April 29, 1980

Leibniz was no doubt the first to introduce into philosophy what we could call the theory of singularities. … The theory of singularities appears to me to have two poles for Leibniz, and one would have to say that it’s a mathematical-psychological theory. And our work today is: what is a singularity on the mathematical level, and what does Leibniz create through that? … Second question: what is the Leibnizian theory of psychological singularities? And the last question: to what extent does the mathematical-psychological theory of singularities, as sketched out by Leibniz, help us answer the question: what is the incompossible, and thus the question what is infinite analysis? What is this mathematical notion of singularity?

Seminar Introduction

5 seminars (11 hours): During academic year 1979-80, Deleuze undertakes a thirteen-session study of Apparatuses of State and War Machines (6 Nov 1979 - 25 March 1980).

At the start of the 26 February 1980 seminar, Deleuze explains, “some of you asked me to do something that would be a kind of presentation on a very great philosopher, one that is very difficult, named Leibniz. So, I could do so unless there are any… if you have subjects or problems connected to your own research, we could see. … This depends greatly on you, a certain number of whom have been working with me for… a long time, a lot of years, and all that we’ve done for four or five years, I think are some very different things, but these are things focusing on some of the same notions. So, it could be very useful again to take up certain notions that we have worked on over several years…. So anything is possible; it’s up to you, but as of now, or in a coming meeting, I will do something on Leibniz… a special request.”

This brief seminar clearly predates publication of his 1988 book on Leibniz, The Fold, Leibniz and the Baroque, by 6 years, as well as the twenty-session seminar undertaken in 1986-87.

English Translation

Edited

The third of five session on an introduction to Leibniz's philosophy, particularly emphasizing the role of singularities as both psychological and mathematical concepts for infinite analysis.

Poincare
Henri Poincaré

 

Gilles Deleuze

Seminar on Leibniz: Philosophy and the Creation of Concepts

Lecture 03, 29 April 1980

Translation and supplementary additions from transcript completed from the YouTube video,[1] Charles J. Stivale

 

Today we must look at some amusing and recreative, but also quite delicate, things. So, I need to have your complete attention for an extended period. First, I have just learned that one of you would like to ask a question on something. So, what is this little question?

[Question on differential calculus, 0:45-2:00]

Deleuze: The question is very clear, very clear. [Deleuze lets the student furnish his own answer, listening closely, 2:35-4:50] Very clear, very clear, very clear. But your answer seems to me much broader than the question, because your answer consists in creating a very complex or mixed up concept of functions. On the concept of function itself, it’s very difficult because in your answer, you have at once a logical function of judgments in the Kantian manner, a certain biological function in the manner of Cuvier and the Naturalists, and you understand implicitly the mathematical function. So that creates a very odd concept. [The student’s answer, 5:25-5:55]

Deleuze : As for the question itself. I would say this. [Pause] You understand, it seems to me that one cannot say that at the end of the seventeenth century and in the eighteenth century, there were people for whom differential calculus is something artificial and others for whom it represents something real. We cannot say that because the division is not there. Leibniz never stopped saying that differential calculus is pure artifice, that it’s a symbolic system. So, on this point, everyone is in strict agreement. Where the disagreement begins is in understanding what a symbolic system is, but as for the irreducibility of differential signs to any mathematical reality, that is, to geometrical, arithmetical and algebraic reality, everyone agrees. A difference arises when some people think that, henceforth, differential calculus is only a convention, a rather suspect one, and others think that its artificial character in relation to mathematical reality, on the contrary, allows it to be adequate to certain aspects of physical reality. Leibniz never thought that his infinitesimal analysis, his differential calculus, as he conceived them, sufficed to exhaust the domain of the infinite such as he, Leibniz, conceived it. For example, calculus: there’s what Leibniz calls calculus of the minimum and of the maximum which does not at all depend on differential calculus. So differential calculus corresponds to a certain order of infinity. If it is true that a qualitative infinity cannot be grasped by differential calculus, Leibniz is, on the other hand, so conscious of it that he initiates other modes of calculus relative to other orders of infinity. What eliminated this direction of the qualitative infinity, or even simply of actual infinity stated baldly, Leibniz wasn’t the one who blocked it off. What blocked this direction was the Kantian revolution. This was what imposed a certain conception of the indefinite and directed the most absolute critique of actual infinity. We owe that to Kant and not to Leibniz.

In geometry, from the Greeks to the seventeenth century, you have two kinds of problems: those in which it’s a question of finding so-called straight lines and so-called rectilinear surfaces. Classical geometry and algebra were sufficient. You have problems and you get the necessary equations; it’s Euclidean geometry. Already with the Greeks, then in the Middle Ages of course, geometry will not cease to confront a type of problem of another sort: it’s when one must find and determine curves and curvilinear surfaces. Where all geometries are in agreement is in the fact that classical methods of geometry and algebra no longer sufficed. The Greeks already had to invent a special method called the method by exhaustion. It allowed them to determine curves and curvilinear surfaces in so far as it gave equations of variable degrees, and even infinite, an infinity of varying degrees in the equation. These are the problems that are going to make necessary and inspire the discovery of differential calculus and the way in which differential calculus takes up where the old method by exhaustion left off. If you already connect a mathematical symbolism to a theory, if you don’t connect it to the problem for which it is created, then you can no longer understand anything. Differential calculus makes sense only if you place yourself before an equation in which the terms are raised to different powers. If you don’t have that, then it’s nonsensical to speak of differential calculus. It’s very [important, word missing in transcript] to consider the theory that corresponds to a symbolism, but you must also completely consider the practice. Also, in my opinion, one can’t understand anything about infinitesimal analysis if one doesn’t see that all physical equations are by nature differential equations. A physical phenomenon can only be studied, and Leibniz will be very firm: Descartes only had geometry and algebra, and what Descartes himself had invented under the name of analytical geometry, but however far he went in that invention, it gave him at most the means to grasp figures and movement of a rectilinear kind; but with the aggregate of natural phenomena being, after all, phenomena of the curvilinear type, that doesn’t work at all. Descartes remained stuck on figures and movement. Leibniz will translate: it’s the same thing to say that nature proceeds in a curvilinear manner or to say that, beyond figures and movement, there is something that is the domain of forces. And on the very level of the laws of movement, Leibniz is going to change everything, thanks precisely to differential calculus. He will say that what is conserved is not mv, not mass and velocity, but mv2. The only difference in the formula is the extension of v to the second power. This is made possible by differential calculus because differential calculus allows the comparison of powers and of rejects [rejets]. Descartes did not have the technical means to say mv2. mv2 from the point of view of language, of geometry and of arithmetic, and algebra, is pure and simple non-sense.

With what we know in science today, we can always explain that what is conserved is mv2 without appealing to any infinitesimal analysis. That happens in high school texts, but to prove it, and for the formula to make any sense, an entire apparatus of differential calculus is required.

Intervention by Georges Comtesse: [20 :45-23 :20]

Deleuze: Listen, why not? Why not ? But I kind of have to make the same comment as I made earlier. While you have a very interesting theoretical framework, you need to take account of a fact, in the domain of differential calculus and the axiomatic, the fact on which I need to insist, on an historical fact, which is this: differential calculus and the axiomatic certainly have a point of encounter, but this is one of perfect exclusion. Historically, the rigorous status of differential calculus arises quite belatedly. What does that mean? It means that everything that is convention is expelled from differential calculus. And, even for Leibniz, what is artifice? It’s an entire set of things: the idea of a becoming, the idea of a limit of becoming, the idea of a tendency to approach the limit, all these are considered by mathematicians to be absolutely metaphysical notions. The idea that there is a quantitative becoming, the idea of the limit of this becoming, the idea that an infinity of small quantities tends toward the limit, all these are considered as absolutely impure notions, thus as really non-axiomatic or non-axiomitizable.

Thus, from the start, whether in Leibniz’s work or in Newton’s and the work of his successors, the idea of differential calculus is inseparable and not separated from a set of notions judged not to be rigorous or scientific. They themselves are quite prepared to recognize it. It happens that at the end of the nineteenth and the start of the twentieth century, differential calculus or infinitesimal analysis would receive a rigorously scientific status, but at what price? We hunt for any reference to the idea of infinity; we hunt for any reference to the idea of limit; we hunt for any reference to the idea of tendency toward the limit. Who does that? An interpretation and a rather strange status of calculus will be given because it stops operating with ordinary quantities, and its interpretation will be purely ordinal. Henceforth, that becomes a mode of exploring the finite, the finite as such. It’s a great mathematician, [Karl] Weierstrass, who did that, but it came rather late. So, he creates an axiomatic of calculus, but at what price? He transformed it completely. Today, when we do differential calculus, there is no reference to the notions of infinity, of limit and of tendency of approaching the limit. There is a static interpretation. There is no longer any dynamism in differential calculus, but a static and ordinal interpretation of calculus. One must read [Jules] Vuillemin’s book, La philosophie de l’algèbre [Paris: PUF, 1960, 1962].

This fact is very important for us because it must certainly show us that the differential relations -- yes, but even before the axiomatization, all mathematicians agreed in saying that differential calculus, interpreted as a method for exploring the infinite, was an impure convention. Leibniz was the first to say that, but still in that case, one would have to know what the symbolic value was then. Axiomatic relations and differential relations, well no. They were in opposition.

Infinity has completely changed meaning, nature, and, finally, is completely expelled. A differential relation of the type dy/dx is such that one extracts it x and y.

At the same time, dy is nothing in relation to y, it’s an infinitely small quantity; dx is nothing in relation to x, it’s an infinitely small quantity in relation to x.

On the other hand, dy/dx is something else. But it’s something completely different from y/x.

For example, if y/x designates a curve, dy/dx designates a tangent. And what’s more, it’s not just any tangent.

I would say therefore that the differential relation is such that it signifies nothing concrete in relation to what it’s derived from, that is, in relation to x and to y, but it signifies something else concrete (autre chose de concret), and that is how it assures passage to the limits. It assures something else concrete, namely a Z. It’s exactly as if I said that differential calculus is completely abstract in relation to a determination of the type a/b.

But on the other hand, it determines a c. Whereas the axiomatic relation is completely formal from all points of view, if it is formal in relation to a and b, it does not determine a c that would be concrete for it. So, it doesn’t assure a passage at all. This would be the whole classical opposition between genesis and structure. The axiomatic is really the structure common to a plurality of domains.

Last time, we were considering my second topic heading, which dealt with “Substance, World, and Compossibility.”

In the first part, I tried to say what Leibniz called infinite analysis. The answer was this: infinite analysis fulfills the following condition: it appears to the extent that continuity and tiny differences or vanishing differences are substituted for identity. It’s when we proceed by continuity and vanishing differences that analysis becomes properly infinite analysis. Then I arrive at the second aspect of the question. There would be infinite analysis and there would be material for infinite analysis when I find myself faced with a domain that is no longer directly governed by the identical, by identity, but a domain that is governed by continuity and vanishing differences. We reach a relatively clear answer.

Hence the second aspect of the problem: what is compossibility? What does it mean for two things to be compossible or non-compossible? Yet again, Leibniz tells us that Adam non-sinner is possible in itself, but not compossible with the existing world. So he maintains a relation of compossibility that he invents, and you sense that it’s entirely linked to the idea of infinite analysis.

The problem is that the incompossible is not the same thing as the contradictory. It’s complicated. Adam non-sinner is incompossible with the existing world, so another world would have been necessary. If we say that, I only see three possible solutions for trying to characterize the notion of incompossibility.

First solution: we’ll say that, one way or another, incompossibility has to imply a kind of logical contradiction. A contradiction would have to exist between Adam non-sinner and the existing world. Yet we could bring out this contradiction only at infinity; it would be an infinite contradiction. Whereas there is a finite contradiction between circle and square, there is only an infinite contradiction between Adam non-sinner and the world. Certain texts by Leibniz move in this direction. But, yet again, we know that we have to be careful about the levels of Leibniz’s texts. In fact, everything we said previously implied that compossibility and incompossibility are truly an original relation, irreducible to identity and contradiction. Contradictory identity.

Furthermore, we saw that infinite analysis, in accordance with our first part, was not an analysis that discovered the identical as a result of an infinite series of steps. The whole outcome the last time was that, far from discovering the identical at the end of a series, at the limit of an infinite series of steps, far from proceeding in this way, infinite analysis substituted the point of view of continuity for that of identity. Thus, it’s another domain than the identity/contradiction domain.

Another solution that I will state rapidly because certain of Leibniz’s texts suggest it as well: it’s that all this is beyond our understanding because our understanding is finite, and hence, compossibility would be an original relation, but we could not know what its roots are. Leibniz brings a new domain to us. There is not only the possible, the necessary and the real. There is the compossible and the incompossible. He was attempting to cover an entire region of being.

Here is the hypothesis that I’d like to suggest: Leibniz is a busy man, he writes in all directions, all over the place, he does not publish at all or very little during his life. Leibniz has all the material, all the details to give a relatively precise answer to this problem. Necessarily so since he’s the one who invented it, so it’s him who has the solution. So, what happened for him not to have put all of it together? I think that what will provide an answer to this problem, at once about infinite analysis and about compossibility, is a very curious theory that Leibniz was no doubt the first to introduce into philosophy, that we could call the theory of singularities.

In Leibniz’s work, the theory of singularities is scattered, it’s everywhere. One even risks reading pages by Leibniz without seeing that one is fully in the midst of it, that’s how discreet he is. The theory of singularities appears to me to have two poles for Leibniz, and one would have to say that it’s a mathematical-psychological theory. And our work today is: what is a singularity on the mathematical level, and what does Leibniz create through that? Is it true that he creates the first great theory of singularities in mathematics? Second question: what is the Leibnizian theory of psychological singularities?

And the last question: to what extent does the mathematical-psychological theory of singularities, as sketched out by Leibniz, help us answer the question: what is the incompossible, and thus the question what is infinite analysis? What is this mathematical notion of singularity? Why did it drop out? It’s often like that in philosophy: there is something that emerges at one moment and will be abandoned. That’s the case of a theory that was more than outlined by Leibniz, and then there was no follow-up, the theory was unlucky, nothing after. Wouldn’t it be interesting if we were to return to it?

I am still divided about two things in philosophy: the idea that it does not require a special kind of knowledge, that really, in this sense, anyone is open to philosophy, and at the same time, that one can do philosophy only if one is sensitive to a certain terminology of philosophy, and that you can always create the terminology, but you cannot create it by doing just anything. You must know what terms like these are: categories, concept, idea, a priori, a posteriori, exactly like one cannot do mathematics if one does not know what a, b, xy, variables, constants, equations are. There is a minimum. So you have to attach some importance to those points.

