April 22, 1980

What precisely does it mean to do philosophy? Starting from a very simple notion: to do philosophy is to create concepts, just as doing painting is to create lines and colors. Doing philosophy is creating concepts because concepts are not something that pre-exists, not something that is given ready-made. In this sense, we must define philosophy through an activity of creation: creation of concepts. This definition seemed perfectly suitable for Leibniz who, precisely, in an apparently fundamentally rationalist philosophy, is engaged in a kind of exuberant creation of unusual concepts of which there are few such strange examples in the history of philosophy.

Seminar Introduction

5 seminars (11 hours): During academic year 1979-80, Deleuze undertakes a thirteen-session study of Apparatuses of State and War Machines (6 Nov 1979 - 25 March 1980).

At the start of the 26 February 1980 seminar, Deleuze explains, “some of you asked me to do something that would be a kind of presentation on a very great philosopher, one that is very difficult, named Leibniz. So, I could do so unless there are any… if you have subjects or problems connected to your own research, we could see. … This depends greatly on you, a certain number of whom have been working with me for… a long time, a lot of years, and all that we’ve done for four or five years, I think are some very different things, but these are things focusing on some of the same notions. So, it could be very useful again to take up certain notions that we have worked on over several years…. So anything is possible; it’s up to you, but as of now, or in a coming meeting, I will do something on Leibniz… a special request.”

This brief seminar clearly predates publication of his 1988 book on Leibniz, The Fold, Leibniz and the Baroque, by 6 years, as well as the twenty-session seminar undertaken in 1986-87.

English Translation


The second of five introductory sessions on Leibniz's philosophy, with the general heading “Substance, World, and Compossibility.”

Jorge Luis Borges, author of "The Garden of the Forking Paths," in Ficciones. 


Gilles Deleuze

Seminar on Leibniz: Philosophy and the Creation of Concepts

Lecture 02, 22 April 1980

Translation and supplementary additions from transcript completed from the YouTube video,[1] Charles J. Stivale


The last time, as we agreed, we had begun a series of studies on Leibniz that should be conceived as an introduction to a reading, yours, of Leibniz.

To introduce a numerical clarification, I relied on numbering the paragraphs so that everything did not get mixed up.

The last time, our first paragraph was a kind of presentation of Leibniz's principal concepts. As background to all this, there was a corresponding problem for Leibniz, but obviously much more general, to wit: what precisely does it mean to do philosophy. Starting from a very simple notion: to do philosophy is to create concepts, just as doing painting is to create lines and colors. Doing philosophy is creating concepts because concepts are not something that pre-exists, not something that is given ready made. In this sense, we must define philosophy through an activity of creation: creation of concepts. This definition seemed perfectly suitable for Leibniz who, precisely, in an apparently fundamentally rationalist philosophy, is engaged in a kind of exuberant creation of unusual concepts of which there are few such strange examples in the history of philosophy.

If concepts are the object of a creation, then one must say that these concepts are signed. There is a signature, not that the signature establishes a link between the concept and the philosopher who created it. Rather the concepts themselves are signatures. The entire first paragraph caused a certain number of properly Leibnizian concepts to emerge. The two principal ones that we discerned were inclusion and compossibility. There are all kinds of things that are included in certain things, or enveloped in certain things. Inclusion, envelopment. Then, the completely different, very bizarre concept of compossibility: there are things which are possible in themselves, but that are not compossible with another.

Today, I would like to give a title to this second paragraph, this second inquiry on Leibniz: Substance, World, and Continuity.

The purpose of this second paragraph is to analyze more precisely these two major concepts of Leibniz: Inclusion and Compossibility.[2]

At the point where we ended the last time, we found ourselves faced with two problems: the first is that of inclusion. In what sense? We saw that if a proposition were true, it was necessary in one way or another that the predicate or attribute be contained or included -- not in the subject --, but in the notion of the subject. If a proposition is true, the predicate must be included in the notion of the subject. Let’s allow ourselves the freedom to accept that and, as Leibniz says, if Adam sinned, the sin had to be contained or included in the individual notion of Adam. Everything that happens, everything that can be attributed, everything that is predicated about a subject must be contained in the notion of the subject. This is a philosophy of predication. Faced with such a strange proposition, if one accepts this kind of Leibnizian gamble, one finds oneself immediately faced with problems. Specifically if any given event that concerns a specific individual notion, for example, Adam, or Caesar -- Caesar crossed the Rubicon, it is necessary that crossing the Rubicon be included in the individual notion of Caesar -- great, O.K., we are quite ready to support Leibniz. But if we say that, we cannot stop: if a single thing is contained in the individual notion of Caesar, like "crossing the Rubicon," then it is quite necessary that, from effect to cause and from cause to effect, the totality of the world be contained in this individual notion. Indeed, crossing the Rubicon itself has a cause that must also be contained in the individual notion, etc. etc. to infinity, both ascending and descending. At that point, the entire Roman empire -- which, grosso modo, results from the crossing of the Rubicon as well as all the consequences of the Roman empire -- in one way or another, all of this must be included in the individual notion of Caesar such that every individual notion will be inflated by the totality of the world that it expresses. It expresses the totality of the world. There we see the proposition becoming stranger and stranger.

There are always delicious moments in the history of philosophy, and one of the most delicious of these came at the far extreme of reason -- that is, when rationalism, pushed all the way to the end of its consequences, engendered and coincided with a kind of delirium that was a delirium of madness. At that moment, we witness this kind of procession, a parade, in which the same thing that is rational pushed to the far end of reason is also delirium, but delirium of the purest madness. Thus, if it is true that the predicate is included in the notion of the subject, each individual notion must express the totality of the world, and the totality of the world must be included in each notion. We saw that this led Leibniz to an extraordinary theory that is the first great theory in philosophy of perspective or point of view since each individual notion will be said to express and contain the world; yes, but from a certain point of view which is deeper, notably it is subjectivity that refers to the notion of point of view and not the notion of point of view that refers to subjectivity. This is going to have many consequences in philosophy, starting with the echo that this would have for Nietzsche in the creation of a perspectivist philosophy.

The first problem is this: in saying that the predicate is contained in the subject, we assume that this brought up all sorts of difficulties, specifically: can relations be reduced to predicates, can events be considered as predicates? But let us accept that. We can find Leibniz wrong only starting from an aggregate of conceptual coordinates from those of Leibniz. A true proposition is one for which the attribute is contained in the subject; we see quite well what that can mean on the level of truths of essences. Truths of essences, be they metaphysical truths (concerning God), or else mathematical truths. If I say 2+2=4, there is quite a bit to discuss about that, but I immediately understand what Leibniz meant, always independently of the question of whether he is right or wrong; we already have enough trouble knowing what someone is saying that if, on top of that, we wonder if he is right, then there is no end to it. 2+2=4 is an analytical proposition. I remind you that an analytical proposition is a proposition for which the predicate is contained in the subject or in the notion of the subject, specifically it is an identical proposition or is reducible to the identical. Identity of the predicate with the subject. Indeed, Leibniz tells us: I can demonstrate through a series of finite procedures, a finite number of operational procedures, I can demonstrate that 4, by virtue of its definition, and 2+2, by virtue of their definition, are identical. Can I really demonstrate it, and in what way? Obviously, I do not pose the problem of how. We understand generally what that means: the predicate is encompassed in the subject, that means that, through a group of operations, I can demonstrate the identity of one and the other. Leibniz selects an example in a little text called "On Freedom." He proceeds to demonstrate that every number divisible by twelve is by this fact divisible by six. Every duodecimal number is sextuple. Notice that in the logistics of the nineteenth and twentieth centuries, you will again find proofs of this type that, notably, made Russell famous. Leibniz's proof is very convincing: he first demonstrates that every number divisible by twelve is identical to those divisible by two, multiplied by two, multiplied by three. It's not difficult. On the other hand, he proves that the number divisible by six is equal to that divisible by two multiplied by three. By that, what did he reveal? He revealed an inclusion since two multiplied by three is contained in two multiplied by two multiplied by three.

It's an example that helps us understand on the level of mathematical truths that we can say that the corresponding proposition is analytical or identical. That is, the predicate is contained in the subject. That means, strictly speaking, that I can make into an aggregate, into a series of determinate operations, a finite series of determinate operations -- I insist on that -- I can demonstrate the identity of the predicate with the subject, or I can cause an inclusion of the predicate in the subject to emerge. And that boils down to the same thing. I can display this inclusion, I can show it. Either I can demonstrate the identity or I can show the inclusion.

He showed the inclusion when he showed, for example – what is not an identity, a pure identity, that would be: any number divisible by twelve is divisible by two -- a pure identity would have been: any number divisible by twelve is divisible by twelve -- but with that, we reach another case of truth of essence: any number divisible by twelve is divisible by six, this time he does not stop at showing an identity, he shows an inclusion resulting from finite operations, quite determinate. That's what truths of essence are. I can say that inclusion of the predicate in the subject is proven by analysis and that this analysis responds to the condition of being finite, that is, it only includes a limited number of quite determinate operations.

But when I say that Adam sinned, or that Caesar crossed the Rubicon, what is that? That no longer refers to a truth of essence, it's specifically dated, Caesar crossed the Rubicon here and now, with reference to existence, since Caesar crossed the Rubicon only if it existed. 2+2=4 occurs in all time and in all places. Thus, there are grounds to distinguish truths of essence from truths of existence.

The truth of the proposition "Caesar crossed the Rubicon" is not the same type as 2+2=4. And yet, by virtue of the principles we saw the last time, no less for truths of existence than for truths of essence, the predicate must be in the subject and included in the notion of the subject; included therefore for all eternity in the notion of the subject, including for all eternity that Adam will sin in a particular place at a particular time. This is a truth of existence. No less than for truths of essence, for truths of existence, the predicate must be contained in the subject. Granted, but no less, that does not mean in the same way. And in fact, and this is our problem, what initial great difference is there between truth of essence and truth of existence? We sense it immediately. For the truths of existence, Leibniz tells us that even there, the predicate is contained in the subject. The "sinner" must be contained in the individual notion of Adam, just look: if the sinner is contained in the individual notion of Adam, it's the entire world that is contained in the individual notion of Adam; if we follow the causes back and if we track down the effects, as it's the entire world, you understand that the proposition "Adam sinned" must be an analytical proposition, only in that case, the analysis is infinite. The analysis extends to infinity.

Now what could that even mean? It seems to mean this: in order to demonstrate the identity of "sinner" and "Adam," or the identity of "who crossed the Rubicon" and "Caesar," this time an infinite series of operations is required. It goes without saying that we aren't capable of that, or it appears that we aren't. Are we capable of making an analysis to infinity? Leibniz is quite formal: [no], you, us, men, are not able to do so. Thus, in order to situate ourselves in the domain of truths of existence, we have to wait for the experience. So why does he present this whole story about analytical truths? He adds: yes, but infinite analysis, on the other hand, not only is possible, but created in the understanding of God. Does it suit us that God, he who is without limits, he who is infinite, can undertake infinite analysis? We're happy, we're happy for him, but at first glance, we wonder what Leibniz is talking about. I emphasize only that our initial difficulty is: what is infinite analysis? Any proposition is analytical, only there is an entire domain of our propositions that refers to an infinite analysis. We are hopeful: if Leibniz is one of the great creators of differential calculus or of infinitesimal analysis, undoubtedly this is in mathematics, and he always distinguished philosophical truths and mathematical truths, and so it's not a question for us of mixing up everything. But it's impossible to think that, when he discovers a certain idea of infinite analysis in metaphysics, that there aren't certain echoes in relation to a certain type of calculus that he himself invented, notably the calculus of infinitesimal analysis.

So, there is my initial difficulty: when analysis extends to infinity, what type or what is the mode of inclusion of the predicate in the subject? In what way is "sinner" contained in the notion of Adam, once it is stated that the identity of sinner and Adam can appear only in an infinite analysis? What does infinite analysis mean, then, when it seems that there is analysis only under conditions of a well-determined finitude? That's a tough problem.

Second problem. I just exposed already a first difference between truths of essence and truths of existence. In truths of essence, the analysis is finite, in truths of existence, the analysis is infinite. That is not the only one, for there is a second difference: according to Leibniz, a truth of essence is such that its contradictory is impossible, that is, it is impossible for 2 and 2 not to make 4. Why? For the simple reason that I can prove the identity of 4 and of 2+2 through a series of finite procedures. Thus 2+2=5 can be proven to be contradictory and impossible. Adam non sinner, Adam who might not have sinned, I therefore seize the contradictory of sinner. It's possible. The proof is that, following the great criterion of classical logic -- and from this perspective Leibniz remains within classical logic -- I can think nothing when I say 2+2=5, I cannot think the impossible, no more than I think whatever it might be according to this logic when I say squared circle. But I can very well think of an Adam who might not have sinned. Truths of existence are called contingent truths.

Caesar could have not crossed the Rubicon. Leibniz's answer is admirable: certainly, Adam could have not sinned, Caesar could have not crossed the Rubicon. Only here it is: this was not compossible with the existing world. An Adam non sinner enveloped another world. This world was possible in itself, a world in which the first man might not have sinned is a logically possible world, only it is not compossible with our world. That is, God chose a world such that Adam sinned. Adam non sinner implied another world; this world was possible, but it was not compossible with ours.

Why did God choose this world? Leibniz goes on to explain it. Understand that at this level, the notion of compossibility becomes very strange: what is going to make me say that two things are compossible and that two other things are incompossible? Adam non sinner belongs to another world than ours, but suddenly Caesar might not have crossed the Rubicon either, that would have been another possible world. What is this very unusual relation of compossibility? Understand that perhaps this is the same question as what is infinite analysis, but it does not have the same outline [aspect]. So we can derive a dream out of it, we can have this dream on several levels. You dream, and a kind of wizard is there who makes you enter a palace; this palace... it's the dream of Apollodorus told by Leibniz. Apollodorus is going to see a goddess, and this goddess leads him into the palace, and this palace is composed of several palaces. Leibniz loved that, boxes containing boxes. He explained, in a text that we will examine, he explained that in the water, there are many fish and that in the fish, there is water, and in the water of these fish, there are fish of fish. It's infinite analysis. The image of the labyrinth hounds him. He never stops talking about the labyrinth of continuity. This palace is in the form of a pyramid. Then, I look closer and, in the highest section of my pyramid, closest to the point, I see a character who is doing something. Right underneath, I see the same character who is doing something else in another location. Again underneath the same character is there in another situation, as if all sorts of theatrical productions were playing simultaneously, completely different, in each of the palaces, with characters that have common segments. It's a huge book by Leibniz called Theodicy, specifically divine justice.

