notes

[1] The following text, up to minute 59, is the transcription available on WebDeleuze, supplemented with several additions from the BNF recording; the subsequent 70 minutes are newly transcribed and translated, drawn entirely from the BNF recording.

[2] Cf. the start of chapter 5, The Fold (University of Minnesota Press, 1993), p. 60; Le Pli (Minuit, 1988) p. 80.

[3] See Cinema session 3 (29 November 1983) for the development of these three texts, by Leibniz, Borges, and Maurice Leblanc.

[4] From Theodicy online, para. 405, http:// http://www.gutenberg.org/cache/epub/17147/pg17147.txt (accessed 17 March 2024).

[5] This is no doubt a reference to Heinrich Wölfflin, Renaissance and Baroque (Ithaca, NY: Cornell University Press, 1987; Paris: Livre de Poche, 1987), mentioned in session 7, 20 January 1987.

[6] Cf. The Fold, pp. 62-63; Le Pli, pp. 83-84.

[7] Jorge Luis Borges, Ficciones (Grove Press, 1962), p. 98.

[8] The narrative of this novel by Leblanc is also in The Fold, pp. 62-63; Le Pli, pp. 83-84.

[9] The WebDeleuze transcript ends here; the following text (70 minutes) is transcribed from the BNF/YouTube recordings.

[10] Deleuze’s mathematician colleague, Marcel Maarek, will be named (with his last name) by Deleuze in the following class, on February 3, when Maarek is absent and Deleuze refers to the presentation he makes here.  An oddity is that even in the summary of this class session edited by Frédéric Astier (Les Cours enregistrés de Gilles Deleuze, 1979-1987 [Sils Maria, 2006]), Astier only designates this invited colleague as “an intervener (mathematics)” (p. 167). Marcel Maarek joined Vincennes the year before Deleuze, in 1969-70, and among other courses, he taught logic both in his own department as well as for the philosophy department. See Octaviana Bibliothèque numérique for archives on Vincennes, https://octaviana.fr/items/browse?collection=633.

[11] Jean Perrin, Les Atomes (1913; CNRS Editions, 2014) (Atoms, 1918).

[12] Deleuze referred to Mandelbrot on this same topic during session 2, 4 November 1986, as well as in session 3 of the Painting seminar, 18 April 1981. See Benoît Mandelbrot, Les Objets fractals (Paris: Flammarion, 1975; reed. coll. Champs, 2010), Fractals: Form, Chance and Dimension (Brattleboro VT: Echo Point Books and Media, 1977; reprint ed., 2020).

[13] Cited in French in Robinson, Nonstandard Analysis (Amsterdam: North-Holland, 1966; third edition, Princeton University Press, 1996), pp. 261-262.

[14] Cited in French in Robinson, Nonstandard Analysis, p. 262.

[15] Cited in French in Robinson, Nonstandard Analysis, pp. 262-263.

[16] See the quote in Nonstandard Analysis, p. 263.

[17] He quotes several formulae and tells his own experience as secondary school professor and the typical experience with derivatives of students at that level.

[18] Deleuze refers to Robinson’s Nonstandard Analysis in The Fold, pp. 129-130; Le Pli, p. 177.

[19] Jean-Louis Krivine, Introduction to Axiomatic Set Theory (Dordrecht, Netherlands: Springer, 1971).

 

Gilles Deleuze

Leibniz et le baroque: Les principes et la liberté

Séance 8, le 27 janvier 1987 : Les Principes et la liberté (3) Récits du compossible et de l’incompossible, et l’intervention d’un chercheur invité sur les voisinages et les singularités

Transcription initiale, WebDeleuze ; transcription augmentée, Charles J. Stivale

[Le texte, jusqu’à la minute 59, est la transcription disponible à Web Deleuze, suppléée avec quelques ajouts de l’enregistrement de la BNF et YouTube ; les 70 minutes ultérieures sont nouvellement transcrites et tirées entièrement de l’enregistrement de la BNF/YouTube]

 

Partie 1

… Il faudrait travailler d’autant plus que notre séance est courte parce que j’ai des réunions indispensables pour votre avenir. J’ai des réunions à partir de midi. Donc, ce sera une séance plus courte.

Voilà où nous en sommes. La première chose que je voudrais… [Pause] Nous nous trouvons devant comme trois questions, trois questions à préciser. Puis il suffirait de les préciser pour que, moi, je sois content. C’est-à-dire qu’elles nous servent de conclusion, ces trois questions.

La première question, c’est, nous l’avons vue la dernière fois, c’est la notion et l’extrême importance de la notion de singularité, [1 :00] et je crois que singularité ou point singulier, c’est une notion d’origine mathématique et qui apparaît avec les débuts de la théorie des fonctions. Les historiens des mathématiques considèrent, à juste titre, que la théorie des fonctions est, sans doute, la première grande formulation dont dépend ce qu’on peut appeler mathématiques modernes, la théorie des fonctions analytiques. Or Leibniz est à la base de cette théorie des fonctions. [2 :00] L’importance de Leibniz en mathématiques est sans doute que dans ses œuvres mathématiques, il élabore une théorie des fonctions à laquelle il n’y aura, je ne dis pas plus rien à développer, mais à laquelle il y aura très peu à changer. Donc c’est un acte mathématique fondamental qui oriente les mathématiques vers une théorie des fonctions.

Or les points singuliers ou les singularités sont l’instrument essentiel de cette théorie. Seulement Leibniz ne se contente pas d’être sans doute le premier grand mathématicien à développer toute une théorie des fonctions, je ne dis pas qu’il l’invente. Evidemment, c’est au dix-septième siècle que se dessinent les rudiments d’une grande théorie des fonctions, [3 :00] mais non seulement il est cela, Leibniz, mais le concept de singularité va essaimer et devient chez lui un concept philosophico-mathématique, et en quel sens? Au sens exact ou — en gros — nous pouvons dire: les singularités – vous vous attendez bien à ce qu’il y en ait beaucoup ; on a déjà vu qu’il y en avait de plusieurs sortes — et ce sera un objet pour nous que classer les singularités, au sens leibnizien du terme singularité.

Or au premier sens du mot singularité, qu’est-ce qu’une singularité pour Leibniz? Je dirais là très sommairement qu’une singularité, c’est une inflexion, ou si vous préférez, c’est un point d’inflexion; or le monde est la série infinie des inflexions. Le monde est la série infinie des inflexions possibles. Tout ça, on l’a vu. Donc, [4 :00] ma première question-conclusion, c’est : qu’est-ce qu’une singularité, ou qu’est-ce qu’un point singulier, une fois dit que — en gros — nous pouvons dire, ben oui, qu’une singularité, c’est une inflexion, ou bien une singularité c’est là où se passe quelque chose dans une courbe ? Donc notre idée, depuis le début, de la surface à courbure variable qui est le thème fondamental qui nous a paru être celui de Leibniz, est inséparable d’une technique et d’une philosophie des singularités et des points singuliers. [Pause]

Je n’ai pas besoin d’insister, je pense, sur la nouveauté du [5 :00] sens d’une telle notion, car bien sûr avant, la logique connaissait l’universel, le général, le particulier, le singulier. Mais la singularité au sens de point singulier ou ce qui arrive à une ligne, ça c’est quelque chose de tout à fait nouveau, et en effet, c’est d’origine mathématique. Alors dès ce niveau-là, je peux définir alors philosophiquement un événement comme un ensemble de singularités. [Pause] Je dirais à ce moment-là que la notion n’est même plus seulement d’origine mathématique, mais d’origine physique. Un point critique en physique — [6 :00] évaporation, cristallisation, tout ce que vous voulez — un point critique en physique se présente comme une singularité. Tout ça, vous le sentez ; c’est déjà tout un ensemble de problèmes, l’avènement de cette notion mathématico-physico-philosophique, le point singulier, faisons-en hommage à Leibniz.

Voilà un premier groupe de questions qui, pour nous, sont bien lancées; mais vous sentez que c’est matière à développement, à recherche.

Deuxième question, ou deuxième pressentiment que nous avons: peut-être que entre deux singularités, il y a un type de rapport tout à fait original, et une logique de l’événement exige [7 :00] que ce type de rapport soit spécifié. Qu’est-ce qu’un rapport, et de quel type sont les rapports entre singularités ? Et la dernière fois, j’ai avancé une hypothèse à partir de l’idée suivante : c’est qu’une notion aussi bizarre que celle que Leibniz instaure en nous disant, si vous prenez un ensemble de possibles, ils ne sont pas forcément compossibles, donc la relation de compossibilité et d’incompossibilité serait ce type de relation entre singularités. [8 :00] “Adam non-pécheur” est incompossible avec le monde où Adam a péché. Encore une fois, c’est ça qui m’importe, comprenez bien, “Adam non-pécheur ” est contradictoire avec “Adam pécheur”, mais il n’est pas contradictoire avec le monde où Adam a péché. Simplement entre le monde où Adam a péché et le monde où Adam ne pèche pas, il y a incompossibilité.

Donc la situation de Dieu quand il crée le monde est très bizarre, vous voyez, et ça fait partie des idées les plus célèbres de Leibniz. La situation de Dieu quand il crée le monde c’est que Dieu se trouve [9 :00] dans la situation où il choisit entre une infinité de mondes possibles ; il choisit entre une infinité de mondes également possibles, mais qui ne sont pas compossibles les uns avec les autres. Dans l’entendement de Dieu, il y a une infinité de mondes possibles, et Dieu va choisir, parmi ces mondes possibles, qui ne sont pas compossibles les uns avec les autres, il va choisir l’un d’entre eux.

Lequel ? Heureusement on n’a pas encore à s’occuper de cette question, mais c’est facile à deviner la réponse de Leibniz: il va choisir le meilleur, le meilleur. Il va choisir le meilleur des mondes possibles. Il ne peut pas les choisir tous à la fois ; [10 :00] ils sont incompossibles. Il va donc choisir le meilleur des mondes possibles, idée très, très curieuse, mais qu’est-ce que veut dire le meilleur, et comment est-ce qu’il choisit le meilleur? Il faut bien une espèce de calcul! Qu’est-ce que ce sera le meilleur des mondes possibles, et comment est-ce qu’il le choisit? Est-ce que Leibniz ne va pas s’inscrire dans une longue théorie de philosophes pour qui l’activité supérieure est le jeu? Seulement dire que, pour beaucoup de philosophes, l’activité supérieure ou divine est le jeu, ce n’est pas dire grand chose parce qu’il s’agit de savoir de quel jeu, de quel jeu il est question? Et tout change suivant la nature du jeu. Il est bien connu que déjà Héraclite invoquait le jeu de l’enfant-joueur, mais tout dépend à quoi qu’il joue, l’enfant-joueur. [11 :00] Est-ce que le Dieu de Leibniz joue au même jeu que l’enfant d’Héraclite ? Et est-ce que ce sera le même jeu que Nietzsche invoque? Est-ce que ce sera encore le même jeu que celui de Mallarmé?

Il faudra peut-être, et Leibniz nous forcera à faire une théorie des jeux, même pas à faire une théorie des jeux, lui-même, ça le passionnait. Au dix-septième siècle commencent les grandes théories des jeux. Leibniz y prêtera son concours. Et j’apporte la remarque érudite suivante, c’est que Leibniz connaît le “go”, c’est très intéressant ça. [Rires] Il connaît le go, et dans un petit texte très étonnant, il fait un parallèle entre le “go” et les échecs, [12 :00] et il dit que, finalement, il y a deux sortes de jeux. Il ne le nomme pas “go”, il dit “un jeu chinois”, et il dit que la grande différence entre le “go” et les échecs — et il dit une chose très, très juste –, c’est que les échecs, ça fait partie des jeux où il s’agit de prendre, de prendre. On prend les pièces. Remarquez, on ne les prend pas de la même manière — déjà, vous voyez déjà la classification des jeux qui s’esquisse — on ne les prend pas de la même manière qu’aux échecs et aux dames, donc il y a plusieurs modes de capture; mais c’est des jeux de capture. Tandis que le “go”, il s’agit d’isoler, de neutraliser, d’entourer, pas du tout de prendre, [mais] d’inactiver.

Alors je dis “remarque érudite”, c’est que dans les éditions [13 :00] de Leibniz du dix-neuvième siècle, le jeu de “go” est si peu connu que, à propos de ce texte de Leibniz, il y a une note, par exemple dans le Couturat, au début du vingtième siècle, Couturat qui est un très bon spécialiste à la fois des mathématiques et de Leibniz, il y a une note de Couturat qui met en note juste l’allusion de Leibniz à ce jeu chinois, et il renverrai à, il décrit un peu, et il dit “d’après ce que nous a dit un spécialiste de la Chine”. Donc c’est très curieux puisque d’après la note de Couturat, le “go” n’était pas du tout connu à ce moment-là. C’est très récente son importation en France. Enfin bon, bref, je perds du temps. [Rires] C’était pour vous dire…pour vous dire quoi? Oui, [14 :00] à l’issu de quel calcul, de quel jeu, Dieu va-t-il choisir un monde déterminable comme le meilleur ? Bon, ça, on laisse de côté parce que, vous comprenez, ce n’est pas difficile, les réponses, elles ne sont pas difficiles, et pour le moment on nage dans le difficile.