The singular has always existed in a certain logical vocabulary. "Singular" designates what is not difference, and at the same time, in relation to "universal." There is another pair of notions, it’s "particular" that is said with reference to "general." So, the singular and the universal are in relation with each other; the particular and the general are in relation. What is a judgment of singularity? It’s not the same thing as a judgment called particular, nor the same thing as a judgment called general. I am only saying, formally, "singular" was thought, in classical logic, with reference to "universal." And that does not necessarily exhaust a notion: when mathematicians use the expression "singularity," with what do they place it into relation? One must be guided by words. There is a philosophical etymology, or even a philosophical philology. "Singular" in mathematics is distinct from or opposed to "regular." The singular is what is outside the rule. There is another pair of notions used by mathematicians, "remarkable" and "ordinary." Mathematicians tell us that there are remarkable singularities and singularities that aren’t remarkable. But for us, out of convenience, Leibniz does not yet make this distinction between the non-remarkable singular and the remarkable singular. Leibniz uses "singular," "remarkable," and "notable" as equivalents, such that when you find the word "notable" in Leibniz, tell yourself that necessarily there’s a wink, that it does not at all mean "well-known"; he enlarges the word with an unusual meaning. When he talks about a notable perception, tell yourself that he is in the process of saying something.

What interest does this have for us? It’s that mathematics already represents a turning point in relation to logic. The mathematical use of the concept "singularity" orients singularity in relation to the ordinary or the regular, and no longer in relation to the universal. We are invited to distinguish what is singular and what is ordinary or regular. What interest does this have for us? Suppose someone says: philosophy isn’t doing too well because the theory of truth in thought has always been wrong. Above all, we’ve always asked what in thought was true, what was false. But you know, in thought, it’s not the true and the false that count, it’s the singular and the ordinary. What is singular, what is remarkable, what is ordinary in a thought? Or what is ordinary? I think of Kierkegaard, much later, who would say that philosophy has always ignored the importance of a category, that of the interesting! While it is perhaps not true that philosophy ignored it, there is at least a philosophical-mathematical concept of singularity that perhaps has something interesting to tell us about the concept "interesting."

This great mathematical discovery is that singularity is no longer thought in relation to the universal, but is thought, rather, in relation to the ordinary or to the regular. The singular is what exceeds the ordinary and the regular. And saying that already takes us a great distance since saying it indicates that, henceforth, we wish to make singularity into a philosophical concept, even if it means finding reasons to do so in a favorable domain, namely mathematics. And in which case does mathematics speak to us of the singular and the ordinary? The answer is simple: concerning certain points plotted on a curve. Not necessarily on a curve, but occasionally, or more generally concerning a figure. A figure can be said quite naturally to include singular points and others that are regular or ordinary. Why a figure? Because a figure is something determined! So the singular and the ordinary would belong to the determination, and indeed, that would be interesting! You see that by dint of saying nothing and marking time, we make a lot of progress. Why not define determination in general, by saying that it’s a combination of singular and ordinary, and all determination would be like that? Perhaps?

I take a very simple figure: a square. Your very legitimate requirement would be to ask me: what are the singular points of a square? There are four singular points in a square, the four vertices a, b, c, d. We are going to define singularity, but we remain with examples, and we are making a childish inquiry, we are talking mathematics, but we don’t know a word of it. We only know that a square has four sides, so there are four singular points that are the extremum. The points are markers, precisely that a straight line is finished/finite (finie), and that another begins, with a different orientation, at 90 degrees. What will the ordinary points be? This will be the infinity of points that compose each side of the square; but the four extremities will be called singular points.

Question: How many singular points do you give to a cube?

Deleuze: I see your vexed amazement! There are eight singular points in a cube. That is what we call singular points in the most elementary geometry: points that mark the extremity of a straight line. You sense that this is only a start. I would therefore oppose singular points and ordinary points. A curve, a rectilinear figure perhaps, can I say of them that singular points are necessarily the extremum? Maybe not, but let us assume that at first sight, I can say something like that. For a curve, it’s ruined. Let’s take the simplest example: an arc of a circle… There, I’ve had enough of the blackboard, so here I will just draw figures in the air… You can follow me well. I make an arc of a circle, concave or convex, as you wish. Underneath, I make a second arc, convex if the other is concave, concave if the other is convex. The two meet one another at a point. Underneath I trace a straight line that, in accordance with the order of things, I call the ordinate. I trace the ordinate. [Deleuze turns to the blackboard] I draw a line perpendicular to the ordinate. … There’s no chalk! [Pause while Deleuze moves to the board; laughter from students] a-b, x-y, here, here, here, you see? [Deleuze develops drawings, 59:15-61:10] Great.

I have to indicate, just so I won’t appear to be wasting your time, that this is Leibniz’s example, in a text with the exquisite title, "Tentamen anagogicum",[2] a tiny little work seven pages long written in Latin, which means "analogical essays." So I say two things: Segment ab thus has two characteristics: it’s the only segment raised from the ordinate to be unique. Each of the others has, as Leibniz says, a double, its little twin. In fact, xy has its mirror, its image in x’y’, and you can get closer through vanishing differences of ab, there is only ab that remains unique, without twin. Second point: ab can also be considered a maximum or a minimum, maximum in relation to one of the arcs of the circle, minimum in relation to the other. Ouf, you’ve understood it all. I’d say that ab is a singularity.

I have introduced the example of the simplest curve: an arc of a circle. It’s a bit more complicated: what I showed was that a singular point is not necessarily connected, is not limited to the extremum. It can very well be in the middle, and in that case, it is in the middle. And it’s either a minimum or a maximum, or both at once. Hence the importance of a calculus that Leibniz will contribute to extending quite far, that he will call calculus of maxima and of minima. And still today, this calculus has an immense importance, for example, in phenomena of symmetry, in physical and optical phenomena. I would say therefore that my point A is a singular point; all the others are ordinary or regular. They are ordinary and regular in two ways: first, they are below the maximum and above the minimum, and second, they exist doubly. Thus, we can clarify somewhat this notion of ordinary. It’s another case; it’s a singularity of another case.

Another attempt: take a complex curve. What will we call its singularities? The singularities of a complex curve, in simplest terms, are neighboring points of which -- and you know that the notion of neighborhood, in mathematics, which is very different from contiguity, is a key notion in the whole domain of topology, and it’s the notion of singularity that is able to help us understand what neighborhood is. Thus, in the neighborhood of a singularity, something changes: the curve grows, or it decreases. These points of growth or decrease, I will call them singularities. The ordinary one is the series, that which is between two singularities, going from the neighborhood of one singularity to another’s neighborhood, of ordinary or regular character.

We grasp some of these relations, some very strange nuptials: isn’t "classical" philosophy’s fate relatively linked, and inversely, to geometry, arithmetic, and classical algebra, that is, to rectilinear figures? You will tell me that rectilinear figures already include singular points, agreed, but once I discovered and constructed the mathematical notion of singularity, I can say that it was already there in the simplest rectilinear figures. Never would the simplest rectilinear figures have given me a consistent occasion, a real necessity to construct the notion of singularity. It’s simply on the level of complex curves that this becomes necessary. Once I found it on the level of complex curves, now there, yes, I back up and can say: ah, it was already an arc of a circle, it was already in a simple figure like the rectilinear square, but before you couldn’t.

Intervention: [Brief inaudible comment].

Deleuze groans: … Too bad  (Pitié)… My God… He caught me. You know, speaking is a fragile thing. Too bad… ah, too bad … [The student tries to continue, but Deleuze stops him] I’ll let you talk for an hour when you want, but not now … Too bad, oh là là … It’s the blank in memory (trou). [Pause while Deleuze regroups] Ok, listen.

I will read to you a small, late text by [Henri] Poincaré that deals extensively with the theory of singularities that will be developed during the entire eighteenth and nineteenth centuries. There are two kinds of undertaking by Poincaré, logical and philosophical projects, and mathematical ones. He is above all a mathematician. There is an essay by Poincaré on differential equations. I am reading a part of it on kinds of singular points in a curve referring to a function or to a differential equation. He tells us that there are four kinds of singular points: first, crests [cols], which are points through which two curves defined by the equation pass, and only two. Here, the differential equation is such that, in the neighborhood of this point, the equation is going to define and going to cause two curves and only two to pass. The second type of singularity: knots, in which an infinity of curves defined by the equation come to intersect. The third type of singularity: thresholds [foyers], around which these curves turn while drawing closer to them in the form of a spiral. Finally, the fourth type of singularity: centers, around which curves appear in the form of a closed circle. And Poincaré explains in the sequel to the essay that, according to him, one great merit of mathematics is to have pushed the theory of singularities into relationship with the theory of functions or of differential equations.

Why do I quote this example from Poincaré? You could find equivalent notions in Leibniz’s works. Here a very curious terrain appears, with crests, thresholds, centers, truly like a kind of astrology of mathematical geography. You see that we went from the simplest to the most complex: on the level of a simple square, of a rectilinear figure, singularities were extremum; on the level of a simple curve, you have singularities that are even easier to determine, for which the principle of determination was easy. The singularity was the unique case that had no twin, or else was the case in which the maximum and minimum were identified. There you have more complex singularities when you move into more complex curves. Therefore, it’s as if the domain of singularities is infinite, strictly speaking.

What is the formula going to be? As long as you are dealing with problems considered as rectilinear, that is, in which it’s a question of determining right angles or rectilinear surfaces, you don’t need differential calculus. You need differential calculus when you find yourself faced with the task of determining curves and curvilinear surfaces. What does that mean? In what way is the singularity linked to differential calculus? It’s that the singular point is the point in the neighborhood of which the differential relation dy/dx changes its sign.

For example: vertex, relative vertex of a curve before it descends, so you will say that the differential relation changes its sign. It changes its sign at this spot, but to what extent? To the extent that it becomes equal; in the neighborhood of this point, it becomes equal to zero or to infinity. It’s the theme of the minimum and of the maximum that you again find there.

All this aggregate consists in saying: look at the kind of relationship between singular and ordinary, such that you are going to define the singular as a function of curvilinear problems in relation to differential calculus, and in this tension or opposition between singular point and ordinary point, or singular point and regular point. This is what mathematicians provide us with as basic material, and yet again if it is true that in the simplest cases, the singular is the extremity, in other simple cases, it’s the maximum or the minimum or even both at once. Singularities there develop more and more complex relations on the level of more and more complex curves.

I retain the following formula: a singularity is a distinct or determined point on a curve, it’s a point in the neighborhood of which the differential relation changes its sign, and the singular point’s characteristic is to extend itself (se prolonger) over the whole series of ordinary points that depend on it all the way to the neighborhood of subsequent singularities. So I maintain that the theory of singularities is inseparable from a theory or an activity of extension.[3]

Wouldn’t these be elements for a possible definition of continuity? I’d say that continuity or the continuous is the extension of a remarkable point onto an ordinary series all the way into the neighborhood of the subsequent singularity. Suddenly I’m very pleased because, at last, I have an initial hypothetical definition of what the continuous is. It’s all the more bizarre since, in order to reach this definition of the continuous, I used what apparently introduces a discontinuity, notably a singularity in which something changes. And rather than being the opposite, it’s the discontinuity that provides me with this approximate definition. As long as I can extend a singularity, it’s discontinuous.

Good, so here we are. That’s all for the mathematical domain, so I pass to the other domain, while pretending that they have no relation, and you certainly sense that for Leibniz, things don’t work that way, that there are obviously relations between the two domains. This time, it’s the psychological domain. And Leibniz tells us something very odd; he says that we all know that we have perceptions, that for example, I see red, I hear the roar of waves. These are perceptions; moreover, we should reserve a special word for them because they are conscious. It’s perception endowed with consciousness, that is, perception perceived as such by an "I"; we call it apperception, as a-perceiving (apercevoir). For, indeed, it’s perception that I perceive.

Leibniz tells us that consequently there really have to be unconscious perceptions that we don’t perceive. These are called tiny perceptions, that is, unconscious perceptions. Why is this necessary? Why necessary? Leibniz gives us two reasons: it’s that our a-perceptions, our conscious perceptions are always global. What we perceive is always a whole. What we grasp through conscious perception is relative totalities. And it is really necessary that parts exist since there is a whole. That’s a line of reasoning that Leibniz constantly follows: there has to be something simple if there is something composite; he raises this into a grand principle; and it doesn’t go without saying, do you understand what he means? He means that there is no indefinite, and that goes so little without saying that it implies the actual infinite. There has to be something simple since there is something composite. There are people who will think that everything is composite to infinity, and they will be partisans of the indefinite, but for other reasons, Leibniz thinks that the infinite is actual. Thus, there has to be [something; text missing in transcript; recording inaudible]. Henceforth, since we perceive the global noise of the waves when we are seated on the beach, we have to have tiny perceptions of each wave, as he says in summary form, and moreover, of each drop of water. Why? It’s a kind of logical requirement, and we shall see what he means.

He pursues the same reasoning on the level of the whole and the parts yet again as well, not by invoking a principle of totality, but a principle of causality: what we perceive is always an effect, so there have to be causes. These causes themselves have to be perceived; otherwise the effect would not be perceived. In this case, the tiny drops are no longer the parts that make up the wave, nor the waves the parts that make up the sea, but they intervene as causes that produce an effect. You will tell me that there is no great difference here, but let me point out simply that in all of Leibniz’s texts, there are always two distinct arguments that he is perpetually trying to make coexist: an argument based on causality and an argument based on parts. Cause-effect relationship and part-whole relationship. So this is how our conscious perceptions bathe in a flow of unconscious tiny perceptions.

On one hand, this has to be this way logically, in accordance with the principles and their requirement, but the great moments occur when experience comes to confirm the requirement of great principles. When the very beautiful coincidence of principles and experience occurs, philosophy knows its moment of happiness, even if it’s personally the misfortune of the philosopher. And at that moment, the philosopher says: everything is fine, as it should be. So it is necessary for experience to show me that under certain conditions of disorganization in my consciousness, tiny perceptions force open the door of my consciousness and invade me. When my consciousness relaxes, I am thus invaded by tiny perceptions that do not become for all that conscious perceptions. They do not become apperceptions since I am invaded in my consciousness when my consciousness is disorganized. At that moment, a flow of tiny unconscious perceptions invades me. It’s not that these tiny perceptions stop being unconscious, but it’s me who ceases being conscious. But I live them, there is an unconscious lived experience. I do not represent them, I do not perceive them, but they are there, they swarm in these cases. I receive a huge blow on the head: dizziness is an example that recurs constantly in Leibniz’s work. I get dizzy, I faint, and a flow of tiny unconscious perceptions arrives: a buzz in my head. Rousseau knew Leibniz, he will undergo the cruel experience of fainting after having received a huge blow, and he relates his recovery and the swarming of tiny perceptions. It’s a very famous text by Rousseau in The Reveries of a Solitary Stroller, which is the return to consciousness.

Let’s look for thought experiences: we don’t even need to pursue this thought experience, we know what it’s like, so through thought, we look for the kind of experience that corresponds to the principle: fainting. Leibniz goes much further and says: wouldn’t that be death? This will pose problems for theology. Death would be the state of a living person who would not cease living. Death would be catalepsy, straight out of Edgar Poe, one is simply reduced to tiny perceptions.

And yet again, it’s not that they invade my consciousness, but it’s my consciousness that is extended, that loses all of its own power, that becomes diluted because it loses self-consciousness, but very strangely it becomes an infinitely tiny consciousness of tiny unconscious perceptions. This would be death. In other words, death is nothing other than an envelopment, perceptions cease being developed into conscious perceptions, they are enveloped into an infinity of tiny perceptions. Or yet again, he says, sleep without dreaming in which there are lots of tiny perceptions.