You understand, what he means is that at each level is a possible world. God chose to bring into existence the extreme world closest to the point of the pyramid. How was he guided in making that choice? We shall see, we must not hurry since this will be a tough problem, what the criteria are for God's choice. But once we've said that he chose a particular world, this world implicated Adam sinner; in another world, obviously all that is simultaneous; these are variants, one can conceive of something else, and each time, it's a world. Each of them is possible. They are incompossible with one another, only one can pass into existence. And all of them attempt with all their strength to pass into existence. The vision that Leibniz proposes of the creation of the world by God becomes very stimulating. There are all these worlds that are in God's understanding, and each of which on its own presses forward pretending to pass from the possible into the existent. They have a weight of reality, as a function of their essences. As a function of the essences they contain, they tend to pass into existence. And this is not possible for they are not compossible with each other: existence is like a dam. A single combination will pass through. Which one? You already sense Leibniz's splendid response: it will be the best one!

And not the best one by virtue of a moral theory, but by virtue of a theory of games. And it's not by chance that Leibniz is one of the founders of statistics and of the calculus of games. And all that will get more complicated... 

What is this relation of compossibility? I just want to point out that a famous author today is Leibnizian. What does it mean to be Leibnizian today? I think that means two things, one not very interesting and one very interesting. The last time, I said that the concept is in a special relationship with the scream. There is an uninteresting way to be Leibnizian or to be Spinozist today, by job necessity, people working on an author, but there is another way to make use of a philosopher, one that is non-professional. These are people who are able not to be philosophers. What I find amazing in philosophy is when a non-philosopher discovers a kind of familiarity that I can no longer call conceptual, but immediately seizes upon a familiarity between his very own screams and the concepts of the philosopher. He doesn’t need to be a philosopher for that. He could be, though. I think of a letter late in Nietzsche’s life; he had read Spinoza early on and, in this letter, he had just re-read him, and he exclaims: I can't get over it! I can't get over it! I have never had a relation with a philosopher like the one I have had with Spinoza. And that interests me all the more when it's from non-philosophers. When the British novelist Lawrence expresses in a few words the way Spinoza overwhelmed him completely. That gets very interesting, and he doesn’t become a philosopher over that, thank God. What did he grasp? What does that mean? When Kleist discovers himself, he stumbles across Kant, he literally can't get over it. What is happening here? What is this kind of communication? I mean that this kind of communication, if it can occur between a great poet or a great literary writer and a philosopher, it can occur as well, it seems to be, between someone without much cultural background (inculte) and a philosopher. I believe that Spinoza shook up many readers with limited cultural background. It’s strange.

Let’s consider… Since we are talking about Leibniz, what could all this mean? There’s an author who is well known today, an Argentinean, named Borges, an extremely learned author who read widely. He is always talking about two things: the book that does not exist [end of the tape: that should be treated as a book that exists, that is going to be written and told as an existing book, and the labyrinth. He has no trouble showing that they are the same thing, that the non-existent book that exist and the labyrinth are the same. And, I am saying something obvious here: throughout his entire works, Borges is fundamentally and deeply Leibnizian. It’s true in all his writing, but yet again, I take an example that I refer to you because this gives Borges a [modern] aspect, a kind of police tale. He loved police stories, Borges, but so did Leibniz. In Ficciones, there is a short story, "The Garden of Forking Paths." As I summarize the story, keep in mind the famous dream of the Theodicy.

"The Garden of Forking Paths," what is it? It's the infinite book, the world of compossibilities. The idea of the Chinese philosopher being involved with the labyrinth is an idea of Leibniz's contemporaries, appearing in mid-17th century. There is a famous text by Malebranche that is a discussion with the Chinese philosopher, with some very odd things in it. Leibniz is fascinated by the Orient, and he often cites Confucius. Borges made a kind of copy that conformed to Leibniz's thought with an essential difference: for Leibniz, all the different worlds that might encompass an Adam sinning in a particular way, an Adam sinning in some other way, or an Adam not sinning at all, he excludes all this infinity of worlds from each other, they are incompossible with each other, such that he conserves a very classical principle of disjunction: it's either this world or some other one. Whereas Borges places all these incompossible series in the same world, allowing a multiplication of effects. Leibniz would never have allowed incompossibles to belong to a single world. Why? I only state our two difficulties: the first one is, what is an infinite analysis, and the second, what is this relationship of incompossibility? The labyrinth of infinite analysis and the labyrinth of compossibility.

Most commentators on Leibniz, to my knowledge, try in the long run to situate compossibility in a simple principle of contradiction. They conclude that there would be a contradiction between Adam non sinner and our world. But, Leibniz's letter already appears to us such that this would not be possible. It's not possible since Adam non sinner is not contradictory in itself and the relation of compossibility is absolutely irreducible to the simple relation of logical possibility. So trying to discover a simple logical contradiction would be once again to situate truths of existence within truths of essence. Henceforth it's going to be very difficult to define compossibility.

Still remaining within this paragraph on substance, the world, and continuity, I would like to ask the question, what is infinite analysis? I ask you to remain extremely patient. We have to be wary of Leibniz's texts because they are always adapted to the correspondents within given audiences, and if I again take up his dream, I must change it, and a variant of the dream, even within the same world, would result in levels of clarity or obscurity such that the world might be presented from one point of view or another. So that for Leibniz's texts, we have to know to whom he addresses them in order to be able to judge them.

Here is a first kind of text by Leibniz in which he tells us that, in any proposition, the predicate is contained in the subject. Only it is contained either in act -- actually -- or virtually. The predicate is contained in the subject, but this inclusion, this inherence is either actual or virtual. We would like to say that all this works fine. Let us agree that in a proposition of existence of the type Caesar crossed the Rubicon, the inclusion is only virtual; specifically crossing the Rubicon is contained in the notion of Caesar, but is only virtually contained. Second kind of text: the infinite analysis in which sinner is contained in the notion of Adam is an indefinite analysis, that is, I can move back from sinner to another term, then to another term, etc... Exactly as if sinner = 1/2+1/4+1/8, etc., to infinity. This would result in a certain status: I would say that infinite analysis is virtual analysis, an analysis that goes toward the indefinite. There are texts by Leibniz saying that, notably in "The Discourse on Metaphysics," but in "The Discourse on Metaphysics," Leibniz presents and proposes the totality of his system for use by people with little philosophical background. I choose another text that seems to contradict the first; in a more scholarly text, "On Freedom," Leibniz uses the word "virtual," but quite strangely, he does not use this word with reference to truths of existence, but to truths of essence.

This text is already sufficient for me to say that it is not possible for the distinction truths of essence/truths of existence to be reduced to saying that in truths of existence, inclusion would only be virtual, since virtual inclusion is one case of truths of essence. In fact, you recall that truths of essence refer to two cases: the pure and simple identity in which we demonstrate the identity of the predicate and the subject, and the discovery of an inclusion of the type ‘every number divisible by 12 is divisible by 6,’ (I demonstrate the inclusion following a finite operation), and it is for the latter case that Leibniz says: I have discovered a virtual identity. Thus it is not enough to say that infinite analysis is virtual.

Can we say that this is an indefinite analysis? No, because an indefinite analysis would be the same as saying that it's an analysis that is infinite only through my lack of knowledge, that is, I cannot reach the end of it. Henceforth, God with his understanding would reach the end. Is that it? No, it's not possible for Leibniz to mean that because the indefinite never existed in his thinking. We have here notions that are incompatible, anachronistic. Indefinite is not one of Leibniz's gimmicks [trucs]. What is the indefinite, rigorously defined? What differences are there between indefinite and infinite?

The indefinite is the fact that I must always pass from one term to another term, always, without stopping, but without the following term at which I arrive pre-existing. It is my own procedure that consists in causing creation. If I say 1=1/4+1/8, etc...., we must not believe that this "etc." pre-exists, it's my procedure that makes it appear each time, that is, the indefinite exists in a procedure through which I never stop pushing back the limit that I confront. Nothing pre-exists. It's Kant who will be the first philosopher to give a status to the indefinite, and this status will be precisely that the indefinite refers to an aggregate that is not separable from the successive synthesis that runs through it. That is, the terms of the indefinite series do not pre-exist the synthesis that goes from one term to another.

Leibniz does not know that. Moreover, the indefinite appears to him to be purely conventional or symbolic; why? There is an author who said quite well what creates the family resemblance of philosophers of the 17th century, it was Merleau-Ponty. He wrote a small text on so-called classical philosophers of the seventeenth century, and he tried to characterize them in a lively way, and said that what is so incredible in these philosophers is an innocent way of thinking starting from and as a function of the infinite. That's what the classical century is. This is much more intelligent than to tell us that it's an era in which philosophy is still confused with theology. That's stupid. One must say that if philosophy is still confused with theology in the 17th century, it's precisely because philosophy is not separable at that time from an innocent way of thinking as a function of infinity.

What differences are there between the infinite and the indefinite? It's this: the indefinite is virtual; in fact, the following term does not exist prior to my procedure having constituted it. What does that mean? The infinite is actual, there is no infinite except in act . So there can be all sorts of infinites. Think of Pascal. It's a century that will not stop distinguishing orders of infinities, and the thought of orders of infinity is fundamental throughout the 17th century. It will fall back on our heads, this thought, at the end of the 19th and 20th centuries precisely with the theory of so-called infinite aggregates. With infinite aggregates, we rediscover something that worked at the basis of classical philosophy, notably the distinction of orders of infinities: this obviously includes Pascal, Spinoza with the famous letter on infinity, and Leibniz who would subordinate an entire mathematical apparatus to the analysis of the infinite and orders of infinities. Specifically, in what sense can we say that an order of infinities is greater than another, what is an infinite that is greater than another infinite, etc...? An innocent way of thinking starting from the infinite, but not at all in a confused way since all sorts of distinctions are introduced.

In the case of truths of existence, Leibniz's analysis is obviously infinite. It is not indefinite. Thus, when he uses the words virtual, etc..., there is a formal text that supports this interpretation that I am trying to sketch, it's a text taken from "On Freedom" in which Leibniz says exactly this: "When it is a matter of analyzing the inclusion of the predicate sinner in the individual notion Adam, God certainly sees, not the end of the resolution, but the end that does not take place." Thus, in other words, even for God there is no end to this analysis. So, you will tell me that it's indefinite even for God? No, it's not indefinite since all the terms of the analysis are given. If it were indefinite, all the terms would not be given, they would be given little by little. They would not be given in a pre-existing manner. In other words, in an infinite analysis, we reach what result? You have a passage of infinitely small elements one to another, the infinity of infinitely small elements being given. Of such an infinity, we will say that it is actual since the totality of infinitely small elements is given. You will say to me that we can then reach the end! No, by its nature, you cannot reach the end since it's an infinite aggregate. The totality of elements is given, and you pass from one element to another, and thus you have an infinite aggregate of infinitely small elements. You pass from one element to another: you perform an infinite analysis, that is, an analysis without end, neither for you nor for God.

What do you see if you perform this analysis? Let us assume that there is only God that can do it, you make yourself the indefinite because your understanding is limited, but as for God, he makes infinity. He does not see the end of the analysis since there is no end of the analysis, but he performs the analysis. Furthermore, all the elements of the analysis are given to him in an actual infinity. So that means that sinner is connected to Adam. Sinner is an element; it is connected to the individual notion of Adam by an infinity of other elements actually given. Fine, it's the entire existing world, specifically all this whole compossible world that has passed into existence. We are getting at something quite profound here. When I perform the analysis, I pass from what to what? I pass from Adam sinner to Eve temptress, from Eve temptress to the evil Serpent, to the apple. It's an infinite analysis, and it's this infinite analysis that shows the inclusion of sinner in the individual notion Adam. What does that mean, the infinitely small element? Why is sin an infinitely small element? Why is the apple an infinitely small element? Why is crossing the Rubicon an infinitely small element? You understand what that means? There are no infinitely small elements, so an infinitely small element means obviously, we don't need to say it, it means an infinitely small relation between two elements. It is a question of relations, not a question of elements. In other words, an infinitely small relation between elements, what can that be? What have we achieved in saying that it is not a question of infinitely small elements, but of infinitely small relations between two elements? And you understand that if I speak to someone who has no idea of differential calculus, you can tell him it's infinitely small elements. Leibniz was right. If it's someone who has a very vague knowledge, he has to understand that these are infinitely small relations between finite elements. If it's someone who is very knowledgeable in differential calculus, I can perhaps tell him something else.

Infinite analysis that goes on to demonstrate the inclusion of the predicate in the subject at the level of truths of existence, does not proceed by the demonstration of an identity, even a virtual one. It's not that. But Leibniz, in another drawer, has another formula to give you: identity governs truths of essence, but not truths of existence; all the time he says the opposite, but that has no importance. Ask yourself to whom he says it. So what is it? What interests him at the level of truths of existence is not identity of the predicate and the subject, it's rather that one passes from one predicate to another, from one to another, and again on from one to another, etc.... from the point of view of an infinite analysis, that is, from the maximum of continuity.
In other words, it's identity that governs truths of essence, but it's continuity that governs truths of existence. And what is a world? A world is defined by its continuity. What separates two incompossible worlds? It's the fact that there is discontinuity between the two worlds. What defines a compossible world? It's the compossibility of which it is capable. What defines the best of worlds? It's the most continuous world. The criterion of God's choice will be continuity. Of all the worlds incompossible with each other and possible in themselves, God will cause to pass into existence the one that realizes the maximum of continuity.

Why is Adam's sin included in the world that has the maximum of continuity? We have to believe that Adam's sin is a formidable connection, that it's a connection that assures continuities of series. There is a direct connection between Adam's sin and the Incarnation and the Redemption by Christ. There is continuity. There are something like series that are going to begin to fit into each other across the differences of time and space. In other words, in the case of truths of essence, I demonstrated an identity in which I revealed an inclusion; in the case of truths of existence, I am going to witness a continuity assured by the infinitely small relations between two elements. Two elements will be in continuity when I will be able to assign an infinitely small relation between these two elements.