Ce que je dis, c’est : ce qui nous importe, et c’est ma seconde question : quel est le type de relation qui permet de définir la compossibilité et l’incompossibilité? Et la dernière fois, j’étais bien forcé de dire que les textes de Leibniz manquaient un peu à cet égard, mais qu’on avait le droit de tenter une hypothèse, et l’hypothèse que nous tentions était celle-ci: est-ce qu’on ne pourrait pas dire que il y a compossibilité entre deux singularités lorsque le prolongement de l’une [15 :00] jusqu’au voisinage de l’autre donne lieu à une série convergente, et au contraire, incompossibilité, lorsque les séries divergent ? Ce serait donc la convergence et la divergence des séries qui me permettraient de définir la relation de compossibilité et d’incompossibilité. Donc la compossibilité et l’incompossibilité seraient les conséquences directes de la théorie des singularités. C’est mon second problème, car j’insiste là-dessus, c’est des problèmes. C’est le second problème que l’on pouvait tirer de notre séance précédente.

Troisième problème, et dernier problème, c’est que, dès lors, j’avais au moins [16 :00] — avantage inappréciable, on va voir –, j’avais au moins une dernière hypothèse sur cette question fondamentale chez Leibniz : qu’est ce que l’individualité ou l’individuation? Pourquoi [est-ce] une question fondamentale chez Leibniz? On l’a vu, déjà. S’il est vrai que toute substance est individuelle, s’il est vrai que la substance, c’est la notion individuelle désignée par un nom propre, vous, moi, César, Adam, etc., la question “en quoi consiste l’individuation ?”, “qu’est-ce qui individue la substance si toute substance est individuelle ?”, devient fondamentale. Ma réponse [17 :00] ou mon hypothèse était celle-ci: est-ce qu’on ne peut pas dire que l’individu, la substance individuelle, c’est une condensation, c’est un condensé de singularités compossibles, c’est-à-dire convergentes ? Ce serait, ce serait enfin une définition de l’individu ; il n’y a rien de plus difficile à définir que l’individu. Donc on aurait fait… Si ça peut se dire, je dirais alors, presque, que les individus ce sont des singularités de seconde espèce.

Qu’est-ce que ça voudrait dire, un condensé de singularités? Par exemple, l’individu Adam, je le définis par première singularité, et là, je reprends les textes des lettres à Arnauld : “premier homme”; deuxième singularité, “dans un jardin”; troisième singularité: “avoir une femme née de sa propre côte”; quatrième singularité: “avoir succombé à la tentation”. Vous voyez toutes sortes de [Début de WebDeleuze lacune 1] problèmes : est-ce que, pour définir un individu, il faut un nombre infini de singularités ou pas ? Là c’est un problème. Autre problème : je ne peux définir l’individu comme un condensé de singularités que si la singularité n’implique pas déjà l’individu. Du coup, ça m’intéresse beaucoup. En effet, la singularité n’implique pas déjà l’individu. [19 :00] L’individu, c’est quoi ? C’est le sujet qui enveloppe des singularités ; c’est le sujet qui inclut des singularités. C’est l’âme, on l’a vu. [Pause] Mais, [Fin de WebDeleuze lacune 1] les singularités, elles préexistent au sujet, en quel sens? Il y a une expression parfaite pour nous, on dira des singularités qu’elles sont pré-individuelles.

Dès lors, il n’y a aucun cercle vicieux, ce qui serait tout à fait fâcheux, à définir l’individu comme un condensé de singularités si les singularités sont pré-individuelles. “Condensé” signifie quoi? Toutes sortes [de textes] de Leibniz nous disent et nous rappellent que les points [20 :00] ont la possibilité de coïncider ; c’est même pour ça que les points ne sont pas des parties constituantes de l’étendue. Si j’ai un nombre infini de triangles, par exemple, ou d’angles, si j’ai un nombre infini d’angles, je peux faire coïncider leurs sommets. Je dirais que “condensé de singularités” signifie que les points singuliers coïncident. L’individu est un point, comme dit Leibniz, mais un point métaphysique ; le point métaphysique, c’est la coïncidence d’un ensemble de points singuliers. D’où l’importance — et ça c’est ce qu’on a fait depuis le début, mais je tiens à le justifier perpétuellement –, il est bien entendu que Leibniz nous répète tout le temps: il n’y a que les substances [21 :00] individuelles. Finalement il n’y a de réel — entendez — il n’y a de réel que les substances individuelles. [Pause]

Mais ça n’empêche pas, on l’a vu , et c’est ce qu’on a fait, il fallait partir du monde, c’est-à-dire: il fallait partir de l’inflexion. Il fallait partir de la série infinie des inflexions. Et c’est seulement en second lieu qu’on s’apercevait que les inflexions — ou le monde lui-même — n’existent que dans les substances individuelles qui l’expriment. [Pause] Mais ça n’empêche pas que les substances individuelles résultent du monde. [22 :00] C’est ce que je vous disais, il faut maintenir absolument les deux propositions à la fois: les substances individuelles sont pour le monde, et le monde est dans les substances individuelles. Ou, comme dit Leibniz: Dieu n’a pas créé “Adam pécheur” ; ça c’est le texte clef pour moi puisque, sans ce texte, tout ce qu’on a fait, notre ordre que nous avons suivi dans le premier trimestre, aller du monde à la substance individuelle, ne serait pas valable. Dieu n’a pas créé “Adam pécheur”, il a créé le monde où Adam a péché, une fois dit que le monde où Adam a péché n’existe que dans les notions individuelles qu’il l’exprime, celle d’Adam et celles de nous tous qui vivons sous le péché originel. Bon. [23 :00]

Alors vous voyez. Mon troisième point, mon troisième point, c’est toute cette sphère du problème de l’individuation où je crois que Leibniz est, là aussi, le premier. Si je résume les trois points, je dis que, parmi toutes les choses fondamentales que Leibniz apporte à la philosophie, il y a premièrement l’irruption de la notion mathématico-physico-philosophique de singularité, à quoi répond mon problème, “mais en fin de compte, qu’est-ce qu’une singularité ?” parce qu’on n’en aura jamais fini avec la singularité comme élément constituant des événements. Une logique de l’événement, une mathématique de l’événement, c’est une théorie des singularités. Or ça se confond en mathématiques avec la théorie des fonctions, [24 :00] mais nous réclamons non seulement une théorie des fonctions, mais nous réclamons aussi une logique de l’événement.

Deuxième point: les types de relations d’une singularité à une autre, compossibilité, incompossibilité, séries convergentes, séries divergentes, et quelles sont les conséquences de cela pour l’entendement de Dieu, et pour la création du monde, et pour le jeu de Dieu, si Dieu crée, c’est-à-dire choisit le meilleur des mondes par une espèce de calcul ou de jeu ? Troisième point: qu’est-ce que l’individualité si l’on part de l’idée qu’elle condense un certain nombre de singularités, ou bien une infinité de singularités, etc., ces singularités étant dès lors nécessairement pré-individuelles ? [25 :00]

Voyez, ça fait trois rudes problèmes qui sont … Alors, je voudrais juste – avant, là c’est tout facile, avant que nous passions… avant que je demande à ceux qui sont plus compétents que moi – je voudrais juste en tirer des conséquences reposantes de tout ça. Vous voyez cette situation très curieuse, le compossible, l’incompossible. Dans l’entendement de Dieu s’agite une infinité de mondes possibles. Et là, Leibniz y va à fond. Et je demande pardon à ceux qui étaient là, je crois bien, il y a deux ans, j’ai déjà parlé de ça à propos d’autre chose, qui était un problème concernant le vrai et le faux, et là, il faut de toute évidence que je le reprenne, mais je vais le faire assez vite. [26 :00] Mais je parle pour ceux qui n’étaient pas là. Il y a trois textes fondamentaux que vous devez considérer. [Il s’agit des textes – de Leibniz, Borges, et Leblanc – considérés longuement dans la séance 3 du séminaire Cinéma 3 (le 29 novembre 1983)]

Le premier est très célèbre, c’est celui de Leibniz lui-même, dans La Théodicée. Et dans La Théodicée, troisième partie, paragraphes 413 [et] suivants. C’est un texte éminemment, pour reprendre notre thème, éminemment baroque. Qu’est-ce qu’on appelle un récit baroque? Par exemple, Gérard Genette, d’autres critiques, se sont occupé de ça, [27 :00] et en gros, ils sont tous d’accord pour nous dire ceci : ce qui caractérise les récits baroques — à première vue, immédiatement –, ce qui caractérise les récits baroques, c’est avant tout l’emboîtement des récits les uns dans les autres. D’une part, l’emboîtement des récits les uns dans les autres, et d’autre part, la variation du rapport [Pause] narrateur/narration, les deux ne faisant qu’un. A chaque récit emboîté dans un autre, en effet, correspond un rapport narrateur/narration d’un type nouveau.

Si vous prenez, à partir du paragraphe 413, l’histoire très curieuse que Leibniz raconte, et qui est belle comme tout [28 :00] — dans La Théodicée –, vous verrez que c’est typiquement un récit baroque car il part d’un dialogue entre un philosophe de la Renaissance qui s’appelle Valla, [Début de la lacune 2 de la transcription WebDeleuze] un dialogue entre Valla et Antoine sur le thème, “Dieu est-il responsable du mal ?” [Pause] Et dans ce dialogue [Fin de WebDeleuze lacune 2] un personnage romain est invoqué, Sextus, Sextus, le dernier roi de Rome qui a montré de mauvaises passions, et qui notamment a violé Lucrèce. [29 :00] Certains disent que c’est son père qui a violé Lucrèce, mais enfin dans la tradition que Leibniz retient, c’est Sextus qui viole Lucrèce. Et la question est: est-ce que c’est la faute de Dieu ? Est-ce que Dieu est responsable du mal?

Eh bien, à ce premier récit, le dialogue Valla-Antoine, dans ce premier récit s’emboîte un second récit qui est Sextus allant consulter Apollon, pour lui dire, mais enfin, Apollon, qu’est-ce qui va m’arriver? Puis se juxtapose [30 :00] un troisième récit : il est insatisfait, Sextus est insatisfait de ce que lui dit Apollon, et il va trouver Jupiter lui-même. Il s’adresse à Jupiter lui-même pour avoir une réponse de première main. Variations du récit. Là, dans l’entrevue Sextus-Jupiter, il y a un nouveau personnage qui est Théodore, le grand sacrificateur, Théodore le grand sacrificateur aimé de Jupiter. Et nouveau récit, c’est Théodore qui a assisté au dialogue de Sextus et de Jupiter, [31 :00] il dit à Jupiter: quand même, tu ne lui as pas bien répondu. Et Jupiter lui dit: va voir ma fille, Pallas. Donc c’est le dernier récit imbriqué dans les autres récits: Théodore va voir Pallas, la fille de Jupiter. Vous voyez que ça fait un emboîtement considérable. Et là! [Deleuze éclate de rire], il s’endort, Théodore! [Rires] C’est typiquement baroque. Les romans baroques sont complètement comme ça. Donc je ne peux pas ne pas croire que Leibniz… Il sait parfaitement ce qu’il fait; dans cette fin de La Théodicée qui est complètement folle, il sait parfaitement ce qu’il fait. Il fait… C’est une grande imitation baroque et, encore une fois, il le sait. [32 :00]

Donc Théodore s’endort, mais il rêve, et il rêve qu’il parle à Pallas, et voilà que Pallas lui dit: viens et suis-moi! On n’a pas fini. Viens et suis-moi. Elle l’emmène voir une splendide pyramide transparente. C’est le rêve de Théodore. C’est le palais des destinées. Donc commence un thème architectural qui doit faire notre joie. Le palais des destinées, dont j’ai la garde, dit Pallas. Et elle dit que Jupiter vient parfois, il vient quelquefois visiter ces lieux pour se donner le plaisir de récapituler les choses [33 :00] et de renouveler son propre choix. Dieu vient visiter là, cette architecture, cette architecture transparente. Qu’est-ce que c’est que cette architecture transparente? C’est une immense pyramide, qui a bien un sommet, mais qui n’a pas de fin.

Vous sentez tout de suite venir quelque chose. Ça, on retrouvera ce thème plus tard, mais ce n’est pas du tout facile. Ça veut dire que, dans l’infinité des mondes possibles, il y a bien un monde qui est le meilleur, mais il n’y en a pas qui soit le pire. Du côté du bas, on va à l’infini, mais pas du côté du haut. Il y a un maximum, mais il n’y a pas de minimum. Ça nous intéresse parce qu’il faut tout prendre mathématiquement. Ça veut dire, il me semble pour moi, étant donné qu’on verra, [34 :00] que dans les listes de tout ce qui est « point singulier », il y a un moment où surgira — pas du tout pour le moment ; pas du tout ; on n’a pas encore rencontré ça — où surgir[a] l’idée qu’il y a des maxima et des minima. Je crois que les maxima et les minima ne sont pas de même sorte chez Leibniz. Au niveau des mondes, il y a bien un monde qui est le meilleur, mais il n’y a pas de monde qui soit le pire. Il y a un maximum ; il n’y a pas de minimum.