Do we have to say that only about perception? No. And there, once again, appears Leibniz’s genius. There is a psychology with Leibniz’s name on it, which was one of the first theories of the unconscious. I have already said almost enough about it for you to understand the extent to which it’s a conception of the unconscious that has absolutely nothing to do with Freud’s which is to say how much innovation one finds in Freud: it’s obviously not the hypothesis of an unconscious that has been proposed by numerous authors, but it’s the way in which Freud conceived the unconscious. And, in the lineage from Freud, some very strange phenomena will be found, returning to a Leibnizian conception, but I will talk about that later.

But understand that he simply cannot say that about perception since, according to Leibniz, the soul has two fundamental faculties: conscious apperception which is therefore composed of tiny unconscious perceptions, and what he calls "appetition", appetite, desire. And we are composed of desires and perceptions. Moreover, appetition is conscious appetite. If global perceptions are made up of an infinity of tiny perceptions, appetitions or gross appetites are made up of an infinity of tiny appetitions. You see that appetitions are vectors corresponding to tiny perceptions, and that becomes a very strange unconscious. The drop of sea to which the droplet corresponds, to which a tiny appetition corresponds for someone who is thirsty. And when I say, "my God, I’m thirsty, I’m thirsty," what do I do? I grossly express a global outcome of thousands of tiny perceptions working within me, and thousands of tiny appetitions that crisscross me. What does that mean?

In the beginning of the twentieth century, a great Spanish biologist fell into oblivion; his name was [Ramon] Turro [y Darder]. He wrote a book entitled in French: The Origins of Knowledge (Les Origines de la connaissance, 1914), and this book is extraordinary. Turro said that when we say "I am hungry" -- his background was entirely in biology, and we might say that it’s Leibniz who has awakened -- and Turro said that when one says, "I am hungry," it’s really a global outcome, what he called a global sensation. He uses his concepts: global hunger and tiny specific hungers. He said that hunger as a global phenomenon is a statistical effect. What is hunger composed of as a global substance? Of thousands of tiny hungers: salt hunger, protein substance hunger, grease hunger, mineral salts hunger, etc. . . . When I say, "I’m hungry," I am literally undertaking, says Turro, the integral or the integration of these thousands of tiny specific hungers. The tiny differentials are differentials of conscious perception; conscious perception is the integration of tiny perceptions. Fine. You see that the thousand tiny appetitions are the thousand specific hungers. And Turro continues since there is still something strange on the animal level: how does an animal know what it has to have? The animal sees sensible qualities, it leaps forward and eats it, they all eat tiny qualities. The cow eats green, not grass, although it does not eat just any green since it recognizes the grass green and only eats grass green. The carnivore does not eat proteins, it eats something it saw, without seeing the proteins. The problem of instinct on the simplest level is: how does one explain that animals eat more or less anything that suits them? In fact, animals eat during a meal the quantity of fat, of salt, of proteins necessary for the balance of their internal milieu. And their internal milieu is what? It’s the milieu of all the tiny perceptions and tiny appetitions.

What a strange communication between consciousness and the unconscious. Each species eats more or less what it needs, except for tragic or comic errors that enemies of instinct always invoke: cats, for example, who go eat precisely what will poison them, but quite rarely. That’s what the problem of instinct is.

This Leibnizian psychology invokes tiny appetitions that invest tiny perceptions; the tiny appetition makes the psychic investment of the tiny perception, and what world does that create? We never cease passing from one tiny perception to another, even without knowing it. Our consciousness remains there at global perceptions and gross appetites, "I am hungry," but when I say "I am hungry," there are all sorts of passages, metamorphoses. My tiny salt hunger that passes into another hunger, a tiny protein hunger; a tiny protein hunger that passes into a tiny fat hunger, or everything mixed up, quite heterogeneously. What causes children to be dirt eaters? By what miracle do they eat dirt when they need the vitamin that the earth contains? It has to be instinct! These are monsters! But God even made monsters in harmony.

So what is the status of psychic unconscious life? It happened that Leibniz encountered Locke’s thought, and Locke had written a book called An Essay Concerning Human Understanding. Leibniz had been very interested in Locke, especially when he discovered that Locke was wrong in everything. Leibniz had fun preparing a huge book that he called New Essays on Human Understanding in which, chapter by chapter, he showed that Locke was an idiot. He was wrong, but it was a great critique. And then he didn’t publish it. He had a very honest moral reaction, because Locke had died in the meantime. His huge book was completely finished, and he put it aside, he sent it to some friends. I mention all this because Locke, in his best pages, constructs a concept for which I will use the English word, "uneasiness." To summarize, it’s unease (malaise), a state of unease. And Locke tries to explain that it’s the great principle of psychic life. You see that it’s very interesting because this removes us from the banalities about the search for pleasure or for happiness. Locke says, summarily, that it’s quite possible to seek one’s pleasure, one’s happiness, perhaps it’s possible, but that’s not all; there is a kind of anxiety (inquiétude) for a living person. This anxiety is not distress (angoisse). He proposes the psychological concept of anxiety. One is neither thirsting for pleasure, nor for happiness, nor distressed; he seems to feel that we are, above all, anxious. We can’t sit still. And Leibniz, in a wonderful text, says that we can always try to translate this concept, but that finally, it’s very difficult to translate. This word works well in English, and an Englishman immediately sees what it is. For us, we’d say that someone is nervous. You see how he borrows it from Locke and how he is going to transform it: this unease of the living, what is it? It’s not at all the unhappiness of the living. Rather, it’s when he is immobile, when he has his conscious perception well framed, it all swarms: tiny perceptions and tiny appetitions invest the fluid tiny perceptions, fluid perceptions and fluid appetites ceaselessly move, and that’s it. So, if there is a God, and Leibniz is persuaded that God exists, this uneasiness is so little a kind of unhappiness that it is just the same as the tendency to develop the maximum perception. And the development of the maximum perception will define a kind of psychic continuity. We again find the theme of continuity, that is, an indefinite progress of consciousness.

How is unhappiness possible? There can always be unfortunate encounters. It’s like when a stone is likely to fall: it is likely to fall along a path that is the right path, for example, and then it can meet a rock that crumbles it or splits it apart. It’s really an accident connected to the law of the greatest slope. That doesn’t prevent the law of the greatest slope from being the best. We can see what he means.

So there we have an unconscious defined by tiny perceptions, and tiny perceptions are at once infinitely small perceptions and the differentials of conscious perception. And tiny appetites are at once unconscious appetites and differentials of conscious appetition. There is a genesis of psychic life starting from differentials of consciousness.

Following from this, the Leibnizian unconscious is the set of differentials of consciousness. It’s the infinite totality of differentials of consciousness. There is a genesis of consciousness. The idea of differentials of consciousness is fundamental: the drop of water and the appetite for the drop of water, specific tiny hungers, the world of fainting. All of that makes for a very odd world.

I am going to open a very quick parenthesis. That unconscious has a very long history in philosophy. Overall, we can say that in fact, it’s the discovery and the theorizing of a properly differential unconscious. You see that this unconscious has many links to infinitesimal analysis, and that’s why I said a psycho-mathematical domain. Just as there are differentials for a curve, there are differentials for consciousness. The two domains, the psychic domain and the mathematical domain, project symbols. If I look for the lineage, it’s Leibniz who proposed this great idea, the first great theory of this differential unconscious, and from there it never stopped. There is a very long tradition of this differential conception of the unconscious based on tiny perceptions and tiny appetitions. It culminates in a very great author who, strangely, has always been poorly understood in France, a German post-Romantic named [Gustav] Fechner. He’s a disciple of Leibniz who developed the conception of differential unconscious.

What was Freud’s contribution? Certainly not the unconscious, which already had a strong theoretical tradition. It’s not that, for Freud, there were no unconscious perceptions, [but] there were also unconscious desires. You recall that for Freud, there is the idea that representation can be unconscious, and in another sense, affect also can be unconscious. That corresponds to perception and appetition. But Freud’s innovation is that he conceived the unconscious -- and here, I am saying something very elementary to underscore a huge difference -- he conceived of the unconscious in a conflictual or oppositional relationship with consciousness, and not in a differential relationship. This is completely different from conceiving of an unconscious that expresses differentials of consciousness or conceiving of an unconscious that expresses a force that is opposed to consciousness and that enters into conflict with it. In other words, for Leibniz, there is a relationship between consciousness and the unconscious, a relation of difference to vanishing differences, whereas for Freud, there is a relation of opposition of forces. I could say that the unconscious attracts representations, it tears them from consciousness, and it’s really two antagonistic forces. I could say that, philosophically, Freud depends on Kant and Hegel, that’s obvious. Those who explicitly oriented the unconscious in the direction of a conflict of will, and no longer of differential of perception, were from the school of Schopenhauer that Freud knew very well and that descended from Kant. So, we must safeguard Freud’s originality, except that in fact, he received his preparation in certain philosophies of the unconscious, but certainly not in the Leibnizian strain.

Thus, our conscious perception is composed of an infinity of tiny perceptions. Our conscious appetite is composed of an infinity of tiny appetites. Leibniz is in the process of preparing a strange operation, and if we didn’t hold ourselves back, we might want to protest immediately. We could say to him, fine, perception has causes, for example, my perception of green, or of any color, that implies all sorts of physical vibrations. And these physical vibrations are not themselves perceived. Even though there might be an infinity of elementary causes in a conscious perception, by what right does Leibniz conclude from this that these elementary causes are themselves objects of infinitely tiny perceptions? Why? And what does he mean when he says that our conscious perception is composed of an infinity of tiny perceptions, exactly like perception of the sound of the sea is composed of the perception of every drop of water?

If you look at his texts closely, it’s very odd because these texts say two different things, one of which is manifestly expressed by simplification and the other expresses Leibniz’s true thought. There are two headings: some are under the Part-Whole heading, and in that case, it means that conscious perception is always perception of a whole, this perception of a whole assuming not only infinitely tiny parts, but assuming that these infinitely small parts are perceived. Hence the formula: conscious perception is made of tiny perceptions, and I say that, in this case, "is made of" is the same as "to be composed of." Leibniz expresses himself in this way quite often. I select a text: "Otherwise we would not sense the whole at all". . . If there were none of these tiny perceptions, we would have no consciousness at all. The organs of sense operate a totalization of tiny perceptions. The eye is what totalizes an infinity of tiny vibrations, and henceforth composes with these tiny vibrations a global quality that I call green, or that I call red, etc. . . . The text is clear, it’s a question of the Whole-Parts relationship. When Leibniz wants to move rapidly, he has every interest in speaking like that, but when he really wants to explain things, he says something else, he says that conscious perception is derived from tiny perceptions. It’s not the same thing, "is composed of" and "is derived from". In one case, you have the Whole-Parts relationship, in the other, you have a relationship of a completely different nature. What different nature? The relation of derivation, what we call a derivative. That also brings us back to infinitesimal calculus: conscious perception derives from the infinity of tiny perceptions. At that point, I would no longer say that the organs of sense totalize. Notice that the mathematical notion of integral links the two: the integral is what derives from and is also what operates an integration, a kind of totalization, but it’s a very special totalization, not a totalization through additions. We can say without risk of error that although Leibniz doesn’t indicate it, it’s even the second texts that have the final word. When Leibniz tells us that conscious perception is composed of tiny perceptions, this is not his true thinking. On the contrary, his true thinking is that conscious perception derives from tiny perceptions. What does "derive from" mean?

Here is another of Leibniz’s texts: "Perception of light or of color that we perceive, that is, conscious perception, is composed of a quantity of tiny perceptions that we do not perceive, and a noise that we do not perceive, and a noise that we do perceive but to which we give no attention becomes a-perceptible, i.e. passes into the state of conscious perception, through a tiny addition or augmentation."

We no longer pass from tiny perceptions into conscious perception via totalization as the first version of the text suggested; we pass from tiny perceptions into global conscious perception via a tiny addition. We thought we understood, and suddenly, we no longer understand a thing. A tiny addition is the addition of a tiny perception; so we pass tiny perceptions into global conscious perception via a tiny perception? We tell ourselves that this isn’t right. Suddenly, we tend to fall back on the other version of the text, at least that one was clearer. Clearer, but insufficient. Sufficient texts are sufficient, but we no longer understand anything in them. A wonderful situation, except if we chance to encounter an adjoining text in which Leibniz tells us: "We must consider that we think a quantity of things all at once. But we pay attention only to thoughts that are the most distinct . . ."

For what is remarkable must be composed of parts that are not remarkable? There, Leibniz is in the process of mixing up everything, but on purpose. We who are no longer innocent can situate the word "remarkable," and we know that each time that he uses "notable", "remarkable", "distinguished", it’s in a very technical sense, and at the same time, he creates a muddle everywhere. For the idea that there is something clear and distinct, since Descartes, was an idea that circulated all over. Leibniz slides in his little "distinguished", the most distinguished thoughts. Understand "the distinguished," "the remarkable," "the singular." So what does that mean? We pass from tiny unconscious perception to global conscious perception through a tiny addition. So obviously, this is not just any tiny addition. This is neither another conscious perception, nor one more tiny unconscious perception. So what does it mean? It means that your tiny perceptions form a series of ordinaries, a series called regular: all the tiny drops of water, elementary perceptions, infinitesimal perceptions. How do you pass into the global perception of the sound of the sea?

First answer: via globalization-totalization. Commentators answer: Fine, it’s easy to say. One would never think of raising an objection. You have to like an author just enough to know that he’s not mistaken, that he speaks this way in order to proceed quickly. Second answer: I pass via a tiny addition. This cannot be the addition of an ordinary or regular tiny perception, nor can it be the addition of a conscious perception since at that point, consciousness would be presupposed. The answer is that I reach a neighborhood of a remarkable point, so I do not operate a totalization, but rather a singularization. It’s when the series of tiny perceived drops of water approaches or enters into the neighborhood of a singular point, a remarkable point, that perception becomes conscious.

It’s a completely different vision because at that moment, a great part of the objections made to the idea of a differential unconscious falls away. What does that mean? Here the texts by Leibniz appear that seem the most complete. From the start, we have dragged along the idea that with tiny elements, it’s a manner of speaking because what is differential are not elements, not dx in relation to an x, because dx in relation to an x is nothing.

What is differential is not a dy in relation to a y because dy in relation to a y is nothing.

What is differential is dy/dx, this is the relation.

That’s what is at work in the infinitely tiny.

You recall that on the level of singular points, the differential relation changes its sign. Leibniz is in the process of impregnating Freud without knowing it. On the level of the singularity of increases or decreases, the differential relation changes it sign, that is, the sign is inverted. In this case of perception, which is the differential relation? Why is it that these are not elements, but indeed relations? What determines a relation is precisely a relationship between physical elements and my body. So you have dy and dx. It’s the relation of physical excitation to my biological body. You understand that on this level, we can no longer speak exactly of tiny perceptions. We will speak of the differential relation between physical excitation and the physical state by assimilating it frankly to dy/dx, it matters little. And perception becomes conscious when the differential relation corresponds to a singularity, that is, changes its sign,
for example, when excitation gets sufficiently closer.