I have passed from the idea of an infinitely small element to the infinitely small rapport between two elements, [but] that's not enough. A greater effort is required. Since there are two elements, there is a difference between the two elements: between Adam's sin and the temptation of Eve, there is a difference, only what is the formula of the continuity? We will be able to define continuity as the act of a difference in so far as it tends to disappear. Continuity is an evanescent difference. Notice, this is a new concept from Leibniz, the evanescent difference.

What does it mean that there is continuity between the seduction by Eve and Adam's sin? It means that the difference between the two is an evanescent difference, a difference that tends to vanish. So I would say, for the moment, before the final effort that we have to furnish today, that truths of essence are governed by the principle of identity, truths [of existence, omitted in French transcript] are governed by the law of continuity, or evanescent differences, and that comes down to the same.

Thus between sinner and Adam, you will never be able to demonstrate a logical identity, but you will be able to demonstrate -- and the word demonstration will change meaning --, you will be able to demonstrate a continuity, that is, one or several evanescent differences. If we succeed in understanding this just a small bit, we succeed in everything. We have succeeded in approaching the first problem, what infinite analysis is. An infinite analysis is an analysis of the continuity [continu] operating through evanescent differences.

Having considered this, retain all of it in a corner of your mind, and what remains is: what does this mean, continuity, evanescent differences? All of you sense that, in fact, this refers to a certain symbolic, a symbolic of differential calculus or of infinitesimal analysis. But it's at the same time – and this is case of a creation taking place twice, simultaneously -- that Newton and Leibniz develop differential calculus. And the interpretation of differential calculus by the categories of evanescent differences is Leibniz's very own. In Newton's works, whereas both of them really invent it at the same time, the logical and theoretical armature is very different in Leibniz's works from Newton's, and the theme of the infinitely tiny difference, that is, of the differential conceived as evanescent difference, is properly that of Leibniz. Moreover, he relies on it greatly, and there is a great polemic between Newtonians and Leibniz. Our question here becomes narrower: what is this evanescent difference? … Does anyone have some chalk? I feel an urgent need for chalk… And does anyone have an eraser? If there’s no eraser, I cannot… Ah good, we have everything. So listen up. You see this small symbol – I am speaking here somewhat above… You don’t need to know anything, at all, at all, at all. So here is this little symbol that you have encountered in the dictionary. – If you’ve had enough and are leaving, I’d prefer that you do so all at once, in a group… You are tired, before… So, just a few minutes before we take a break. I am staying up here like this. [Laughter]

So, I am simply saying, what does differential calculus mean, this calculus that pretends to be infinitely tiny? You will say to me: today, today, today, what’s going on? Differential equations today are fundamental. There is no physics without differential equations. Even physics as a science, it existed to some extent in the seventeenth century, and in the Middle Ages, there were antecedents of differential calculus, some exhaustive forms of calculation. But scientific physics only came to exist with differential calculus. Mathematically, today, differential calculus has purged itself of any consideration of the infinite -- the kind of axiomatic status of differential calculus in which it is absolutely no longer a question of the infinite dates from the end of the 19th century.

But if we place ourselves at the time of Leibniz, put yourself in the place of a mathematician: what is he going to do when he finds himself faced with the magnitude and quantities of different powers, equations whose variables are to different powers, equations of the ax2+y type? You have a quantity to the second power and a quantity to the first power. How does one compare them? All of you know the story of non-commensurable quantities. Then, in the 17th century, the quantities of different powers received a neighboring term, incomparable quantities. The whole theory of equations collides in the 17th century with this problem that is a fundamental one, even in the simplest algebra: what is differential calculus for? Differential calculus allows you to proceed directly to compare quantities raised to different powers. Moreover, it is used only for that.

Differential calculus finds its level of application when you are faced with incomparables, that is, faced with quantities raised to different powers. Why? In ax2+y, let us assume that by various means, you extract dx and dy. What is that? We will define it verbally, conventionally; we will say that dx or dy is the infinitely small quantity assumed to be added or subtracted from x or from y. Now there is an invention! The infinitely small quantity... that is, it's the smallest variation of the quantity considered. It is unassignable by convention. Thus dx=0 in x, is the smallest quantity by which x can vary, so it equals zero. dy = 0 in relation to y. The notion of evanescent difference is beginning to take shape. It's a variation or a difference, dx or dy; it is smaller than any given or attributable [donnable] quantity. It's a mathematical symbol. In a sense, it's crazy, in a sense it's operational. For what? Here is what is formidable in the symbolism of differential calculus: dx=0 in relation to x, the smallest difference, the smallest increase of which the quantity x or the unassignable quantity y might be capable, it's infinitely small.

The miracle dy/dx is not equal to zero, and furthermore: dy/dx has a perfectly expressible finite quantity. These are relative , uniquely relative. dx is nothing in relation to y, dy is nothing in relation to y, but then dy/dx is something. A stupefying, admirable, and great mathematical discovery.

It's something because in an example such as ax2-by+c, you have two powers in which you have incomparable quantities: y2 and x. If you consider the differential relation, it is not zero, it is determined, it is determinable.

The relation dy/dx gives you the means to compare two incomparable quantities that were raised to different powers since it operates a depotentialization of quantities. So it gives you a direct means to confront incomparable quantities raised to different powers. From that moment on, all mathematics, all algebra, all physics will be inscribed in the symbolism of differential calculus [Deleuze gives a brief explanation on differential calculus (approx 45 seconds)] It's the relation between dx and dy that made possible this kind of co-penetration of physical reality and mathematical calculus.

So we reach the final point, the simplest: we have to show how this works. Fortunately, there is a small text by Leibniz – not difficult for us, so we can understand – called…, taken from Mathematical Writings. It’s only a very small note, about three pages, called "Justification of the calculus of infinitesimals by the calculus of ordinary algebra." With that you will understand everything. Leibniz would like to show that, in a certain way, differential calculus already functioned before being discovered, and that it couldn't occur otherwise, even at the level of the most ordinary algebra..... You want a bit of a break before we continue? The reference is: Mathematical Writings, vol. IV, p. 104, Gerhardt edition… Ok, let’s take a small break [Noise of student, and Deleuze talking in the background; following the break, there is a segment, about 8 minutes, during which Deleuze works on drawing a construction of two triangles on the board.]

And nonetheless, these are not absolute zeros. Why? Because if they were absolute zeros, then x would be equal to y, and x is not equal to y, neither in one case, nor in the other, since it would be contrary to the very givens of the construction of the problem. To the extent that, for this case, you can write x/y = c/e, c and e are zeros. Like he says in his language, these are nothings, but they are not absolute nothings; they are nothings respectively; specifically, these are nothings, but that conserve the relational difference. Thus c does not become equal to e since it remains proportional to x, and x is not equal to y.

This is a justification of the old differential calculus, and the interest of this text is that it's a justification through the easiest or most ordinary algebra. This justification puts nothing into question about the specificity of differential calculus.

I read from this very beautiful text [As Deleuze reads, he comments on nearly each of the opening sentences]: "Thus, in the present case, there will be x minus c = x. Let us assume that this case” where there is a single triangle “is included under the general rule” where there are two triangles, “and nonetheless c and e will not at all be absolute nothings since together they maintain the reason of [capital] Cx to [capital] Xy, or that which is between the entire sine or radius and between the tangent that corresponds to the angle in c. We have assumed this angle always to remain the same. For if c and e were absolutely nothings in this calculus reduced to the case of coincidence of points [capital] C, [capital] E and [capital] A, as one nothing has the same value as the other, then c and e would be equal, and the equation or analogy x over y = C over E would make x over y = 0 over 0 = 1, that is, we would have x = y which would be totally absurd. [Deleuze indicates that there are words missing in his text, so he continues] So we find in algebraic calculus the traces of the transcendent calculus of differences (i.e. differential calculus), and its same singularities that some scholars have fretted about, and even algebraic calculus could not do without it if it must conserve its advantages of which one of the most considerable is the generality that it must maintain so that it can encompass all cases."

It's exactly in this way that I can consider that rest [repos] is an infinitely small movement, or that the circle is the limit of an infinite series of polygons the sides of which increase to infinity.

What is there to compare in all these examples? We have to consider the case in which there is a single triangle as the extreme case of two similar triangles opposed at the vertex. What Leibniz demonstrated in this text is how and in what circumstances a triangle can be considered as the extreme case of two similar triangles opposed at the vertex. There you sense that we are perhaps in the process of giving to "virtual" the sense that we were looking for. I could say that in the case of my second figure in which there is only one triangle, the other triangle is there, but it is only there virtually. It's there virtually since a contains virtually e and c distinct from a. Why do e and c remain distinct from a when they no longer exist? e and c remain distinct from a when they no longer exist because they intervene in a relation with it, continue to exist when the terms have vanished. It's in this same way that rest will be considered as a special case of a movement, specifically an infinitely small movement. In my second figure, xy, I would say it's not at all the triangle CEA; it's not at all the case that the triangle has disappeared in the common sense of the word, but we have to say both that it has become unassignable, and however that it is perfectly determined since in this case, c=0, e=0, but c/e is not equal to zero. c/e is a perfectly determined relation equal to x/y. Thus it is determinable and determined, but it is unassignable. Likewise, rest is a perfectly determined movement, but it's an unassignable movement. Likewise, the circle is an unassignable polygon, yet perfectly determined.

You see what virtual means. Virtual no longer means at all the indefinite, and in this, all Leibniz's texts can be revived [récupérés]. He undertook a diabolical operation: he took the word virtual, without saying anything -- it's his right -- he gave it a new meaning, completely rigorous, but without saying anything. He will only say it in other texts: it no longer meant going toward the indefinite; rather, it meant unassignable, yet also determined.

It's a conception of the virtual that is both quite new and very rigorous. Yet the technique and concepts were required so that this rather mysterious expression might acquire a meaning at the beginning: unassignable, yet determined. It's unassignable since c became equal to zero, and since e became equal to zero. And yet it's completely determined since c/e, specifically 0/0 is not equal to zero, nor to 1, it's equal to x/y.

Moreover, he really had a professor-like genius. He succeeded in explaining to someone who never did anything but elementary algebra what differential calculus is. He assumed no a priori notion of differential calculus.

The idea that there is a continuity in the world -- it seems that there are too many commentators on Leibniz who make more theological pronouncements than Leibniz requires: they are content to say that infinite analysis is in God's understanding, and it is true according to the letter of his texts. But with differential calculus, it happens that we have the artifice not to make ourselves equal to God's understanding, that's impossible of course, but differential calculus gives us an artifice so that we can operate a well-founded approximation of what happens in God's understanding so that we can approach it thanks to this symbolism of differential calculus, since after all, God also operates by the symbolic, not the same way, certainly. Thus this approximation of continuity is such that the maximum of continuity is assured when a case is given, the extreme case or contrary can be considered from a certain point of view as included in the case first defined.

You define the movement, it matters little, you define the polygon, it matters little, you consider the extreme case or the contrary: rest, the circle that is stripped of any angle. Continuity is the institution of the path following which the extrinsic case -- rest contrary to movement, the circle contrary to the polygon -- can be considered as included in the notion of the intrinsic case.
There is continuity when the extrinsic case can be considered as included in the notion of the intrinsic case. Leibniz just showed why. You find the formula of predication: the predicate is included in the subject.

Understand well. I call “general, intrinsic case” the concept of movement that encompasses all movements. In relation to this first case, I call “extrinsic case” rest or the circle in relation to all the polygons, or the unique triangle in relation to all the triangles combined. I undertake to construct a concept that implies all the differential symbolism, a concept that both corresponds to the general intrinsic case and which still includes the extrinsic case. If I succeed in that, I can say that in all truth, rest is an infinitely small movement, just as I say that my unique triangle is the opposition of two similar triangles opposed at the vertex, simply, by which one of the two triangles has become unassignable. At that moment, there is continuity from the polygon to the circle, there is continuity from rest to movement, there is continuity from two similar triangles opposed at the vertex to a single triangle.

In the mid-19th century, a very great mathematician named [Jean-Victor] Poncelet will produce projective geometry in its most modern sense, it is completely Leibnizian. Projective geometry is entirely based on what Poncelet called a completely simple axiom of continuity: if you take an arc of a circle cut at two points by a right angle, if you cause the right angle to recede, there is a moment in which it leaves the circle, no longer touching it at any point. Poncelet's axiom of continuity claims the possibility of treating the case of the tangent as an extreme case, specifically it's not that one of the points has disappeared, both points are still there, but virtual. When they all leave, it's not that the two points have disappeared, they are still there, but both are virtual. This is the axiom of continuity that precisely allows any system of projection, any so-called projective system. Mathematics will keep that integrally, it's a formidable technique.

There is something desperately comical in all that, but that will not bother Leibniz at all. There again, commentators are very odd. From the start, we sink into a domain in which it's a question of showing that the truths of existence are not the same thing as truths of essence or mathematical truths. To show it, either it's with very general propositions full of genius in Leibniz's works, but that leave us like that, God's understanding, infinite analysis, and then what does that amount to? And finally, when it's a question of showing in what way truths of existence are irreducible to mathematical truths, when it's a question of showing it concretely, all that is convincing in what Leibniz says is mathematical. It's funny, no?