Alors j’ai donc ma pyramide sans fin mais qui a un sommet, et tout à fait en haut… — mais remarquez ça pose un problème; le texte est splendide, vous le lirez, j’espère, ça pose un problème parce que comment l’organiser, même si j’essaie de faire le dessin. J’ai ma pyramide — tout à fait en haut il y a un appartement — “appartement” est le mot que Leibniz emploie. [35 :00] Vous vous rappelez nos histoires, l’étage d’en dessus, l’étage du dessous, tout ça, vous allez voir tout ça repris dans ce texte admirable. — Eh ben, il y a un appartement qui se termine en points, si je comprends bien, il occupe toute la région supérieure de la pyramide. Et dans cet appartement vit un Sextus. Bon. Et puis, en-dessous, nous dit Leibniz, il y a d’autres appartements. Alors ça se complique. Je regarde tous ces appartements, mais ce n’est pas facile, comment ils s’organisent? Parce que, à mon avis, il n’est pas possible qu’il y en ait qui aient la tête en bas. En d’autres termes, saisissez: comment remplir une pyramide et avec quelles [36 :00] figures ? Je dirais : quelle est la figure des appartements? C’est un problème que les mathématiciens connaissent bien et qui est un problème passionnant.

Au niveau le plus simple, une surface étant donnée… [Interruption de l’enregistrement BNF/YouTube ; texte de la transscription WebDeleuze] [36 :14]

Partie 2

[Lacune 1 de l’enregistrement BNF/YouTube] … comment la diviser de telle manière que il n’y ait aucune partie vide? Plus simplement comment paver un espace? Les problèmes de pavage, là aussi, c’est des problèmes d’architecture, mais aussi des problèmes de mathématiques. Par exemple, est-ce que vous pouvez paver un cercle avec des cercles, ou est-ce qu’il y aura des parties vides? Une surface étant donnée, avec quoi pouvez-vous la paver? Ça a l’air de rien, le métier de paveur, mais c’est un des plus beaux métiers du monde, hein. C’est une activité divine, le pavage. La preuve, c’est que [Fin de la lacune 1 de l’enregistrement BNF/YouTube] Leibniz, dans un texte célèbre intitulé De l’origine radicale des choses — car il avait le génie des titres ; quoi de plus beau que d’écrire un livre intitulé: De l’origine radicale des choses, surtout quand ce livre a quinze pages ? [Rires] — Eh bien, Leibniz évoque explicitement, à propos de la création du monde par Dieu, le pavage. C’est-à-dire qu’il suppose — ce à quoi, d’ailleurs, il ne croit pas, mais peu importe — il suppose que l’espace soit assimilable à une surface donnée, et il dit: Dieu choisit nécessairement le monde [37 :00] qui remplit le mieux et au maximum cet espace. En d’autres termes, Dieu choisit le monde qui pave le mieux l’espace de la création.

Donc comment est-ce que je vais paver ma pyramide d’appartements de telle manière qu’il n’y ait pas de vide? C’est intéressant, et moi, je crois avec comme condition, s’il faut supposer, si ce soit des petites pyramides, qu’aucun appartement n’ait la pointe en bas, sinon ça ne va pas. Enfin vous voyez, c’est pour vous ouvrir des problèmes immenses que je dis tout ça.

Mais alors dans les appartements plus bas, voyez chaque appartement, [38 :00] nous dit Leibniz, je ne sais plus où, mais croyez-moi, chaque appartement est un monde. – Je ne peux pas le trouver – chaque appartement est un monde – je n’arrive pas à la trouver, mais peu importe — – chaque appartement est un monde [Deleuze cherche le passage exact, sans pouvoir le trouver d’abord] Non, bon, ça ne fait rien… — Ah ! [Pause] Ah ! je retrouve le texte, hé hé : “Là-dessus la déesse Pallas mena Théodore dans un des appartements. Quand il y fut, ce n’était plus appartement, c’était un monde”. J’ai l’impression que c’est l’entrée [39 :00] dans le baroque. Vous entrez dans la pièce baroque, et en même temps que vous y entrez, ce n’est plus une pièce, c’est un monde. Alors, vous avez un premier appartement où vous avez un Sextus, et puis vous avez un autre appartement, en bas, — il n’y a pas d’étage assez bas, il y a toujours des étages plus bas, mais il y a un étage qui est le plus haut –. Donc à l’étage d’en haut, vous avez un Sextus, dans les étages suivants vous avez d’autres Sextus. Pressentez le problème: mais alors, pourquoi c’est des Sextus quand même ? Ça va être un problème pour nous.

Alors là où ça se complique, mais tout m’importe dans ce texte qui est tellement gai, [40 :00] il dit: chacun des Sextus, dans les appartements, a un chiffre sur le front, un chiffre, alors 3000, 10,000, alors comme c’est infini par le bas, vous avez un Sextus qui a comme chiffre 1,000,000. Celui de l’appartement d’en haut, il a 1. Pourquoi est-ce qu’il a un chiffre? C’est que en même temps, dans l’appartement — vous vous rappelez le texte que je vous ai lu [Il s’agit sans doute d’une référence à Heinrich Wolfflin, Renaissance et baroque (1987) dans la séance 7, le 20 janvier 1987] — la pièce d’en haut était un cabinet de lecture, dans le baroque. Eh bien, il y a dans chaque appartement, il y a un grand volume d’écritures ; il y a un grand volume d’écritures : [Deleuze lit avec ferveur] “Théodore ne put s’empêcher de demander [41 :00] ce que ça voulait dire? Pourquoi qu’il y a un grand volume d’écritures? C’est l’histoire de ce monde, répond Pallas. C’est l’histoire de ce monde où nous sommes maintenant en visite, lui dit la déesse. C’est le livre de ses destinées. Vous avez vu un nombre sur le front de Sextus, cherchez dans ce livre l’endroit qu’il marque. Théodore le chercha et il trouva l’histoire de Sextus, toute l’histoire de Sextus. Pourtant je voyais déjà Sextus dans son appartement transparent,” ah oui! Hé oui, je le voyais, et il mimait une séquence; par exemple, il violait Lucrèce, [42 :00] ou bien il se faisait couronner — mettons, plus convenable — il se faisait couronner roi de Rome. Ça, je le voyais; théâtre, théâtre. Mais il n’y met pas tout. En d’autres termes: l’ensemble du monde auquel ce Sextus-là appartient, c’est-à-dire l’ensemble du monde avec lequel ce Sextus-là, celui qui viole Lucrèce et qui se fait couronner roi de Rome, avec lequel ce Sextus est compossible, je ne le voyais pas, je le lis dans le livre. Vous voyez la combinaison lire-voir propre au baroque, là aussi, qu’on a appelé la dernière fois l’emblème, en disant, oui, le baroque est emblématique, [43 :00] on le retrouve complètement ici.

Revenons. Là je vagabonde – Alors le Sextus d’en haut, bon. Mais en bas, je vois un Sextus qui va à Rome, mais renonce à se faire couronner. Comme dit Leibniz, il s’achète un petit jardin et devient un homme riche et respecté. C’est un autre Sextus, il a un autre chiffre sur son front.
Je dirais: ce Sextus numéro deux est incompossible avec l’appartement du haut, avec le monde plus haut, avec le monde 1. Et puis je vois un troisième Sextus, qui renonce à aller à Rome, [44 :00] vous voyez, il renonce à aller à Rome, et il va ailleurs, en Thrace, et il se fait couronner roi de Thrace. Il ne viole pas Lucrèce. Bon, supposons etc., etc. … à l’infini. Vous voyez ? Tous ces mondes sont possibles, mais ils sont incompossibles entre eux.

Ça veut dire quoi? Eh ben, ça veut dire qu’il y a divergence, il y a un moment où ça diverge. Pourquoi est-ce que c’est tous des Sextus? Là, on reprendra le problème parce que c’est très important, mais on peut déjà supposer que c’est parce que un petit nombre de singularités leurs sont communes. [45 :00] Tous sont fils de Tarquin, et successeurs du roi de Rome. Mais dans un cas, il succède à son père effectivement ; dans un autre cas, il renonce à la succession et quitte Rome ; dans un autre cas il renonce à la succession mais reste à Rome. Vous voyez que les divergences ne passent pas d’un monde à l’autre ; les divergences qui définissent l’incompossibilité ne passent pas nécessairement au même endroit. C’est ça qui est très important: j’ai un réseau de divergences qui ne commencent pas à la même singularité, ou qui ne commencent pas au passage de la même singularité avec une autre. Voilà, alors vous avez ce tableau extrêmement joyeux des mondes incompossibles, [46 :00] un ensemble de compossibilité, un ensemble de singularités compossibles définissant un monde, et Dieu choisit, il choisit le meilleur des mondes possibles dans tout ça.

Alors là, je disais, c’est là où très vite je veux juste faire allusion à deux textes fondamentaux, vous trouverez littérateurs, deux textes littéraires typiquement leibniziens. L’un ne fait aucun problème puisque l’auteur en est extrêmement savant et a fait une version typiquement leibnizienne – qui est curieux d’ailleurs, sans… mais il n’a pas besoin de le citer — c’est Borges, Borges, sous le titre, un célèbre texte de Borges “Le jardin aux sentiers qui bifurquent.” [47 :00] [Rires] Vous voyez que le compossible… Qu’est-ce qu’il y a ?

Hidenobu Suzuki (à côté de Deleuze) : Que ce texte est très génial.

Deleuze : Quoi ?

Suzuki : Ce texte est génial, quelqu’un a dit.

Deleuze : Là, l’incompossibilité est devenue, sous la plume de Borges, la bifurcation, les sentiers qui bifurquent. Je lis juste… Vous vous rapporterez… C’est dans le volume intitulé Fictions, “Le jardin aux sentiers qui bifurquent.” Voilà. [Pause] Je lis un passage. Il raconte un roman qu’a fait un mystérieux auteur chinois: [48 :00] “D’habitude, dans les fictions, chaque fois que diverses solutions se présentent, l’homme en adopte une et élimine les autres” — Remarquez que c’est exactement la situation du Dieu de Leibniz: entre les mondes incompossibles, il en adopte un et élimine les autres – “Dans la fiction du presque inextricable Tsui Pen, il les adopte toutes” — Imaginez un Dieu Leibnizien pervers, il ferait passer à l’existence tous les mondes incompossibles. Pour Leibniz, qu’est-ce que dirait Leibniz? Leibniz dirait que c’est impossible! Mais pourquoi est-ce que c’est impossible? Parce que, à ce moment-là, Dieu renoncerait à son principe favori qui est le principe du meilleur. Choisir le meilleur. Supposez un Dieu qui n’ait pas le souci du meilleur, ce qui est impossible évidemment, impossible, [49 :00] mais supposez un tel Dieu, alors on tombe de Leibniz en Borges –”Il crée ainsi divers avenirs, divers temps qui prolifèrent et bifurquent. De là, les contradictions du roman” — de l’inépuisable Tsui Pen — “De là, les contradictions du roman. Fang, ” — c’est un personnage comme Sextus – “par exemple, détient un secret. Un inconnu frappe à sa porte. Fang décide de le tuer. Naturellement il y a plusieurs dénouements possibles. Fang peut tuer l’intrus; l’intrus peut tuer Fang”, deux; “tous deux peuvent réchapper”, trois; “tous deux peuvent mourir”, [50 :00] quatre, etc.… etc… “Dans l’ouvrage de Tsui Pen, tous les dénouements se produisent. Chacun est le point de départ de nouvelles bifurcations”.

Je dirais que c’est exactement la même chose dans l’entendement de Dieu. Dans l’entendement de Dieu, tous les mondes possibles se développent. Simplement il y a un barrage: Dieu ne fait passer à l’existence que l’un de ces mondes. Mais, dans son entendement, il y a toutes les bifurcations; c’est une vision de l’entendement de Dieu comme on n’avait jamais eu. C’est très, très intéressant, mais c’est en quoi, je voulais juste dire en quoi Borges, là, en fait une pure application, un exercice de style, qui vient directement de la Théodicée. [51 :00]

Mais ce qui m’intéresse plus, c’est ce roman que je vous signalais, que je voulais beaucoup que vous lisiez, et que je re-résume à nouveau parce qu’il est encore plus leibnizien, il est littéralement leibnizien. Ce roman vient de quelqu’un qu’on n’attendrait pas et qui se révèle être un grand philosophe, et qui est Maurice Leblanc, le grand romancier populaire du dix-neuvième siècle, et bien connu parce que c’est le créateur d’Arsène Lupin. Mais outre Arsène Lupin, il a fait des romans admirables, et bien plus beaux que celui de Lupin, et notamment un qui a été réédité – c’est une merveille ! — dans le Livre de Poche et qui s’intitule: La vie extravagante de Balthazar. Vous allez voir à quel point ça nous concerne si je le [52 :00] résume rapidement.