It’s the molecule of water closest to my body that is going to define the minute increase through which the infinity of tiny perceptions becomes conscious perception. It’s no longer a relation of parts at all, it’s a relation of derivation. It’s the differential relation between that which excites and my biological body that is going to permit the definition of the singularity’s neighborhood. Notice in which sense Leibniz could say that inversions of signs, that is, passages from consciousness to the unconscious and from the unconscious to consciousness, the inversions of signs refer to a differential unconscious and not to an unconscious of opposition.

When I alluded to Freud’s posterity, in Jung, for example, there is an entire Leibnizian side, and what he reintroduces, to Freud’s greatest anger -- and it’s in this that Freud judges that Jung absolutely betrayed psychoanalysis -- is an unconscious of the differential type. And he owes that to the tradition of German Romanticism which is closely linked also to the unconscious of Leibniz.

So we pass from tiny perceptions to unconscious perception via addition of something notable, that is, when the series of ordinaries reaches the neighborhood of the following singularity, such that psychic life, just like the mathematical curve, will be subject to a law which is that of the composition of the continuous.

There is composition of the continuous since the continuous is a product: the product of the act by which a singularity is extended into the neighborhood of another singularity. And that this works not only upon the universe of the mathematical symbol, but also upon the universe of perception, of consciousness, and of the unconscious.

From this point onward, we have but one question: what are the compossible and incompossible? These derive directly from all this. We possess the formula for compossibility. I return to my example of the square with its four singularities. You take a singularity, it’s a point; you take it as the center of a circle. Which circle? All the way into the neighborhood of the other singularity. In other words, in the square abcd, you take *a* as center of a circle that stops or whose periphery is in the neighborhood of singularity *b*. You do the same thing with *b*: you trace a circle that stops in the neighborhood of the singularity *a* and you trace another circle that stops in the neighborhood of singularity *c*. These circles intersect. You go on like that constructing, from one singularity to the next, what you will be able to call a continuity. The simplest case of a continuity is a straight line, but there is also precisely a continuity of non-straight lines. With your system of circles that intersect, you will say that there is continuity when the values of two ordinary series, those of *a* to *b*, those of *b* to *a*, coincide. When there is a coincidence of values of two ordinary series encompassed in the two circles, you have a continuity. Thus you can construct a continuity made from continuity. You can construct a continuity of continuity, for example, the square. If the series of ordinaries that derive from singularities diverge, then you have a discontinuity. You will say that a world is constituted by a continuity of continuity. It’s the composition of the continuous. A discontinuity is defined when the series of ordinaries or regulars deriving from two points diverge. Third definition: the existing world is the best? Why? Because it’s the world that assures the maximum of continuity. Fourth definition: what is the compossible? An aggregate of composed continuities. Final definition: what is the incompossible? When the series diverge, when you can no longer compose the continuity of this world with the continuity of this other world. Divergence in the series of ordinaries that depend on singularities: at that moment, it can no longer belong to the same world.

You have a law of composition of the continuous that is psycho-mathematical. Why isn’t that evident? Why is all this exploration of the unconscious necessary? Because, yet again, God is perverse. God’s perversity lies in having chosen the world that implicates the maximum of continuity, in composing the chosen world in this form, only by dispersing the continuities since these are continuities of continuities. God dispersed them. What does that mean? It seems, says Leibniz, that there are discontinuities in our world, leaps, ruptures. Using an admirable term, he says that it seems that there are musical descents (chutes de musique). But in fact, there are none. To some among us, it seems that there is a gap between man and animal, a rupture. This is necessary because God, with his/her extreme malice, conceived of the world to be chosen in the form of the maximum of continuity, so there are all sorts of intermediary degrees between animal and man, but God held back from making these visible to us. If the need arose, God placed them on other planets of our world. Why? Because finally, it was good, it was good for us to be able to believe in the excellence of our domination of nature. If we had seen all the transitions between the worst animal and us, we would have been less vain, so this vanity is still quite good because it allows man to establish his power over nature. In the end, it’s not a perversity of God; it’s that God never ceased breaking continuities that God had constructed in order to introduce variety in the chosen world, in order to hide the whole system of tiny differences, of vanishing differences. So God proposed to our sensory organs and to our feeble thinking, presented on the contrary a very divided world. We spend our time saying that animals have no soul (Descartes), or else that they do not speak. But not at all: there are all sorts of transitions, all sorts of tiny definitions. In this, we grasp a specific relation that is compossibility or incompossibility. I would say yet again that compossibility is when series of ordinaries converge, series of regular points that derive from two singularities and when their values coincide, otherwise there is discontinuity. In one case, you have the definition of compossibility, in the other case, the definition of incompossibility.

Why did God choose this world rather than another, when another was possible? Leibniz’s answer becomes splendid: it’s because it is the world that mathematically implicates the maximum of continuity, and it’s uniquely in this sense that it is the best of possible worlds.

A concept is always something very complex. We can situate today’s meeting under the sign of the concept of singularity. And the concept of singularity has all sorts of languages that intersect within it. A concept is always necessarily polyvocal. You can grasp the concept of singularity only through a minimum of mathematical apparatuses: singular points in opposition to ordinary or regular points, on the level of thought experiences of a psychological type: what is dizziness, what is a murmur, what is a hum, etc. And on the level of philosophy, in Leibniz’s case, the construction of this relation of compossibility. It’s not a mathematical philosophy, no more than mathematics becomes philosophy, but in a philosophical concept, there are all sorts of different orders that necessarily symbolize. It has a philosophical heading, it has a mathematical heading, and it has a heading for thought experience. And it’s true of all concepts. It was a great day for philosophy when someone brought this odd couple to general attention, and that’s what I call a creation in philosophy. When Leibniz proposed this topic, the singular, there precisely is the act of creation; when Leibniz tells us that there is no reason for you simply to oppose the singular to the universal. It’s much more interesting if you listen to what mathematicians say, who for their own reasons think of "singular" not in relation to "universal," but in relation to "ordinary" or "regular." Leibniz isn’t doing mathematics at that point. I would say that his inspiration is mathematical, and he goes on to create a philosophical theory, notably a whole conception of truth that is radically new since it’s going to consist in saying: don’t pay too much attention to the matter of true and false, don’t ask in your thinking what is true and what is false, because what is true and what is false in your thinking always results from something that is much deeper.

What counts in thinking are the remarkable points and the ordinary points. Both are necessary: if you only have singular points in thinking, you have no method of extension, it’s worthless; if you have only ordinary points, it’s in your interest to think something else. And the more you believe yourself [to be] remarkable (special), the less you think of remarkable points. In other words, the thought of the singular is the most modest thought in the world. It’s there that the thinker necessarily becomes modest, because the thinker is the extension onto the series of ordinaries, and thought itself explodes in the element of singularity, and the element of singularity is the concept.

 

[1]  Cf. https://www.youtube.com/watch?v=70-oa98QgvI&list=PL9kBLt-Nsd7sq6hkuanJ34fXtzJJ9FKic&index=1

[2] Cf. https://fr.wikisource.org/wiki/ Essai_anagogique_dans_la_recherche _des_causes ,

[3] Deleuze will develop these reflections on perception, tiny perceptions, and differentials in chapter 7 of The Fold. Leibniz and the Baroque, cf. pp. 85-99; Le Pli, pp. 113-132.

 

French Transcript

Edited

 

La troisième séance de cinq consacrées à la philosophie de Leibniz, à la lumière des questions suivantes : qu'est-ce que c'est qu'une singularité au niveau mathématique, et qu'est-ce que Leibniz crée là-dedans ? … Deuxième question : qu'est-ce que c'est que la théorie leibnizienne des singularités psychologiques? Et dernière question : en quoi est-ce que la théorie mathématico-psychologique des singularités, telle qu'elle est esquissée chez Leibniz nous donne-t-elle une réponse à la question : qu'est-ce que l'incompossible, et donc à la question qu'est-ce que l'analyse infinie ? Qu'est-ce que c'est que cette notion mathématique de singularité ?

Cours de Vincennes, 29 avril 1980 – Leibniz 3

Transcription complétée avec référence au vidéo YouTube,[1] Charles J. Stivale

 

Aujourd'hui nous devons voir des choses amusantes, récréatives, mais aussi tout à fait délicates. Donc il me faut toute votre attention pendant un certain temps. D’abord, on vient de me dire que l’un d’entre vous souhaitait poser une question sur quelque chose. C’est quoi, la petite question ?

[Question inaudible sur le calcul différentiel, 0 :45-2 :00]

Deleuze : La question est très claire, très claire. … [Deleuze laisse le même étudiant fournir une réponse, et écoute, 2 :35-4 :50] (à la réponse) Très claire, très claire, très claire. Mais votre réponse me paraît plus large que la question, parce que ta réponse consiste à faire un concept très complexe ou très mélangé de fonctions. Sur le concept des fonctions lui-même il est très difficile parce que tu as dans ta réponse à la fois une fonction logique des jugements à la Kant, une certaine conception biologique de la fonction à la manière de Cuvier et des naturalistes, et tu sous-entends la fonction mathématique. Alors ça fait un drôle de concept.

[Réponse de l’étudiant, 5 :25-5 :55]

Deleuze : Quant à la question même, je dirais ceci… [Pause] Tu comprends… il me semble qu'on ne peut pas dire que à la fin du 17ème siècle et au18ème siècle il y a des gens pour qui le calcul différentiel est un artifice et des gens pour qui le calcul différentiel représente quelque chose de réel. On ne peut pas dire ça parce que la coupure n'est pas là. Leibniz n'a jamais cessé de dire que le calcul différentiel est un pur artifice, c'est un système symbolique. Donc sur ce point tout le monde est strictement d'accord. Là où commence le désaccord c'est dans la compréhension de ce qu'est un système symbolique, mais quant à l'irréductibilité des signes différentiels à toute réalité mathématique, c'est à dire à la réalité géométrique, arithmétique et algébrique, tout le monde est d'accord. Là où se fait une différence c'est lorsque les uns pensent que, dès lors, le calcul différentiel n'est qu'une convention, et une convention très louche, et ceux qui pensent que, au contraire, son caractère artificiel par rapport à la réalité mathématique lui permet d'être adéquat à certains aspects de la réalité physique. Jamais Leibniz n'a pensé que son analyse infinitésimale, son calcul différentiel, tels qu'il les concevait, suffisaient à épuiser le domaine de l'infini tel que lui, Leibniz, le concevait. Par exemple : le calcul. Il y a ce que Leibniz appelle le calcul du minimum et du maximum qui n'est pas du tout une dépendance du calcul différentiel. Donc le calcul différentiel correspond à un certain ordre d'infini. S’il est vrai qu'un infini qualitatif ne peut pas être saisi par le calcul différentiel, en revanche, Leibniz est tellement conscient de ça qu'il instaure d'autres modes de calcul relatifs à d'autres ordres d'infini. Ce qui a liquidé cette direction de l'infini qualitatif, ou même de l'infini actuel tout court, ce n'est pas Leibniz qui l'a bouché. Ce qui a bouché cette voie, c'est la révolution kantienne ; c'est la révolution kantienne qui a imposé une certaine conception de l'indéfini et qui a mené la critique la plus absolue de l'infini actuel. Ça c'est dû à Kant, pas du tout à Leibniz.

En géométrie, depuis les Grecs jusqu'au 17ème siècle, vous avez deux types de problèmes. Les problèmes où il est question de trouver des lignes dites droites et des surfaces dites rectilignes. La géométrie et l'algèbre classiques suffisent. Vous avez des problèmes et vous obtenez les équations nécessaires; c'est la géométrie d'Euclide. Déjà chez les Grecs, puis au moyen-âge bien sûr, la géométrie ne va pas cesser de se trouver devant un type de problème d'une autre nature : c'est lorsqu'il faut chercher et déterminer des courbes et des surfaces curvilignes. Là où tous les géomètres sont d'accord c'est que les méthodes classiques de la géométrie et de l'algèbre ne suffisent plus.

Les Grecs déjà doivent inventer une méthode spéciale qu'on a appelé méthode d'exaustion, elle permet de déterminer les courbes et les surfaces curvilignes en tant qu'elle donne des équations de degrés variés, à la limite infinie, une infinité de degré variés dans l'équation. C'est ces problèmes là qui vont rendre nécessaire et qui vont inspirer la découverte du calcul différentiel, et la manière dont le calcul différentiel prend le relais de la vieille méthode d'exaustion. Si vous rattachez un symbolisme mathématique à, déjà, une théorie, si vous ne le rattachez pas au problème pour lequel il est fait, alors on ne peut plus rien comprendre. Le calcul différentiel n'a de sens que si vous vous trouvez devant une équation dont les termes sont à des puissances différentes. Si vous n'avez pas ça c'est un non-sens de parler de calcul différentiel. C'est très de considérer la théorie qui correspond à un symbolisme, mais vous devez aussi considérer complètement la pratique. A mon avis, aussi, on ne peut rien comprendre sur l'analyse infinitésimale si on ne voit pas que toutes les équations physiques sont par nature des équations différentielles. Un phénomène physique ne peut être étudié - et Leibniz sera très fort : Descartes ne disposait que de la géométrie et de l'algèbre et de ce que Descartes lui-même avait inventé sous le nom de géométrie analytique, mais si loin qu'il ait été dans cette invention ça lui donnait à la rigueur les moyens de saisir les figures et le mouvement sous l'espèce rectiligne; or l'ensemble des phénomènes de la nature étant finalement des phénomènes de type curviligne, ça ne marche pas. Descartes en reste aux figures et au mouvement. Leibniz traduira : c'est la même chose de dire que la nature procède de façon curviligne, ou de dire qu'au-delà des figures et du mouvement, il y a quelque chose qui est le domaine des forces. Et au niveau même des lois du mouvement, Leibniz va tout changer, grâce précisément au calcul différentiel. Il dira que ce qui se conserve ce n'est pas mv, ce n'est pas masse et vitesse, ce qui se conserve c'est mv2. La seule différence dans la formule c'est l'érection de v à la puissance 2, c'est rendu possible par le calcul différentiel parce que c'est le calcul différentiel qui permet la comparaison des puissances et des rejets. Descartes n'avait pas le moyen technique de dire mv2. mv2, du point de vue du langage, de la géométrie, et de l'arithmétique et de l'algèbre est un pur et simple non-sens.

Avec ce qu'on sait en science aujourd'hui, on peut toujours expliquer que ce qui se conserve c'est mv2 sans faire aucun appel à l'analyse infinitésimale. Ça se fait dans les manuels de lycée, mais pour le prouver, et pour que la formule ait un sens, il faut tout l'appareil du calcul différentiel.