A professional objector would say to Leibniz: you announce to us, you talk to us of the irreducibility of truths of existence, and you can define this irreducibility concretely only by using purely mathematical notions. What would Leibniz answer? In all sorts of texts, people have always had me say that differential calculus designated a reality. I never said that, Leibniz answers, differential calculus is a well-founded convention. Leibniz relies enormously on differential calculus being only a symbolic system, and not sketching out a reality, but designating a way of treating reality. What is this well-founded convention? It's not in relation to reality that it's a convention, but in relation to mathematics. That's the misinterpretation not to make. Differential calculus is symbolism, but in relation to mathematical reality, not at all in relation to real reality. It's in relation to mathematical reality that the system of differential calculus is a fiction. He also used the expression "well founded fiction." It’s a well-founded fiction in relation to the mathematical reality. In other words, differential calculus mobilizes concepts that cannot be justified from the point of view of classical algebra, or from the point of view of arithmetic. It's obvious. Quantities that are not nothing and that equal zero, it's arithmetical nonsense, it has neither arithmetic reality, nor algebraic reality. It's a fiction. So, in my opinion, it does not mean at all that differential calculus does not designate anything real, it means that differential calculus is irreducible to mathematical reality. It's therefore a fiction in this sense, but precisely in so far as it's a fiction, it can cause us to think of existence. In other words, differential calculus is a kind of union of mathematics and the existent, specifically it's the symbolic of the existent. It's because it's a well-founded fiction in relation to mathematical truth that it is henceforth a basic and real means of exploration of the reality of existence. You see therefore what the words "evanescent" and "evanescent difference" mean. It's when the relation continues whereas the terms of the relation have disappeared. The relation c/e when C and E have disappeared, that is, coincides with A. You have therefore constructed a continuity through differential calculus.

Leibniz becomes much stronger in order to tell us: understand that in God's understanding, between the predicate sinner and the notion of Adam, well, there is continuity. There is a continuity by evanescent difference to the point that when he created the world, God was only doing calculus [ne fait que calculer]. And what a calculus! Obviously not an arithmetical calculus. He will oscillate on this topic between two explanations. Therefore God created the world by calculating . God calculates, the world is created. The idea of God as player [joueur] can be found everywhere. We can always say that God created the world by playing, but everyone has said that. It's not very interesting. But the games do not resemble each other. There is a text by Heraclitus in which it is a question of the child player who really constituted the world. He plays, at what? What do the Greeks and Greek children play? Different translations yield different games. But Leibniz would not say that; when he gives his explanation of games, he has two explanations. In problems of tiling, astride architectural and mathematical problems, a surface being given, with what figure is one to fill it completely? A more complicated problem: if you take a rectangular surface and you want to tile it with circles, you do not fill it completely. With squares, do you fill it completely? That depends on the measurement. With rectangles? Equal or unequal? Then, if you suppose two figures, which of them combine to fill a space completely? If you want to tile with circles, with which other figure will you fill in the empty spaces? Or you agree not to fill everything; you see that it's quite connected to the problem of continuity. If you decide not to fill it all, in what cases and with which figures and which combination of different figures will you succeed in filling the maximum possible? That puts incommensurables into play and puts incomparables into play. Leibniz has a passion for tiling.

When Leibniz says that God causes to exist and chooses the best of possible worlds, as we have seen, one gets ahead of Leibniz before he has spoken. The best of possible worlds was the crisis of Leibnizianism, that was the generalized anti-Leibnizianism of the 18th century. They could not stand the story of the best of possible worlds.

Voltaire was right, these worlds had a philosophical requirement that obviously was not fulfilled by Leibniz, notably from the political point of view. So, he could not forgive Leibniz. But if one launches oneself into a pious approach, what does Leibniz mean by the statement that the world that exists is the best of possible worlds? Something very simple: as there are several worlds possible, only they are not compossible with each other, God chooses the best and the best is not the one in which suffering is the least. Rationalist optimism is at the same time an infinite cruelty, it's not at all a world in which no one suffers; it's the world that realizes the maximum of circles. If I dare use a non-human metaphor, it's obvious that the circle suffers when it is no more than an affection of the polygon. When rest is no more than an affection of movement, imagine the suffering of rest. Simply it's the best of worlds because it realizes the maximum of continuity. Other worlds were possible, but they would have realized less continuity. This world is the most beautiful, the most harmonious, uniquely under the weight of this pitiless phrase: because it effectuates the most continuity possible. So if that occurs at the price of your flesh and blood, it matters little. As God is not only just, that is, pursuing the maximum of continuity, but as he is at the same time quite capricious [d’une coquetterie], he wants to vary the world. So God hides this continuity. He poses a segment that should be in continuity with that other segment that he places elsewhere to hide his tracks. We run no risk of making sense of this. This world is created at our expense. So, obviously the 18th century does not receive Leibniz's story very favorably. You see henceforth the problem of tiling: the best of worlds will be the one in which figures and forms will fill the maximum of space time while leaving the least emptiness.

Second explanation by Leibniz, and there he is even stronger: the chess game. Such that between Heraclitus's phrase that alludes to a Greek game and Leibniz's allusion to chess, there is all the difference that there is between the two games at the same moment in which the common formula "God plays" could make us believe that it's a kind of beatitude. How does Leibniz conceive of chess: the chess board is a space, the pieces are notions. What is the best move in chess, or the best combination of moves? The best move or combination of moves is the one that results in a determinate number of pieces with determinate values holding or occupying the maximum space, the total space being contained on the chess board. One must place ones pawns in such a way that they command the maximum space. Why are these only metaphors? Here as well there is a kind of principle of continuity: the maximum of continuity. What does not work well, both in the metaphor of chess and in the metaphor of tiling? In both cases, you have reference to a receptacle. The two things are presented as if the possible worlds were competing to be embodied in a determinate receptacle. In the case of tiling, it's the surface to be tiled; in the case of chess, it's the chess board. But in the conditions of the creation of the world, there is no a priori receptacle.

We have to say, therefore, that the world that passes into existence is the one that realizes in itself the maximum of continuity, that is, which contains the greatest quantity of reality or of essence. I cannot speak of existence since there will come into existence the world that contains not the greatest quantity of existence, but the greatest quantity of essence from the point of view of continuity. Continuity is, in fact, precisely the means of obtaining the maximum quantity of reality. Do you understand?

So, there you have a very beautiful vision, as philosophy. In this paragraph, I believe that I have answered the question: what is infinite analysis? I have not yet answered the question: what is compossibility. That's it.


[1] https://www.youtube.com/watch?v=LzJQNX6W53s&list=PL9kBLt-Nsd7sq6hkuanJ34fXtzJJ9FKic&index=2

[2] Part II of The Fold. Leibniz and the Baroque (Le Pli) is entitled, “Inclusions”, composed of chapters 4, “Sufficient Reason,” 5 “Incompossibility, Individuality, Liberty,” and 6 “What Is an Event?”


French Transcript



La deuxième séance parmi les cinq consacrées à la philosophie de Leibniz, sous la rubrique générale “Substance, Monde, et Compossibilité”.

Cours de Vincennes, 22 avril 1980 – Leibniz 2

Transcription complétée avec référence au vidéo YouTube,[1] Charles J. Stivale,

La dernière fois, comme convenu, nous avions commencé une série d’études sur Leibniz qu’il fallait concevoir comme introduction à une lecture – la vôtre – de Leibniz. Pour introduire une clarté numérique, je tenais à numéroter les paragraphes pour que tout ne se mélange pas. La dernière fois, notre premier paragraphe était une espèce de présentation d’un certain nombre des concepts principaux de Leibniz. A l’arrière fond de ceci, il y avait un problème correspondant à Leibniz, mais évidemment beaucoup plus général, à savoir: qu’est-ce que c’est au juste que de faire de la philosophie, et, à partir d’une définition très simple: faire de la philosophie, c’est créer des concepts, comme faire de la peinture c’est créer des lignes et des couleurs. Faire de la philosophie, c’est créer des concepts parce que les concepts ce n’est pas quelque chose qui préexiste. Ce n’est pas quelque chose qui soit donné tout fait, et en ce sens il faut définir la philosophie par une activité de création: création des concepts ou création de concepts. Cette définition semblait convenir parfaitement à Leibniz qui, précisément, dans une philosophie d’apparence fondamentalement rationaliste, se livre à une espèce de création exubérante de concepts insolites dont il y a peu d’exemples d’autant de concepts bizarres dans l’histoire de la philosophie.

Si les concepts sont l’objet d’une création, alors il faut dire que ces concepts sont signés. Il y a une signature, non pas que la signature établisse un lien entre le concept et l’individu, le philosophe qui le crée, c’est beaucoup plus les concepts eux-mêmes qui sont des signatures. Tout ce premier paragraphe avait fait surgir un certain nombre de concepts proprement leibniziens. Les deux principaux qu’on avait dégagés, c’était inclusion et compossibilité. Il y a toutes sortes de choses qui sont incluses dans certaines choses, ou bien enveloppées dans certaines choses. Inclusion, enveloppement. Puis un tout autre concept, très bizarre, celui de compossibilité: il y a des choses qui sont possibles en elles-mêmes mais qui ne sont pas compossibles avec une autre.
Aujourd’hui, je voudrais donner comme titre à ce second paragraphe, à cette seconde recherche sur Leibniz, «Substance, Monde et Continuité». Ce second paragraphe se propose d’analyser plus précisément ces deux concepts majeurs de Leibniz: Inclusion et Compossibilité.

Au point où on en était resté la dernière fois, on se trouvait devant deux problèmes: le premier c’est bien celui de l’inclusion. En quel sens? On a vu que si une proposition était vraie, il fallait bien que d’une manière ou d’une autre le prédicat ou l’attribut soit contenu ou inclus non pas dans le sujet, mais dans la notion du sujet. Si une proposition est vraie, il faut que le prédicat soit inclus dans la notion du sujet. Laissons-nous aller et on se confie à ça et, comme le dit Leibniz, si Adam a péché, il faut que péché soit contenu ou inclus dans la notion individuelle de Adam. Il faut que tout ce qui arrive, que tout ce qui peut s’attribuer, tout ce qui se prédique d’un sujet soit contenu dans la notion du sujet. C’est une philosophie de la prédication. Devant une proposition aussi étrange, si on accepte cette espèce de pari de Leibniz, on se trouve tout de suite devant des problèmes. A savoir que si un événement quelconque, si un événement quelconque qui concerne telle notion individuelle, à savoir Adam, ou César – César a franchi le Rubicon, il faut que franchir le Rubicon soit inclus dans la notion individuelle de César –, très bien, d’accord, on est tout prêt à soutenir Leibniz. Mais si on dit ça, on ne peut plus s’arrêter: si une seule chose est contenue dans la notion individuelle de César, comme «franchir le Rubicon», il faut bien que d’effet en cause et de cause en effet, il faut bien que la totalité du monde soit contenue dans cette notion individuelle. En effet, franchir le Rubicon a lui-même une cause qui doit à son tour être contenue dans la notion individuelle, etc., etc., à l’infini, en remontant et en redescendant. A ce moment-là il faut que l’empire romain qui, en gros, découle du franchissement du Rubicon, et que toutes les suites de l’empire romain, il faut que d’une manière ou d’une autre elles soient inclues dans la notion individuelle de César. Si bien que chaque notion individuelle sera gonflée de la totalité du monde qu’elle exprime. Elle exprime la totalité du monde. Voilà que la proposition devient de plus en plus étrange.

Il y a toujours des moments délicieux dans l’histoire de la philosophie et un des moments les plus délicieux, c’est lorsque l’extrême bout de la raison, c’est-à-dire lorsque le rationalisme poussé jusqu’au bout de ses conséquences engendre et coïncide avec une espèce de délire qui est un délire de la folie. A ce moment-là on assiste à cette espèce de cortège, de défilé, où c’est la même chose qui est le rationnel poussé jusqu’au bout de la raison, et qui est le délire, mais le délire de la folie la plus pure. Donc chaque notion individuelle, s’il est vrai que le prédicat est inclus dans la notion du sujet, il faut bien que chaque notion individuelle exprime la totalité du monde, et que la totalité du monde soit inclue dans chaque notion. On a vu que ça conduisait Leibniz à une théorie extraordinaire qui est la première grande théorie en philosophie de la perspective, ou du point de vue, puisque chaque notion individuelle sera dite exprimer et contenir le monde; oui, mais d’un certain point de vue qui est plus profond, à savoir c’est la subjectivité qui renvoie à la notion de point de vue et non pas la notion de point de vue qui renvoie à la subjectivité. Ça va avoir beaucoup de conséquences en philosophie, à commencer par l’écho que ça allait avoir sur Nietzsche dans la création d’une philosophie perspectiviste.

Le premier problème c’est ceci: quand on dit que le prédicat est contenu dans le sujet, ça supposait que ça soulevait toutes sortes de difficultés, à savoir est-ce que les relations peuvent être ramenées à des prédicats, est-ce que les événements peuvent être considérés comme des prédicats. Mais acceptons ça. On ne peut donner tort à Leibniz qu’à partir d’un ensemble de coordonnées conceptuelles de celles de Leibniz. Une proposition vraie est telle que l’attribut est contenu dans le sujet, on voit bien ce que ça peut vouloir dire au niveau des vérités d’essences. Les vérités d’essences, soit les vérités métaphysiques (concernant Dieu), ou bien alors vérités mathématiques. Si je dis 2 + 2 = 4, il y a beaucoup à discuter là-dessus, mais je comprends immédiatement ce que veut dire Leibniz, toujours indépendamment de la question est-ce qu’il a raison ou tort, on a tellement de peine à savoir déjà ce que quelqu’un est en train de dire que si, en plus, on se demande s’il a raison, on n’a pas fini. 2 + 2 = 4 est une proposition analytique. Je rappelle qu’une proposition analytique c’est une proposition telle que le prédicat est contenu dans le sujet ou dans la notion du sujet, à savoir c’est une proposition identique ou réductible à l’identique. Identité du prédicat avec le sujet. En effet, nous dit Leibniz, je peux démontrer, à l’issue d’une série de démarches finies, d’un nombre fini de démarches d’opérations, je peux démontrer que 4, en vertu de sa définition, et 2 + 2, en vertu de leur définition, sont identiques. Est-ce que je peux vraiment le démontrer, et de quelle manière? Évidemment je ne pose pas le problème de, comment? En gros on comprend ce que ça veut dire: le prédicat est compris dans le sujet, ça veut dire que, à l’issue d’un ensemble d’opérations, je peux démontrer l’identité de l’un et de l’autre. Leibniz prend un exemple dans un petit texte qui s’intitule «De la liberté». Il va démontrer que tout nombre divisible par douze est par là même divisible par six. Tout nombre duodénaire est sexaire. Remarquez que dans la logistique du XIXe et du XXe siècle, vous retrouverez des démonstrations de ce type qui ont fait notamment la gloire de Russell. La démonstration de Leibniz est très convaincante: il démontre d’abord que tout nombre divisible par douze est identique à divisible par deux, multiplié par deux, multiplié par trois. Ce n’est pas difficile. Il démontre d’autre part que divisible par six est égal à divisible par deux multiplié par trois. Par là même qu’est-ce qu’il a fait voir? Il a fait voir une inclusion puisque deux multiplié par trois est contenu dans deux multiplié par deux multiplié par trois. 