Il est très tortueux, c’est un roman très tortueux: il a pour héros Balthazar, et Balthazar – ça m’intéresse, cela va nous relancer – et Balthazar, c’est un jeune homme, c’est un jeune homme qui a comme métier professeur de philosophie quotidienne, [Rires] et la philosophie quotidienne est une philosophie très particulière mais très intéressante qui consiste à dire: rien n’est extraordinaire, tout est régulier, tout est ordinaire. Tout ce qui arrive est ordinaire ; en d’autres termes, [53 :00] il n’y a pas de singularités ; c’est très important ça. Il arrivera à Balthazar, pendant le roman, toutes sortes de malheurs effarants, et à chaque fois, il est poursuivi par une timide amoureuse qui s’appelle Coloquinte. Et Coloquinte lui dit: mais monsieur Balthazar, que dit la philosophie quotidienne, quand même ce n’est pas banal ce qui nous arrive ? Et Balthazar la gronde et lui dit: Coloquinte, tu ne comprends pas. Tout cela est très ordinaire comme nous allons le voir bientôt. Et les singularités se dissolvent. Vous vous rappelez tout mon thème: les singularités se développent comment? En se prolongeant sur une série d’ordinaires, jusqu’au voisinage d’une autre singularité.

Or qu’est-ce qui l’emporte? Est-ce que les ordinaires dépendent des singularités [54 :00] ou est-ce que les singularités dépendent des ordinaires? Un texte de Leibniz auquel je tiens beaucoup, dans les Nouveaux essais, et que j’ai cité la dernière fois, ferait croire que la réponse est complexe, puisque Leibniz nous dit: “Ce qui est remarquable” (entendez la singularité) “ce qui est remarquable doit être composé de parties qui ne le sont pas.” Ce qui est remarquable doit être composé de parties qui ne le sont, en d’autres termes une singularité est composée d’ordinaires. Qu’est-ce que ça veut dire? Je vous disais que ce n’est pas très compliqué. Prenez une figure comme le carré qui a quatre singularités, ces quatre sommets, enfin ces quatre je ne sais pas quoi, vous voyez, ces quatre machins où ça change de direction, ses quatre points singuliers; je peux dire A, B, C et D, [55 :00] je peux dire que chacune de ces singularités est un double point ordinaire, puisque la singularité B, c’est la coïncidence d’un ordinaire qui fait partie de AB, et d’un autre ordinaire qui fait partie de BC. [Pause] Bon. Alors est-ce que je devrais dire que tout est ordinaire, même la singularité, ou est ce que je devrais dire que tout est singulier, et même l’ordinaire? Balthazar a choisi à première vue et dit : tout est ordinaire, même les singularités.

Et pourtant il lui arrive des drôles de choses, à Balthazar, car voilà, il ne sait pas qui est son père. Pas lui d’ailleurs, il n’y tient pas du tout, [56 :00] contrairement aux héros des romans modernes, ça lui est complètement égal de ne pas savoir qui est son père, [Rires] mais il se trouve qu’il y a un problème d’héritage où il faut qu’il le sache. Et Leblanc, l’immortel auteur de ce livre si beau, de ce grand roman, donne trois – quoi ? — trois singularités qui définissent Balthazar: il a des empreintes digitales; c’est une singularité puisque ses empreintes ne ressemblent à celles de personne. Première singularité, les empreintes digitales qu’il a. Deuxième singularité, un tatouage qu’il porte sur sa poitrine et qui est fait de trois lettres: m comme Maurice, t comme Théodore, p comme Paul, [57 :00] mtp. Et d’autre part, troisième singularité, une voyante qu’il est allé voir, quand même, une voyante lui a dit – qu’est-ce qu’elle lui a dit, la voyante – “ton père n’a pas de tête.” [Rires] Donc les trois singularités de Balthazar, c’est: avoir un père sans tête, avoir des empreintes digitales qui sont les siennes, et avoir comme tatouage mtp. Ça vaut les trois singularités d’Adam, être le premier homme, être dans un jardin, et avoir une femme née de sa côte. Bon. On peut partir de là.

Là-dessus toute une série de pères lui arrive. Premier père, le comte de Coucy-Vendôme ; [58 :00] il répond assez bien aux conditions parce que il est mort, il est mort égorgé, égorgé par un bandit, la tête largement tranchée. Est-ce que Balthazar est le fils? Voyez, je veux dire, à partir des trois singularités données, est-ce que elles se prolongent sur et jusqu’au voisinage de cette singularité-là: être le fils du comte assassiné ? Sans doute oui, dans un monde. Dans un monde c’est ça. Ça marche à fond. Mais là-dessus, au moment où Balthazar va toucher l’héritage du comte de Coucy, il se fait enlever par un bandit [59 :00] qui lui dit : [Fin de la transcription Web Deleuze; ce qui suit est transcrit de l’enregistrement de la BNF/YouTube] “tu es le fils de notre ancien chef”. L’ancien chef s’appelait Gourneuve; il était un bandit infâme, non seulement un bandit infâme, mais c’était lui qui avait coupé la tête au comte. Donc, c’est un second père qui a assassiné le premier. Donc il complique le réseau parce que dès lors, ils vont faire partie d’un monde compossible tous les deux, et pourtant ils vont être incompossibles.

Mais on n’a pas fini, eh ? C’est un long calcul. Mais enfin, bon, Gourneuve, il n’a pas de tête ; il répond aussi à la condition. Il n’a pas de tête parce qu’il a été guillotiné. Et il présente un avantage supplémentaire car, vous avez peut-être remarqué que mtp n’a pas été justifié, tandis que Gourneuve, lui, dans le premier cas, Gourneuve, [60 :00] il est le chef de la bande des Mastropieds. Or la bande des Mastropieds, c’est la bande M-T-P, ce qui justifierait le tatouage. [Pause] Donc, là où il y a incompossibilité, c’est qu’on ne peut pas avoir pour père et l’assassin et l’assassiné. [Rires] Donc, c’est un autre monde. Ça diverge. Et pourtant, les deux pères font partie du même monde compossible, mais en même temps, il est incompossible.

Mais, il n’y a pas à s’en faire tellement parce qu’au moment même où Balthazar va être intégré dans la bande des Mastropieds, il est enlevé. Il est enlevé par un Anglais qui l’emmène en Orient, qui l’emmène en Orient où il y a la guerre, [61 :00] et qui le livre à un chef appelé Revade Pacha. Bon. Et Revade Pacha lui dit, “tu es mon fils ; c’est toi mon fils. Tu es Mustapha,” [Rires] M-T-P, Mustapha. C’est un troisième monde, ça, un troisième monde. C’est un roman baroque splendide, quoi. C’est le type même du roman baroque, alors, avec les voyages, tout y est quoi ! … Et puis, peu après, Revade Pacha se fait décapiter. Il y a tout, donc; il est aussi sans tête, mtp est justifié, tout va bien.

Mais au moment où ça va mal tourner pour Balthazar, voilà qu’un poète nommé [62 :00] Beaumesnil, que le poète Beaumesnil le sauve. A Balthazar, il lui dit, “tu es mon fils !” C’est donc le quatrième. Seulement Balthazar a volé un peu son père précédent, Revade Pacha ; il a emmené le trésor de Revade Pacha. Et voilà que le nouveau père, Beaumesnil le poète, il tourne fou ! C’est-à-dire, il perd la tête ! [Rires] Il perd la tête, et il s’en va en volant l’argent de son fils, [Pause] et en s’écriant, “C’est compté, pesé, divisé !” C’est compté, pesé, divisé, vous avez tous reconnu la fameuse formule, Mane Thecel Phares. [63 :00] Mane Thecel Phares, c’est M-T-P, un nouveau monde qui diverge. Voyez, [il y a] quatre mondes qui sont tous possibles, mais incompossibles les uns avec les autres.

Alors là-dessus, il va tout nous expliquer ensuite. Tout ça est une escroquerie. C’est le problème : le Dieu leibnizien est-il un escroc ? [Pause] Et là, ce que je voudrais que vous compreniez, c’est qu’en effet, Leibniz s’en tire, mais que son Dieu serait un escroc s’il était comme Borges ou comme Leblanc. C’est-à-dire si le Dieu faisait passer à l’existence les mondes incompossibles, là ça serait vraiment un escroc. [64 :00]

Heureusement que le Dieu leibnizien est moral, c’est-à-dire ne fait pas passer ces mondes en existence. Pourquoi ? Parce que l’escroquerie, c’est la suivante : il vient un clochard qui est le cinquième père, clochard qui s’appelle Vaillant-Dufour. Et Vaillant-Dufour avait eu une idée quand il était jeune. C’était faire un pensionnat pour jeunes hommes riches éloignés des parents. Voyez ? Il avait un petit pensionnat d’enfants riches, quatre, quatre enfants riches plus le sien. Alors, il avait, en effet, le fils du comte, le fils du bandit, le riche bandit, le fils de Revade Pacha, et le fils du poète, plus son fils à lui. Le pensionnat comportait cinq enfants. Et puis, il y a eu une inondation, et il n’y a qu’un qui a survécu. [Rires, Deleuze aussi] Et le clochard ne sait même pas qui c’est le sien. [Rires] Il ne sait pas lequel a survécu. [65 :00] Et il se dit, c’est quand même bête alors parce que comment faire pour garder l’argent et pour faire que les parents donnent toujours de l’argent ? Alors, il fait un papier avec les empreintes du survivant, et il l’envoie aux quatre parents en disant, “Votre fils a survécu ; c’est votre fils qui a survécu”. Voyez ? Ce n’est pas bête ! [Pause] Alors, il ne sait pas en même temps, [Pause] et enfin, est-ce qu’il est le vrai père, le clochard ? Est-ce que c’est lui le cinquième père, qui ferait le… et qui unirait tous les mondes incompossibles ? Ben, même pas parce qu’il ne sait pas. Il ne sait pas si c’est lui le père. Donc, à son tour, lui-même, ne fait partie que d’un des mondes. [66 :00] Et il est incapable de le dire sauf par escroquerie. Et enfin, à la fin, il est tellement alcoolique qu’il avait, lui-même aussi, perdu la tête. [Rires] Donc, voyez, c’est très bien. Chaque fois il y a des séries qui s’esquivent,  divergentes, des séries, etc. C’est le mystère des mondes incompossibles, ou comme dit Leibniz, le ballet des destinées.

Alors, je reviens à ça. Je voudrais que tout ça soit devenu plus concret, et je reviens à ma question, ou plutôt mes trois questions, mes trois questions étant : jusqu’à quel point est-ce qu’on pourrait développer une théorie mathématico-philosophique des points singuliers ? Deuxième question : jusqu’à quel point peut-on développer l’idée de relation originale, c’est-à-dire irréductible à tout autre type de relation, qui unirait, positivement ou négativement, une singularité à une autre, [67 :00] positivement dans le cas de la compossibilité ou de la série convergente, négativement, exclusion du point de vue des singularités divergentes, ou des séries divergentes ? Troisième question : est-il possible de définir l’individu comme condensé de singularités convergentes, et quel [est] la conséquence pour la notion même d’individu ou pour le principe d’individuation ?

Alors, c’est sur ce point que, si tu le permets, je voudrais te demander sur ces trois points, ou sur d’autres, que je voudrais te demander si tu vois des directions de recherche pour nous tous, pour… ? [Pause] [68 :00] [Ce collègue mathématicien de Deleuze, Marcel Maarek, ne sera identifié par Deleuze (et seulement avec le nom de famille) que dans la séance du 3 février quand Maarek est absent et Deleuze se réfère à ce qu’il dit dans sa présentation. Chose curieuse : même dans le résumé de cette séance par Frédéric Astier (Les Cours enregistrés de Gilles Deleuze, 1979-1987 [Sils Maria, 2006]), Astier ne désigne ce collègue invité qu’avec le terme “un intervenant (mathématiques)” (p. 167). Il s’agit d’un collègue de Deleuze qui avait commencé l’enseignement Vincennes un an avant Deleuze, en 1969-70. Pour les renseignements et archives de Paris 8, voir Octaviana Bibliothèque numérique, https://octaviana.fr/items/browse?collection=633.]

Maarek : J’avais préparé une intervention à l’instar de ton dernier cours, mais depuis, tu as bifurqué tellement que…

Deleuze : Oh non, non, non, on peut très bien revenir en arrière, eh ?

Maarek : Donc il faudrait que je bifurque, alors je vous demande beaucoup d’indulgence. Disons que mon intervention pourra être, par principe, latérale, ou si elle revient dans le centre, cela sera bien.