Intervention de [Georges] Comtesse [20 :45-23 :20]

Deleuze : Ecoute, pourquoi pas ? Pourquoi pas ? Mais je fais un peu la même réclamation que tout à l’heure. C’est que tu fais un schéma théorique très intéressant, mais à charge pour toi de tenir compte que c’est un fait, dans le domaine du calcul différentiel et de l’axiomatique, le fait que j’aurais tendance à insister, sur un fait historique, c’est ceci : c’est que le calcul différentiel et l'axiomatique ont bien un point de rencontre, mais ce point de rencontre est de parfaite exclusion. Historiquement, c'est très tardivement que se fait le statut rigoureux du calcul différentiel. Ça veut dire quoi ? Ça veut dire que tout ce qui est convention est expulsé du calcul différentiel. Or, même pour Leibniz, qu'est-ce qui est artifice ? Ce qui est artifice c'est tout un ensemble de choses : l'idée d'un devenir, l'idée d'une limite du devenir, l'idée d'une tendance à approcher de la limite, tout ça, c'est considéré par les mathématiciens comme des notions absolument métaphysiques. L'idée qu'il y a un devenir quantitatif, l'idée de la limite de ce devenir, l'idée qu'une infinité de petites quantités s'approchent de la limite, tout ça, c'est considéré comme des notions absolument impures, donc comme réellement non axiomatiques ou non axiomatisables.

Donc, dès le début, que ce soit chez Leibniz, que ce soit chez Newton et les successeurs, l'idée du calcul différentiel n'est pas séparable et pas séparée d'un ensemble de notions jugées non rigoureuses et on scientifiques. Eux-mêmes sont tout prêts à le reconnaître. Il se passe qu'à la fin du 19ème siècle et au début du 20ème, le calcul différentiel ou l'analyse infinitésimale va recevoir un statut rigoureusement scientifique, à quel prix ?
On chasse toute référence à l'idée d'infini; on chasse toute référence à l'idée de limite, on chasse toute référence à l'idée de tendance à la limite. Qui fait ça ? On va donner une interprétation et un statut du calcul qui est très curieux parce qu'il cesse d'opérer avec des quantités ordinaires, et on en donne une interprétation purement ordinale. Dès lors, ça devient un mode d'exploration du fini, du fini comme tel. C'est un très grand mathématicien qui fait ça : Weierstrass. Mais c'est très tardif. Alors lui fait une axiomatique du calcul, mais à quel prix ? Il le transforme complètement. Aujourd'hui lorsque l'on fait du calcul différentiel, il n'y a plus aucune référence aux notions d'infini, de limite et de tendance à s'approcher de la limite. Il y a une interprétation statique. Il n'y a plus aucun dynamisme dans le calcul différentiel. On a une interprétation statique et ordinale du calcul. Il faut lire le livre de Vuillemin, "Philosophie de l'algèbre".

Ce fait est très important pour nous car il doit bien nous montrer que les rapports différentiels - oui, mais même avant l'axiomatisation tous les mathématiciens étaient d'accord pour dire que le calcul différentiel interprété comme méthode d'exploration de l'infini était une convention impure, Leibniz était le premier à dire ça, mais encore à ce moment-là il faudrait savoir quelle est alors la valeur symbolique. Les relations axiomatiques et les rapports différentiels, bien non. Il y a opposition. L'infini a complètement changé de sens, de nature et finalement est complètement expulsé. Un rapport différentiel du type dy /dx est tel qu'on l'extrait de x et y.

En même temps dy ce n'est rien par rapport à y, c'est une quantité infiniment petite, dx ce n'est rien par rapport à x, c'est une quantité infiniment petite par rapport à x.

En revanche dy/dx c'est quelque chose. Mais c'est quelque chose de tout à fait autre que y/x. Par exemple, si y/x désigne une courbe, dy/dx désigne une tangente. Et encore pas n'importe quelle tangente.

Je dirais donc que le rapport différentiel est tel qu'il ne signifie rien de concret par rapport à ce dont il est dérivé, c'est dire par rapport à x et à y, mais il signifie autre chose de concret, et c'est par là qu'il assure le passage aux limites. Il assure autre chose de concret, à savoir un z.

C'est exactement comme si je disais que le calcul différentiel est complètement abstrait par rapport à une détermination du type a/b, mais qu'en revanche, il détermine un c. Tandis que la relation axiomatique est complètement formelle de tous les points de vue, si elle est formelle par rapport à a et b, elle ne détermine pas un c qui lui serait concret. Donc elle n'assure pas du tout un passage. Ce serait toute l'opposition classique entre genèse et structure. L'axiomatique c'est vraiment la structure commune à une pluralité de domaines.

La dernière fois on en était à mon second grand titre et ce second grand titre portait sur : Substance, Monde et Compossibilité.

La première partie essayait de dire ce que Leibniz appelait l'analyse infinie. La réponse était ceci : l'analyse infinie remplit la condition suivante : elle apparaît dans la mesure où la continuité et les petites différences ou différences évanouissantes se substituent à l'identité. C'est lorsque l'on procède par continuité et différences évanouissantes que l'analyse devient proprement analyse infinie. Puis je tombe sur le deuxième aspect de la question. Il y aurait analyse infinie et il y aurait matière à analyse infinie lorsque je me trouve devant un domaine qui n'est plus directement régi par l'identique, par l'identité, mais un domaine qui est régi par la continuité et les différences évanouissantes. On arrivait à une réponse relativement claire.

D'où deuxième aspect du problème : qu'est-ce que c'est que la compossibilité ? Qu'est-ce que ça veut dire que deux choses sont compossibles ou non compossibles ? Encore une fois Leibniz nous dit que Adam non-pécheur c'est possible en soi mais ce n'est pas compossible avec le monde existant. Donc il se réclame d'une relation de compossibilité qu'il invente, et vous sentez que c'est très lié à l'idée analyse infinie.

Le problème c'est que l'incompossible ce n'est pas la même chose que le contradictoire. C'est compliqué. Adam non-pécheur c'est incompossible avec le monde existant, il aurait fallu un autre monde. Si on dit ça, je ne vois que trois solutions possibles pour essayer de caractériser la notion d'incompossibilité.

Première solution : on dira qu'il faut bien que d'une manière ou d'une autre, l'incompossibilité implique une espèce de contradiction logique. Il faut bien qu'il y ait contradiction entre Adam non-pécheur et le monde existant. Seulement cette contradiction on ne pourrait la dégager qu'à l'infini; ce serait une contradiction infinie. Alors qu'il y a une contradiction finie entre cercle et carré, il n'y a qu'une contradiction infinie entre Adam non-pécheur et le monde. Certains textes de Leibniz vont dans ce sens. Mais encore une fois nous savons qu'il faut se méfier des niveaux des textes de Leibniz. En fait tout ce qu'on a dit précédemment impliquait que la compossibilité et l'incompossibilité soient vraiment une relation originale irréductible à identité et contradiction. Identité contradictoire.

Bien plus on a vu que l'analyse infinie, en vertu de notre première partie, ce n'était pas une analyse qui découvrait l'identique à l'issue d'une série infinie de démarches. Tous nos résultats de la dernière fois c'était que, loin de découvrir l'identique à la fin d'une série, à la limite d'une série infinie de démarches, loin de procéder ainsi l'analyse infinie substituait le point de vue de la continuité à celui de l'identité. Donc c'est un autre domaine que le domaine identité/contradiction.

Une autre solution que je dis très rapidement parce que là aussi certains textes de Leibniz la suggèrent : c'est que ça dépasse notre entendement parce que notre entendement est fini, dès lors la compossibilité serait bien une relation originale, mais on ne saurait pas quelle est sa racine. Leibniz nous apporte un nouveau domaine, il n'y a pas seulement possible, le nécessaire et le réel. Il y a le compossible et l'incompossible. Il prétendait couvrir toute une région de l'être.

Voilà l'hypothèse que je voudrais faire : Leibniz est un homme pressé, il écrit dans tous les sens, partout, il ne publie pas ou très peu de choses de son vivant. Leibniz a toute la matière, tous les matériaux pour donner une réponse relativement précise à ce problème. Forcément puisque c'est lui qui l'invente, c'est lui qui a la solution. Et puis qu'est-ce qui a fait qu'il n'ait pas regroupé tout ça ? Je crois que ce qui va donner une réponse à ce problème, et à la fois de l'analyse infinie et de la compossibilité, c'est une théorie très curieuse que Leibniz est sans doute le premier à introduire en philosophie, et qu'on pourrait appeler la théorie des singularités.

Chez Leibniz, la théorie des singularités est éparse, elle est partout. On risque même de lire des pages de Leibniz et ne pas voir qu'on est en plein dedans tellement il est discret. La théorie des singularités me paraît avoir deux pôles chez Leibniz : il faudrait dire que c'est une théorie mathématico-psychologique. Et notre travail d'aujourd'hui c'est : qu'est-ce que c'est qu'une singularité au niveau mathématique, et qu'est-ce que Leibniz crée là-dedans ? Est-ce que c'est vrai qu'il fait la première grande théorie des singularités en mathématiques ? Deuxième question : qu'est-ce que c'est que la théorie leibnizienne des singularités psychologiques?

Et dernière question : en quoi est-ce que la théorie mathématico-psychologique des singularités, telle qu'elle est esquissée chez Leibniz nous donne-t-elle une réponse à la question : qu'est-ce que l'incompossible, et donc à la question qu'est-ce que l'analyse infinie ? Qu'est-ce que c'est que cette notion mathématique de singularité ? Pourquoi est-ce que c'est tombé ? En philosophie c'est tout le temps comme ça : il y a quelque chose qui pointe à un moment et ce sera lâché. C'est le cas d'une théorie qui a été plus qu’esquissée par Leibniz, et puis il n'y a pas eu de suite, elle n'a pas eu de chance, pas de suite. Est-ce que ce serait intéressant pour nous de la reprendre ?

Je suis toujours partagé entre deux choses quant à la philosophie : l'idée qu'elle ne nécessite pas un savoir spécial, que vraiment en ce sens n'importe qui est apte à la philosophie, et en même temps que on ne peut pas en faire si l'on n'est pas sensible à une certaine terminologie de la philosophie, et que la terminologie vous pouvez toujours la créer, mais vous ne pouvez pas la créer en faisant n'importe quoi. Vous devez savoir ce que c'est que des termes comme : catégories, concept, idée, a priori, a posteriori, exactement comme on peut pas faire de mathématiques si on ne sait pas ce que c'est que a, b, xy, variables, constantes, équations; il y a un minimum. Or, vous devez attacher de l'importance à ces points là.

Singulier, ça existe de tout temps dans un certain vocabulaire logique. Singulier ne se dit pas différence, et en même temps en relation avec universel. Il y a un autre couple de notions, c'est particulier, qui se dit en référence à général. Donc le singulier et l'universel c'est un rapport l'un avec l'autre; le particulier et le général c'est en rapport. Qu'est-ce que c'est qu'un jugement de singularité, ce n'est pas la même chose qu'un jugement dit particulier, ce n'est pas la même chose qu'un jugement dit général. Je dis juste que, formellement, singulier était pensé, dans la logique classique, en référence avec universel. Et ça n'épuise pas forcément une notion : quand les mathématiciens emploient l'expression de singularité, ils la mettent en rapport avec quoi ? Il faut se laisser guider par les mots. Il y a bien une étymologie philosophique, ou bien une philologie philosophique. Singulier en mathématique se distingue ou s'oppose à régulier. Le singulier c'est ce qui sort de la règle.

Il y a un autre couple de notions employées par les mathématiciens, c'est remarquable et ordinaire. Les mathématiciens nous disent qu'il y a des singularités remarquables et des singularités qui ne sont pas remarquables. Mais nous, par commodité, Leibniz ne fait pas encore cette distinction entre le singulier non remarquable et le singulier remarquable, Leibniz emploie comme équivalents singulier, remarquable et notable. Si bien que lorsque vous trouverez le mot notable chez Leibniz, dites-vous que nécessairement il y a un clin d'oeil, que ça ne veut pas dire bien connu; il engrosse le mot d'une signification insolite. Quand il parlera d'une perception notable dites-vous qu'il est en train de dire quelque chose.

Quel intérêt pour nous ? Voilà que les mathématiques représentent par rapport à la logique déjà un tournant. L'usage mathématique du concept de singularité oriente la singularité sur un rapport avec l'ordinaire ou le régulier, et non plus avec l'universel. On nous convie à distinguer ce qui est singulier et ce qui est ordinaire ou régulier. Quel intérêt pour nous ? Supposez quelqu'un qui dise : ça ne va pas fort dans la philosophie parce que la théorie de la vérité s'est toujours trompée, on s'est avant tout demandé dans une pensée qu'est-ce qui était vrai et qu'est-ce qui était faux, or vous savez, dans une pensée ce n'est pas le vrai et le faux qui comptent, c'est le singulier et l'ordinaire. Qu'est-ce qui est singulier, qu'est-ce qui est remarquable, qu'est-ce qui est ordinaire dans une pensée. Ou bien qu'est-ce qui est ordinaire. Je pense à Kierkegaard qui, bien plus tard, dira que la philosophie a toujours ignoré l'importance d'une catégorie qui est celle de l'intéressant! Du coup, ce n'est peut-être pas vrai que la philosophie l'ait ignoré, il y a au moins un concept philosophico-mathématique de la singularité qui a peut-être quelque chose d'intéressant à nous dire sur le concept d'intéressant.

Ce grand coup de mathématique c'est que la singularité n'est plus pensée par rapport à l'universel, c'est qu'elle est pensée par rapport à l'ordinaire ou au régulier. Le singulier c'est ce qui sort de l'ordinaire et du régulier. Et le dire ça va déjà très loin, puisque le dire indique que dès lors on veut faire de la singularité un concept philosophique, quitte à trouver les raisons de le faire dans un domaine qui est favorable, à savoir les mathématiques. Or, dans quel cas les mathématiques nous parlent-elles du singulier et de l'ordinaire. La réponse est simple : à propos de certains points pris dans une courbe. Pas forcément dans une courbe, mais notamment, ou bien beaucoup plus généralement à propos d'une figure, une figure pourra être dite comporter par nature des points singuliers et d'autres qui sont réguliers ou ordinaires. Pourquoi ça, une figure ? Parce que une figure c'est quelque chose de déterminé! Alors le singulier et l'ordinaire ça ferait partie de la détermination, tiens ça serait intéressant! Vous voyez qu'à force de ne rien dire et de piétiner, on avance beaucoup. Pourquoi pas définir la détermination en général, en disant que c'est une combinaison de singulier et d'ordinaire, et toute détermination serait comme ça. Peut-être ?

Je prends une figure très simple : un carré. Votre exigence légitime serait de me demander qu'est-ce que c'est les points singuliers d'un carré ? Les points singuliers d'un carré il y en a quatre, c'est les quatre sommets a, b, c, d. On va chercher à définir la singularité, mais on en reste à des exemples, on fait une recherche enfantine, on parle de mathématiques, mais on n'en sait pas un mot. On sait juste qu'un carré a quatre côtés, donc il y a quatre points singuliers qui sont des extremums. C'est les points qui marquent, précisément qu’une ligne droite est finie, et qu’une autre, d'orientation différente, à 90° commence. Qu'est-ce que ce sera, les points ordinaires ? Ce sera l'infinité des points qui composent chaque côté du carré; mais les quatre extrémités seront dites des points singuliers.

Question : un cube, combien lui donnez-vous de points singuliers ?