C’est un exemple, ça nous fait comprendre au niveau des vérités mathématiques qu’on peut dire que la proposition correspondante est analytique ou identique. C’est-à-dire que le prédicat est contenu dans le sujet. Ça veut dire, à la lettre, que je peux faire en un ensemble, en une série d’opérations déterminées, une série finie d’opérations déterminées – j’insiste là-dessus –, je peux démontrer l’identité du prédicat avec le sujet, ou je peux faire surgir une inclusion du prédicat dans le sujet. Et ça revient au même. Je peux manifester cette inclusion, je peux la montrer. Ou bien je démontre l’identité ou bien je montre l’inclusion.

Il a montré l’inclusion lorsqu’il a montré, par exemple - ce qui n’est pas une identité, une identité pure ça aurait été: tout nombre divisible par douze est divisible par deux -- mais là on en est à un autre cas de vérité d’essence: tout nombre divisible par douze est divisible par six, cette fois-ci il ne se contente pas de démontrer une identité, il montre une inclusion à l’issue d’opérations finies, bien déterminées. Ça c’est les vérités d’essence. Je peux dire que l’inclusion du prédicat dans le sujet est démontrée par analyse et que cette analyse répond à la condition d’être finie, c’est-à-dire qu’elle ne comporte qu’un nombre limité d’opérations bien déterminées.

Mais quand je dis qu’Adam a péché, ou que César a franchi le Rubicon, c’est quoi? Ça renvoie non plus à une vérité d’essence, c’est très daté, César a franchi le Rubicon ici et maintenant, ça a référence à l’existence, César ne franchit le Rubicon que s’il existe. 2 + 2 = 4 ça se fait en tout temps et en tout lieu. Donc, il y a tout lieu de distinguer des vérités d’essence des vérités d’existence.

La vérité de la proposition «César a franchi le Rubicon» n’est pas du même type que 2 + 2 = 4. Et pourtant, en vertu des principes qu’on a vu la dernière fois, pour les vérités d’existence non moins que pour les vérités d’essence, il faut bien que le prédicat soit dans le sujet et compris dans la notion du sujet; compris donc de toute éternité dans la notion de sujet, il est inclus de toute éternité que Adam péchera à tel endroit et à tel moment. C’est une vérité d’existence. Non moins que pour les vérités d’essence, les vérités d’existence, le prédicat doit être contenu dans le sujet. Soit, mais non moins, ça ne veut pas dire de la même façon. Et en effet, et c’est ça notre problème, quelle première grande différence il y a entre la vérité d’essence et la vérité d’existence? On le sent tout de suite. Pour les vérités d’existence, Leibniz nous dit que même là le prédicat est contenu dans le sujet. Il faut bien que «pécheur» soit contenu dans la notion individuelle de Adam, seulement voilà: si pécheur est contenu dans le notion d’individuelle d’Adam, c’est le monde entier qui est contenu dans la notion individuelle d’Adam, si l’on remonte les causes et si l’on descend les effets, comme c’est le monde entier vous comprenez que la proposition «Adam a péché» doit être une proposition analytique, seulement dans ce cas-là l’analyse est infinie. L’analyse va à l’infini.

Qu’est-ce que ça peut bien vouloir dire? Ça semble vouloir dire ceci: pour démontrer l’identité de «pécheur» et de «Adam», ou l’identité de «qui franchit le Rubicon» et «César», il faut cette fois-ci une série infinie d’opérations. Il va sans dire que nous n’en sommes pas capables, ou qu’il semble que nous n’en soyons pas capables. Sommes-nous capables d’une analyse à l’infini? Leibniz est très formel: non, vous ne pourrez pas, nous, hommes, nous ne pouvons pas. Alors, pour nous repérer dans le domaine des vérités d’existence, il faut attendre l’expérience. Alors pourquoi nous fait-il toute cette histoire sur les vérités analytiques? Il ajoute: oui, mais l’analyse infinie est, en revanche, non seulement possible mais faite dans l’entendement de Dieu.
Est-ce que ça nous arrange que Dieu, lui qui n’a pas de limites, lui qui est infini, puisse faire l’analyse infinie? On est content, on est content pour lui, mais à première vue on se demande ce que Leibniz nous raconte. Je retiens juste que notre première difficulté c’est: qu’est-ce que c’est que l’analyse infinie? Toute proposition est analytique, seulement il y a tout un domaine de nos propositions qui renvoie à une analyse infinie. On a un espoir: si Leibniz est un des grands créateurs du calcul différentiel ou de l’analyse infinitésimale, sans doute c’est en mathématique, et il a toujours distingué les vérités philosophiques et les vérités mathématiques et donc il n’est pas question pour nous de mélanger tout; mais c’est impossible de penser que, lorsqu’il découvre en métaphysique une certaine idée de l’analyse infinie, qu’il n’y ait pas certains échos par rapport à un certain type de calcul qu’il a lui-même inventé, à savoir le calcul de l’analyse infinitésimale.

Donc, voilà ma première difficulté: lorsque l’analyse va à l’infini, de quel type ou quel est le mode de l’inclusion du prédicat dans le sujet? De quelle manière «pécheur» est-il contenu dans la notion d’Adam, une fois dit que l’identité de pécheur et d’Adam ne peut apparaître que dans une analyse infinie? Qu’est-ce que veut dire analyse infinie alors qu’il semble qu’il n’y ait d’analyse que sous les conditions d’une finitude bien déterminée? C’est un rude problème.
Deuxième problème. Je viens de dégager déjà une première différence entre les vérités d’essence et les vérités d’existence. Dans les vérités d’essence l’analyse est finie, dans les vérités d’existence l’analyse est infinie. Ce n’est pas la seule, il y a une seconde différence: selon Leibniz, une vérité d’essence est telle que le contradictoire en est impossible, à savoir qu’il est impossible que 2 et 2 ne fassent pas 4. Pourquoi? Pour la simple raison que je peux démontrer l’identité de 4 et de 2 + 2 à l’issue d’une série de démarches finies. Donc 2 + 2 = 5, on peut démontrer que c’est contradictoire et que c’est impossible. Adam non-pécheur, Adam qui n’aurait pas péché, je prends donc le contradictoire de pécheur. C’est possible. La preuve c’est que, suivant le grand critère de la logique classique – et à cet égard Leibniz reste dans la logique classique –, je ne peux rien penser lorsque je dis 2 + 2 = 5; je ne peux pas penser l’impossible, pas plus que je ne pense quoi que ce soit selon cette logique que quand je dis cercle carré. Mais je peux très bien penser un Adam qui n’aurait pas péché. Les vérités d’existence sont dites des vérités contingentes.

César aurait pu ne pas franchir le Rubicon. Admirable est la réponse de Leibniz: bien sûr Adam aurait pu ne pas pécher, César aurait pu ne pas franchir le Rubicon. Seulement voilà, ce n’était pas compossible avec le monde existant. Un Adam non-pécheur enveloppait un autre monde. Ce monde était possible en lui-même, un monde où le premier homme n’aurait pas péché est un monde logiquement possible, seulement il n’est pas compossible avec notre monde. C’est-à-dire que Dieu a choisi un monde tel que Adam pécha. Adam non pécheur impliquait un autre monde: ce monde était possible mais il n’était pas compossible avec le nôtre.

Pourquoi est-ce que Dieu a choisi ce monde? Leibniz va l’expliquer. Comprenez qu’à ce niveau, la notion de compossibilité devient très étrange: qu’est-ce qui va me faire dire que deux choses sont compossibles et que deux autres sont incompossibles? Adam non-pécheur appartient à un autre monde que le nôtre, mais du coup César n’aurait pas franchi le Rubicon non plus, ça aurait été un autre monde possible. Qu’est-ce que c’est cette relation de compossibilité très insolite? Comprenez que c’est peut-être la même question que, qu’est-ce que c’est que l’analyse infinie?, mais elle n’a pas le même aspect. Voilà qu’on peut en tirer un rêve, on peut faire ce rêve à bien des niveaux. Vous rêvez, et une espèce de sorcier est là qui vous fait entrer dans un palais; ce palais… (C’est le rêve d’Apollodore raconté par Leibniz.) Apollodore va voir une déesse et cette déesse l’amène dans ce palais, et ce palais est composé de plusieurs palais. Leibniz adore ça, des boîtes qui contiennent des boîtes. Il explique, dans un texte qu’on aura à voir, il explique que dans l’eau il y a plein de poissons et que dans les poissons il y a de l’eau et dans l’eau de ces poissons il y a des poissons de poissons: c’est l’analyse infinie. L’image du labyrinthe le poursuit. Il ne cesse de parler du labyrinthe du continu. Ce palais a une forme de pyramide, la pointe vers le haut, et il n’a pas de fin. Et je m’aperçois que chaque section de la pyramide constitue un palais. Puis, je regarde de plus près et, à la section de ma pyramide la plus haute, plus près de la pointe, je vois un personnage qui fait telle chose. Juste en dessous, je vois le même personnage qui fait tout autre chose en un autre lieu. En dessous encore le même personnage dans une autre situation, comme si toutes sortes de pièces de théâtre se jouaient simultanément, tout à fait différentes, dans chacun des palais, avec des personnages qui ont des segments communs. C’est un gros livre de Leibniz qui s’appelle La Théodicée, à savoir la justice divine.

Vous comprenez, ce qu’il veut dire, c’est que à chaque niveau, c’est un monde possible. Dieu a choisi de faire passer à l’existence le monde extrême le plus proche de la pointe de la pyramide. Sur quoi s’est-il guidé pour choisir ça? On verra, il ne faut pas précipiter car ce sera un rude problème, quels sont les critères du choix de Dieu. Mais, une fois dit qu’il a choisi tel monde, ce monde impliquait Adam pécheur; dans un autre monde, évidemment tout ça est simultané, ce sont des variantes, on peut concevoir autre chose et à chaque fois c’est un monde. Chacun d’eux est possible. Ils sont incompossibles les uns avec les autres, un seul peut passer à l’existence. Or tous tendent de toutes leurs forces à passer à l’existence. La vision que Leibniz nous propose de la création du monde par Dieu devient très stimulante. Il y a tous ces mondes qui sont dans l’entendement de Dieu, et qui chacun pour son compte presse à une prétention à passer du possible à l’existant. Ils ont un poids de réalité, en fonction de leurs essences. En fonction des essences qu’ils contiennent ils tendent à passer à l’existence. Et ce n’est pas possible car ils ne sont pas compossibles les uns avec les autres: l’existence est comme un barrage. Une seule combinaison passera. Laquelle? Vous sentez déjà la réponse splendide de Leibniz: ce sera la meilleure! Et non pas la meilleure en vertu d’une théorie morale, mais en vertu d’une théorie des jeux. Et ce n’est pas par hasard que Leibniz est un des fondateurs de la statistique et du calcul des jeux. Et tout ça va se compliquer…

Qu’est-ce que c’est que cette relation de compossibilité? Je remarque juste qu’un auteur célèbre aujourd’hui est leibnizien. Qu’est-ce que ça veut dire être leibnizien aujourd’hui? Je crois que ça veut dire deux choses: une [chose] pas très intéressante et une très, très intéressante. La dernière fois, je disais que le concept est dans un rapport spécial avec le cri. Il y a une manière pas intéressante d’être leibnizien ou d’être spinoziste aujourd’hui, c’est par nécessité de métier, des types travaillent sur un auteur, mais il y a une autre manière de se réclamer d’un philosophe. Cette fois-ci, c’est non professionnel. C’est des types qui peuvent ne pas être philosophes. Ce que je trouve de formidable dans la philosophie, c’est lorsqu’un non-philosophe découvre une espèce de familiarité que je ne peux plus nommer conceptuelle, mais saisit immédiatement une familiarité entre ses propres cris à lui et les concepts du philosophe. Il n’a pas besoin d’être philosophe pour ça. Il peut l’être. Je pense à une lettre tardive de Nietzsche, il avait lu Spinoza très tôt et, dans cette lettre, il venait de le relire, et il s’exclame: « je n’en reviens pas! J’en reviens pas! Je n’ai jamais eu une relation avec un philosophe comme celle que j’ai eue avec Spinoza. » Et ça m’intéresse encore plus quand c’est des non philosophes. Quand le romancier anglais, Lawrence, dit en quelques lignes le bouleversement que lui donne Spinoza. Ca devient intéressant, et il ne devient pas philosophe pour ça, Dieu merci. Il saisit quoi? Qu’est-ce que ça veut dire? Lorsque Kleist se découvre, il tombe sur Kant, à la lettre, il n’en revient pas. Qu’est-ce qui se passe ? Qu’est-ce que c’est que cette communication? [37 :00] Je veux dire que cette communication-là, s’il peut se faire entre un grand poète ou un grand littérateur et un philosophe, elle peut se faire aussi entre, il me semble, quelqu’un d’inculte et un philosophe. Je crois que Spinoza a secoué beaucoup d’inculte. C’est curieux, ça. Prenons, puisqu’on est à Leibniz, qu’est-ce que cela peut vouloir dire ? Il y a un auteur [38 :00] bien connu aujourd’hui, un Argentin, qui s’appelle Borges, qui est un auteur extrêmement savant, qui a beaucoup lu. Il est toujours sur deux trucs: le livre qui n’existe pas, [fin de la bande] qui devrait être traité comme un livre existant, qui va être écrit et raconté comme un livre existant, et le labyrinthe. Il n’a pas de peine à montrer que c’est la même chose, que le livre qui n’existe pas et le labyrinthe, c’est pareil. Or, je dis que parce que, c’est une évidence, à travers toute son œuvre, Borges est fondamentalement et profondément leibnizien. C’est vrai de toute son œuvre, mais encore une fois, je prends un exemple, et je vous [y] renvoie parce que cela lui donne un côté [moderne], une espèce de conte policier. [Retour à l’enregistrement] Il aime bien les histoires policières, Borges, mais Leibniz aussi. Dans un livre de Borges intitulé Fictions, il y a une nouvelle qui s’appelle «Le jardin aux sentiers qui bifurquent». Je résume l’histoire et vous gardez dans votre tête le fameux rêve de la Théodicée.