Je voudrais revenir à une notion qui est essentiel, qui nous renvoie à une autre, dont on a parlé parfois, dont tu as parlé parfois, qui à mon avis est centrale. C’est la notion de singularité. Alors, je voudrais dire ceci : singularité, comment pourrait-on définir une chose pareille ? [69 :00] Une définition possible – je l’approche à [René] Thom, mais pourquoi pas ? – ce serait quelque chose qui se passerait différemment que dans tout voisinage possible, c’est-à-dire comme si tout d’un coup il se passe quelque chose qui est différent de tout ce qui se passe alentour. J’emploie volontairement des mots vagues, parce que comme vous allez voir, la difficulté est là : c’est comment définir le voisinage ? Donc, singularité renvoie à voisinage, c’est-à-dire renvoie aux rapports entre le point singulier et tout ce qui lui est sien, si près que ce soit immédiat. Il faut que quelque chose de différent se passe, si proche que cela soit. C’est peut-être le problème sur lequel les mathématiciens ont été au fond le plus troublés. [70 :00] Tu donnais tout à l’heure un exemple tout à fait frappant de la problématique pour les mathématiciens à la fin du dix-neuvième siècle de ce problème de la singularité.

En somme, si vous voulez, l’événement singulier doit être – peut-être faudrait-il le dire comme ça ; parfois les mathématiciens le disent – isolé, isolé, c’est-à-dire, au fond, être différent de son voisinage et peut-être même devrait-il être isolé dans l’espace, c’est-à-dire n’avoir pas de voisinage, de ne voir personne dans son voisinage. C’est intéressant d’ailleurs que tu ais parlé de Borges tout à l’heure, etc., parce que je peux citer un point de vue de ce genre. Au fond, [Henri] Poincaré a dit qu’une singularité, c’est une déformation ; c’est un point de vue de Poincaré, et on peut le montrer d’ailleurs assez simplement dans l’exemple [71 :00] – alors, je voudrais, quand même, excusez-moi, depuis Leblanc, Maurice Leblanc et Poincaré… Le passage est un peu brutal — [Il va au tableau] mais je voudrais vous rappeler précisément pourquoi une inflexion est une singularité.

L’inflexion – je ne dessine pas, mais enfin… — Une inflexion, c’est ce qui serait comme ça. [Pause, pendant qu’il se déplace vers le tableau] Voilà l’inflexion, elle est là. Pourquoi est-ce une bifurcation, sans en avoir l’air ? Parce que, j’ai envie de dire, si tout se passait bien, la courbe aurait dû faire comme ça, c’est-à-dire elle aurait dû se comporter ici comme là, c’est-à-dire d’être en tangente et monter au complément, et là elle aurait dû continuer comme ça, sans ce sens tout à fait, ce n’est pas une bifurcation anguleuse. Une bifurcation n’est pas nécessairement anguleuse, mais dès que je dessine cette partie-là, [72 :00] on comprend pourquoi l’inflexion est une singularité parce que, au fond, tout d’un coup, il s’est passé quelque chose : la fonction est partie dans une autre direction, pas la même direction, mais une autre. [Il reprend sa place] Voilà un exemple de la notion de bifurcation, c’est-à-dire Poincaré, à ce moment-là, au moment où la discussion se déroule, c’est-à-dire à la fin du dix-neuvième siècle, début du vingtième, Poincaré propose cette idée que la singularité est une bifurcation.

Alors, pour que la singularité se définisse – et là je reviens au voisinage — pour que la singularité se définisse, il faudrait – et là, on revient [mots pas clairs] – il faudrait que tout le reste autour soit régulier, c’est-à-dire qui si proche que je sois dans l’alentour – et là, maintenant, on va voir Leibniz revenir — si proche que je sois dans l’alentour autour de ce point, [73 :00] c’est-à-dire dans le voisinage — j’évite le mot voisinage parce qu’il a un sens mathématique très précis ; c’est pour ça que je mets un mot mal choisi, “alentour”, qui n’est pas très clair, parce que le mot “voisinage” n’a pas un pareil sens, enfin a une définition précise — Donc tout autour il doit y avoir une certaine régularité. Et c’est peut-être anecdotique, mais c’est quand même peut-être fondamental, une des idées qui a beaucoup agité les mathématiciens à la fin du dix-neuvième siècle, c’est que peut-il y avoir un système où il n’y a que des singularités, et comment reconnaîtrait-on un tel système ? C’est-à-dire un peu, est-ce qu’on peut décrire une situation où, au fond, tous les points sont singuliers, et comment seraient-ils singuliers en définitive s’ils sont eux-mêmes à côté d’un truc qui est lui-même singulier ? Ma définition, logiquement, ne tourne pas bien [74 :00] parce que singularité, voulant dire se comportant différemment de ce qui se passe autour à condition que le comportement de ce qui se passe autour soit lui-même régulier, s’il ne l’est pas, on est dans une singularité étrange.

Alors, l’un des exemples, l’un des plus grands fabricants d’objets bizarres dans cette période, c’est tout de même [Georg] Cantor, et on peut lui rendre… C’est que lui qui a produit un objet singulier, autour de singuliers, tout en gardant certaines régularités. Je vous décris ce qu’on a appelé le discontinu de Cantor ; c’est un ensemble étrange, mais qui est tout à fait intéressant. Le système est tout à fait simple ; donc on peut vous le décrire. Maintenant, quant à l’analyser de plus près, malheureusement c’est un peu techniquement difficile. Mais en y réfléchissant, vous pouvez peut-être imaginer les choses.

Voilà, la technique est simple. Cantor prend un segment, [Il se place au tableau] il le divise en trois, et il enlève la partie centrale. [75 :00] Il reste deux morceaux, on le divise en trois, on le divise en trois, et on enlève la partie centrale. [Pause, il dessine au tableau] On continue indéfiniment. Chaque fois, on enlève la partie centrale. Aux trous, aux trous, l’espace, on fait une chirurgie, comme dit Deleuze, et à ce moment-là, on obtient un ensemble qui, à la limite de cette production infinie de singularités, tous les bords deviennent des points singuliers, tout ce qui est au bord d’un trou. Et à la fin de cette technique, il reste ceci, quand on poursuit indéfiniment cette procédure. C’est que tous les points sont singuliers, et ils sont au bord d’une régularité parce que chacun se retrouve au bord de quelque chose, les points qui restent ; en quelque sorte, ils sont tous [76 :00] potentiellement singuliers. C’est-à-dire nous obtenons une espèce de situation de points singuliers au bord de points réguliers, et en fait, ils sont tous singuliers parce qu’ils deviendront à chaque instant au bord de quelque chose. Les morceaux complets de ce système sont plus complexes ; on est obligé de faire une petite présentation technique, donc vous m’excuserez, je ne pourrais pas parce que c’est … [Il ne complète pas la phrase]

Le discontinu de Cantor fait rêver. Par la suite, il y a eu un autre exemple tout à fait étonnant, de régularités et de singularités, qui est tout à fait étrange, que l’on ne peut pas complètement décrire également. C’est une courbe qu’on appelle la courbe de Peano, mais il y a eu comme ça deux ou trois exemples. La courbe de Peano, c’est une espèce de… c’est une courbe tout à fait classique ; elle est continue. Elle se dessine à l’intérieur d’un carré, mais si vous la dessinez jusqu’au bout, elle remplit entièrement le carré. C’est-à-dire qu’elle est, en quelque sorte, si vous tentez de la dessiner, [77 :00] c’est-à-dire de la tracer point par point, on obtiendrait la chose suivante, au fond, des espèces d’arabesques qui, poussés jusqu’à la limite, remplissaient le carré tout entier.

Deleuze : Mais ça c’est la même chose que Mandelbrot.

Maarek : Oui, Mandelbrot a fait un usage de ça. Au moment où la courbe de Peano est publiée, autour des années 1900, à ce moment-là, c’est le problème central de la singularité dans un monde de singularités.

Isabelle Stengers : [Propos difficilement audibles, à propos de l’introduction d’un livre de Jean Perrin, Les Atomes (1914), que Mandelbrot va citer]. [78 :00]

Deleuze : Il dit même – alors, on se complète chacun tous, [Rires] c’est très bien, c’est tellement leibnizien ce que tu dis que c’est étonnant, quoi ; ça donne à Leibniz une telle présence dans les mathématiques modernes – qu’avant le texte de Perrin dont Isabelle parle, il est dit “infiniment caverneux” ou “spongieux”. Il dit que la matière n’est pas du tout continue, le nouveau vocabulaire de la discontinuité. On peut toujours faire des trous, et c’est l’idée d’une forme infiniment caverneuse, c’est la même chose que la courbe de corles, infiniment caverneux, infiniment spongieux. Alors il prend comme exemple les corles, comme les charbons de bois. En effet, pour que ceux que ça intéresse, c’est dans un livre de Mandelbrot [Deleuze l’épèle] chez Flammarion qui s’appelle L’objet fractal. [79 :00] Et Mandelbrot fait une longue citation d’un texte de Perrin qui est un grand physicien, et part de cette citation. [Deleuze s’est déjà référé à Mandelbrot à ce propos dans la séance 2 de ce séminaire, le 4 novembre 1986, et aussi dans le séminaire sur la peinture, la séance 3, le 28 avril 1981 ; voir Benoît Mandelbrot, Les Objets fractals (Paris: Flammarion, 1975; reed. coll. Champs, 2010)].

Maarek : Je voudrais maintenant revenir en arrière. C’est-à-dire laissons de côté momentanément ces objets, ces points singuliers qui seraient eux-mêmes voisins immédiats de points eux-mêmes singuliers. Plaçons-nous momentanément dans la bonne situation qui est un peu celle que tu décrivais la dernière fois. C’est-à-dire le point singulier est entouré de points réguliers ; si ça se passe bien, un événement est isolé – le mot “isolé” d’ailleurs appartient au vocabulaire mathématique, mais comme ça, son interprétation est tout à fait simple, c’est-à-dire, disons, précisément repérable.

Tout de même, il nous restera dans ce cas un problème [80 :00] qu’il faut aborder. C’est : comment se construisent les voisinages d’un point singulier ? Eh bien, cela nous renvoie au fond à la notion de voisinage, de ce qui se passe immédiatement après, c’est-à-dire au fond – et là, il faut renvoyer au Leibniz du calcul différentiel, c’est-à-dire à la notion de l’infini – parce que vous remarquez inévitablement aussi bien Deleuze les dernières fois que moi maintenant dans les exemples que j’ai donnés, nous utilisons toujours nécessairement une procédure mesurée, autant Deleuze faisait la dernière fois l’allusion aux séries convergentes et divergentes allant d’une singularité à l’autre – la notion de séries nous renvoie à l’infini [81 :00] en un certain sens. C’est-à-dire qu’il n’est pas question de faire [inaudible] mais de parler de ce que l’infini fait dans cet alentour. Tout à l’heure, on tentera de donner une définition de ce que Deleuze utilise depuis longtemps, en tout cas il l’a utilisée à sa manière, c’est la notion de séries convergentes et de séries divergentes, autour ou vers ou entre les singularités. Pour le moment, on reste à l’alentour.

Alors, l’aventure principale, c’est que faire, comment, et pourquoi, et sous quelle forme avons-nous besoin de l’infini ? Alors, si vous me le permettez, je vais… c’est comme ça que j’ai un peu… je pense que cela sera plus clair et plus facile. Je vais aller très vite dans le temps et arriver à 1934 [82 :00] et reviendrai à Leibniz juste après, parce que l’aventure qui va se dérouler commencera en 1934 et se terminera sur Leibniz comme un retour en arrière. [Pause]

Au début des années… Dans la première décennie du vingtième siècle, il y avait un mathématicien – c’est une aventure que tout le monde connaît mais je vais en parler très vite pour qu’il n’y ait pas de problèmes – il y a eu cette espèce de fièvre axiomatisante – pour des tas de raisons qui sont historiques et qui tiennent à la crise de géométrie et à une série d’événements comme ça – il y a eu une fièvre axiomatisante terrible. C’est-à-dire on a voulu axiomatiser des théories. Axiomatiser voulait dire donner les règles fondamentales indispensables permettant de bâtir telle ou telle théorie… [Interruption de l’enregistrement BNF] [1 :22 :51]

Partie 3

… c’est-à-dire des nombres entiers. Bien entendu, soyons clairs, les gens savaient compter depuis longtemps, c’est-à-dire qu’au quotidien on n’axiomatise pas une théorie [83 :00] – enfin, on a déjà donc… Regardez bien la situation comme elle se déroule : on a un univers qui est, par exemple, l’univers des nombres ; on sait déjà s’en servir, on savait compter depuis vingt-cinq siècles — et Bourbaki en disait encore plus — on savait déjà compter, on savait faire beaucoup de choses en arithmétique, et en 1910, on axiomatise. L’axiomatisation de la géométrie date de 1890 où on savait déjà dessiner et faire des cours de géométrie. Donc axiomatiser, c’est donner l’ensemble des règles permettant de définir de manière explicite tout ce dont on a besoin. On verra tout à l’heure une théorie de Leibniz tout à fait surprenante, quoi.