Deleuze: Je vois votre stupeur peinée! Il y a huit points singuliers dans un cube. Voilà ce que, en géométrie la plus élémentaire, on pourra appeler les points singuliers : les points qui marquent l'extrémité d'une ligne droite. Vous sentez que ce n'est qu'un début. J'opposerais donc les points singuliers et les points ordinaires. Une courbe, une figure rectiligne peut-être est-ce que je peux en dire que les points singuliers sont nécessairement des extremums ? Peut-être pas, mais supposons qu'à première vue je peux dire quelque chose comme ça. Pour une courbe, ça se gâte. Prenons l'exemple le plus simple : un arc de cercle, … Là, j’en ai assez du tableau, je fais là, je fais les figures dans l’air… Vous me suivez bien. Je fais un arc de cercle, à votre choix concave ou convexe. En dessous je fais un deuxième arc, convexe si l'autre est concave, concave si l'autre est convexe. Les deux se rencontrent en un point. Je trace en dessous une ligne droite que j'appelle, conformément à la nature des choses, l'ordonnée. Je trace l'ordonnée. [Deleuze se tourne quand même au tableau] J'élève mes perpendiculaires à l'ordonnée. … Il n’y pas de craie ! [Pause lorsque Deleuze se met au tableau ; rires des étudiants] a-b-x-y, là, là, là, vous voyez ? [59 :15-61 :10] Formidable.

Ici je précise, autrement j’aurais l’air de perdre votre temps, c'est un exemple de Leibniz, dans un texte au titre exquis : "Tantanem anagogicum", un petit opuscule de sept pages écrit en latin, et qui veut dire « essais analogiques ». Je dis deux choses : ab a donc deux caractéristiques : c'est le seul segment élevé à partir de l'ordonnée à être unique ; tous les autres ont, comme dit Leibniz, un double, son petit jumeau. En effet, xy a son miroir, son image dans x'y', et vous pourrez vous rapprocher avec des différences évanouissantes de ab ; il n'y a que ab qui soit unique, sans jumeau. Deuxième point : ab peut être dit également un maximum ou un minimum, maximum par rapport à un des arcs de cercle, minimum par rapport à l'autre. Ouf, vous avez tout compris. Je dirais que ab est une singularité.

J'ai introduit l'exemple de la courbe la plus simple : un arc de cercle. C'est un peu plus compliqué : ce que j'ai montré c'est que point singulier n'est pas nécessairement lié, n'est pas restreint à l'extremum, il peut très bien être au milieu, et dans ce cas là il est au milieu. Et c'est soit un minimum, soit un maximum, soit les deux à la fois. D'où l'importance d'un calcul que Leibniz contribuera à pousser très loin, et qu'il appellera le calcul des maximis et des minimis, et encore aujourd'hui ce calcul a une importance immense par exemple dans les phénomènes de symétrie, dans les phénomènes physiques, dans les phénomènes optiques. Je dirais donc que mon point A est un point singulier; tous les autres sont ordinaires ou réguliers. Ils sont ordinaires ou réguliers de deux manières, c'est qu’ils sont en dessous du maximum et au-dessus du minimum, et enfin ils existent en double. Donc on précise un peu cette notion d'ordinaire. C'est un autre cas; c'est une singularité d'un autre cas.

Nouvel effort : prenez une courbe complexe. Qu'est-ce qu'on appellera ses singularités ? Les singularités d'une courbe complexe c'est, au plus simple, les points au voisinage desquels - et vous savez que la notion de voisinage, en mathématique, qui est très différente de la notion de contiguïté, est une notion clé dans tout le domaine de la topologie, et c'est la notion de singularité qui est capable de nous faire comprendre ce que c'est que le voisinage -, donc au voisinage d'une singularité quelque chose change : la courbe croît, ou elle décroît. Ces points de croissance ou de décroissance, je les appellerai des singularités. L'ordinaire c'est la série, c'est ce qui est entre deux singularités; ça va du voisinage d'une singularité au voisinage d'une autre singularité, c'est de l'ordinaire ou du régulier.

On saisit comme des rapports, comme des épousailles très étranges : est-ce que la philosophie dite classique n'a pas son sort relativement lié, et inversement, avec la géométrie, l'arithmétique et l'algèbre classique, c'est à dire les figures rectilignes. Vous me direz que les figures rectilignes comprennent déjà des points singuliers, d'accord, mais une fois que j'ai découvert et construit la notion mathématique de singularité, je peux dire que c'était déjà là dans les figures rectilignes les plus simples. Jamais les figures rectilignes les plus simples ne m'auraient donné une occasion consistante, une nécessité réelle de construire la notion de singularité. C'est simplement au niveau des courbes complexes que ça s'impose. Une fois que je l'ai trouvé au niveau des courbes complexes, alors là oui, je reviens en arrière et je peux dire : ah, c'était déjà dans un arc de cercle, c'était déjà dans une figure simple comme le carré rectiligne, mais avant vous ne pouviez pas.

Intervention : [Bref commentaire inaudible]

Deleuze râle :... Pitié... mon Dieu ... il m'a cassé, pusique…  Vous savez, parler c'est fragile. [Pause] Pitié... ah pitié... [L’étudiant essaie de continuer, mais Deleuze l’arrête] Je te laisserai parler une heure quand tu veux, mais pas maintenant ... pitié ... oh là là ... C'est le trou. [Pause, Deleuze doit se remettre un peu]

Bon, écoutez. Je vous lis un petit texte tardif de Poincaré qui s'occupera beaucoup de la théorie des singularités qui va se développer pendant tout le 18ème et le 19ème siècle. Il y a deux sortes de travaux de Poincaré, des travaux logiques et philosophiques, et des travaux mathématiques. Il est lui-même avant tout mathématicien. Il y a un mémoire de Poincaré sur les équations différentielles. J'en lis un bout sur les espèces de points singuliers dans une courbe renvoyant à une fonction ou à une équation différentielle. Il nous dit qu'il y a quatre sortes de points singuliers : premièrement les cols. Ce sont les points par où passent deux courbes définies par l'équation, et deux seulement. Là l'équation différentielle est telle que, au voisinage de ce point, elle va définir et elle va faire passer deux courbes et deux seulement. Voilà un type de singularité. Deuxième type de singularité: les noeuds où viennent se croiser une infinité de courbes définies par l'équation. Troisième type de singularité : les foyers autour desquels ces courbes tournent en s'en rapprochant à la façon d'une spirale. Enfin quatrième type de singularité : les centres autour desquels les courbes se présentent sous forme de cycle fermé. Et Poincaré, dans la suite du mémoire, explique que, selon lui, un de ses grand mérites mathématiques est d'avoir poussé la théorie des singularités en rapport avec la théorie des fonctions ou des équations différentielles.

Pourquoi est-ce que je cite cet exemple de Poincaré ? Vous trouveriez les notions équivalentes chez Leibniz. Là se dessine un très curieux paysage, avec les cols, les foyers, les centres. C'est vraiment comme une espèce d'astrologie de géographie mathématique. Vous voyez qu'on est allé du plus simple au plus complexe : au niveau d'un simple carré, d'une figure rectiligne, les singularités c'étaient des extremums; au niveau d'une courbe simple, vous avez des singularités encore très faciles à déterminer, dont le principe de détermination était facile, la singularité c'était le cas unique qui n'avait pas de jumeau, ou bien c'était le cas ou maximum et minimum s'identifiaient. Là vous avez des singularités plus complexes quand vous passez à des courbes plus complexes. Donc le domaine des singularités est à proprement parler comme infini.

Quelle va être la formule ? Tant que vous avez à faire à des problèmes dits rectilignes, c'est à dire où il s'agit de déterminer des droites ou des surfaces rectilignes, vous n'avez pas besoin du calcul différentiel. Vous avez besoin du calcul différentiel lorsque vous vous trouvez devant la tâche de déterminer des courbes et des surfaces curvilignes. Ça veut dire quoi ? En quoi est-ce que la singularité est liée au calcul différentiel ? C'est que le point singulier c'est le point au voisinage duquel le rapport différentiel dy/dx change de signe.

Par exemple : sommet, sommet relatif d'une courbe avant qu'elle ne descende, donc vous direz que le rapport différentiel change de signe. Il change de signe à cet endroit, dans quelle mesure ? Dans la mesure où il devient égal, au voisinage de ce point, il devient égal à zéro ou à l'infini. C'est le thème du minimum et du maximum que vous retrouvez là.

Tout cet ensemble consiste à dire : voyez l'espèce de relation entre singulier et ordinaire, tel que vous allez définir le singulier en fonction des problème curvilignes en rapport avec le calcul différentiel, et dans cette tension ou opposition entre point singulier et point ordinaire, ou point singulier et point régulier. C'est ça que les mathématiques nous fournissent comme matériau de base, et encore une fois si il est vrai que dans les cas les plus simples le singulier c'est l'extrémité, dans d'autres cas simples c'est le maximum ou le minimum ou même les deux à la fois; les singularités développent là des rapports de plus en plus complexes au niveau des courbes de plus en plus complexes.

Je retiens la formule suivante : une singularité est un point prélevé ou déterminé sur une courbe, c'est un point au voisinage duquel le rapport différentiel change de signe, et le point singulier a pour propriété de se prolonger sur toute la série des ordinaires qui en dépendent jusqu'au voisinage des singularités suivantes. Donc je dis que la théorie des singularités est inséparable d'une théorie ou d'une activité de prolongement.

Est-ce que ce ne serait pas des éléments pour une définition possible de la continuité ? Je dirais que la continuité ou le continu, c'est le prolongement d'un point remarquable sur une série d’ordinaires jusqu'au voisinage de la singularité suivante. Du coup je suis très content, parce que j'ai enfin une première définition hypothétique de ce qu'est le continu. C'est d'autant plus bizarre que pour obtenir cette définition du continu je me suis servi de ce qui en apparence introduit une discontinuité, à savoir une singularité où quelque chose change; or loin que ça s'oppose, c'est elle qui me permet cette définition approximative. Tant que je peux prolonger une singularité, c’est du continu.

Bon, voilà. C’est tout pour le domaine mathématique. Je passe à l’autre domaine, en faisant semblant qu’ils n’ont aucun rapport, et vous sentez bien que chez Leibniz, ce n’est pas comme ça, qu’il y a évidemment rapports entre les deux domaines.  C’est le domaine cette fois-ci psychologique. Et Leibniz nous dit, enfin, il nous dit une chose très curieuse, que nous savons tous que nous avons des perceptions, que par exemple je vois du rouge, j'entends le bruit de la mer. Ce sont des perceptions; bien plus on devrait leur réserver un nom spécial parce qu'elles sont conscientes. C'est la perception douée de conscience, c'est à dire la perception perçue comme telle par un moi, nous l'appelons aperception, comme apercevoir. Car en effet c'est la perception que j'aperçois. Une aperception ça signifie une perception consciente.

Leibniz nous dit qu'il faut bien dès lors qu'il y ait des perceptions inconscientes dont nous ne nous apercevons pas. On les appelle les petites perceptions, ce sont des perceptions inconscientes. Pourquoi le faut-il ? Pourquoi il faut ? Leibniz donne deux raisons : c'est que nos aperceptions, nos perceptions conscientes sont toujours globales. Ce dont nous nous apercevons c'est toujours d'un tout, que ce tout soit relatif, ou toujours changeant. Ce que nous saisissons par la perception consciente, c'est des totalités relatives. Or il faut bien qu'il y ait des parties puisqu'il y a du tout : ça c'est un raisonnement que Leibniz fait constamment, il faut bien qu'il y ait du simple si il y a du composé ; il l'érige à la hauteur de principe; et ça ne va pas de soi, vous comprenez ce qu'il veut dire ? Il veut dire qu'il n'y a pas d'indéfini, et ça va si peu de soi que ça implique l'infini actuel. Il faut qu'il y ait du simple puisqu'il y a du composé. Il y a des gens qui penseront que tout est composé à l'infini, ce seront les partisans de l'indéfini, mais Leibniz pour d'autres raisons pense que l'infini est actuel, donc il faut bien qu'il y ait dit ça. Dès lors puisque nous percevons le bruit global de la mer quand nous sommes assis sur la plage, il faut bien que nous ayons des petites perceptions de chaque vague, comme il dit sommairement, et bien plus de chaque goutte d'eau. Pourquoi ? C'est une espèce d'exigence logique, et on va voir ce qu'il veut dire.

Le même raisonnement au niveau du tout et des parties, il le fait aussi bien cette fois-ci, non pas en invoquant un principe de totalité mais un principe de causalité : ce que nous percevons c'est toujours un effet, il faut bien qu'il y ait des causes. Et il faut bien que les causes soient elles-mêmes perçues sinon l'effet ne serait pas perçu. Cette fois-ci les gouttelettes ne sont plus les parties qui composent la vague, et les vagues les parties qui composent la mer, mais interviennent comme les causes qui produisent un effet. Vous me direz qu'il n'y a pas grande différence, mais je remarque juste que dans tous les textes de Leibniz il y a toujours deux arguments distincts qu'il est amené perpétuellement à faire coexister : un argument fondé sur la causalité et un argument fondé sur les parties. Rapport cause-effet et rapport partie-tout. Voilà donc que nos perceptions conscientes baignent dans un flux de petites perceptions inconscientes.

D'une part, il faut que ce soit comme ça logiquement, en vertu des principes et de leur exigence, mais les grands moments c'est lorsque l'expérience vient confirmer l'exigence des grands principes. Lorsque se fait la très belle coïncidence des principes et de l'expérience, la philosophie connaît le moment de son bonheur, même si c'est le malheur du philosophe personnellement. Et à ce moment-là le philosophe dit : tout est bien, tout est comme il faut. Alors il faudrait que l'expérience me montre que dans certaines conditions de désorganisation de ma conscience, les petites perceptions forcent la porte de ma conscience et m'envahissent. Quand ma conscience se relâche, je suis donc envahi par les petites perceptions qui ne deviennent pas pour autant des perceptions conscientes, elles ne deviennent pas aperceptions puisque je suis envahi dans ma conscience que lorsque ma conscience est désorganisée. A ce moment-là, un flot de petites perceptions inconscientes m'envahit. Ce n'est pas que ces petites perceptions cessent d'être inconscientes, c'est moi qui cesse d'être conscient. Mais je les vis, il y a un vécu inconscient. Je ne les représente pas, je ne les perçois pas, mais elles sont là, elles fourmillent. Dans quels cas. On me donne un grand coup sur la tête : l'étourdissement, c'est un exemple qui revient tout le temps chez Leibniz. Je suis étourdi, je m'évanouis et un flot de petites perceptions inconscientes arrive : une rumeur dans ma tête. Rousseau connaissait Leibniz, il fera la cruelle expérience de s'évanouir ayant reçu un gros coup, il raconte son retour et le fourmillement de petites perceptions. C'est un texte très célèbre de Rousseau dans les Rêveries d'un promeneur solitaire, qui est le retour à la connaissance.

Cherchons des expériences de pensée : on n'a même pas besoin de faire cette expérience de pensée, on sait que c'est comme ça, alors on cherche par la pensée le type d'expérience qui correspond au principe : l'évanouissement. Leibniz va beaucoup plus loin et dit : est-ce que ce ne serait pas ça la mort ? Ça va poser des problèmes en théologie. La mort ce serait l'état d'un vivant qui ne cesserait pas de vivre, la mort ce serait une catalepsie, c'est du plein Edgar Poe, simplement on est réduit aux petites perceptions.