«Le jardin aux sentiers qui bifurquent», qu’est-ce que c’est? C’est le livre infini, c’est le monde des compossibilités. L’idée du philosophe chinois comme ayant à faire avec le labyrinthe, c’est une idée de contemporains de Leibniz. Ça apparaît en plein XVIIe siècle. Il y a un texte célèbre de Malebranche qui est l’entretien avec le philosophe chinois, il y a des choses très curieuses. Leibniz est fasciné par l’Orient, il cite souvent Confucius. Borges a fait une espèce de copie conforme de Leibniz avec une différence essentielle: pour Leibniz, tous les mondes différents où, tantôt Adam pèche de telle manière, où Adam pèche de telle autre manière, où Adam ne pèche pas du tout, toute cette infinité de mondes, ils s’excluent les uns des autres, ils sont incompossibles les uns avec les autres. Si bien qu’il conserve un principe de disjonction très classique: c’est ou bien ce monde-ci, ou bien un autre. Tandis que Borges met toutes ces séries incompossibles dans le même monde. Ça permet une multiplication des effets. Leibniz n’aurait jamais admis que les incompossibles fassent partie d’un même monde. Pourquoi? J’énonce juste nos deux difficultés: la première, c’est qu’est-ce que c’est qu’une analyse infinie?; et deuxièmement, qu’est-ce que c’est que cette relation d’incompossibilité? Labyrinthe de l’analyse infinie et labyrinthe de la compossibilité.

La plupart des commentateurs de Leibniz, à ma connaissance, tentent finalement de ramener la compossibilité au simple principe de contradiction. Finalement il y aurait une contradiction entre Adam non-pécheur et notre monde. Mais là, la lettre de Leibniz nous paraît déjà d’une telle nature que ce n’est pas possible. Ce n’est pas possible puisque Adam non-pécheur n’est pas contradictoire en soi et que la relation de compossibilité est absolument irréductible à la simple relation de possibilité logique. Donc essayer de découvrir une simple contradiction logique ce serait encore une fois ramener les vérités d’existence aux vérités d’essence. Dès lors ça va être très difficile de définir la compossibilité.

Toujours dans ce paragraphe sur la substance, le monde et la continuité, je voudrais poser la question de qu’est-ce que c’est qu’une analyse infinie? Je vous demande beaucoup de patience. Les textes de Leibniz, il faut s’en méfier parce qu’ils sont toujours adaptés à des correspondants sous des publics donnés, et que si je reprends son rêve il faudrait le varier, et une variante du rêve serait que, même à l’intérieur du même monde, il y aurait des niveaux de clarté ou d’obscurité tels que le monde pourrait être présenté de tel ou tel point de vue. Si bien que les textes de Leibniz il faut savoir à qui il les adresse pour pouvoir les juger.

Voilà une première sorte de texte de Leibniz où il nous dit que dans toute proposition le prédicat est contenu dans le sujet. Seulement il est contenu soit en acte – actuellement – soit virtuellement. Le prédicat est contenu dans le sujet, mais cette inclusion, cette inhérence, est ou bien actuelle ou bien virtuelle. On a envie de dire que ça va très bien. Convenons que dans une proposition d’existence du type César a franchi le Rubicon, l’inclusion n’est que virtuelle, à savoir franchir le Rubicon est contenu dans la notion de César, mais n’est que virtuellement contenu. Deuxième sorte de texte: l’analyse infinie sous laquelle pécheur est contenu dans la notion d’Adam, c’est une analyse indéfinie, c’est-à-dire que je remonterais de pécheur à un autre terme, puis à un autre terme, etc. Exactement comme si pécheur = 1/2 + 1/4 + 1/8, etc., à l’infini. Ce serait donner un certain statut: je dirais que l’analyse infinie c’est une analyse virtuelle, c’est une analyse qui va à l’indéfini. Il y a des textes de Leibniz qui disent ça notamment dans le Discours de métaphysique, mais dans le Discours de métaphysique, Leibniz présente et propose la totalité de son système à usage de gens peu philosophes. Je prends un autre texte qui paraît contredire le premier. Dans un texte plus savant « De la liberté », Leibniz emploie le mot «virtuel», mais très bizarrement il emploie le mot virtuel mais pas à propos des vérités d’existence, il l’emploie à propos des vérités d’essence.

Ce texte me suffit déjà pour dire qu’il n’est pas possible que la distinction vérités d’essence/vérités d’existence se ramène à ce que dans les vérités d’existence l’inclusion soit seulement virtuelle, puisque l’inclusion virtuelle, c’est un cas des vérités d’essence. En effet, vous vous rappelez que les vérités d’essence renvoient à deux cas: la pure et simple identité où l’on démontre l’identité du prédicat et du sujet, et le dégagement d’une inclusion du type, tout nombre divisible par 12 est divisible par 6 (je démontre l’inclusion à la suite d’une opération finie). Or, c’est pour ce cas-là que Leibniz dit: j’ai dégagé une identité virtuelle. Donc il ne suffit pas de dire que l’analyse infinie est virtuelle.

Est-ce qu’on peut dire que c’est une analyse indéfinie? Non, parce qu’une analyse indéfinie ça reviendrait à dire que c’est une analyse qui n’est infinie que par défaut de ma connaissance, c’est dire que je n’arrive pas jusqu’au bout. Dès lors Dieu, avec son entendement, arriverait jusqu’au bout. Est-ce que c’est ça? Non, ce n’est pas possible que Leibniz veuille dire ça parce que l’indéfini ça n’a jamais existé chez lui. Là il y a des notions qui sont incompatibles, anachroniques. Indéfini, ce n’est pas un truc de Leibniz. Qu’est-ce que c’est l’indéfini en toute rigueur? Quelles différences y a-t-il entre l’indéfini et l’infini?

L’indéfini, c’est le fait que je doive toujours passer d’un terme à un autre terme, toujours, sans arrêt, mais sans que le terme suivant auquel j’arrive ne préexiste. C’est ma propre démarche qui consiste à faire exister. Si je dis 1 = 1/4 + 1/8, etc., il ne faut pas croire que le «etc.» préexiste, c’est ma démarche qui chaque fois le fait surgir, c’est-à-dire que l’indéfini existe dans une démarche par la quelle je ne cesse de repousser la limite que je m’oppose. Rien ne préexiste. C’est Kant qui sera le premier philosophe à donner un statut à l’indéfini, et ce statut ce sera précisément que l’indéfini renvoie à un ensemble qui n’est pas séparable de la synthèse successive qui le parcourt. C’est-à-dire que les termes de la série indéfinie ne préexistent pas à la synthèse qui va d’un terme à un autre.

Leibniz ne connaît pas ça. Bien plus, l’indéfini ça lui paraît purement conventionnel ou symbolique – pourquoi? Il y a un auteur qui a très bien dit ce qui fait l’air de famille des philosophies du XVIIe siècle, c’est Merleau-Ponty. Il a fait un petit texte sur les philosophes dits classiques du XVIIe, et il essaie de les caractériser d’une manière vivante, et il disait que ce qu’il y a d’incroyable dans ces philosophes, c’est une manière innocente de penser à partir de l’infini et en fonction de l’infini. C’est ça, le siècle classique. C’est beaucoup plus intelligent que de nous dire que c’est une époque où encore la philosophie est mêlée à la théologie. C’est bête de dire ça. Il faut dire que si la philosophie est encore mêlée à la théologie au XVIIe siècle, c’est précisément parce que la philosophie n’est pas séparable à ce moment-là d’une manière innocente de penser en fonction de l’infini.

Quelles différences y a-t-il entre l’infini et l’indéfini? C’est que l’indéfini, c’est du virtuel: en effet, le terme suivant ne préexiste pas avant que ma démarche l’ait constitué. Ça veut dire quoi? L’infini, c’est de l’actuel, il n’y a d’infini qu’en acte. Alors il peut y avoir toutes sortes d’infinis. Pensez à Pascal. C’est un siècle qui ne cessera de distinguer des ordres d’infinis, et la pensée des ordres d’infinis est fondamentale dans tout le XVIIe siècle. Elle nous retombera dessus, cette pensée, à la fin du XIXe et au XXe siècle précisément avec la théorie des ensembles dits infinis. Avec les ensembles infinis on retrouve quelque chose qui travaillait le fond de la philosophie classique, à savoir la distinction des ordres d’infinis. Or qui sont les grands noms dans cette recherche sur les ordres d’infinis. C’est évidemment Pascal, Spinoza avec la fameuse lettre sur l’infini, et c’est Leibniz qui va subordonner tout un appareil mathématique à l’analyse de l’infini et les ordres d’infinis. A savoir, dans quel sens peut-on dire qu’un ordre d’infinis est plus grand qu’un autre? Qu’est-ce qu’un infini qui est plus grand qu’un autre infini?, etc. Manière innocente de penser à partir de l’infini, mais pas du tout confusément puisqu’on introduit toutes sortes de distinctions.

Dans le cas des vérités d’existence, l’analyse de Leibniz est évidemment infinie. Elle n’est pas indéfinie. Donc, lorsqu’il emploie les mots de virtuel, etc., il y a un texte formel qui donne raison à cette interprétation que j’essaie d’esquisser, c’est un texte tiré de De la liberté où Leibniz dit exactement ceci: «quand il s’agit d’analyser l’inclusion du prédicat pécheur dans la notion individuelle Adam, Dieu certes voit, non pas la fin de la résolution, fin qui n’a pas lieu.» Donc, en d’autres termes, même pour Dieu il n’y a pas de fin à cette analyse. Alors, vous me direz que c’est de l’indéfini, même pour Dieu? Non, ce n’est pas de l’indéfini puisque tous les termes de l’analyse sont donnés. Si c’était de l’indéfini, tous les termes ne seraient pas donnés, ils seraient donnés au fur et à mesure. Ils ne seraient pas donnés d’une manière préexistante. En d’autres termes, dans une analyse infinie on arrive à quel résultat: vous avez passage d’éléments infiniment petits les uns aux autres, l’infinité des éléments infiniment petits étant donnée. On dira d’un tel infini qu’il est actuel puisque la totalité des éléments infiniment petits est donnée. Vous me direz qu’alors on peut arriver à la fin! Non, par nature, vous ne pouvez pas arriver à la fin puisque c’est un ensemble infini. La totalité des éléments est donnée, et vous passez d’un élément à un autre, et vous avez donc un ensemble infini d’éléments infiniment petits. Vous passez d’un élément à un autre: vous faites une analyse infinie, i.e. une analyse qui n’a pas de fin, ni pour vous ni pour Dieu.

Qu’est-ce que vous voyez si vous faites cette analyse? Supposons qu’il n’y ait que Dieu qui puisse la faire: vous vous faites de l’indéfini parce que votre entendement est limité, mais Dieu, lui, il fait de l’infini. Il ne voit pas la fin de l’analyse puisqu’il n’y a pas de fin de l’analyse, mais il fait l’analyse. Bien plus, tous les éléments de l’analyse lui sont donnés dans un infini actuel. Ça veut dire donc que pécheur est relié à Adam. Pécheur est un élément. Il est relié à la notion individuelle d’Adam par une infinité d’autres éléments actuellement donnés. D’accord, c’est tout le monde existant, à savoir tout ce monde compossible qui est passé à l’existence. On touche là quelque chose de très profond. Quand je fais l’analyse, je passe de quoi à quoi? Je passe d’Adam pécheur à Ève tentatrice, d’Ève tentatrice à serpent méchant, à pomme. C’est une analyse infinie et c’est cette analyse infinie qui montre l’inclusion de pécheur dans la notion individuelle Adam. Qu’est-ce que ça veut dire: élément infiniment petit? Pourquoi est-ce que le péché est un élément infiniment petit? Pourquoi la pomme est-ce un élément infiniment petit? Pourquoi franchir le Rubicon est un élément infiniment petit? Vous comprenez ce que ça veut dire? Il n’y a pas d’élément infiniment petit, alors un élément infiniment petit ça veut dire évidemment, on n’a pas besoin de le dire, ça veut dire un rapport infiniment petit entre deux éléments. Il s’agit de rapports, il ne s’agit pas d’éléments. En d’autres termes, un rapport infiniment petit entre deux éléments, qu’est-ce que ça peut être? Qu’est-ce qu’on a gagné en disant qu’il ne s’agit pas d’éléments infiniment petits, mais de rapports infiniment petits entre deux éléments? Et vous comprenez que si je parle à quelqu’un qui n’a aucune idée du calcul différentiel, vous pouvez lui dire que c’est des éléments infiniment petits. Leibniz a raison. Si c’est quelqu’un qui en a une très vague connaissance, il faudra qu’il comprenne que ce sont des rapports infiniment petits entre éléments finis. Si c’est quelqu’un qui est très savant en calcul différentiel, je pourrais peut-être lui dire autre chose.

L’analyse infinie qui va démontrer l’inclusion du prédicat dans le sujet au niveau des vérités d’existence, elle ne procède pas par démonstration d’une identité, même virtuelle. Ce n’est pas ça. Mais Leibniz, dans un autre tiroir, a une autre formule à vous donner: l’identité, ça régit les vérités d’essence, ça ne régit pas les vérités d’existence – tout le temps il dit le contraire, mais ça n’a aucune importance, demandez-vous à qui il le dit. Alors, c’est quoi? Ce qui l’intéresse au niveau des vérités d’existence, ce n’est pas l’identité du prédicat et du sujet, c’est que l’on passe d’un prédicat à un autre, d’un autre à un autre, et encore d’un autre à un autre, etc., du point de vue d’une analyse infinie, c’est-à-dire du maximum de continuité. En d’autres termes, c’est l’identité qui régit les vérités d’essence, mais c’est la continuité qui régit les vérités d’existence. Et qu’est-ce que c’est qu’un monde? Un monde est défini par sa continuité. Qu’est-ce qui sépare deux mondes incompossibles? C’est le fait qu’il y ait discontinuité entre les deux mondes. Qu’est-ce qui définit un monde compossible? C’est la compossibilité dont il est capable. Qu’est-ce qui définit le meilleur des mondes? C’est le monde le plus continu. Le critère du choix de Dieu, ce sera la continuité. De tous les mondes incompossibles les uns avec les autres et possibles en eux-mêmes, Dieu fera passer à l’existence celui qui réalise le maximum de continuité.