Alors donc, il y a tout ce long, long travail d’axiomatisation. C’est un problème complexe – enfin, tous ceux qui connaissent l’histoire des maths connaissent tout ce travail qui se déroule très, très précisément [84 :00] et qui aboutit en 1930 ou 1932 à un livre de [David] Hilbert, qui est le Grundlagen der Mathematik [1928] qui est la grande axiomatisation de l’ensemble, l’édifice pareil à ce moment-là à celui des… il est indiscutable. A ce moment-là, un mathématiciens au nom de [Thoralf] Skolem pose un problème tout à fait étonnant ; il dit… il se pose le problème inverse. Alors si vous voulez, je vais le raconter comme une anecdote.

Imaginez que vous ayez axiomatisé une théorie et qu’un Martien arrive, et il ne sait rien de cette théorie, ni de l’axiomatisation – on supposera un Martien ou tout autre extra-terrestre qui sait lire. Donc il va faire ce que vous dites dans l’axiomatique ; il va l’appliquer et le régulariser. Il va les appliquer strictement, tout à fait régulièrement. Il sait lire le texte, [85 :00] et il sait comment ça fonctionne, et il va du coup engendrer, il devrait engendrer le modèle que vous avez axiomatisé au départ, c’est-à-dire il devrait retrouver – peut-être… mettons, faisons cette expérience parce que Skolem l’a fait ; son article est sur ce point d’ailleurs. Imaginons que l’on ait l’axiomatisation de l’arithmétique, c’est-à-dire on ait tous les axiomes de l’arithmétique. Petit à petit, l’extra-terrestre en question, qui sait lire cette axiomatisation, va créer des nombres. Peut-être donnera-t-il aux nombres des noms différents de ceux que vous avez l’habitude de leur donner dans votre langue. Mais après tout, ce n’est pas inquiétant puisque d’un individu à l’autre de la terre, déjà on leur donne déjà des noms différents. Mais compter en anglais, en arabe, ou en chinois, ou en français, n’a jamais provoqué de problèmes ; les deux ensembles de nombres, chez les Chinois, les Arabes, etc., sont isomorphes, comme disent les mathématiciens. Ils ont les même formes, et ils ont les mêmes [86 :00] compositeurs. Donc, ils ne sont différents que par leurs noms, c’est ce qui se passe dans notre univers.

Mais Skolem se pose le problème suivant : est-ce qu’il ne risque pas de trouver un autre univers de nombres, complètement différent et qui obéit à la même axiomatique ? Et alors, vous imaginez le résultat étrange de cet ordre ; c’est effectivement ce que Skolem montre, et c’est cet article de 1934 dont je vous parle : il montre qu’il peut trouver beaucoup d’autres systèmes de nombres qui ne sont pas du tout semblables aux précédents, à ceux que l’on connaissait. Il pousse plus loin cette démarche en montrant qu’on ne peut pas axiomatiser un ensemble comme celui des nombres de telle manière que le modèle obtenu soit toujours celui auquel on pensait auparavant. Les logiciens emploient une expression ; [87 :00] ils disent qu’un système d’axiomes qui ne produirait qu’un seul modèle est un système d’axiomes catégorique, et un système d’axiomes qui ne produirait pas toujours le même serait un système [mot pas clair]. Alors Skolem démontre dans cet article qu’il n’est pas possible de faire une axiomatisation catégorique.

Et là, nous allons voir apparaître le problème du fini et de l’infini d’une manière stricte parce qu’on pense, et parce que au fond, ce que Skolem décrit, c’est la situation suivante : si le modèle dont vous êtes partis pour l’axiomatiser était lui-même infini, il n’y a pas d’axiomatisation catégorique. Il n’y a d’axiomatisation catégorique que si le modèle de départ était un modèle fini, et à ce moment-là, l’axiomatisation n’est pas du tout une opération savante. Elle revient à nommer les personnes, c’est-à-dire elle dit, je ne recevrais que cette personne, Monsieur Un Tel, Un Tel, Un Tel, Un Tel, et à ce moment-là, [88 :00] ce n’est pas une axiomatisation, c’est une règle restrictive tout à fait simple. Et la plupart du temps, le monde dont on parle et le monde des singularités et des voisinages, c’est un monde nécessairement infini, donc non axiomatisable, en tout cas, non axiomatisable de manière catégorique.

Alors, où est le problème ? Vous allez voir pourquoi là Leibniz va revenir dans cette histoire. Skolem dit en définitive ceci : c’est que dans ce modèle qu’aura produit mon extra-terrestre, que se passera-t-il, et que je ne peux pas dans l’axiomatique lui interdire de faire ? C’est qu’en dehors des nombres — appelons-les en français, 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc., ce que vous connaissez – il peut en introduire des nouveaux, d’autres, et qui obéissent aux mêmes règles que l’arithmétique ordinaire. Bien entendu – là je situe bien ça parce que vous allez voir encore [89 :00] c’est important ; excusez-moi que ce soit un peu technique – bien entendu, il y a un des axiomes de Peano qui dit, zéro est un nombre qui n’a pas de prédécesseurs, donc c’est le premier des nombres. Alors, évidemment, comme il y a un axiome qui dit ça, mon extra-terrestre ne peut pas mettre un nouveau premier nombre. Il est bien obligé de prendre le même que nous. Seulement, les nouveaux nombres, il va pouvoir les placer, s’il en a envie, après, après tous les autres – pas après zéro puisqu’il y aura 1, pas après 1 puisqu’il y aura le même nombre que nous, mais il peut en placer un qui sera loin, et rien ne lui interdit dans l’axiomatique et rien ne peut dire qu’il est interdit d’introduire un nouveau nombre parce que, imaginez ce qui se passerait : pour introduire un nouveau nombre, il faudrait que vous connaissiez un axiome pour dire, “j’interdis de faire entrer un nombre en dehors de ceux que j’énonce et qui sont les suivants.” Et comment les énonceriez-vous puisqu’il y a une infinité ? [90 :00] Vous n’êtes pas capable de les énoncer.

Donc, vous voyez bien pourquoi : si le nombre est infini, vous ne pouvez pas faire d’axiomes qui interdisent des nombres, les étrangers. Et ce qui va se passer, c’est : imaginez comme mon extra-terrestre, en plaçant un de plus, ce 1 va avoir des successeurs, il va avoir des prédécesseurs ; rien ne le lui interdit, au contraire. L’axiomatique le lui permet, et il va proliférer, et il y aura 1 double, et il y aura 1 triple, et ainsi de suite. Pourquoi le lui interdire, etc. ? Il va proliférer. Par conséquence, on va voir apparaître à ce moment-là des nombres qui sont plus grands que tous les nombres que nous connaissons déjà, et ces nombres qui sont plus grands que tous les nombres que nous connaissons déjà, ce seront déjà des nombres infinis.

Mais attention : il ne s’agit pas du tout – pour ceux qui aurait l’idée d’un malentendu – il ne s’agit pas du tout des infinis de Cantor ; [c’est] tout à fait une autre problématique. Il s’agit [91 :00] de nombres qui ont les mêmes propriétés arithmétiques que tout le monde. Ça veut dire où nous sommes, que nous restons dans l’univers de l’arithmétique, et il y en a des pairs, il y en a des impairs, après un pair il y a un impair, après un impair il y a un pair, etc., etc. Donc nous voilà dans un univers dans lequel il y a des nouveaux nombres qui sont plus grands que tous les autres – appelons-les les “infinis” entre guillemets, si vous voulez – mais qui sont des nombres entiers comme tout le monde. Nous verrons tout à l’heure — je vous dirai le texte, parce que il a un intérêt plus loin – vous verrez que le premier qui en ait eu l’idée, c’est Leibniz, textuellement, [quelques mots inaudibles].

Donc, nous serons dans un univers tout à fait proliférant, mais que l’on ne peut pas interdire, qui peut être très, très vaste, ou très réduit. Ça dépendra de mon extra-terrestre et de son envie, etc. Donc voilà quelque chose que nous construisons qui est [92 :00] – les logiciens l’appelle comme ça, mais la notion est assez simple à comprendre – ils appellent ça une extension de l’ensemble des entiers [bruit du changement de cassettes dans de nombreux magnétophones] ; donc c’est un ensemble plus vaste dans lequel évidemment on peut retrouver aux [mot pas clair] des entiers, et cette extension va comporter elle-même un certain nombre de nombres au sens banal du terme, mais qui ont la propriété d’être infinis comme [inaudible].

Voilà le premier article, c’est l’article de Skolem. A partir de ce moment-là et dans les années soixante, un mathématicien américain au nom d’Abraham Robinson, qui est mort en 1974, se dit : est-ce qu’on ne pourrait pas faire la même chose, non pas seulement sur les entiers parce que les propriétés décrites par Skolem ne cessent de s’appliquer également [93 :00] aux nombres réels, c’est-à-dire aux nombres que vous connaissez, c’est-à-dire l’ensemble total. Nous en mathématiques, on appelle ça les nombres réels, c’est-à-dire l’ensemble de tout ce qui est, les nombres décimaux, les nombres rationnels, les irrationnels, etc., etc., l’ensemble complet des nombres, ce qu’on appelle habituellement l’ensemble de nombres. Le travail est relativement délicat parce que la théorie des nombres réels est une axiomatique un petit peu plus compliquée, vous vous en doutez, que l’axiomatique des entiers, et on va y revenir tout à l’heure, mais Robinson fait le travail et montre que cela est possible. On va obtenir à ce moment-là [Pause] un ensemble de nombres dans lequel il y aura des nombres infinis comme dans l’arithmétique, et il y aura leurs inverses [94 :00] qui seront les infiniment petits en tant que nombres cette fois-ci. C’est-à-dire ce ne sont pas des infiniment petits, alors là, comme je m’en suis servi tout à l’heure pour les séries ; ce ne sont pas des infiniment petits en tant qu’ils sont… ils deviennent très petits ; ce ne sont pas des infiniment petites limites, comme les mathématiques avaient l’habitude de les désigner. Ce sont de véritables nombres qui sont infiniment petits peut-être tout simplement parce que ce sont les inverses “in-sûrs”, un infiniment grand, un infini entre guillemets. Alors si vous prenez un infini entre guillemets, vous allez avoir, en prenant son inverse, un nombre qui, lui, sera plus petit que tous les autres.

Devant cet embarras, si vous voulez, de cette extension, il fallait donner un nom aux anciens nombres. Alors Skolem a trouvé le nom de “standard”. Nous appellerons “standard” les nombres habituels, [95 :00] et nous appellerons “non-standard” les autres. Et le “non-standard” a une interprétation en anglais tellement vague que vous me permettrez peut-être cette [lacune]. Alors cette théorie s’appellera – donc elle était construite autour des années soixante – cette théorie s’appellera “analyse non-standard”.

Je voudrais rappeler un point que j’ai dit tout à fait en passant mais qui est tout à fait fondamental. C’est que ce nouvel univers avec des infiniment grands et des infiniment petits respecte strictement tous les axiomes et toutes les règles de l’ensemble des réels traditionnels. C’est-à-dire tout théorème qui a été démontré dans l’ensemble des réels est un théorème dans ce nouvel univers. On poussera plus loin en démontrant – mais c’est un problème peut-être un petit peu plus compliqué – que cette extension est conservative. [96 :00] C’est-à-dire tout ce qui peut être démontré dans ce nouvel univers est également vrai dans l’univers restreint. Actuellement, les mathématiques sont devant un petit cas particulier qui est un théorème que Robinson allait démontrer dans les années soixante-dix dans cet univers étendu. On devrait pouvoir trouver une démonstration dans l’univers restreint. C’est un théorème – et ça c’est une petite anecdote – que de toute façon, jusqu’à présent, on n’a pas trouvé. C’est assez embarrassant. Enfin théoriquement, ça doit être possible. Ce théorème dit de Bernstein-Robinson n’a pas pour le moment d’équivalent, enfin jusqu’à aujourd’hui, il n’a pas encore d’équivalent dans l’univers des réels.