Et encore une fois, non pas qu'elles envahissent ma conscience, mais c'est ma conscience qui s'étend, qui perd tout son pouvoir propre, qui se dilue parce qu'elle perd conscience de soi, mais très bizarrement elle devient conscience infiniment petite des petites perceptions inconscientes. Ce serait ça la mort. En d'autres termes, la mort ce n'est rien d'autre qu'un enveloppement, les perceptions cessent d'être développées en perceptions conscientes, elles s'enveloppent en infinité de petites perceptions. Ou bien, dit-il, encore le sommeil sans rêve où il y a plein de petites perceptions.

Est-ce qu'il faut dire cela seulement de la perception ? Non. Et là à nouveau, génie de Leibniz. Il y a une psychologie signée Leibniz. Ça a été une des premières théories de l'inconscient. J'en ai presque assez dit pour que vous compreniez en quoi c'est une conception de l'inconscient qui n'a absolument rien à voir avec celle de Freud. Tout ça pour dire ce qu'il y a de nouveau dans Freud : ce n'est évidemment pas l'hypothèse d'un inconscient qui a été faite par de nombreux auteurs, mais c'est la manière dont Freud conçoit l'inconscient. Or, dans la descendance de Freud se trouvera des phénomènes très bizarres de retour à une conception leibnizienne, mais ça je le dirai tout à l'heure.
Mais comprenez qu'il ne peut pas simplement dire ça de la perception, car selon Leibniz, l'âme a deux facultés fondamentales : l'aperception consciente qui est donc composée de petites perceptions inconscientes, et ce qu'il appelle l'appétition, l'appétit, le désir. Et nous sommes faits de désirs et de perceptions. Or, l'appétition c'est l'appétit conscient. Si les perceptions globales sont faites d'une infinité de petites perceptions, les appétitions ou gros appétits sont faits d'une infinité de petites appétitions. Vous voyez que les appétitions ce sont les vecteurs correspondants aux petites perceptions, ça devient un inconscient très bizarre. La goutte de la mer à laquelle correspond la goutte d'eau, à laquelle correspond une petite appétition chez celui qui a soif. Et lorsque je dis "mon Dieu, j'ai soif, j'ai soif", qu'est-ce que je fais ? J'exprime grossièrement un résultat global des mille et mile petites perceptions qui me travaillent, et des mille et mile petites appétitions qui me traversent. Qu'est-ce que ça veut dire ?

Au début du vingtième siècle, un grand biologiste espagnol tombé dans l'oubli, il s'appelait Turro, il fit un livre intitulé en français : Les origines de la connaissance (1914) et ce livre est extraordinaire. Turro disait que quand on dit "j'ai faim" - il a une formation purement biologique -, et on se dit que c'est Leibniz qui s'est réveillé -, et Turro dit que quand on dit "j'ai faim", c'est vraiment un résultat global, c'est ce qu'il appelle une sensation globale. Il emploie ses concepts : la faim globale et les petites faims spécifiques. Il dit que la faim comme phénomène global c'est un effet statistique. De quoi est composée la faim comme substance globale ? De mille petites faims : faim de sels, faim de substances protéiques, faim de graisse, faim de sels minéraux, etc ... Quand je dis "j'ai faim", je fais à la lettre, dit Turro, l'intégrale ou l'intégration de ces mille petites faims spécifiques. Les petites différentielles sont les différentielles de la perception consciente, la perception consciente est l'intégration des petites perceptions. Très bien. Vous voyez que les mille petites appétitions c'est les mille faims spécifiques. Et Turro continue car il y a tout de même quelque chose de bizarre au niveau animal : comment l'animal sait-il ce qu'il lui faut ? L'animal voit des qualités sensibles, il se précipite dessus et mange ça, on mange tous des qualités sensibles. La vache mange du vert. Elle ne mange pas de l'herbe, pourtant elle ne mange pas n'importe quel vert puisqu'elle reconnaît le vert de l'herbe et qu'elle ne mange que le vert de l'herbe. Le carnivore ne mange pas de protides, il mange le truc qu'il a vu, il ne voit pas des protides. Le problème de l'instinct, au niveau le plus simple, c'est : comment est-ce que ça s'explique que les bêtes mangent à peu près ce qui leur convient ? En effet, les bêtes dans un repas mangent la quantité de graisses, la quantité de sel, la quantité de protides nécessaire à l'équilibre de leur milieu intérieur. Et leur milieu intérieur c'est quoi ? Le milieu intérieur c'est le milieu de toutes les petites perceptions et petites appétitions.

Quel drôle de communication entre la conscience et l'inconscient. Chaque espèce mange à peu près ce qu'il lui faut, sauf les erreurs tragiques ou comiques qu'invoquent toujours les ennemis de l'instinct: les chats, par exemple, qui vont juste manger ce qui va les empoisonner, mais c'est rare. C'est ça le problème de l'instinct.

Cette psychologie à la Leibniz invoque les petites appétitions qui investissent des petites perceptions; la petite appétition fait l'investissement psychique de la petite perception, et ça va faire quel monde ? On ne cesse de passer d'une petite perception à une autre, même sans le savoir. Notre conscience en reste aux perceptions globales et aux gros appétits, "j'ai faim", mais lorsque je dis "j'ai faim", il y a toutes sortes de passages, de métamorphoses; ma petite faim de sel qui passe à une autre faim, petite faim de protides; petite faim de protides qui passe à petite faim de graisses, ou tout ce qui se mélange, c'est des hétérogènes. Qu'est-ce que vous faites des enfants mangeurs de terre ? Par quel miracle est-ce qu'ils mangent de la terre alors qu'ils ont besoin de la vitamine dont cette terre contient ? Ça doit être de l'instinct. C'est des monstres! Mais même Dieu a fait les monstres en harmonie.

Alors qu'est-ce que c'est que le statut de la vie psychique inconsciente ? Il est arrivé à Leibniz de rencontrer la pensée de Locke, et Locke avait écrit un livre qui s'appelait "Essai sur l'entendement humain". Leibniz avait été très intéressé par Locke, surtout qu'il trouvait que Locke se trompait en tout. Leibniz s'était amusé à faire un gros livre qu'il avait intitulé "nouveaux essais sur l'entendement humain" et où, chapitre par chapitre, il montrait que Locke était un débile. Il avait tort, mais c'était une grande critique. Et puis il ne l'a pas publié. Il a eu une réaction morale très honnête de sa part, parce que, entre temps, Locke est mort. Tout son gros livre était fini et il l'a laissé de côté, il l'a envoyé à des copains. Je raconte tout ça parce que Locke, dans ses pages les meilleures, construit un concept dont je vais dire le mot anglais "uneasyness". C'est, sommairement, le malaise, l'état de malaise. Et Locke essaie d'expliquer que c'est ça le grand principe de la vie psychique. Vous voyez que c'est très intéressant parce que ça nous sort des banalités sur la recherche du plaisir ou du bonheur. Locke, en gros, dit que c'est bien possible qu'on cherche son plaisir, qu'on cherche son bonheur, peut-être que c'est possible, mais que ce n'est pas ça; il y a une espèce d'inquiétude du vivant. Inquiétude, ce n'est pas non plus l'angoisse. Il lance le concept psychologique d'inquiétude. On n’est ni assoiffé de plaisir, ni assoiffé de bonheur, ni angoissé, il a l'impression qu'on est avant tout inquiet. On ne reste pas en place. Et Leibniz, dans une très belle page, dit qu'on peut toujours essayer de traduire ce concept, mais que finalement très difficile à traduire; ce mot marche bien en anglais, un Anglais voit tout de suite ce que c'est. Nous, on dirait quelqu'un de nerveux. Vous voyez comment il emprunte à Locke et comment il va le transformer : ce malaise du vivant, c'est quoi ? Ce n'est pas du tout le malheur du vivant. C'est que, même quand il est immobile, quand il a sa perception consciente bien cadrée, ça fourmille : les petites perceptions et les petites appétitions qui investissent les petites perceptions fluentes, perceptions fluentes et appétits fluents ne cessent pas de bouger, et c'est ça. Alors, s’il y a un Dieu, et Leibniz est persuadé qu'il y a Dieu, cette uneasyness est si peu un malheur qu'elle ne fait qu'un avec la tendance à développer le maximum de perception, et le développement du maximum de perception définira une espèce de continuité psychique.

On retrouve le thème de la continuité, c'est à dire un progrès indéfini de la conscience.
En quoi est-ce qu'il y a malheur ? C'est qu'il peut toujours y avoir de mauvaises rencontres. C'est comme la pierre lorsqu'elle tend à tomber: elle tend à tomber suivant une voie qui est la voie droite par exemple, et puis elle peut rencontrer un rocher qui l'effrite ou qui la fait éclater. C'est vraiment un accident lié à la loi de la plus grande pente. Ça n'empêche pas que la loi de la plus grande pente c'est le meilleur. On voit bien ce qu'il veut dire.

Voilà donc un inconscient défini par les petites perceptions, et les petites perceptions c'est à la fois des perceptions infiniment petites et les différentielles de la perception consciente. Et les petits appétits c'est à la fois des appétits inconscients et les différentiels de l'appétition consciente. Il y a une genèse de la vie psychique à partir des différentielles de la conscience. D'où l'inconscient leibnizien c'est l'ensemble des différentielles de la conscience. C'est la totalité infinie des différentielles de la conscience. Il y a une genèse de la conscience. L'idée des différentielles de la conscience c'est fondamental. La goutte d'eau et l'appétit pour la goutte d'eau, les petites faims spécifiques, le monde de l'étourdissement. Tout ça, ça fait un drôle de monde.

J'ouvre une parenthèse très rapide. Cet inconscient-là a une longue histoire dans la philosophie. En gros on peut dire que c'est en effet la découverte et la mise en théorie d'un inconscient proprement différentiel. Vous voyez que cet inconscient est très lié à l'analyse infinitésimale, c'est pour ça que je disais un domaine psycho-mathématique. De même qu'il y a des différentielles de la courbe, il y a des différentielles de la conscience. Les deux domaines, le domaine psychique et le domaine mathématique symbolisent. Si je cherche la lignée, c'est Leibniz qui lance la grande idée, la première grande théorie de cet inconscient différentiel, ensuite ça ne cessera pas. Il y a une très longue tradition de cette conception différentielle de l'inconscient à base de petites perceptions et petites appétitions. Ça culminera avec un très grand auteur qui a été toujours bizarrement méconnu en France, un post-romantique allemand qui s'appelle Fechner. C'est un disciple de Leibniz qui développera la conception de l'inconscient différentiel.

Qu'est-ce qu'a apporté Freud ? Certainement pas l'inconscient qui avait déjà une très forte tradition théorique. Ce n'est pas que pour Freud il n'y ait pas de perceptions inconscientes, il y a aussi des désirs inconscients. Vous vous rappelez que pour Freud il y a l'idée que la représentation peut être inconsciente, et en un autre sens l'affect aussi peut être inconscient. Ça répond à perception et appétition. Mais la nouveauté de Freud c'est qu'il conçoit l'inconscient - et là je dis une chose vraiment élémentaire pour marquer une grosse différence -, il conçoit l'inconscient dans un rapport de conflit ou d'opposition avec la conscience, et non pas dans un rapport différentiel. C'est complètement différent de concevoir un inconscient qui exprime des différentiels de la conscience ou de concevoir un inconscient qui exprime une force qui s'oppose à la conscience et qui entre en conflit avec elle. En d'autres termes, chez Leibniz, il y a un rapport entre la conscience et l'inconscient, un rapport de différence à différences évanouissantes, chez Freud il y a un rapport d'opposition de forces. Je pourrais dire que l'inconscient attire des représentations, il les arrache à la conscience, c'est vraiment deux forces antagonistes. Je pourrais dire que philosophiquement Freud dépend de Kant et de Hegel, c'est évident. Ceux qui avaient orienté explicitement l'inconscient dans le sens d'un conflit de volonté, et non plus de différentiel de la perception, c'était l'école de Schopenhauer que Freud connaît admirablement et qui descendait de Kant. Donc il faut sauvegarder l'originalité de Freud, sauf qu'en effet il a bien une préparation dans certaines philosophies de l'inconscient, mais ce n'est certainement pas le courant leibnizien.

Donc notre perception consciente est composée d'une infinité de petites perceptions. Notre appétit conscient est composé d'une infinité de petits appétits. Leibniz est en train de faire une opération bizarre, et si on ne se retenait pas, on aurait envie de protester tout de suite. On pourrait lui dire, d'accord, la perception a des causes, par exemple ma perception du vert, ou ma perception d'une couleur quelconque, elle implique toutes sortes de vibrations physiques. Et ces vibrations physiques ne sont pas elles-mêmes perçues. Qu'il y ait une infinité de causes élémentaires dans une perception consciente, de quel droit Leibniz en conclut-il que ces causes élémentaires soient elles-mêmes objets de perceptions infiniment petites, pourquoi ? Et qu'est-ce qu'il veut dire quand il dit que notre perception consciente est composée d'une infinité de petites perceptions, exactement comme la perception du bruit de la mer est composée de la perception de toutes les gouttes d'eau ?

Si vous regardez de près les textes, c'est très curieux car ces textes disent deux choses différentes, dont l'une est manifestement dite par simplification et l'autre exprime la vraie pensée de Leibniz. Il y a deux rubriques : les unes sont sous la rubrique partie-tout, et à ce moment-là ça veut dire que la perception consciente est toujours celle d'un tout, cette perception d'un tout suppose non seulement des parties infiniment petites, mais suppose que ces parties infiniment petites soient elles-mêmes perçues. Donc la formule : la perception consciente est faire de petites perceptions, je dis que dans ce cas là "est fait de " c'est pareil que "être composé de". Leibniz s'exprime très souvent ainsi. Je prends un texte "Autrement on ne sentirait point le tout" ... s’il n'y avait pas ces petites perceptions, on n'aurait pas conscience du tout. L'organe des sens opère une totalisation des petites perceptions. L'oeil c'est ce qui totalise une infinité de petites vibrations, et dès lors compose avec ces petites vibrations une qualité globale que j'appelle le vert, ou que j'appelle le rouge, etc ... Le texte est net, il s'agit du rapport tout-parties. Quand Leibniz veut aller vite, il a tout intérêt à parler comme ça, mais quand il veut vraiment expliquer les choses, il dit autre chose, il dit que la perception consciente dérive des petites perceptions. Ce n'est pas la même chose est composé de ou dérive de. Dans un cas vous avez le rapport parties-tout, dans l'autre cas vous avez un rapport d'une toute autre nature. Quelle autre nature ? Le rapport de dérivation, ce qu'on appelle une dérivée. Ça aussi ça nous ramène au calcul infinitésimal : la perception consciente dérive de l'infinité des petites perceptions. A ce moment-là je ne dirais plus que l'organe des sens totalise. Remarquez que la notion mathématique d'intégrale réunit les deux : l'intégrale c'est ce qui dérive de et c'est aussi ce qui opère une intégration, une espèce de totalisation, mais c'est une totalisation très spéciale, ce n'est pas une totalisation par additions. On peut dire sans risque de se tromper, que même, bien que Leibniz ne le signale pas, ce sont les seconds textes qui ont le dernier mot. Lorsque Leibniz nous dit que la perception consciente est composée de petites perceptions, ce n'est pas sa véritable pensée. En revanche, sa véritable pensée c'est que la perception consciente dérive des petites perceptions. Qu'est-ce que ça veut dire "dérive de" ?