Pourquoi le péché d’Adam est-il compris dans le monde qui a le maximum de continuité? Il faut croire que le péché d’Adam est une formidable connexion, que c’est une connexion qui assure des continuités de séries. Il y a une connexion directe entre le péché d’Adam et l’incarnation et la Rédemption par le Christ. Il y a continuité. Il y a comme des séries qui vont se mettre à s’emboîter par delà les différences de temps et d’espace. En d’autres termes, dans le cas des vérités d’essence, je démontrais une identité où je faisais voir une inclusion; dans le cas des vérités d’existence, je vais témoigner d’une continuité assurée par les rapports infiniment petits entre deux éléments. Deux éléments seront en continuité lorsque je pourrai assigner un rapport infiniment petit entre ces deux éléments.

Je suis passé de l’idée d’élément infiniment petit à [un] rapport infiniment petit entre deux éléments, ça ne suffit pas. Il faut un effort de plus. Puisqu’il y a deux éléments, il y a une différence entre les deux éléments: entre le péché d’Adam et la tentation d’Ève, il y a une différence; seulement quelle est la formule de la continuité? On pourra définir la continuité comme l’acte d’une différence en tant qu’elle tend à s’évanouir. La continuité, c’est une différence évanouissante. Tiens, un nouveau concept de Leibniz, la différence évanouissante.

Qu’est-ce que ça veut dire qu’il y a continuité entre la séduction d’Ève et le péché d’Adam? C’est que la différence entre les deux est une différance évanouissante, une différence qui tend à s’évanouir. Je dirais donc, pour le moment, avant le dernier effort que nous avons à fournir aujourd’hui, que les vérités d’essence sont régies par le principe d’identité, les vérités [d’existence] sont régies par la loi de continuité, ou – cela revient au même - des différences évanouissantes. Donc entre pécheur et Adam vous ne pourrez jamais démontrer une identité logique, mais vous pourrez démontrer – et le mot démonstration changera de sens –, vous pourrez démontrer une continuité, c’est-à-dire une ou des différences évanouissantes. Si on arrive à comprendre un tout petit peu ça, alors on a tout acquis. On aura acquis le premier problème, qu’est-ce qu’une analyse infinie. Une analyse infinie, c’est une analyse du continu opérant par différences évanouissantes.

Là-dessus, vous retenez ça dans un coin de votre tête, et il reste à dire, bon, mais ça veut dire quoi, continuité, différences évanouissantes ? Tout le monde sent, en effet que ça renvoie à une certaine symbolique, symbolique du calcul différentiel ou de l’analyse infinitésimale. Mais c’est en même temps – c’est le cas de création qui se fait deux fois, simultanément – c’est que Newton et que Leibniz [ils] montent le calcul différentiel. Or, l’interprétation du calcul différentiel par les catégories de différences évanouissantes, c’est le propre de Leibniz. Chez Newton… alors que tous les deux l’inventent vraiment en même temps, l’armature logique et théorique est très différente chez Leibniz et chez Newton, et le thème de la différence infiniment petite, c’est-à-dire de la différentielle conçue comme différence évanouissante, c’est proprement du Leibniz. Du reste, il y tient énormément, et il y a une grande polémique entre les newtoniens et Leibniz. Notre question-là se rétrécit: qu’est-ce que c’est que cette différence évanouissante? … Est-ce que quelqu’un a de la craie ? J’ai un besoin urgent de la craie. … Est-ce que quelqu’un a un torchon ? Si on n’a pas de torchon, je ne peux pas… Ah bon, il y a tout. Alors, écoutez-moi. Voyez ce petit symbole – je parle vraiment au-dessus… Vous n’avez besoin de rien savoir, de rien, rien, rien. … Voilà un petit symbole, que vous avez rencontré dans le dictionnaire. – Si vous en avez assez et si vous partiez, je préfère que vous le fassiez en masse… Vous êtes fatigués avant… Alors, encore une minute avant qu’on se repose… Moi, je reste comme ça [Rires]

Je dis juste, calcul différentiel, ça veut dire quoi, ce calcul qui prétend être infiniment petit ? Vous me direz aujourd’hui, aujourd’hui, aujourd’hui, qu’est-ce qui se passe ? Les équations différentielles, c’est fondamental. Il n’y a pas de physique sans équations différentielles. Même la physique comme science, elle a existé en partie au dix-septième siècle, et au Moyen Age, il y avait des antécédents du calcul différentiel ; il y avait des calculs d’exhaustion. Mais la physique scientifique n’a existé qu’à partir du calcul différentiel. Mathématiquement, aujourd’hui, le calcul différentiel s’est purgé de toute considération de l’infini – l’espèce de statut axiomatique du calcul différentiel où il n’est absolument plus question d’infini date de la fin du XIXe siècle.

Mais si je me place au moment de Leibniz, mettez-vous à la place d’un mathématicien: qu’est-ce qu’il va faire lorsqu’il se trouve devant des grandeurs ou des quantités à puissances différentes, des équations dont les variables sont à des différentes puissances, des équations du type ax2 + y? [Deleuze fait un dessin à la craie.] Vous avez une quantité à la puissance 2 et une quantité à la puissance 1. Comment comparer? Vous savez tous l’histoire des quantités non commensurables. Là, au XVIIe siècle, les quantités de puissances différentes ont reçu un mot voisin: c’est les quantités incomparables. Toute la théorie des équations se heurte, au XVIIe siècle, à ce problème qui est un problème fondamental, même dans l’algèbre la plus simple: à quoi ça sert le calcul différentiel? Le calcul différentiel vous permet de procéder à une comparaison directe de quantités de puissances différentes. Bien plus, il ne sert que là.

Le calcul différentiel trouve son niveau d’application quand vous vous trouvez devant des incomparables, c’est-à-dire devant des quantités à puissances différentes. Pourquoi? Dans ax2 + y, supposons que par des moyens quelconques vous extrayez dx et dy. dx c’est la différentielle de x, dy c’est la différentielle de y. Qu’est-ce que c’est? On le définira verbalement, par convention on dira que dx ou dy, c’est la quantité infiniment petite supposée être ajoutée ou soustraite de x ou de y. En voilà une invention! La quantité infiniment petite… c’est-à-dire que c’est la plus petite variation de la quantité considérée. Elle est inassignable par convention. Donc dx = 0 en x, c’est la plus petite quantité dont puisse varier x, donc ça égale zéro. dy = 0 par rapport à y. Commence à prendre corps la notion de différence évanouissante. C’est une variation ou une différence, dx ou dy: elle est plus petite que toute quantité donnée ou donnable. C’est un symbole mathématique. En un sens c’est fou, en un sens c’est opératoire. De quoi? Voilà ce qui est formidable dans le symbolisme du calcul différentiel: dx = 0 par rapport à x, la plus petite différence, le plus petit accroissement dont soit capable la quantité x ou la quantité y inassignable, c’est de l’infiniment petit.

Miracle dy sur dx n’est pas égal à zéro et bien plus: dy sur dx a une quantité finie parfaitement exprimable. C’est des relatifs uniquement relatifs. dx n’est rien par rapport à x, dy n’est rien par rapport à y, mais voilà que dy sur dx c’est quelque chose. Stupéfiant, admirable, grande découverte mathématique.

C’est quelque chose parce que dans un exemple tel que ax2 - by + c, vous avez deux puissances dont vous avez des quantités incomparables: y2 et x. Si vous considérez le rapport différentiel, il n’est pas zéro, il est déterminé, il est déterminable.

Le rapport dy sur dx vous donne le moyen de comparer les deux quantités incomparables qui étaient à des puissances différentes car il opère une dépotentialisation des quantités. Donc il vous donne un moyen direct de confronter des quantités incomparables à puissances différentes. Dès ce moment-là toutes les mathématiques, tout l’algèbre, toute la physique s’inscriront dans le symbolisme du calcul différentiel. [Explication de Deleuze sur le calcul différentiel] C’est ce rapport entre dx et dy qui a rendu possible cette espèce de compénétration de la réalité physique et du calcul mathématique.

Alors on arrive au dernier point, le plus simple : il faudrait montrer comment ça marche. Heureusement, il y a un texte minuscule de Leibniz -- pas difficile pour nous, donc on pourra tout comprendre -- qui s’appelle, tiré des Écrits mathématiques. Il s’agit d’une  petite note de trois pages qui s’appelle «Justification du calcul des infinitésimales par celui de l’algèbre ordinaire». Avec ça, vous comprendrez tout. Leibniz voudrait montrer que, d’une certaine manière, le calcul différentiel fonctionnait déjà avant d’être découvert, et qu’on ne pouvait pas faire autrement, même au niveau de l’algèbre la plus ordinaire. … Vous voulez un peu de repos avant qu’on continue ? … [La référence] Écrits mathématiques, tome IV, page 104, l’édition de Gerhardt. … Bien, reposez-vous un petit peu… [Bruits divers des étudiants]

[Explication de Gilles Deleuze qui dessine au tableau, avec dessin à la craie: construction de triangles. 85 :30 à 93 :30]

Et pourtant, ce ne sont pas des zéros absolus. Pourquoi ? Parce que si c’étaient des zéros absolus, x serait égal à y, et x n’est pas égal à y, ni dans un cas ni dans l’autre puisque ce serait contraire aux données mêmes de la construction du problème. Dans la mesure où pour ce cas vous pouvez écrire x = c, c et e sont des zéros. Ce sont, comme il dit dans son langage, ce sont des riens, mais ce ne sont pas des riens absolument, ce sont des riens respectivement. A savoir ce sont des riens mais qui conservent la différence du rapport. Donc c ne devient pas égal à e puisqu’il reste proportionnel à x et que x n’est pas égal à y.

C’est une justification du vieux calcul différentiel, et l’intérêt de ce texte c’est que c’est une justification par l’algèbre la plus facile ou ordinaire. Cette justification ne met rien en cause de la spécificité du calcul différentiel.

Je lis ce texte très beau [Deleuze lit en commentant presque chaque phrase]: «Donc, dans le cas présent, il y aura x moins c = x. Supposons que ce cas » où il n’y a qu’un seul triangle « est compris sous la règle générale » où il y avait deux triangles  « et néanmoins c et e ne seront point des riens absolument puisqu’elles gardent ensemble la raison de [grand] Cx à [grand] Xy, ou celle qui est entre le sinus entier ou rayon et entre la tangente qui convient à l’angle en c, lequel angle, nous avons supposé, est toujours demeuré le même. Car si c et e étaient des riens absolument dans ce calcul réduit au cas de la coïncidence des points [grand] C, [grand] E et [grand] A, comme un rien vaut l’autre alors c et e seraient égales, et de l’équation ou analogie x sur y = C sur E serait fait x sur y = 0 sur 0 = 1, c’est à dire qu’on aurait x = y ce qui serait une absurdité… [Deleuze indique qu’il y a une coupure dans le texte qu’il lit, donc il continue]  Ainsi l’on trouve dans le calcul de l’algèbre les traces du calcul transcendant des différences » c’est-à-dire du calcul différentiel « et ses mêmes singularités dont quelques savants se font des scrupules, et même le calcul d’algèbre ne saurait s’en passer si il doit conserver ses avantages dont un des plus considérables est la généralité qui lui est due afin qu’il puisse comprendre tous les cas.»

C’est exactement de cette manière que je peux considérer que le repos est un mouvement infiniment petit, ou que le cercle est la limite d’une série infinie de polygones dont les côtés augmentent à l’infini.

Qu’est-ce qu’il y a de comparable dans tous ces exemples? Il faut considérer le cas où il y a un seul triangle comme le cas extrême de deux triangles semblables opposés par le sommet. Ce que Leibniz a démontré dans ce texte, c’est comment et dans quelles circonstances un triangle peut être considéré comme le cas extrême de deux triangles semblables opposés par le sommet. Là vous sentez qu’on est peut-être en train de donner à «virtuel» le sens que l’on cherchait. Je pourrais dire que dans le cas de ma seconde figure où il n’y a qu’un triangle, l’autre triangle est là mais il n’est là que virtuellement. Il est là virtuellement puisque a contient virtuellement e et c distincts de a. Pourquoi est-ce que e et c restent-ils distincts de a lorsqu’ils n’existent plus. e et c restent distincts de a lorsqu’ils n’existent plus parce qu’ils interviennent dans un rapport qui lui, continue à exister lorsque les termes se sont évanouis. C’est de cette même manière que le repos sera considéré comme le cas particulier d’un mouvement, à savoir un mouvement infiniment petit. Dans ma seconde figure, xy, je dirais ce n’est pas du tout que le triangle CEA, ce n’est pas du tout que le triangle ait disparu au sens commun du mot, mais il faut dire à la fois qu’il est devenu inassignable, et pourtant il est parfaitement déterminé puisque dans ce cas c = 0, e = 0, mais c sur e n’est pas égal à zéro. c sur e est un rapport parfaitement déterminé égal à x sur y. Donc il est déterminable et déterminé, mais il est inassignable. De même le repos est un mouvement parfaitement déterminé, mais c’est un mouvement inassignable; de même le cercle est un polygone inassignable et pourtant parfaitement déterminé.

Vous voyez ce que veut dire virtuel. Le virtuel ne veut plus du tout dire l’indéfini – et là tous les textes de Leibniz peuvent être récupérés. Il faisait une opération diabolique: il prenait le mot virtuel, sans rien dire – c’est son droit –, il lui donnait une nouvelle acceptation tout à fait rigoureuse et tout à fait nouvelle mais sans rien dire. Il ne le dira que dans d’autres textes: ça ne voulait plus dire qui va à l’indéfini, ça voulait dire inassignable et pourtant déterminé. C’est une conception du virtuel à la fois très nouvelle et très rigoureuse. Encore fallait-il avoir la technique et les concepts pour que prenne un sens cette expression un peu mystérieuse au début: inassignable et pourtant déterminé. C’est inassignable puisque c est devenu égal à zéro, et puisque e est devenu égal à zéro. Et pourtant c’est complètement déterminé puisque c sur e, à savoir 0 sur 0, n’est pas égal à zéro ni à 1, c’est égal à x sur y. En plus il a vraiment un génie de prof. Il réussit à expliquer à quelqu’un qui n’a jamais fait que de l’algèbre élémentaire ce que c’est que le calcul différentiel. Il ne présuppose aucune notion du calcul différentiel.