Donc, si vous voulez, maintenant je vais revenir à Leibniz. Nous voilà maintenant devant un nouvel univers dans lequel sans incohérence nouvelle, nous avons un langage dans lequel il y a des infinis et des infiniment petits, [97 :00] et des infinis et des infiniment petits qui se comportent comme des nombres et qui en ont exactement les mêmes propriétés, qui ne sont pas différentes, c’est-à-dire qu’on va pouvoir définir et dire ce qu’on a à dire dans ces univers-là qui sont des univers plus vastes. [Pause] Et c’est là que Robinson s’aperçoit qu’au fond, cette idée, c’est Leibniz qui l’a eue. Dans le dernier chapitre de son livre – parce que je crois que cette construction est écrite dans un livre publié en 1966 à Amsterdam qui s’appelle Nonstandard Analysis – dans le dernier chapitre de son livre, au chapitre 10, Robinson au fond cite la référence d’origine, [98 :00] et il cite au fond la théorie des infinitésimaux de Leibniz. Je signale parce que c’est intéressant qu’a paru il y a peu de temps, chez Blanchard, l’ensemble des œuvres de Leibniz concernant le calcul infinitésimal. Alors donc je vais revenir tout à l’heure à Leibniz, enfin je vais revenir presque maintenant. Mais Robinson cite une lettre, lettre en 1701… non, un mémoire de Leibniz touchant à son sentiment sur le calcul différentiel ; c’est un mémoire que Leibniz écrit en 1701, c’est-à-dire assez tardivement, et je vais vous dire pourquoi tout à l’heure j’insiste sur le fait que c’est un mémoire assez tardif. Et Leibniz écrit – le texte est en français, il est cité en français dans le livre :

“On n’a pas besoin de prendre l’infini ici à la rigueur [99 :00] mais seulement comme lorsqu’on dit dans l’optique que les rayons du soleil viennent d’un point infiniment éloigné et ainsi sont estimés parallèles. Et quand il y a plusieurs degrés d’infini ou infiniment petits, c’est comme le globe de la terre est estimé un point à l’égard de la distance des fixes, et une boule que nous manions est encore un point en comparaison du semi-diamètre du globe terrestre de la sorte que la distance des fixes est un infiniment infini ou infini de l’infini par rapport au diamètre de la boule. Car au lieu de l’infini ou de l’infiniment petit, on prend des quantités aussi grandes et aussi petites qu’il faut pour que l’erreur soit moindre que l’erreur donnée, de sorte qu’on ne diffère du style d’Archimède que dans les expressions qui sont plus directes dans notre Méthode, et plus conformes à l’art d’inventer”. [Cité en français dans Robinson, Non-Standard Analysis (North Holland, 1970), pp. 261-262] [Pause] [100 :00]

Un peu plus loin, dans un autre texte, non, dans le même : “Et il se trouve que les règles du fini réussissent dans l’infini comme s’il y avait des atomes, quoiqu’il n’y en ait point, la matière étant actuellement sous-divisée sans fin ; et que vice versa, les règles de l’infini réussissent dans le fini comme s’il y avait des infiniment petits métaphysiques, quoiqu’on n’en ait point besoin ; et que la division de la matière ne parvienne jamais à des parcelles infiniment petites : c’est parce que tout se gouverne par raison et qu’autrement, il n’y aurait point de science ni règle, ce qui ne serait point conforme avec la nature du souverain principe.” Même texte de Leibniz. [Cité en français dans Robinson, Non-Standard Analysis, p. 262]

Enfin, je vous citerai une dernière phrase de Leibniz, je reviendrai sur ce passage ; c’est une lettre de Leibniz à Varignon, [101 :00] en 1702 : “Entre nous” – c’est Leibniz qui écrit – “je crois que Monsieur de Fontenelle, qui a l’esprit galant et beau, en a voulu railler lorsqu’il a dit qu’il voulait faire des éléments métaphysiques de notre calcul. Pour dire le vrai, je ne suis pas trop persuadé moi-même qu’il faut considérer nos infinis et infiniment petits autrement que comme des choses idéales et comme des fictions bien fondées. Je crois qu’il n’y a pas de créature au-dessous de laquelle n’ait une infinité de créatures ; cependant je ne crois point qu’il y en ait, ni même qu’il en puisse avoir d’infiniment petits, et c’est ce que je crois pouvoir démontrer.” [Cité en français dans Robinson, Non-Standard Analysis, pp. 262-263]

Remarquez dans ce texte que Leibniz est mal à l’aise. [102 :00] C’est pour ça que je insiste sur le fait que ces textes sont de la fin de sa vie. Dans les premiers textes de Leibniz sur le calcul différentiel, Leibniz au fond pense qu’il est possible qu’il y ait des infiniment petits au sens stricte. Vous savez que le calcul différentiel a été inventé presque simultanément par Newton et Leibniz – je n’y insisterai pas, c’est peut-être Newton qui l’a fait un peu avant – mais les deux présentations sont, disons, ils ont eu d’ailleurs une longue dispute entre eux qui ne s’est pas passé très élégamment. En dehors du problème de la primauté qui est secondaire, ce qui est intéressant à noter du point de vue stricte, c’est que Leibniz, quand il présente le calcul différentiel, [103 :00] il voudrait… il a l’air de dire, son vocabulaire qui est différent, et entre autres qu’il y a des objets infiniment petits, infiniment petits voulant dire plus petits que tout fini assignable – c’est ainsi qu’il le définit – et que ces objets infiniment petits sont utilisables parce qu’ils fonctionnent comme des nombres fonctionnels. Ce sont des infiniment petits dont on peut se servir clairement. Tout à l’heure je voulais présenter une autre citation du même mémoire. Newton, lui, a une présentation plus complexe parce qu’il utilise alternativement parfois un langage qui suggérait qu’il y a des infiniment petits, parfois un langage qui dit que c’est une limite, ou parfois un langage qui est plus proche de la description classique. [104 :00]

Dans l’univers des mathématiciens, en 1790 comme en 1987, la réaction est la même, c’est-à-dire introduire de nouveaux nombres est tout à fait gênant, et c’est insupportable, et les mathématiciens prétendent qu’ils sont assez sympathiques, et même devant le travail de Robinson, ils éprouvent une gêne. Je vous citerai à titre d’exemple une conférence d’un mathématicien tout à fait bien introduit dans l’institution qui s’appelle [Jean] Dieudonné, dans une conférence de 1980 ou ’82 à peu près, il dit qu’introduire de nouveaux nombres, c’est rendre les mathématiques vides et non-signifiantes. Et Dieudonné était à l’origine du groupe Bourbaki. Je signale en passant [105 :00] qu’un autre Bourbakiste, Claude Chevalley – un ancien professeur dans cette université même – Chevallay, dans un texte disait qu’au fond, faire une mathématique, un peu comme [René] Thom, faire une mathématique absolument rigoureuse, c’est la rendre insignifiante. Il m’est arrivé de demander à Chevalley de son point de vue idéal, aux antipodes du texte dont je vous parlais tout à l’heure. Bon.

La question centrale : à l’époque, Leibniz rencontre la même difficulté ; c’est-à-dire, dire qu’il peut y avoir des infiniment petits comme objets et qu’ils obéiraient aux mêmes modes de calcul, aux mêmes modes d’approches, que les autres nombres apparaissaient comme insupportable. [106 :00] Et donc il y a eu immédiatement après une polémique. C’est l’allusion qu’il fait à Fontenelle ; c’est une allusion au Marquis de l’Hôpital un peu après qui, lui, a été assez séduit par des infiniment petits. [Voir une citation dans Non-Standard Analysis, p. 263] Donc, dans ce texte de 1702, Leibniz dit, j’y reviens, c’est une position polémique, une position de réplique, rappelons le texte, “[il faut dire] je ne suis pas trop persuadé moi-même qu’il faut considérer nos infinis et infiniment petits autrement que comme des choses idéales et comme des fictions bien fondées.” Mais Leibniz, en dehors de ses doutes, il continue de défendre son idée des infiniment petits [107 :00] parce que c’est la seule manière de parler du voisinage. Et c’est là où je reviens à la remarque de Deleuze.

Qu’est-ce qu’a démontré Robinson ? Tout simplement que cette idée n’est pas logiquement intenable, qu’il n’y a aucune contradiction possible entre elle et l’idée courante du réel-isme. Au fond, il a simplement fait ceci – c’est, je crois, l’essentiel de cette œuvre – c’est d’avoir montré – dont je vous dis la série des travaux – qu’on peut avoir un langage comportant ces objets, ces “fictions bien fondées” comme dit Leibniz, et que cela n’entraîne absolument aucune contradiction. Cette version-là du calcul infinitésimal [108 :00] n’aura jamais eu le droit de cité. Robinson, dans le livre Nonstandard Analysis, dans les chapitres centraux du livre, fait un véritable cours de maths, c’est-à-dire il décrit ce que serait la description d’un cours d’analyse ordinaire dans cet univers-là. Il y a un point qui est tout à fait séduisant dans cette lecture ; c’est que toutes les notions deviennent parfaitement simples grâce aux infiniment petits. Par exemple, si certains d’entre vous ont eu l’occasion de souffrir sous la définition d’une dérivée, lisez-la dans Robinson, et vous le comprendrez très bien. Vous vous demanderez comment ça se fait que vous ne l’ayez pas compris. C’est une notion qui devient immédiatement simple dans cet univers parce qu’au lieu d’avoir – vous vous rappelez peut-être, certains d’entre vous, en secondaire, la dérivée qui tendait vers zéro sur zéro, où on raconte une histoire de zéro sur zéro [A voix basse et parfois difficile à saisir, il raconte son expérience comme prof en secondaire, notamment l’expérience typique de souffrance des étudiants en secondaire avec les dérivées] [109 :00] Cette définition va mettre des siècles à venir. Faire une définition relativement précise en termes de limites mettra des siècles à venir. Et puisque Deleuze l’a cité la dernière fois, je signale que l’édifice est couronné par Weierstrass, un mathématicien dont tu as parlé la dernière fois, qui va faire une définition très complexe des angles purs.

Si nous avions des infiniment petits, la définition de la dérivée, de la limite, d’une suite convergente, ça serait tout à fait simple. Que se passerait-il alors ? Tout simplement ceci : [110 :00] c’est que tout point va se trouver entouré d’une zone d’infiniment petits qui lui sont infiniment proches, au sens des infiniment petits. C’est-à-dire il va se trouver avec, autour de lui, un petit halo, un petit nuage, et ce nuage dont il s’entoure est formé de ceux qui lui sont infiniment proches. A cet ensemble, point plus son petit nuage autour, Robinson donnera le nom de “monade”. [Pause] Et au fond – et la lecture du texte de Robinson le montre très bien, et de tout ce qui a été fait par la suite parce qu’il y a eu les travaux évidemment de l’Analyse nonstandard… — La lecture du texte montre ceci : c’est que les rapports d’un point [111 :00] et ce qui l’entoure, c’est un rapport de cette monade avec l’univers qui l’entoure. Tout à l’heure, je donnerai un exemple qui va dans le sens de ce que disait Deleuze, à mon avis. [Pause]

La monade donc, c’est un univers formé des points et de ce qui lui est infiniment petit. Cela oblige logiquement un petit travail un petit peu complexe qui est la définition de l’égalité. On ne peut plus avoir dans une théorie de ce genre, dans un univers de ce genre, une seule notion d’égalité, comme il y a eu dans l’univers classique. C’est-à-dire que l’on pourrait avoir deux définitions de l’égalité quand c’est strictement le même objet ou quand ce sont deux objets [112 :00] qui diffèrent d’un infiniment petit. Remarquez que cet exemple n’est pas exclu de la mathématique classique, eh ? Je vois signale en passant qu’on peut écrire sans risques – je vais l’écrire, cela sera plus facile pour vous à voir – A = 0,99999… parce que s’il n’y a aucune différence entre 0,99999…. – si vous prenez mes points de suspension jusqu’au bout – et 1, les deux nombres ne diffèrent en rien. Ce sont deux écritures du même nombre. L’un est présenté comme une approche infinie, c’est-à-dire que si vous êtes paresseux et vous arrêtez les 9 à un moment, l’égalité est fausse. Mais si vous la poursuivez jusqu’au bout, c’est la même chose. Donc, même dans l’égalité, nous avons un problème. Alors évidemment, dans l’univers leibnizien des infiniment petits, il faudra distinguer les deux aspects. Dans cet univers-là [113 :00] – je voudrais répondre à votre question – dire en passant que Leibniz donne un exemple de la même chose que je donne, dans le même texte que j’ai cité tout à l’heure de 1702.

Je voudrais maintenant, enfin, pour terminer – je répondrai après tout à l’heure à des questions et à Deleuze, s’il y en a – décrire dans ce cas-là ce que peut être la notion de séries convergentes. Donc je ne choisis qu’un seul exemple dans cette description, c’est-à-dire je ferai très rapidement un parallèle entre la notion de série convergente dans l’univers mathématique classique et la notion de série convergente dans l’univers des infiniment petits. Une série convergente, c’est quoi ? Une série de triangles tendant – ou plutôt Deleuze emploie souvent le mot “série convergente”, même [114 :00] dans Logique du sens il y a longtemps ; je pense que pour les mathématiciens, ce serait plus juste de dire “suite convergente”, mais dans ce cas-là, ce n’est pas très grave, ce n’est pas grave. Appelons-le série si vous voulez.