Voilà un autre texte de Leibniz : "La perception de la lumière ou de la couleur dont nous nous apercevons, i.e la perception consciente - est composée de quantité de petites perceptions sont nous ne nous apercevons pas, et un bruit dont nous ne nous apercevons pas, et un bruit dont nous avions perception mais où nous ne prenons point garde devient aperceptible" - i.e., passe à l'état de perception consciente -, "par une petite addition ou augmentation".

On ne passe plus des petites perceptions à la perception consciente par totalisation comme le suggérait la première forme de texte, on passe des petites perceptions à la perception consciente globale par une petite addition. On croyait comprendre et du coup on ne comprend plus rien. Une petite addition, c'est l'addition d'une petite perception; alors on passe des petites perceptions à la perception globale consciente par une petite perception ? On se dit que ça ne va plus. Du coup, on a tendance à se rabattre sur l'autre sorte de texte, au moins c'était plus clair. C'était plus clair mais insuffisant. Les textes suffisants sont suffisants mais on n'y comprend plus rien. Situation délicieuse, sauf si on tombe par hasard sur un texte voisin où Leibniz nous dit :"il faut considérer que nous pensons à quantité de choses à la fois. Mais nous ne prenons garde qu'aux pensées qui sont les plus distinguées ....".

Car ce qui est remarquable doit être composé de parties qui ne le sont pas - là Leibniz est en train de tout mélanger, mais il fait exprès. Nous qui ne sommes plus innocents, on a repéré le mot "remarquable", et on sait que chaque fois qu'il emploie notable, remarquable, distingué, c'est dans un sens très technique, et en même temps il met de la bouillie partout, car l'idée qu'il y a du clair et du distinct, depuis Descartes, c'était une idée qui courait partout. Lui, glisse son petit "distingué", les pensées les plus distinguées. Comprenez le distingué, le remarquable, le singulier. Alors qu'est-ce que ça veut dire : nous passons des petites perceptions inconscientes à la perception consciente globale par une petite addition. Alors évidemment ce n'est pas n'importe quelle petite addition. Ce n'est ni une autre perception consciente, ni une petite perception inconsciente de plus. Alors qu'est-ce qu'il veut dire ? Il veut dire que vos petites perceptions forment une série d'ordinaires, une série dite régulière : toutes les petites gouttes d'eau, perceptions élémentaires, perceptions infinitésimales. Comment est-ce que vous passez à la perception globale du bruit de la mer ?

Première réponse : par globalisation-totalisation. Réponse du commentateur : d'accord, c'est commode à dire. Jamais on ne penserait à faire une objection. Il faut aimer juste assez un auteur pour savoir qu'il ne se trompe pas, qu'il parle comme ça pour aller vite. Deuxième réponse : je passe par une petite addition. Ça ne peut pas être l'addition d'une petite perception ordinaire ou régulière, ça ne peut pas être non plus l'addition d'une perception consciente puisqu'à ce moment-là la conscience serait présupposée. La réponse c'est que j'arrive à un voisinage d'un point remarquable, donc je n'opère pas une totalisation, j'opère une singularisation. C'est lorsque la série des petites gouttes d'eau perçues s'approche ou entre dans le voisinage d'un point singulier, d'un point remarquable que la perception devient consciente.

C'est une vision tout à fait différente parce qu'à ce moment une grande partie des objections qu'on fait à l'idée d'un inconscient différentiel tombe. Qu'est-ce que ça veut dire ? Viennent les textes qui paraissent les plus complets de Leibniz. Depuis le début, on traîne l'idée que de petites éléments, c'est aussi une manière de parler car ce qui est différentiel ce n'est pas les éléments, ce n'est pas dx par rapport à x, car dx par rapport à x ce n'est rien. Ce qui est différentiel ce n'est pas dy par rapport à y car dy par rapport à y ce n'est rien. Ce qui est différentiel c'est dy/dx, c'est le rapport. C'est ça qui travaille dans l'infiniment petit.

Vous vous rappelez qu'au niveau des points singuliers le rapport différentiel change de signe. Leibniz est en train d'engrosser Freud sans le savoir. A niveau de la singularité des croissances ou des décroissances, le rapport différentiel change de signe, c'est à dire que le signe s'inverse. Dans ce cas de la perception, quel est le rapport différentiel ? Pourquoi est-ce que ce n'est pas des éléments mais bien des rapports ? Ce qui détermine un rapport c'est précisément un rapport entre les éléments physiques et mon corps. Les vibrations et les molécules de mon corps. Vous avez donc dy et dx. C'est le rapport de l'excitation physique à mon corps biologique. C'est ça le rapport différentiel de la perception. Vous comprenez qu'à ce niveau on ne peut plus parler exactement de petites perceptions. On parlera du rapport différentiel entre l'excitation physique et l'état physique en l'assimilant franchement à dy/dx peu importe.

Or la perception devient consciente quand le rapport différentiel correspond à une singularité, c'est à dire change de signe.

Par exemple quand l'excitation se rapproche suffisamment. C'est la molécule d'eau la plus proche de mon corps qui va définir la petite augmentation par laquelle l'infini des petites perceptions devient perception consciente. Ce n'est plus du tout un rapport de parties, c'est un rapport de dérivation. C'est le rapport différentiel de l'excitant et de mon corps biologique qui va permettre de définir le voisinage de la singularité. Voyez en quel sens Leibniz pourrait dire que les inversions de signes, c'est à dire les passages du conscient à l'inconscient et de l'inconscient au conscient, les inversions de signes renvoient à un inconscient différentiel et pas à un inconscient d'opposition.

Quand je faisais allusion à la posétité de Freud, dans Jung par exemple, il y a tout un côté leibnizien, et ce qu'il réintroduit pour la plus grande colère de Freud, et c'est par là que Freud estime que Jung trahit absolument la psychanalyse, c'est un inconscient de type différentiel. Et ça il le doit à la tradition du romantisme allemand qui est très lié aussi à l'inconscient de Leibniz.

Donc on passe des petites perceptions à la perception inconsciente par addition d'un quelque chose de notable, c'est à dire lorsque la série des ordinaires arrive au voisinage de la singularité suivante, si bien que la vie psychique tout comme la courbe mathématique sera soumise à une loi qui est celle de la composition du continu.

Il y a composition du continu puisque le continu est un produit : le produit de l'acte par lequel une singularité se prolonge jusqu'au voisinage d'une autre singularité. Et que ceci travaille, non seulement l'univers du symbole mathématique, mais l'univers de la perception, de la conscience et de l'inconscient.

A partir de là on n'a plus qu'une seule question : qu'est-ce que le compossible et l'incompossible ? Ça en dérive tout droit. On tient la formule de la compossibilité. Je reviens à mon exemple du carré avec ses quatre singularités. Vous prenez une singularité, c'est un point; vous le prenez comme centre d'un cercle. Quel cercle ? Jusqu'au voisinage de l'autre singularité. En d'autres termes, dans le carré abcd, vous prenez a comme centre d'un cercle qui s'arrête ou dont la périphérie est au voisinage de la singularité b. Vous faites la même chose avec b : vous tracez un cercle qui s'arrête au voisinage de la singularité a et vous tracez un autre cercle qui s'arrête au voisinage de la singularité c. Ces cercles se coupent. Vous allez comme ça construire, de singularité en singularité, ce que vous pourrez appeler une continuité. Le cas la plus simple d'une continuité c'est une ligne droite, mais justement il y a aussi continuité des lignes non droites. Avec votre système de cercles qui se coupent, vous direz qu'il y a continuité lorsque les valeurs des deux séries ordinaires, celles de a à b, et celles de b à a, coïncident. Lorsqu'il y a coïncidence des valeurs des deux séries ordinaires comprises dans les deux cercles, vous avez une continuité. Donc vous pouvez construire une continuité faite de continuité. Vous pouvez construire une continuité de continuité, exemple : le carré. Si les séries des ordinaires qui dérivent des singularités divergent, alors vous avez une discontinuité.

Vous direz qu'un monde est constitué par une continuité de continuité. C'est la composition du continu. Une discontinuité est définie lorsque les séries d'ordinaires ou de réguliers qui dérivent de deux points singuliers divergent. Troisième définition : le monde existant est le meilleur ? Pourquoi ? Parce que c'est le monde qui assure le maximum de continuité. Quatrième définition : qu'est-ce que le compossible ? Un ensemble de continuités composées. Dernière définition : qu'est-ce que l'incompossible ? Lorsque les séries divergent, lorsque vous ne pouvez plus composer la continuité de ce monde avec la continuité de cet autre monde. Divergence dans les séries d'ordinaires qui dépendent des singularités, à ce moment-là ça ne peut plus faire partie du même monde.

Vous avez une loi de composition du continu qui est psyho-mathématique. Pourquoi on ne le voit pas ? Pourquoi faut-il toute cette exploration de l'inconscient ? Parce que, encore une fois, Dieu est pervers. La perversité de Dieu c'est qu’il a choisi le monde qui impliquait le maximum de continuité, calcul du maximum, il a choisi le monde et fait passer à l'existence le monde qui impliquait le maximum de continuité, il a composé le monde choisi sous cette forme, seulement il a dispersé les continuités puisque c'est des continuités de continuités. Il les a dispersées. Ça veut dire quoi ? On a l'impression, dit Leibniz, qu'il y a dans notre monde des discontinuités, des sauts, des ruptures. Dans un terme admirable, il dit qu'on a l'impression qu'il y a des chutes de musique. Mais en fait il n'y en a pas. Certains d'entre nous ont l'impression qu'il y a un fossé entre l'homme et l'animal, une rupture. C'est forcé parce que Dieu, dans sa malice extrême, a conçu le monde à choisir sous la forme du maximum de continuité, donc il y a toutes sortes de degrés intermédiaires entre l'animal et l'homme, mais il s'est bien gardé de les mettre sous nos yeux. Au besoin il les a mis dans d'autres planètes de notre monde. Pourquoi ? Parce que finalement c'était bon, c'était bon pour nous que nous puissions croire à l'excellence de notre domination sur la nature. Si on avait vu toutes les transitions entre la pire bête et nous, on aurait été moins vaniteux, alors cette vanité est quand même bonne parce qu'elle permet à l'homme d'asseoir son pouvoir sur la nature. Finalement ce n'est pas une perversité de Dieu, c'est que Dieu n'a pas cessé de casser les continuités qu'il avait construites pour introduire de la variété dans le monde choisi; pour cacher tout le système des petites différences, des différences évanouissantes. Alors il a proposé à notre organe des sens et à notre pensée débile, il a présenté un monde au contraire très tranché. On passe notre temps à dire que les bêtes n'ont pas d'âme (Descartes), ou bien qu'elles ne parlent pas. Mais rien du tout : il y a toutes les transitions, toutes les petites définitions.

Là on tient une relation spécifique qui est la compossibilité ou l'incompossibilité. Je dirais encore une fois que la compossibilité c'est lorsque convergent les séries d'ordinaires, les séries de points réguliers qui dérivent de deux singularités et lorsque leurs valeurs coïncident, sinon il y a discontinuité. Dans un cas vous avez la définition de la compossibilité, dans l'autre cas, la définition de l'incompossibilité.

Pourquoi Dieu a-t-il choisi ce monde plutôt qu'un autre, alors qu'un autre était possible ? Réponse de Leibniz qui devient splendide : c'est parce que c'est le monde qui mathématiquement implique le maximum de continuité, et c'est uniquement en ce sens qu'il est le meilleur des mondes possibles.

Un concept c'est toujours quelque chose de très complexe. La séance d'aujourd'hui on la met sous le signe du concept de singularité. Or le concept de singularité a comme toutes sortes de langages qui se réunissent en lui. Un concept est toujours polyvoque, nécessairement. Le concept de singularité vous ne pouvez le saisir qu’au travers d'un minimum d'appareils mathématiques : les points singuliers par opposition aux points ordinaires ou réguliers, au niveau d'expériences de pensée de type psychologique : qu'est-ce que l'étourdissement, qu'est-ce qu'un murmure, qu'est-ce que la rumeur, etc ... Et au niveau de la philosophie, dans le cas de Leibniz, la construction de cette relation de compossibilité.

Ce n'est pas une philosophie mathématique, pas plus que les mathématiques ne deviennent philosophie, mais dans un concept philosophique il y a toutes sortes d'ordres différents qui nécessairement symbolisent. Il a une tête philosophique, il a une tête mathématique et il a une tête d'expérience de pensée. Et c'est vrai de tous les concepts. Ce fut un grand jour pour la philosophie lorsque quelqu'un a attiré son attention sur ce couple insolite, et c'est ça que j'appelle une création en philosophie. Lorsque Leibniz a lancé ce truc : singulier, voilà exactement l'acte de création; lorsque Leibniz nous dit que singulier, il n'y a pas de raison que vous l'opposiez simplement à l'universel. C'est beaucoup plus intéressant si vous écoutez ce que disent les mathématiciens qui eux, pour des raisons qui sont les leurs, pensent singulier non pas en rapport avec universel, mais en rapport avec ordinaire ou régulier. Leibniz ne fait pas des mathématiques à ce moment-là.

Je dirais que son inspiration est mathématique et il va faire une théorie philosophique, notamment toute une conception de la vérité qui est radicalement nouvelle puisque ça va consister à dire : ne faites pas trop attention à l'histoire du vrai et du faux, ne demandez pas dans votre pensée ce qui est vrai et ce qui est faux, parce que ce qui est vrai et ce qui est faux dans votre pensée, ça découle toujours de quelque chose de beaucoup plus profond.

Ce qui compte dans une pensée, c'est les points remarquables et les points ordinaires. Il faut les deux : si vous n'avez que des points singuliers dans une pensée, vous n'avez pas de méthode de prolongement, c'est zéro; si vous n'avez que des points ordinaires, vous avez intérêt à penser autre chose. Et plus vous vous croyez vous-mêmes remarquable et moins vous pensez de points remarquables. En d'autres termes, la pensée du singulier c'est la pensée la plus modeste du monde, c'est là que le penseur devient nécessairement modeste, parce que le penseur c'est le prolongement sur la série des ordinaires, et la pensée elle, elle éclate dans l'élément de la singularité, et l'élément de la singularité c'est le concept.

 

[1] Cf. https://www.youtube.com/watch?v=70-oa98QgvI&list=PL9kBLt-Nsd7sq6hkuanJ34fXtzJJ9FKic&index=1

 

Notes

For archival purposes, an initial version of this translation was prepared based on the available transcript at Web Deleuze and posted there in 1998, then prepared for addition to this site in March 2019. Additional revisions to both the French transcript and the English translation occurred in April 2019 based on access to the YouTube video of the seminar.