Alors qu’est-ce que j’en tire ? L’idée qu’il y a continuité dans le monde, il me semble qu’il y a trop de commentateurs de Leibniz qui font de la théologie plus que Leibniz n’en demande: ils se contentent de dire que l’analyse infinie, c’est dans l’entendement de Dieu, et c’est vrai d’après la lettre des textes; mais il se trouve qu’on a, avec le calcul différentiel, on a l’artifice non pas de nous égaler à l’entendement de Dieu, c’est bien sûr impossible, mais le calcul différentiel nous donne un artifice tel que nous pouvons opérer une approximation bien fondée de ce qui se passe dans l’entendement de Dieu tel qu’on peut l’approcher grâce à ce symbolisme du calcul différentiel; puisque après tout Dieu aussi opère par symbolique, pas la même certes. Donc cette approximation de la continuité, c’est que le maximum de continuité est assuré lorsqu’un cas étant donné, le cas extrême ou contraire peut être d’un certain point de vue considéré comme inclus dans le cas d’abord défini.

Vous définissez le mouvement, peu importe ; vous définissez le polygone, peu importe ; vous considérez le cas extrême ou contraire: à savoir le repos, le cercle qui est dénué d’angle. La continuité, et c’est par là qu’il y a le labyrinthe, c’est l’instauration du chemin selon lequel le cas extrinsèque: le repos contraire du mouvement, le cercle contraire du polygone; le cas extrinsèque peut être considéré comme inclus dans la notion du cas intrinsèque. Il y a continuité lorsque le cas extrinsèque peut être considéré comme inclus dans la notion du cas intrinsèque. Leibniz vient de montrer pourquoi. Vous retrouvez la formule de la prédication: le prédicat est inclus dans le sujet.

Comprenez bien. J’appelle «cas général intrinsèque» le concept de mouvement qui recouvre tous les mouvements. Par rapport à ce premier cas, j’appelle «cas extrinsèque» le repos ou bien le cercle par rapport à tous les polygones, ou bien le triangle unique par rapport à tous les triangles combinés. Je me charge de construire un concept qui implique tout le symbolisme différentiel, un concept qui, à la fois, correspond au cas général intrinsèque et qui, pourtant, comprend aussi le cas extrinsèque. Si j’y arrive, je peux dire qu’en toute vérité le repos c’est un mouvement infiniment petit, tout comme je dis que mon triangle unique c’est l’opposition de deux triangles semblables opposés par le sommet, simplement, dont l’un des deux triangles est devenu inassignable. A ce moment-là, il y a continuité du polygone au cercle, il y a continuité du repos au mouvement, il y a continuité des deux triangles semblables opposés par le sommet à un seul triangle.

En plein XIXe siècle, un très grand mathématicien, qui s’appelle Poncelet, fera la géométrie projective en son sens le plus moderne – il est complètement leibnizien. La géométrie projective tout entière est fondée sur ce que Poncelet appelait un axiome de continuité tout simple: si vous prenez un arc de cercle coupé en deux points par une droite, si vous faites remonter la droite, il y a un moment où elle ne touche plus l’arc de cercle qu’en un point, et un moment où elle sort du cercle, elle ne le touche plus en aucun point. L’axiome de continuité de Poncelet réclame la possibilité de traiter le cas de la tangente comme un cas extrême, à savoir que ce n’est pas qu’un des points ait disparu, les deux points sont toujours là, mais virtuels. Quand tout sort, ce n’est pas que les deux points aient disparu, ils sont toujours là, mais les deux sont virtuels. C’est l’axiome de continuité qui permet précisément tout un système de projection, tout un système dit projectif. Les mathématiques garderont ça intégralement – c’est une technique formidable.

Il y a quelque chose d’éperdument comique là-dedans, mais ça ne va pas du tout gêner Leibniz. Là aussi les commentateurs sont très curieux. On patauge depuis le début dans un domaine où il s’agit de montrer que les vérités d’existence, ce n’est pas la même chose que les vérités d’essence ou vérités mathématiques. Pour le montrer, ou bien c’est des propositions très générales pleines de génie chez Leibniz, mais qui nous laisse comme ça: l’entendement de Dieu, l’analyse infinie – et alors, c’est quoi tout ça? Et enfin quand il s’agit de montrer en quoi les vérités d’existence sont irréductibles aux vérités mathématiques, quand il s’agit de le montrer concrètement, tout ce que Leibniz dit de convaincant, c’est mathématique. C’est rigolo, non?
Un objecteur de service dirait à Leibniz: tu nous annonces que tu nous parles de l’irréductibilité des vérités d’existence, et cette irréductibilité tu ne peux la définir concrètement qu’en utilisant des notions purement mathématiques… Qu’est-ce que répondrait Leibniz? Dans toutes sortes de textes on m’a toujours fait dire que le calcul différentiel désignait une réalité. Je ne l’ai jamais dit – répond Leibniz –; le calcul différentiel, c’est une convention bien fondée. Leibniz tient énormément à ce que le calcul différentiel ne soit qu’un système symbolique, il ne dessine pas une réalité, il désigne une manière de traiter la réalité.

C’est quoi une convention bien fondée? Ce n’est pas par rapport à la réalité que c’est une convention, c’est par rapport aux mathématiques. C’est là, le contresens à ne pas faire. Le calcul différentiel, c’est du symbolisme, mais par rapport à la réalité mathématique, pas du tout par rapport à la réalité réelle. C’est par rapport à la réalité mathématique que le système du calcul différentiel est une fiction. Il emploie aussi bien le mot «fiction bien fondée». C’est une fiction bien fondée par rapport à la réalité des mathématiques. En d’autres termes, le calcul différentiel mobilise des concepts qui ne peuvent pas se justifier du point de vue de l’algèbre classique, ou du point de vue de l’arithmétique. C’est évident. Des quantités qui ne sont pas rien et qui sont égales à zéro, c’est du non-sens arithmétique, ça n’a ni réalité arithmétique, ni réalité algébrique, c’est une fiction. Donc, à mon avis, il ne veut pas dire du tout que le calcul différentiel ne désigne rien de réel, il veut dire que le calcul différentiel est irréductible à la réalité mathématique. C’est donc une fiction en ce sens, mais précisément en tant qu’il est une fiction, il peut nous faire penser l’existence. En d’autres termes, le calcul différentiel est une espèce d’union des mathématiques et de l’existant, à savoir: c’est la symbolique de l’existant. C’est parce qu’il est une fiction bien fondée par rapport à la vérité mathématique qu’il est dès lors un moyen d’exploration fondamental et réel de la réalité d’existence. Vous voyez donc ce que veut dire «évanouissant», «différence évanouissante»: c’est lorsque le rapport continue alors que les termes du rapport se sont évanouis. Le rapport c alors que c et c se sont évanouis, c’est-à-dire coïncident avec a. Vous avez donc construit une continuité par le calcul différentiel.

Leibniz devient beaucoup plus fort, pour nous dire: comprenez que dans l’entendement de Dieu, entre le prédicat pécheur et la notion d’Adam, et bien il y a une continuité. Il y a une continuité par différence évanouissante au point que quand il fait le monde, Dieu ne fait que calculer. Et quel calcul! Évidemment pas un calcul arithmétique… Là-dessus il oscillera entre deux explications. Donc, Dieu fait le monde en calculant. Dieu calcule, le monde se fait. L’idée d’un Dieu joueur, on la trouve partout. On peut toujours dire que Dieu a fait le monde en jouant, mais tout le monde a dit ça. Ce n’est pas très intéressant. Mais les jeux, ça ne se ressemble pas. Il y a un texte d’Héraclite, [où] il est question de l’enfant joueur qui vraiment constitue le monde. Il joue, mais à quoi? A quoi jouent les Grecs et les enfants grecs? Diverses traductions donnent des jeux différents. Mais Leibniz ne dirait pas ça: quand il s’explique sur le jeu, il a deux explications. Dans les problèmes de pavage, à cheval sur les problèmes de mathématiques et d’architecture: une surface étant donnée, avec quelle figure la remplir complètement? Problème plus compliqué: si vous prenez une surface rectangulaire et que vous voulez la paver avec des cercles, vous ne la remplissez pas complètement. Avec des carrés, est-ce que vous la remplissez complètement? Ça dépend de la mesure. Avec des rectangles? Égaux ou pas égaux? Puis, si vous supposez deux figures, lesquelles se combinent pour remplir complètement un espace? Si vous voulez paver avec des cercles, avec quelle autre figure vous comblerez les vides? Ou bien vous consentez à ne pas remplir tout… Vous voyez que c’est très lié avec le problème de la continuité. Si vous décidez de ne pas remplir tout, dans quels cas et avec quelles figures et quelles combinaisons de figures différentes arriverez-vous à remplir le maximum possible? Ça met en jeu des incommensurables, ça met en jeu des incomparables – ça passionne Leibniz, les problèmes de pavage.

Lui, quand il dit que Dieu fait exister et choisit le meilleur des mondes possibles, on a vu, on devance Leibniz avant qu’il n’ait parlé: le meilleur des mondes possibles, ça a été la crise du leibnizianisme, ça a été l’anti-leibnizianisme généralisé du XVIIIe siècle: ils n’ont pas supporté l’histoire du meilleur des mondes possibles.

Voltaire, il avait raison Voltaire, ils avaient une exigence de philosophie qui n’était évidemment pas remplie par Leibniz, notamment du point de vue de la politique. Donc, il ne pouvait pas pardonner à Leibniz. Mais si l’on se lance dans la démarche pieuse, qu’est-ce que dit Leibniz, par le monde qui existe est le meilleur des mondes possibles? Une chose très simple: comme il y a plusieurs mondes possibles, seulement ils ne sont pas compossibles les uns avec les autres, Dieu choisit le meilleur, et le meilleur ce n’est pas celui où on souffre le moins. L’optimisme rationaliste, c’est en même temps d’une cruauté infinie; ce n’est pas du tout un monde où on ne souffrirait pas, c’est le monde qui réalise le maximum de cercles. Si j’ose une métaphore inhumaine, c’est évident que le cercle souffre lorsqu’il n’est plus qu’une affection du polygone. Lorsque le repos n’est plus qu’une affection du mouvement, imaginez la souffrance du repos. Simplement c’est le meilleur des mondes parce qu’il réalise le maximum de continuité. D’autres mondes étaient possibles, mais ils auraient réalisé moins de continuité. Ce monde est le plus beau, le plus harmonieux, uniquement sous le poids de cette phrase impitoyable: parce qu’il effectue le plus de continuité possible. Alors si ça se fait au prix de votre chair et de votre sang, peu importe. Comme Dieu n’est pas seulement juste, c’est à dire poursuivant le maximum de continuité, mais comme il est en même temps d’une coquetterie, il veut varier son monde. Alors Dieu cache cette continuité. Il met un segment qui devrait être en continuité avec celui-là, ce segment il le met ailleurs pour cacher ses voies. Nous, on ne risque pas de se retrouver. Ce monde se fait sur notre dos. Alors, évidemment le XVIIIe siècle ne trouve pas très, très bien toute cette histoire de Leibniz. Vous voyez dès lors le problème du pavage: le meilleur des mondes sera celui dont les figures et les formes rempliront le maximum d’espace-temps en laissant le moins de vide.

Deuxième explication de Leibniz, et là il est encore plus fort: le jeu d’échecs. Si bien qu’entre la phrase d’Héraclite qui fait allusion à un jeu grec et Leibniz, qui fait allusion au jeu d’échecs, il y a toute la différence qu’il y a entre les deux jeux au moment même où la formule commune «Dieu joue» pouvait faire croire que c’est une espèce de béatitude. Comment Leibniz conçoit le jeu d’échecs: l’échiquier, c’est un espace; les pièces, c’est des notions. Quel est le meilleur coup aux échecs, ou le meilleur ensemble de coups? Le meilleur coup ou ensemble de coups, c’est celui qui fait qu’un nombre déterminé et avec des valeurs déterminées de pièces tient ou occupe le maximum d’espace, l’espace total étant détenu par l’échiquier. Il faut placer vos pions de telle manière qu’ils commandent le maximum d’espace. Pourquoi est-ce que ce ne sont que des métaphores? Là aussi il y a une espèce de principe de continuité – le maximum de continuité. Qu’est-ce qui ne va pas, aussi bien dans la métaphore du jeu d’échecs que dans celle du pavage? C’est que dans les deux cas, vous avez référence à un réceptacle. On présente les choses comme si les mondes possibles rivalisaient pour s’incarner dans un réceptacle déterminé. Dans le cas du pavage, c’est la surface à paver; dans le cas du jeu d’échecs, c’est l’échiquier. Mais dans les conditions de la création du monde, il n’y a pas de réceptacle préalable.

Il faut donc dire que le monde qui passe à l’existence est celui qui réalise en lui-même le maximum de continuité, c’est-à-dire qui contient la plus grande quantité de réalité ou d’essence. Je ne peux pas dire d’existence, puisqu’existera le monde qui contient, non pas la plus grande quantité d’existence, mais la plus grande quantité d’essence sous les espèces de la continuité. La continuité, c’est en effet précisément le seul moyen d’obtenir le maximum de quantité de réalité. Vous comprenez ?

Voilà, c’est une vision très belle, comme philosophie. Je considère que, dans ce second paragraphe j’ai répondu à la question: qu’est-ce que c’est que l’analyse infinie? Je n’ai pas encore répondu à la question: qu’est-ce que c’est que la compossibilité ? Voilà.


[1] Cf. https://www.youtube.com/watch?v=LzJQNX6W53s&list=PL9kBLt-Nsd7sq6hkuanJ34fXtzJJ9FKic&index=2



For archival purposes, an initial version of this translation was prepared based on the available transcript at Web Deleuze and posted there in 1997, then prepared for addition to this site in February 2019. Additional revisions to both the French transcript and the English translation occurred in April 2019 based on access to the YouTube video of the seminar.