C’est une série dont les termes vont s’approcher d’un point donné, [Il va au tableau] c’est-à-dire qu’on va avoir un point – que je vais dessiner comme ça – qui probablement sera extérieur à la série, mais la série s’en approche. Que veut dire “s’en approche” ? Là je parle en termes classiques. En termes classiques, “s’en approcher”, cela veut dire que chaque fois que je situe un cercle près de la série, il y a une intimité de termes dans le cercle et un nombre fini de termes qui sont à l’extérieur. Si je prends un cercle encore plus petit, [115 :00] il y en aura plus là [il indique le dessin] que pour le reste, c’est-à-dire il y aura une infinité. C’est ça cette idée de converger, c’est-à-dire si vous voulez, s’approcher indéfiniment, ou comme disaient les traités de mathématiques du début du [vingtième] siècle, être aussi proche de la limite que l’on voudra. Quand on lisait ces textes, ils faisaient toujours rêver les mathématiciens : qui est ce “on”, qu’est-ce qu’il “veut” ? Enfin, ceci est une parenthèse. Mais enfin, il y avait écrit dans les doxa des vieux traités qu’on va aussi proche de la limite que l’on voudra. Ça veut dire, aussi proche de la limite que le cercle que j’ai indiqué. C’est comme ça que Weierstrass résume le problème en faisant des cercles de plus en plus petits, en montrant que la série est convergente s’il y a une infinité de termes dans le cercle et un nombre fini de termes à l’extérieur. Ceci est la définition, vous voyez, assez complexe parce qu’elle nous oblige à fabriquer des cercles. La solution, [116 :00] il y a un choix ; je vous la dessine là : elle dit, chaque fois que vous me donnerez un cercle, moi, je trouverai une infinité de points dans le cercle si c’est convergent, et un nombre fini à l’extérieur du cercle. Donc, la solution que proposera Weierstrass, c’est [il cite une formule], on pourra le trouver.

Alors, plaçons-nous maintenant dans l’univers leibnizien avec les infiniment petits. La série convergente, c’est une série qui s’écrase, qui entre à un moment dans la monade de Leibniz, c’est-à-dire dont la différence des termes avec la limite deviendra à un certain moment et au bout d’un nombre fini de pas infiniment petite, et donc elle entre à ce moment-là dans la monade. Ce qui ne veut pas dire qu’elle est alors… Si vous voulez, à ce moment-là, j’ai un outil pour décrire ce trou, c’est la monade, cette espèce de réflexion [117 :00] de l’univers autour de ce point. C’est-à-dire qu’au fond, il va y avoir – et là on voit le rapport entre fini et infiniment petit, entre infini et infiniment petit – au fond, la monade est une espèce de réflexion de l’univers extérieur, à l’intérieur de l’alentour du point, et si c’est une singularité, autour du centre. Robinson démontre d’ailleurs, c’est assez étonnant, comme si il répondait à la question que Deleuze posait la dernière fois, il montre qu’il n’y a qu’un seul cas où cette procédure ne marcherait pas : c’est si le point en question est isolé parce que s’il est isolé, je veux dire s’il n’y a personne autour de lui, la monade serait réduite à elle-même, et ce cas est tout à fait particulier.

Deleuze : Leibniz le dirait aussi, exactement.

Maarek : Leibniz le disait aussi. C’est un théorème, si vous voulez, dans le livre de Robinson. [118 :00] Voilà, si vous voulez, ce que donnerait cet univers-là. Cette description est assez étrange parce qu’en lisant le livre, je dis ça parce que si on faisait un cours de maths avec Analyse Non-Standard, les notions paraîtraient tout simples [quelques mots pas clairs] parce qu’on a un ensemble de mots pour parler de la limite. Et cette idée qu’il y a dans ce mémoire de 1701 de Leibniz, c’est-à-dire quand il dit, c’est un ensemble idéal, c’est une “fiction bien fondée”, je vous dirais que j’ai presque envie de dire, mais si on pouvait, qu’il n’a pas montré que c’était bien fondé, mais la démonstration prendrait beaucoup de temps. De toute façon, une idée se retrouve là. Tout ce mémoire donc de 1701, qui s’appelle [119 :00] – je le re-cite, il est là dans le livre publié chez Blanchard – il s’appelle “Un mémoire de Monsieur Leibniz disant son sentiment sur le calcul différentiel” – il est là dans l’édition Guérard, page 350.

Deleuze : [les œuvres] mathématiques ?

Maarek : Oui, et là on a une traduction française. D’ailleurs il est écrit en français. Il faudrait lire au fond l’ensemble de cette construction.

Alors, pour terminer, je veux vous dire un mot, c’est que dans l’histoire, antérieurement à Leibniz, il n’y a qu’un seul mathématicien qui ait approché de cette idée. Ce mathématicien – ce n’est pas un hasard parce que Leibniz le cite dans le texte – c’est Archimède. Et Archimède, aussi avec une extrême prudence, [120 :00] a approché de cette idée, mais j’ai presque envie de dire, de manière négative. C’est-à-dire qu’au moment où il l’approche, il la rejette, très clairement. Donc je voudrais terminer en parlant d’Archimède. Où est-ce que se situe ce rejet ? Dans un texte d’Archimède concernant le calcul des longueurs, le calcul des volumes, le calcul des surfaces. Il se trouve devant la situation suivante : si vous prenez une petite ligne et que vous ajoutez un point, est-ce que vous augmentez la longueur de la ligne ? Renvoyez la question autrement : Si on vous donnait des points, pourriez-vous faire une ligne avec deux points ? La réponse, c’est non ; en tout cas, la réponse d’Archimède, c’est non. [121 :00] C’est-à-dire que les infiniment petits ne peuvent pas fabriquer une ligne des infiniment petits points. De même qu’en empilant des lignes les unes à côté des autres, vous ne pouvez pas obtenir des surfaces ; il vous en manquera toujours. Il y aura des trous tout le temps ; il y aura des singularités tout le temps. Si on vous donnait, par exemple, des segments et que vous devriez faire un carré ou un triangle, je ne sais pas, en les empilant… De même qu’avec des surfaces, vous ne pourriez pas fabriquer des volumes. En disant cela, je cite presque textuellement Archimède parce qu’il reprend les trois exemples l’un après l’autre. Par conséquent, il bute devant une difficulté qui est, comment faire pour empiler les points pour faire des lignes ? Et il décide d’adopter la position de rejet, on ne peut pas le faire. Avec des points, on n’obtient pas de lignes, dit Archimède textuellement ; avec des lignes, on n’obtient pas de surfaces, et avec les surfaces, on n’obtient pas de volumes. [122 :00] Il y insiste en le répétant plusieurs fois.

Comment ferait-on alors avec les infiniment petits, eh bien, à condition que l’on ait bien aussi des infinis, si l’on a des infinis, c’est-à-dire si je peux prendre une infinité ? Donc la fiction se retrouve aux deux bouts pour que ça puisse fonctionner. Il faut que je puisse prendre une infinité d’infiniment petits pour retrouver un objet classique standard, [quelques mots pas clairs]. Et tout le long du texte, Leibniz sent bien cette difficulté parce que chaque fois il y a une non-balance d’infiniment petits. [Pause] Et je crois qu’une des idées qui pourrait être, probablement, tenable et séduisant, c’est que ce que Robinson appelle la monade autour d’un point – et ce sera intéressant de le voir au niveau de la singularité [123 :00] – c’est ce qui, il me semblerait personnellement être tenable, c’est que cette idée, cela gère les rapports entre le point singulier et tout ce qui est autour de lui. L’exemple de la série convergente est tout à fait indicatif. Que ce serait une série divergente – je vais terminer sur ça – ça serait une série qui n’entre pas dans la monade, la monade au sens de Robinson. Voilà, je peux répondre aux questions… Je ne sais pas si ce que j’ai dit est très latéral.

Deleuze : Oh, pas du tout, pas du tout. Alors, là, je trouve ça formidable. Je trouve ça formidable pour nous parce que c’est un tel apport. Vous comprenez, je prends un des thèmes qu’il a eus là : voilà un mathématicien moderne qui donc est amené à se servir [124 :00] mathématiquement de la notion de monade. Alors cela m’éclaire aussi parce que, eh ben, il fait partie aussi de ton département, Gilles Châtelet ne cesse en effet de faire du travail mathématique, où il a besoin de la notion de monade, c’est-à-dire un disciple de Robinson. Et ce qui m’intéresse, c’est la définition mathématique qu’il donne de la monade, alors qu’en effet, il n’y a pas de définition mathématique de la monade chez Leibniz. Et il nous dit, si j’ai bien suivi, la monade, elle est formée de points singuliers avec ce qui se passe autour, une fois dit – c’est-à-dire avec ce que tu as appelé le nuage autour – une fois dit que “le nuage” et “autour” sont définis strictement mathématiquement. [125 :00] Alors si on me dit et si j’apprends que c’est une notion mathématique et il y a une valeur actuelle là, voyez tout de suite ce que j’ai là : je dis, de telles monades mathématiques sont précisément des individus [Pause] parce que la définition – je ne sais pas si vous y êtes sensibles – ça coïncide tout à fait avec ce que je voulais dire : un condensé de points singuliers prolongeables, c’est-à-dire avec [mot pas clair] autour, défini par le prolongement dans toutes les directions, c’est exactement la définition de Robinson. Je ne le savais pas, mais c’est une joie pure.

Alors, je dirais presque, non, c’est une intervention, pour moi, d’une richesse extraordinaire que tu as bien voulu faire par ce que cela nous apprend. Je voudrais juste revenir sur un point, le seul point où j’aurais des problèmes après avoir bien écouté. C’est le point [126 :00] sur ce que tu dis à propos des textes autour de 1700 chez Leibniz parce que – là, j’ouvre une parenthèse avant de passer très rapidement à ce point – tu montres très bien que chez Skolem, les nombres infinis sont soumis exactement aux mêmes règles, c’est-à-dire de l’axiomatique. Donc tu dis, surtout il ne faut pas les confondre avec les transfinis, si je comprends bien là, [Maarek : C’est ça] il ne faut surtout pas les confondre avec les transfinis de Cantor, parce que les transfinis, eux, ne font pas partie de la même axiomatique que… C’est ça, eh ? [Maarek : Oui] Donc, les nombres, il n’a pas un nom spécial pour empêcher la confusion ? Il dit nombres infinis.

Maarek : Il dit nombres infinis non-standards.

Deleuze : Ah oui, il y a non-standard. Je ne connais pas, ça s’écrit comment Skolem ? [Maarek l’épèle pour Deleuze] Il est de quand ?

Maarek : Ses travaux sont surtout autour de 1924. En passant, d’ailleurs, il est l’auteur dans la même année [127 :00] dont je n’ai pas parlé, c’est un paradoxe, dit le paradoxe de Skolem [Deleuze : Ah, je ne connais pas] qui est tout à fait étonnant parce que l’une des idées qu’on a eue après l’article de Skolem, c’est de se dire – vous vous rappelez tout à l’heure j’ai dit qu’un extraterrestre aurait pu apprendre l’arithmétique ; alors évidemment on pourrait dire que le modèle de l’arithmétique que nous avons dans la tête – 0, 1, 2, 3,4, 5 – est plus petit parce que ce que ce que j’ai dit, l’extraterrestre peut étendre ce système. Alors une des réponses qu’avaient été faites à Skolem : oui, bon, enfin le modèle qu’on a dans la tête, c’est toujours le plus petit, et là où le système est paradoxal – et c’est ça ce qu’on appelle le paradoxe de Skolem – c’est que si on donnait à un extraterrestre l’axiomatique de la théorie des ensembles, le modèle qu’il fabriquerait n’est pas le plus petit. Le modèle qu’il fabriquerait peut être plus petit que celui qu’on a dans la tête. C’est-à-dire [128 :00] il y a le modèle plus petit que celui que nous connaissons, [Deleuze : Oui, oui, oui] c’est-à-dire il y a des modèles, enfin, là, j’irais même plus loin, des modèles non-dénombrables qui contiennent des ensembles non-dénombrables, c’est un peu étonnant, c’est ce qu’on appelle actuellement le modèle minimal. Alors, c’est paradoxal, donc, c’est paradoxal ; la solution de ce paradoxe de Skolem n’est pas simple. Je citerai en passant que dans le livre La théorie axiomatique des ensembles, Jean-Louis Krivine – qui écrit, par ailleurs, un très, très beau livre [Dordrecht, Pays Bas : Springer, 1971] – résout le paradoxe de Skolem par une pirouette. C’est un paradoxe de plus.

Deleuze : Il écrit en quelle langue, Skolem.

Maarek : Skolem écrit en Allemand. L’article de 1934 est en allemand, mais lui est, je crois, scandinave [au fait, de Norvège].

Deleuze : Alors moi, j’aurais envie de présenter les choses comme ceci à propos précisément surtout des textes de 1700. Les textes auxquels tu faisais allusion, [129 :00] en effet, Leibniz dit tout le temps, ou semble dire, vous savez, il ne faut pas exagérer, notamment contre Fontenelle. La question n’est pas de savoir s’il y a des infiniment petits ou pas. La question est par quel calcul les infinitésimaux marchent, fonctionnent. [Fin de l’enregistrement BNF/YouTube ; il est possible que Deleuze continue sa réponse] [2 :09 :18]